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MATEMATICA APLICADA
NUMEROS REALES II
2015 22014
TRAIDO POR
UNIMED
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Forma General:
Teorema de Cardamo Viete
Sean: , las n raices de la
ecuacion polinomica.
1. Suma de raices :
2. Producto de raices:
METODO DE LOS VALORES CRITICOS INECUACIONES POLINMICAS
P(x) = + 1
1 + + 22 + 1 + 0 > 0 ( > 0)
El mtodo que facilita la solucin es el mtodo de los valores crticos.
Entonces podemos seguir los siguientes pasos:
Se factoriza el polinomio P(x)=
y se iguala a cero cada factor, siendo estos los valores crticos.
x - 1 = 0 x - 2= 0 x - 3= 0.. x - = 0
x = r1 x = 2 x = 3 .x =
Se ubica estos valores crticos en la recta y Se determinan los signos de
los intervalos de variacin
+ + + +
r1 2 3 1
La solucin ser la unin de los intervalos :
P(x) > 0; se consideran los intervalos positivas en su solucin.
P(x) < 0; se considera los intervalos negativos en su solucin.
METODO DE LOS VALORES CRITICOS
PRIMER CASO: Cuando las races de la ecuacin polinmicas P(x) = 0 , son reales y
diferentes , es decir:
i. P(x) > 0
La solucin en este caso es la reunin de los intervalos con signo positivo.
Ejemplo: Sea P(x) = 3 + 22 11 12 > 0, hallar el conjunto solucin.
factorizando: 3+22 11 12 > 0
(x + 4) (x + 1) (x 3) > 0 ;
PC = {- 4, - 1, 3}
+ +
CS: < - 4; - 1 > U < 3; >
3 -1 - 4
METODO DE LOS VALORES CRITICOS
ii. Si P(x) < 0 La solucin en este caso es la reunin de los intervalos con signo negativo.
Ejemplo:
Sea P(x) = 124 563 + 892 56 + 12 < 0 , hallar el conjunto solucin. factorizando:
12 - 56 89 - 56 12 PCR =1, 2, 3, 4, 6,12
1,2, 3, 4, 6,12
3/2 18 - 57 48 - 12 12 - 38 32 - 8 0 2/3 8 - 20 8
12 - 30 12 0
( 2x 3 )( 3x 2 ) ( 2x 1 ) ( x 2 ) < 0
Puntos crticos: x = 3/2 x = 2/3 x = x = 2
CS: < 1/2; 2/3> U < 3/2; 2>
+ _ + _ +
1/2 2/3 3/2 2
v
METODO DE LOS VALORES CRITICOS
SEGUNDO CASO: Si alguna de las races del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad
mayor que (1), se tiene:
Suponiendo que el factor (x - r ) es el factor que se repite m veces, entonces :
i. Si m es par, los signos de los intervalos de variacin donde figura son iguales, es
decir no son alterados.
Ejemplo: Sea P(x) = 5 + 44 73 + 102 10 + 4 0 , hallar el conjunto solucin.
Solucin: 5 + 4473 + 102 10 + 4 0
x 1 2 2 x2 + 2 0
Puntos Crticos: x = 1 multiplicidad par ; x = 2 ; x2 + 2 < 0
1 2
CS: ; 2
+
METODO DE LOS VALORES CRITICOS
ii. Si m es impar, los intervalos de variacin contiguos al valor crtico tienen
signos diferentes.
Ejemplo: Sea P(x) = , hallar el conjunto
Solucin:
factorizando:
(x + 2) (x 3) < 0 ; PC = {-2, 1, 3}
- 2 1 3
x < 1 , 3 >
+ _ + _
METODO DE LOS VALORES CRITICOS
TERCER CASO: Cuando alguna de las races del polinomio P(x) = 0 no son reales,
en este caso a estas races no se consideran en la determinacin de los
intervalos y para dar la solucin, se sigue el mismo procedimiento de los casos
anteriores.
Ejemplo: Sea P(x) = 2 + + 1 2 2 + 7 2 + 3 + 5 > 0 ;hallar el conjunto solucin.
Solucin:
P(x) = 2 + + 1 2 2 + 7 2 + 3 + 5 > 0
< 0 < 0 < 0
( + ) ( + ) ( + )
CS: R
+
INECUACIONES POLINOMICAS
Hallar el conjunto solucin de las siguientes inecuaciones:
1) 433 3 32 4 < 0
Solucin
+ 1 4 2 + 1 < 0
PC= { - 1; 4 } ( 2+1 > 0 ; < 0)
+ - +
-1 4 CS: < -1; 4 >
INECUACIONES POLINOMICAS
2) 5 + 84 + 123 2 8 12 > 0
1 8 12 - 1 - 8 - 12
1 1 9 21 20 12
1 9 21 20 12 0
- 2 - 2 - 14 - 14 - 12
1 7 7 6 0
- 6 - 6 - 6 - 6
1 1 1 0
Factores: 1 + 2 + 6 2 + + 1
PC: { - 6; - 2; 1} y ( 2+ + 1 > 0 ; < 0 )
- -
- 6 - 2 1
CS: < - 6; - 2 > U < 1; >
+ +
INECUACIONES POLINOMICAS
3) 24 93 + 102 + 2 0
PCR =1;2
1;2
2 - 9 10 1 - 2
2 4 - 10 0 2
2 - 5 0 1 0
1 - 2 - 1
2 - 4 - 2 0
Factores: ( x 2) ( 2x 1) ( 2- 2x 1)
PC: 1 2;1 + 2; 1
2; 2
-1- 2 -1+ 2 2
CS: < - ;1 2 U [ -1 + 2 ; ] U [ 2; >
+ + +
INECUAIONES POR EL METODO DE LOS VALORES CRITICOS
Inecuaciones Fraccionarias Son inecuaciones de la forma
Donde Q(x) 0
Al factorizar P(x) y Q(x), se aplica el mismo criterio anterior, teniendo en cuenta
que los valores crticos correspondientes al denominador nunca es cerrado.
NOTA.- Si al factorizar al polinomio, uno de los factores est afectado a un
exponente par, el valor crtico que le corresponde no se toma en cuenta, este
mismo criterio se aplica si el valor crtico es un nmero imaginario.
( con )
METODO DE LOS VALORES CRITICOS Ejemplo 1 : Resolver:
65
24 0
Solucin.
Multiplicacin por (-1) al numerador: 56
24 0
Entonces: 56
2 +2 0
PC: { - 2; 6/5; 2}
+ +
- 2 6/5 2
CS: < - ; -2 > U [ 6/5; 2 >
2. Resolver : +4
3< 2
Solucin:
+4
3 2 < 0
+4 2+6
3< 0
+10
3< 0
10
3> 0
PC: { 3 ; 10 }
+ - +
3 10
CS: < - ; 3> U < 10; >
INECUACIONES RACIONALES
INECUACIONES RACIONALES
3. Resolver: +2
3
21
2+1
Solucin
+2
3
21
2+1 0
+2 2+1 21 3
3 2+1 0
1213 2+1
0
PC: { - ; 1/12; 3 }
- 1/12 3
CS: < - ; 1/12 ] U < 3; >
+ +
INECUACIONES RACIONALES
4) Resolver: 12 22
3 2 0
Solucin
2+1 2+2
3 2 0
+1 5
2+
1+ 5
21 +2
3 2 0
PC: 2; 1 5
2;1+ 5
2; 1; 2; 3
- 2 1 5
2
1+ 5
2 1 2 3
CS: < - ; -2] U [1 5
2;
1+ 5
2 ] U [ 1; 2 > U
+ + + +
INECUACIONES RACIONALES
5) Resolver: 124563+89256+12
5+84+1232812 0
Solucin
Factorizando: 23 32 21 2
1 +2 +6 2++1 0
PC: { -6; -2; ; 2/3; 1; 3/2; 2}
-6 -2 2/3 1 3/2 2
CS: < - ; - 6> U < -2 ; 1/2] U [ 2/3; 1> U [ 3/2; 2]
+ + + +
SISTEMA DE ECUACIONES
Un sistema lineal de es un conjunto de ecuaciones lineales, con dos o mas
variables o incgnitas, que se verifican en forma simultanea solo para
un determinado conjunto de valores que toman dichas variables ,
denominadas conjunto solucin ( C.S.)
Por el numero de soluciones el sistema de ecuaciones puede ser:
a) Sistema compatible determinado: el sistema tiene solucin nica.
b) Sistema compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas
soluciones.
c) Sistema incompatible o inconsistente: el sistema no admite solucion.
Mtodos de Solucin :
a) Mtodo de igualacin.
b) Mtodo de sustitucin .
c) Mtodo de reduccin.
SISTEMA DE ECUACIONES
1. Resolver el sistema: 4x + 5y = 1 ( 1 )
3x - 2y = 18..( 2 )
Solucin
Por el mtodo de la sustitucin:
De ( 1 ) : 4x = 1 5y De ( 2 ): 3x = 18 + 2y
x = x
=
3 15y = 72 + 8y
y = - 3 .( 3)
Reemplazando Ec. ( 3 ) en Ec. ( 2 )
x = 4
CS. { ( 4, -3 )
SISTEMA DE ECUACIONES 2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
7 x + 5y = 9 ( 1 )
- 2 x + 11 y = - 15 .( 2 )
Solucin
Por el mtodo de sustitucin:
De ( 1 ) .. ..( 3 )
Sustituimos ( 3 ) en ( 1 ):
- 2 x + 11 ( ) = - 15
- 10 x + 99 77x = - 75
174 = 87 x
x = 2( 4)
Reemplazando Ec.( 4 ) en Ec. ( 3 )
y = - 1
CS. { ( 2, -1) }
SISTEMA DE ECUACIONES
3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
2 x + 3 y = 10( 1 )
8 x + 11y = 38( 2)
Solucin
Por el reduccin: 2 x + 3 y = 10 ...x ( - 4 )
8 x + 11y = 38
- 8 x - 12 y = - 40
8 x + 11 y = 38
- y = - 2
y = 2 .( 3 )
Reemplazando Ec.( 3 ) en Ec. ( 1 ):
x = 2
CS . { ( 2 , 2 ) }
SISTEMA DE ECUACIONES
EJERCICIOS Hallar el conjunto solucin de las siguientes ecuaciones:
1. 4 x + 3 y = 26
3 x + 4 y = 23
2. 2 x y + 2 y = 1
x y - y = 1
3.
4. 2 x + 3 y + 5 z = 41
3 x + 4 y + 6 z = 52
5 x - 5 y + 3 z = 5
INECUACIONES
Ejercicios:
Hallar la solucin del siguiente sistema inecuaciones:
1. Rpta:
2. Rpta:
3. Rpta:
4. Rpta: < -3, 1>
5. Rpta:
6. Rpta:
VALOR ABSOLUTO
El Valor absoluto de un nmero real x, denotado por , se define as:
Ejemplo:
d = 4 d= 4
- 4 0 4
ALGUNAS DE LAS PROPIEDADES
1. x = 0
2.
3.
4.
5.
6.
7.
SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO
Para la resolucin de ecuaciones con Valor Absoluto, nos apoyamos en los
siguientes teoremas:
i. Si: x = y x = - y
ii. Si: y 0 ( x = y x = - y )
Para la resolucin de inecuaciones con valor absoluto, nos apoyamos en los
siguientes Teoremas:
iii.
iv.
v.
vi.
0;
VALOR ABSOLUTO
1. Demostrar que si :
solucin
Sabemos que: ;
De la condicin: , aplicamos la propiedad y obtenemos:
Sumamos : 4 - 6 < x < - 2 , extremos de igual signo invertimos
Obtenemos: ; sumamos 1
Obtenemos:
Entonces:
SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO Ejemplos:
2) Resolver: 2 +1
2= 3 1
Aplicamos el teorema:
( x = y x = - y )
3x 1 0 { 2 +1
2 = 3x 1 +
1
2 = - 3x + 1 }
x 1/3 { x = 3/2 x = 1/10 }
CS: { 3/2}
1/10 1/3 3/2
ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Ejemplos:
3) Resolver: 8 7 = 17
Aplicamos el teorema:
( x = y x = - y )
8 7 = 17 17 0 ( 8x 7= 17 8x 7 = - 17 )
x = 3 x = - 5/ 4
CS: { - 5/4 ; 3 }
ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
4) Resolver :
Solucin
Sabemos que: , entonces se cumple:
1 - = 2 1 - = - 2
1 2 = 1 + 2 =
- 1 = 3 =
x = - 3 x = 3
solucin : { - 3 , 3 }
CS = { - 3 , 3 }
ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
5. Resolver:
Solucin
races imaginarias races imaginarias
no reales no reales
CS :
ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
6. Resolver: 2 1
2
2
3 + 1
Solucin
Como se cumple: 2
3 + 1 0 x
3
2
- 2
3 1 2
1
2
2
3 + 1
- 2
3
1
2 2x
2
3 +
3
2
1
2
8
3
4
3
3
2
3
16
9
8
3
2
3
16
9
8
CS: [3
16;
9
8 ]
ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
7) Resolver: 2 2 3
2 1
Solucin:
2 2 3
2 1
( 2 2x - ( 3
2 - 1)) ( 2 2x
3
2 1)
2 x x 6
7
6
7 2
CS: < ; 6
7 ] u [ 2; >
VALOR ABSOLUTO 8. Resolver:
Solucin:
Sabemos que:
( )
( )
( )
[ 0 ( x + 2 ) ( x 1 ) 0 ( x - 2 ) ( x + 1 ) ]
PC : {-2 , 1, 2, -1 }
-2 -1 1 2
CS: < - , - 2 ] [ 2, >
+ _ +
+ + _
VALOR ABSOLUTO
9. Resolver:
Solucin
PC. { -2 , - 2/3, 1/2 }
-2 - 2/3
CS. < - , - 2 ] [ , ]
+ + _
VALOR ABSOLUTO
10. Hallar el conjunto solucin de:
Solucin
Factorizando: )
( ) ( )
( ) R ( )
( ) R
( ) R
x < - 3 x > 9
- 3 9
CS: < - , - 3 > < 9 , >
+ +
VALOR ABSOLUTO 11. Resolver: |x + 5/ x| 6
Solucin
- 6 x + 5/x 6
Esto es equivalente a escribir como sigue:
- 6 x + 5/x ^ x + 5/x 6
0 ( x + 6x +5)/x ^ (x - 6x +5)/x 0
0 ( x + 5)(x +1)/x ^ (x - 5)(x -1)/x 0
PC x= - 5 , x= -1 x = 1 , x = 5
-
-5 -1 1 5
+ + +
_ +
VALOR ABSOLUTO 12. Resolver :
Solucin
^
0 < + 4 ^ - 4 < 0
^
-6 -1 - 2/7
CS: < - , -6 > U < - 2/7 , >
+ +
+ +