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COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas1
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS
COMPARACIONES MLTIPLES
Combinacin lineal de medias con coeficientes que suman cero.
Para Kmedias:
1 1 2 2 k kL c c c = + + +
1
K
i i
i
L c=
=
EJEMPLO:
Si desean compararse dos medias 1 y 2 , en caso de que sean iguales:
1 2=
Esto puede escribirse tambin del modo:
1 2 0L = =
Cuyos coeficientes son 1 y -1, y por tanto suman 0.EJEMPLO:
Tres medias:
1) Una posibilidad es comparar 1 y 2 , tomadas juntas, con 3 . Es decir:
1 23
2
+=
Lo cual puede escribirse:
1 1 2 32 0L = + =
Cuyos coeficientes son 1, 1 y -2, y por tanto suman 0.
2) Otra posibilidad es comparar
1 3
2
2
+=
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Es decir:
2 1 2 32 0L = + =
Cuyos coeficientes son -1, 2 y -1, y por tanto suman 0.
3) Otra comparacin es:
1 3=
Luego:
3 1 3 0L = =
Cuyos coeficientes son 1, 0 y -1, y por tanto suman 0.
ASIGNACIN DE COEFICIENTES A LAS MEDIAS:
1) Dividir las medias en los dos grupos que van compararse entre s.
2) Asignar a la media de cada grupo un coeficiente igual al nmero de medias del otrogrupo.
3) Cambiar el signo de los coeficientes de uno de los grupos.
EJEMPLO
Cinco medias: 1 , 2 , 3 , 4 y 5 . Desea compararse 1 y 2 con 3 , 4 y
5 .
1) Grupo 1: 1 y 2 . Grupo 2: 3 , 4 y 5 .
2) Grupo 1: 13 , 23 . Grupo 2: 32 , 42 , 52 .
3) Grupo 1: 13 , 23 . Grupo 2: 32 ,42 ,
52 .Es decir:
1 2 3 4 53 3 2 2 2 0L = + =
COMPARACIONES ORTOGONALES:
Aquellas que no contienen informacin redundante. La informacin que proporciona unacomparacin no se solapa con la proporcionada por otra comparacin.
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Con Kmedias es posible realizar 1K comparaciones ortogonales.
REGLA PRCTICA:Dos comparaciones son ortogonales si el producto de sus coeficien-tes es cero.
1 11 1 12 2 1k kL c c c = + + +
2 21 1 22 2 2k kL c c c = + + +
Son ortogonales si:
1 2
1
0K
i i
i
c c=
=
EJEMPLO:
COMPARACIN COEFICIENTES
1 1 2 32L = + 1 1 -2
2 1 2L = 1 -1 0
3 1 3L = 1 0 -1
1L Y 2L son ortogonales:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 2 0 0+ + =
1L Y 3L no son ortogonales:
( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 0 2 1 3+ + =
2L Y 3L no son ortogonales:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 0 0 1 1+ + =
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COMPARACIONES MLTIPLES PLANEADAS O A PRIORI
Se realizan de forma independiente al ANVA. No es necesario realizar tambin este.
PRUEBA F PLANEADAS O A PRIORI PARA COMPARACIONES MULTIPLES:
Se aplican cuando desean realizarse dos o ms comparaciones ortogonales: 1L , 2L , ...,
1CL .
Para una comparacin jL , con tres medias:
1) Ho: 1 1 2 2 3 3 0j j j jL c c c = + =
Ha: 1 1 2 2 3 3 0j j j jL c c c = +
2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=
3) PUNTO CRTICO:
1 1gl C=
2gl n K =
Donde:
C= Nmero de comparaciones a analizar.
K= Nmero de medias a analizar.
n= Tamao total de la muestra.
1 2; ;gl glF
Se acepta Ha
Se acepta H0
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4) ESTADSTICO ESTIMADO:
( )j
cj
CM LF
CME=
Donde:
1 1 2 2
j j j jk kL c X c X c X= + + +
( )2
2
1
j
j K
ij
i ij
LSC L
c
n=
=
Para 1C comparaciones ( )1
1
J
j
j
SC L SCC
=
=
( ) ( )
1
j
j
SC LCM L
J
=
2
2
1 1 1
n K Kk
ik
i k k k
TCME X
n= = == (Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro
ANVA)
5) CONCLUSIONES:
Si1 2; ;cj gl gl
F F
, entonces se acepta Ho, a un nivel de significancia del
% .
Si1 2; ;cj gl gl
F F
> , entonces se acepta Ha, a un nivel de significancia del
% .
EJEMPLO:
Un investigador desea contrastar si el mtodo presencial difiere de la enseanza auto-didacta y por internet. Tambin si el mtodo por internet difiere del autodidacta. Utili-
ce un nivel de significancia del 5% para ambas pruebas de hiptesis.
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1 2 36.48, 4.43, 3.76X X X= = =
2.308, 18CME n= =
SOLUCIN:
2 31
2
+=
2 3=
1 1 2 3
2 0L = =
2 2 3 0L = =
Son ortogonales:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 0 1 1 1 1 0+ + =
1) Ho1: 1 1 2 32 0L = =
Ha1: 1 1 2 32 0L =
Ho2: 2 2 3 0L = =
Ha2: 2 2 3 0L =
2) 0.05=
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3) PUNTO CRTICO:
1 2 1 1gl = =
2 18 3 15gl = =
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 6.48 1 4.43 1 3.76 4.77L = + + =
( ) ( )2 22 23
1
1 1
1 12
16 6 6
i
i i
c
n=
= + + =
( ) ( )
2
1
4.7722.75
1SC L = =
( )122.75
22.751
CM L = =
1
22.759.86
2.308cF = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 6.48 1 4.43 1 3.76 0.67L = + + =
( ) ( )2 22 23
2
1 2
1 100.33
6 6 6
i
i i
c
n=
= + + =
1;15;0.05 4.54F =
0.950.95
0.05
Se
acepta
Ha
Se
aceptaH0
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( ) ( )
2
2
0.671.35
0.33SC L = =
( )21.35
1.351
CM L = =
2
1.350.59
2.308c
F = =
( )1
1
22.75 1.35 24.10C
j
j
SCC SC L
=
= = + =
5) CONCLUSIONES:
Como 1 1;15;0.05cF F> ( )9.86 4.54> , entonces se acepta Ha, es decir,
( )1 2 3Promedio , , a un nivel de significancia del 5% .
Como 2 1;15;0.05cF F< ( )0.59 4.54< , entonces se acepta Ho, es decir,
2 3= , a un nivel de significancia del 5% .
PRUEBA t-Student PLANEADAS O A PRIORI PARA COMPARACIONES MULTIPLES:
Se aplican cuando desean realizarse dos o ms comparaciones ortogonales: 1L , 2L , ...,
1CL .
Para una comparacin jL , con tres medias:
1) Ho: 1 1 2 2 3 3 0
j j j j
L c c c = + =
Ha: 1 1 2 2 3 3 0j j j jL c c c = +
2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=
3) PUNTO CRTICO:
gl n K =
Donde:
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K= Nmero de medias a analizar.
n= Tamao total de la muestra.
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
j
j
cj
L
Lt
=
Donde:
1 1 2 2
j j j jk kL c X c X c X= + + +
( )2 2
2
1 1
j
K Kij ij
L
i iij ij
c cCME
n n
= =
= =
, Cuando las varianzas son igua-
les.
( ) 22 1
1
1
K
j j
i
K
j
i
n S
n K
=
=
=
2
2
1 1 1
n K Kk
ik
i k k k
TCME X
n= = == (Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro
ANVA)
1
Regin de Aceptacin de 0HRegin de Aceptacin de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
2
; 2glt
; 2glt
2
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2
2
1
j
Kij
L j
i ij
cS
n
=
=
, Cuando las varianzas no son iguales.
5) CONCLUSIONES:
Si ; 2 ; 2gl cj glt t t , entonces se acepta Ho, a un nivel de signifi-
cancia del % .
Si ; 2 ; 2cj gl cj glt t t t < > , entonces se acepta Ha, a un nivel de
significancia del % .
EJEMPLO:Un investigador desea contrastar si el mtodo presencial difiere de la enseanza auto-didacta y por internet. Tambin si el mtodo por internet difiere del autodidacta. Utili-ce un nivel de significancia del 5% para ambas pruebas de hiptesis. (suposicin: las va-rianzas son iguales)
1 2 36.48, 4.43, 3.76X X X= = =
2.308, 18CME n= =
SOLUCIN:
2 31
2
+=
2 3=
1 1 2 32 0L = =
2 2 3 0L = =
Son ortogonales:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 0 1 1 1 1 0+ + =
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1) Ho1: 1 1 2 32 0L = =
Ha1: 1 1 2 32 0L =
Ho2: 2 2 3 0L = =
Ha2: 2 2 3 0L =
2) 0.05=
3) PUNTO CRTICO:
18 3 15gl= =
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 6.48 1 4.43 1 3.76 4.77L = + + =
( ) ( )
2 22 23
1
1 1
1 12 16 6 6
i
i i
cn=
= + + =
( ) ( )1
1 2.308 1.519L
= =
1
4.773.14
1.519ct = =
0.95
Regin de Aceptacin de 0HRegin de Aceptacin de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
0.025
2.13
0.025
2.13
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 6.48 1 4.43 1 3.76 0.67L = + + =
( ) ( )2 22 23
2
1 2
1 100.33
6 6 6
i
i i
c
n=
= + + =
( ) ( )2
0.33 2.308 0.873L
= =
2
0.670.77
0.873ct = =
5) CONCLUSIONES:
Como 1 15;0.025ct t> ( )3.14 2.13> , entonces se acepta Ha, es decir,
( )1 2 3Promedio , , a un nivel de significancia del 5% .
Como 2 15;0.025ct t< ( )0.77 2.13< , entonces se acepta Ho, es decir,
2 3= , a un nivel de significancia del 5% .
PRUEBA F PLANEADAS O A PRIORI PARA COMPARACIONES DE TENDENCIA:
Las variable independiente (VI) debe ser cuantitativa para poder aplicar este contras-te. Con Kmedias pueden contrastarse 1K tipos de tendencia. Las tendenciasms sencillas son:
RELACIN LINEAL RELACIN CUADRTICA RELACIN CBICA
RELACIN DE 5 GRADORELACIN DE 4 GRADO RELACIN DE 6 GRADO
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Se realizan igual que las F planeadas, tomando los coeficientes de la tabla G para el tipode tendencia a analizar.
EJEMPLO:
Se est estudiando el efecto de la dosis de un medicamento sobre el rendimiento de lossujetos en una prueba de atencin. Se han formado cuatro grupos de sujetos a los que sesuministra diferente dosis, y se ha medido su rendimiento. Estudiar el tipo de relacincon 0.01= , sabiendo que la SCE es 32.26.
DOSISRENDIMIENTO
PROMEDION
5 mg 3.58 5
10 mg 6.74 5
15 mg 6.90 5
20 mg 2.90 5
SOLUCIN:
Cmo4
K=
se estudiar la tendencia lineal, cuadrtica y cbica.PRUEBA F:
1) Ho1: Lineal 1 2 3 33 3 0L = + + =
Ha1: Lineal 1 2 3 33 3 0L = + +
Ho2: Cuadrtico 2 2 3 4 0L = + =
Ha2: Cuadrtico 2 2 3 4 0L = +
Ho2: Cbico 2 2 3 43 3 0L = + + =
Ha2: Cbico 2 2 3 43 3 0L = + +
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2) 0.01=
3) PUNTO CRTICO:
1 1gl =
2 20 4 16gl = =
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Lineal 3 3.58 1 6.74 1 6.90 3 2.90 1.88L = + + + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2241
1 1
3 1 1 34.0
5 5 5 5
i
i i
c
n=
= + + + =
( ) ( )
2
1
1.880.88
4.0SC L
= =
( )10.88
0.881CM L = =
( )Lineal
0.880.44
2.02c
F = =
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Cuadrtica 1 3.58 1 6.74 1 6.90 1 2.90 7.16L = + + + =
1;16;0.01 8.53F =
0.950.95
0.05
Se
acepta
Ha
Seacepta
H0
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( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 224
2
1 2
1 1 1 10.8
5 5 5 5
i
i i
c
n=
= + + + =
( ) ( )2
27.16 64.080.8
SC L = =
( )264.08
64.081
CM L = =
( )Cuadrtica
64.0831.78
2.02c
F = =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )Cbica 1 3.58 3 6.74 3 6.90 1 2.90 1.16L = + + + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 224
3
1 3
1 3 3 14.0
5 5 5 5
i
i i
c
n=
= + + + =
( ) ( )
2
3
1.160.34
4.0
SC L
= =
( )30.34
0.341
CM L = =
( )Cbica
0.340.17
2.02c
F = =
5) CONCLUSIONES:
Como ( ) 1;16;0.01LinealcF F< ( )0.44 8.53< , entonces se acepta Ho, esdecir, la relacin no es lineal, a un nivel de significancia del 1% .
Como ( ) 1;16;0.01CuadrticocF F> ( )31.78 8.53> , entonces se acepta Ha,es decir, la relacin es Cuadrtica, a un nivel de significancia del 1% .
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COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
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Como ( ) 1;16;0.01CbicocF F< ( )0.17 8.53< , entonces se acepta Ho, esdecir, la relacin no es Cbica, a un nivel de significancia del 1% .
PRUEBA t - Student:
1) Ho1: Lineal 1 2 3 33 3 0L = + + =
Ha1: Lineal 1 2 3 33 3 0L = + +
Ho2: Cuadrtico 2 2 3 4 0L = + =
Ha2: Cuadrtico 2 2 3 4 0L = +
Ho2: Cbico 2 2 3 43 3 0L = + + =
Ha2: Cbico 2 2 3 43 3 0L = + +
2) 0.01=
3) PUNTO CRTICO:
20 4 16gl= =
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Lineal 3 3.58 1 6.74 1 6.90 3 2.90 1.88L = + + + =
0.99
Regin de Aceptacin de 0HRegin de Aceptacin de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
0.005
2.92 2.92
0.005
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COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas17
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 224
1
1 1
3 1 1 34.0
5 5 5 5
i
i i
c
n=
= + + + =
( ) ( )1 4.0 2.308 2.84L = =
( )Lineal
1.880.66
2.84c
t
= =
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Cuadrtica 1 3.58 1 6.74 1 6.90 1 2.90 7.16L = + + + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
242
1 2
1 1 1 10.8
5 5 5 5
i
i i
c
n=
= + + + =
( ) ( )1
0.8 2.308 1.27L
= =
( )Cuadrtica
7.165.64
1.27c
t
= =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )Cbica 1 3.58 3 6.74 3 6.90 1 2.90 1.16L = + + + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 224
1
1 1
1 3 3 14.0
5 5 5 5
i
i i
c
n=
= + + + =
( ) ( )1
4.0 2.308 2.84L
= =
( )Cbica
1.160.41
2.84c
t = =
5) CONCLUSIONES:
Como ( )16;0.005 16;0.005Linealct t t < < ( )2.92 0.66 2.92 < < , enton-ces se acepta Ho, es decir, la relacin no es lineal, a un nivel de signifi-cancia del 1% .
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COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas18
Como ( ) 16;0.005Cuadrticoct t< ( )5.64 2.92 < , entonces se aceptaHa, es decir, la relacin es Cuadrtica, a un nivel de significancia del1% .
Como ( )16;0.005 16;0.005Cbicoct t t < < ( )2.92 0.41 2.92 < < , en-tonces se acepta Ho, es decir, la relacin no es Cbica, a un nivel de signi-ficancia del 1% .
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COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas19
PRUEBA DE LEVENE DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS
Uno de los pasos previos a la comprobacin de si existen diferencias entre las mediasde varias muestras es determinar si las varianzas en tales muestras son iguales (esdecir, si se cumple la condicin de homogeneidad de varianzas o homoscedasticidad),ya que de que se cumpla o no esta condicin depender la formulacin que empleemosen el contraste de medias.
Existen varias pruebas que permiten comprobar la igualdad de varianzas (F de Fisher,Fmax de Hartley, prueba de Bartlett, etc), pero aqu desarrollaremos la prueba de Le-vene que es la que emplea SPSS. Para su clculo se siguen los siguientes pasos:
1) Calcular la diferencia (en valor absoluto) entre cada valor y la media de su grupo:
ki ki k D X X=
donde:
kiX : es la puntuacin del sujeto i perteneciente al grupo k.
kX : es la media del grupo k.
2) Calcular la media de las diferencias de cada grupo:
1
kn
ki
ik
k
D
Dn
==
donde:
1
kn
ki
i
D=
: es la suma de las puntuacionesiD en el grupo k.
kn : es el tamao del grupo k.
3) Calcular la media total de las diferencias:
1 1
kn k
ki
i kT
D
Dn
= ==
donde...
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COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas20
kiD : es la suma de las puntuaciones
iD de todos los sujetos.
n : es la suma de todos los sujetos.
4) Calcular ANVA para la prueba de Homogeneidad de varianza:
ANVA
Fuente de VariacinGrados delibertad (gl)
Suma de cuadrados(SC)
Cuadrado medio(CM)
CocienteF
Intergrupo
Intragrupo
Total ( T )
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA HOMOGENEIDAD DE VARIANZA:
1) Ho: 1 2 K = = =
Ha: 1 2 K
2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=
3) PUNTO CRTICO:
1 1gl K=
2gl n K =
1K
n K
1n
( )2
inter
1
K
k k T
k
SC n D D
=
=
inter intraSCT SC SC = +
inter
intra
c
CMF
CM=
( )2intra1 1
k
nK
ki k
k i
SC D D= =
=
inter
inter
1
SCCM
K=
intra
intraSCCMn K
=
1 2; ;gl glF
Se acepta Ha
Se acepta H0
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
21/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas21
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
inter
intra
c
CMF
CM=
5) CONCLUSIONES:
Si1 2; ;c gl gl
F F
, entonces se acepta Ho, es decir,
1 2 K = = = , a un nivel de significancia del % .
Si1 2; ;c gl gl
F F
> , entonces se acepta Ha, es decir,
1 2 K , a un nivel de significancia del % .
EJEMPLO:
X1 X2 X3 X42.6 4 9.4 3.8
2.9 4.5 7.2 4.2
2.3 5.9 5.9 2.2
2.7 6.8 7.5
7.2 4.5
9.3 1.9
2.4
ANVA
Fuente de VariacinGrados delibertad (gl)
Suma de cuadrados(SC)
Cuadrado medio(CM)
CocienteF
Interg rupo 3 12.02 4.01 3.83
Intragrupo 16 16.73 1.05
Total ( T ) 19 28.75
1) Ho: 1 2 3 4 = = =
Ha: 1 2 3 4
2) 0.05=
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
22/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas22
3) PUNTO CRTICO:
1 1 4 1 3gl K= = =
2 20 4 16
gl = =
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
3.83cF =
5) CONCLUSIONES:
Como 3;16;0.05cF F> ( )3.83 3.24> , entonces se acepta Ha, es decir,
1 2 3 4 , a un nivel de significancia del 5% .
3;16;0.05 3.24F =
0.950.95
0.05
Se
acepta
Ha
Se
acepta
H0
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
23/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas23
COMPARACIONES MLTIPLES NO PLANEADAS O A POSTERIORI
Se realizan despus del ANVA, para descubrir donde estn las diferencias entre medias,
si la F ha resultado significativa ( )1 2 0k .
COMPARACIONES PAREADAS CUANDO LAS VARIANZAS SON HOMOGENEAS
Para el caso de Kmedias, habr ( )1 2C K K= contrastes posibles.
PRUEBA DMS DE FISHER:
Diferencia mnima significativa basada en la tde Student. Este mtodo, inicialmentepropuesto por Fisher (1935) no ejerce ningn control sobre la tasa d error. Es decir, ca-da comparacin se lleva a cabo utilizando el nivel de significacin establecido (general-
mente 0.05= ), por lo que la tasa de error ( )e para el conjunto de comparaciones
puede llegar a ( )1 1 C , siendo el nivel de significacin y Jel nmero de com-
paraciones llevadas a cabo. (suele encontrarse en la literatura estadstica con su acrni-mo ingls: LSD= Least Significant Differrence). Es el menos conservador de los proce-dimientos.
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA ( )i j :
1) Ho: 0i j =
Ha: 0i j
2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=
3) PUNTO CRTICO:
e
gl n K =
Donde:
K= Nmero de medias a analizar.
n= Tamao total de la muestra.
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
24/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas24
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
i j
i jc
X X
X Xt
=
Donde:
( )1 1 1 1
i j
eX X
i j i j
CMEn n n n
= + = +
22
1 1 1
n K Kk
ik
i k k k
TCME X
n= = == (Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro
ANVA)
( ) 21
1
1
K
i i
ie K
i
i
n S
n K
=
=
=
5) CONCLUSIONES:
Si ; 2 ; 2e egl c glt t t , entonces se acepta Ho, es decir,
0i j
= , a un nivel de confianza del ( )1 % .
1
Regin de Aceptacin de 0HRegin de Aceptacin de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
2
; 2glt
; 2glt
2
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
25/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas25
Si ; 2 ; 2e ec gl c glt t t t < > , entonces se acepta Ha, es decir,
0i j
, a un nivel de confianza del ( )1 % (es significativa al% ).
PROBABILIDAD DE ct (Significancia):
Si 2 c eP t t gl n K = , entonces se acepta Ho, es decir,
0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .
Si 2 c eP t t gl n K = > , entonces se acepta Ha, es decir,
0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es significativa al% ).
INTERVALO DE CONFIANZA PARA ( )i j :
( )( )
( )1 ; 2%
ei j
i j i j glX XIC X X t
=
( ) ( )( ) ( )%; 2 ; 21 e ei j i ji j gl i j i j glX X X XX X t X X t +
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
26/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas26
EJEMPLO:
X1 X2 X3 X4
4.2 4 8.3 3.8
2.9 4.5 7.2 4.2
4.1 5.9 5.9 2.2
2.7 6.8 7.5
7.2 4.5
8.1 4
3.8
kn 4 6 7 3
kS 0.78 1.59 1.83 1.06
kX 3.48 6.08 5.89 3.40
20n= 4K=
( )4 4 1 2 6C= =
0.05=
20 4 16egl = =
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2
4 1 0.78 6 1 1.59 7 1 1.83 3 1 1.06 1.5163
4 6 7 3 4e
+ = =
+ + +
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
27/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas27
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS:
i j iX jX i jX X in jn i jX X ct 16;0.05 2t .Sig
2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 0.23 2.12 0.8177
2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 2.66 2.12 0.0169*
2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 2.50 2.12 0.0235*
3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 2.54 2.12 0.0220*
3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 2.38 2.12 0.0304*
1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 0.06 2.12 0.9492
* Significante al 5%
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
95% . .Interv Conf
i j iX jX i jX X in jn i jX X 16;0.05 2t .Inf .Sup
2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 2.12 -1.5907 1.9859
2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 2.12 0.5335 4.6832
2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 2.12 0.4105 4.9562
3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 2.12 0.3960 4.4254
3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 2.12 0.2676 4.7038
1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 2.12 -2.3800 2.5300
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
28/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas28
PRUEBA DE BONFERRONI:
Mtodo basado en la distribucin t de Student y en la desigualdad Bonferroni (tam-bin conocido como mtodo de Dunn-su promotor en 1961- o de Dunn-Bonferroni).Controla la tasa de error dividiendo el nivel de significacin entre el nmero de com-paraciones llevadas a cabo. Cada comparacin se evala utilizando un nivel de significa-cin C = .
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA ( )i j :
1) Ho: 0i j =
Ha: 0i j
2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=
3) PUNTO CRTICO:
( )!
2! 2 !
KC
K=
egl n K =
Donde:
K= Nmero de medias a analizar.
C= Nmero de combinaciones ha analizar.
n= Tamao total de la muestra.
= Nivel de significancia para la prueba Bonferroni.
; 2eglt
1 22
Regin de aceptacin de Ho
Regin de
rechazo de Ho
Regin de
rechazo de Ho
; 2eglt
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
29/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas29
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
i j
i j
c
X X
X Xt
=
Donde:
( )1 1 1 1
i j
eX X
i j i j
CMEn n n n
= + = +
, Cuando las varianzas
son iguales.
( ) 21
1
1
K
i i
ie K
i
i
n S
n K
=
=
=
2
2
1 1 1
n K Kk
ik
i k k k
TCME X
n= = == (Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro
ANVA)5) CONCLUSIONES:
Si ; 2 ; 2e egl c glt t t , entonces se acepta Ho, es decir,
0i j
= , a un nivel de confianza del ( )1 % .
Si ; 2 ; 2e ec gl c glt t t t < > , entonces se acepta Ha, es decir,
0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es significativa al% ).
PROBABILIDAD DE ct (Significancia):
Si ( )2 c eCP t t gl n K = , entonces se acepta Ho, es de-cir, 0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
30/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas30
Si ( )2 c eCP t t gl n K = > , entonces se acepta Ha, es de-cir, 0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es significati-
va al % ).INTERVALO DE CONFIANZA PARA ( )i j :
( )( )
( )1 ; 2%
ei j
i j i j glX XIC X X t
=
( ) ( )( )
( )%; 2 ; 21
e ei j i j
i j gl i j i j glX X X XX X t X X t
+
EJEMPLO:X1 X2 X3 X4
4.2 4 8.3 3.8
2.9 4.5 7.2 4.2
4.1 5.9 5.9 2.2
2.7 6.8 7.5
7.2 4.5
8.1 4
3.8
kn 4 6 7 3
kS 0.78 1.59 1.83 1.06
kX 3.48 6.08 5.89 3.40
20n=
4K=
( )4!
62! 4 2 !
C= =
20 4 16egl = =
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
31/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas31
0.05=
0.0083=
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 24 1 0.78 6 1 1.59 7 1 1.83 3 1 1.06
1.51634 6 7 3 4
e +
= =+ + +
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS:
i j iX jX i jX X in jn i jX X ct 16;0.0083 2t .Sig
2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 0.23 3.01 1.0000
2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 2.66 3.01 0.1017
2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 2.50 3.01 0.1413
3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 2.54 3.01 0.1319
3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 2.38 3.01 0.1821
1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 0.06 3.01 1.0000
* Significante al 5%
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
95% . .Interv Conf
i j iX jX i jX X in jn i jX X 16;0.0083 2t .Inf .Sup
2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 3.01 -2.3401 2.7353
2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 3.01 -0.3360 5.5527
2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 3.01 -0.5421 5.9087
3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 3.01 -0.4483 5.2697
3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 3.01 -0.6619 5.6334
1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 3.01 -3.4088 3.5588
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
32/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas32
PRUEBA DE SIDAK
Al igual que el procedimiento de Bonferroni, se basa en la distribucin t de Student,pero controla la tasa de error evaluando cada comparacin con un nivel de significacin
( )1
1 1
C
= . Esta solucin es algo menos conservadora que Bonferroni (es de-cir rechaza la hiptesis de igualdad de medias en ms ocasiones que el mtodo de Bon-ferroni).
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA ( )i j :
1) Ho: 0i j =
Ha:0
i j
2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=
3) PUNTO CRTICO:
( )!
2! 2 !
KC
K=
egl n K = Donde:
K= Nmero de medias a analizar.
C= Nmero de combinaciones ha analizar.
n= Tamao total de la muestra.
= Nivel de significancia para la prueba Sidak.
; 2eglt
1 22
Regin de aceptacin de Ho
Regin de
rechazo de Ho
Regin de
rechazo de Ho
; 2eglt
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
33/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas33
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
i j
i j
c
X X
X Xt
=
Donde:
( )1 1 1 1
i j
eX X
i j i j
CMEn n n n
= + = +
, Cuando las varianzas
son iguales.
( ) 21
1
1
K
i i
ie K
i
i
n S
n K
=
=
=
2
2
1 1 1
n K Kk
ik
i k k k
TCME X
n= = == (Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro
ANVA)5) CONCLUSIONES:
Si ; 2 ; 2e egl c glt t t , entonces se acepta Ho, es decir,
0i j
= , a un nivel de confianza del ( )1 % .
Si ; 2 ; 2e ec gl c glt t t t < > , entonces se acepta Ha, es decir,
0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es significativa al% ).
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
34/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas34
PROBABILIDAD DE ct (Significancia):
Si [ ]( )( )1 1 2 C
c eP t t gl n K = , entonces se acepta Ho,
es decir, 0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .
Si [ ]( )( )1 1 2 C
c eP t t gl n K = > , entonces se acepta Ha,
es decir, 0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es signi-ficativa al % ).
INTERVALO DE CONFIANZA PARA ( )i j :
( )( )
( )1 ; 2%
ei j
i j i j glX XIC X X t
=
( ) ( )( )
( )%; 2 ; 21
e ei j i j
i j gl i j i j glX X X XX X t X X t
+
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
35/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas35
EJEMPLO:
X1 X2 X3 X4
4.2 4 8.3 3.8
2.9 4.5 7.2 4.2
4.1 5.9 5.9 2.2
2.7 6.8 7.5
7.2 4.5
8.1 4
3.8
kn 4 6 7 3
kS 0.78 1.59 1.83 1.06
kX 3.48 6.08 5.89 3.40
20n=
4K=
( )4!
62! 4 2 !
C= =
20 4 16egl = =
0.05=
0.0085=
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
4 1 0.78 6 1 1.59 7 1 1.83 3 1 1.06 1.5163
4 6 7 3 4e
+
= =+ + +
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
36/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas36
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS:
i j iX jX i jX X in jn i jX X ct 16;0.0085 2t .Sig
2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 0.23 3.00 1.0000
2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 2.66 3.00 0.0974
2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 2.50 3.00 0.1332
3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 2.54 3.00 0.1249
3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 2.38 3.00 0.1688
1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 0.06 3.00 1.0000
* Significante al 5%
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
95% . .Interv Conf
i j iX jX i jX X in jn i jX X 16;0.0085 2t
.Inf .Sup
2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 3.00 -2.3315 2.7267
2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 3.00 -0.3261 5.5427
2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 3.00 -0.5311 5.8978
3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 3.00 -0.4386 5.2600
3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 3.00 -0.6513 5.6227
1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 3.00 -3.3970 3.5470
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
37/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas37
PRUEBA DE SCHEFF:
Este mtodo basado en la distribucin F, permite controlar la tasa de error para elconjunto total de comparaciones que es posible disear con K medias (una con otra,una con todas las dems, dos con dos, etc). Utilizada slo para efectuar slo concomparaciones por pares, es un procedimiento muy conservador: tiende a considerarsignificativas menos diferencias de las que debiera.
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA ( )i j :
1) Ho: 0i j =
Ha: 0i j
2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=
3) PUNTO CRTICO:
1 1gl K=
2gl n K =
Donde:
K= Nmero de medias a analizar.
n= Tamao total de la muestra.
1
Regin de Aceptacin de 0HRegin de Aceptacin de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
2
( )1 2; ;
1gl gl
K F
( )1 2; ;
1 gl glK F
2
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
38/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas38
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
i j
i j
c
X X
X Xt
=
Donde:
( )1 1 1 1
i jX X
i j i j
CMEn n n n
= + = +
, Cuando las varianzas son
iguales.
( ) 21
1
1
K
i i
i
K
i
i
n S
n K
=
=
=
22
1 1 1
n K Kk
ik
i k k k
TCME X
n= = == (Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro
ANVA)5) CONCLUSIONES:
Si ( ) ( )1 2 1 2; ; ; ;
1 1gl gl c gl glK F t K F , entonces se acepta
Ho, es decir, 0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .
Si ( ) ( )1 2 1 2; ; ; ;
1 1c gl gl c gl glt K F t K F < > , entonces se
acepta Ha, es decir, 0i j , a un nivel de confianza del
( )1 % (es significativa al % ).
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
39/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas39
PROBABILIDAD DE ct (Significancia):
Si
2
1 21;
1
ctP F gl K gl n K
K
= =
, entonces se
acepta Ho, es decir, 0i j = , a un nivel de confianza del
( )1 % .
Si
2
1 21;
1
ctP F gl K gl n K K
= = > , entonces se
acepta Ha, es decir, 0i j , a un nivel de confianza del( )1 % (es significativa al % ).
INTERVALO DE CONFIANZA PARA ( )i j :
( )( )
( ) ( )1 2; ;1 %
1i j
i j i j gl glX XIC X X K F
=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 21 %; ; ; ;
1 1i j i ji j gl gl i j i j gl glX X X X
X X K F X X K F
+
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
40/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas40
EJEMPLO:
X1 X2 X3 X4
4.2 4 8.3 3.8
2.9 4.5 7.2 4.2
4.1 5.9 5.9 2.2
2.7 6.8 7.5
7.2 4.5
8.1 4
3.8
kn 4 6 7 3
kS 0.78 1.59 1.83 1.06
kX 3.48 6.08 5.89 3.40
20n=
4K= 0.05=
1 4 1 3gl = =
2 20 4 16gl = =
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2
4 1 0.78 6 1 1.59 7 1 1.83 3 1 1.06
1.51634 6 7 3 4 +
= =+ + +
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
41/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas41
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS:
i j iX jX i jX X in jn i jX X ct 3;16;0.05F .Sig
2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 0.23 3.12 0.9965
2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 2.66 3.12 0.1092
2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 2.50 3.12 0.1421
3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 2.54 3.12 0.1346
3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 2.38 3.12 0.1734
1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 0.06 3.12 0.9999
* Significante al 5%
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
95% . .Interv Conf
i j iX jX i jX X in jn i jX X 3;16;0.05F
.Inf .Sup
2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 3.12 -2.4319 2.8271
2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 3.12 -0.4425 5.6592
2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 3.12 -0.6587 6.0254
3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 3.12 -0.5517 5.3731
3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 3.12 -0.7758 5.7472
1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 3.12 -3.5348 3.6848
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
42/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas42
PRUEBA DE DUNCAN:
Prueba del rango mltiple de Duncan. Mtodo de comparacin por pasos basado en ladistribucin del rango estudentizado. Controla la tasa de error utilizando, para el con-
junto de medias separadas r pasos, un nivel de significacin ( ) 1
1 1
r
= .Cuando ms pasos existen entre dos medias, mayor es la diferencia mnima con la quevamos a considerar que esas medias difieren significativamente.
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA ( )i j :
1) Ho: 0i j =
Ha:0
i j
2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=
3) PUNTO CRTICO:
K
r
egl n K =
Donde:
r= Nmero de pasos entre medias a analizar.
K= Nmero de medias a analizar.
n= Tamao total de la muestra.
; ;er glD
1 22
Regin de aceptacin de Ho
Regin de
rechazo de Ho
Regin derechazo de Ho
; ;er glD
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
43/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas43
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
i j
i j
c
X X
X XD
=
Donde:
( )1 1 1 1
i jX X
i j i j
CMEn n n n
= + = +
, Cuando las varianzas son
iguales.
( ) 21
1
1
K
i i
i
K
i
i
n S
n K
=
=
=
22
1 1 1
n K Kk
ik
i k k k
TCME X
n= = == (Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro
ANVA)5) CONCLUSIONES:
Si ; ; ; ;e er gl c r glD D D , entonces se acepta Ho, es decir,
0i j
= , a un nivel de confianza del ( )1 % .
Si ; ; ; ;e ec r gl c r glD D D D < > , entonces se acepta Ha, es decir,
0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es significativa al% ).
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
44/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas44
PROBABILIDAD DE cD (Significancia):
Si [ ]( )1
11 ; rc eP D D r gl n K
=
, entonces se acepta
Ho, es decir, 0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .
Si [ ]( )1
11 ; rc eP D D r gl n K
= >
, entonces se acepta
Ha, es decir, 0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (essignificativa al % ).
INTERVALO DE CONFIANZA PARA ( )i j :
( )( )
( )1 ; ;%
ei j
i j i j r glX XIC X X D
=
( ) ( )( )
( )%; ; ;1 ;
e ei j i j
i j r gl i j i j r glX X X XX X D X X D
+
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
45/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas45
EJEMPLO:
X1 X2 X3 X4
4.2 4 8.3 3.8
2.9 4.5 7.2 4.2
4.1 5.9 5.9 2.2
2.7 6.8 7.5
7.2 4.5
8.1 4
3.8
kn 4 6 7 3
kS 0.78 1.59 1.83 1.06
kX 3.48 6.08 5.89 3.40
20n=
4K= 0.05=
20 4 16egl = =
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2
4 1 0.78 6 1 1.59 7 1 1.83 3 1 1.06 1.5163
4 6 7 3 4e
+ = =
+ + +
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
46/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas46
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS:
i j iX jX i jX X in jn r i jX X cD 4;16;0.05q .Sig
2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 2 0.8436 0.23 3.00 1.0000
2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 3 0.9787 2.66 3.14 0.0924
2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 4 1.0722 2.50 3.23 0.1222
3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 2 0.9504 2.54 3.00 0.0914
3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 3 1.0463 2.38 3.14 0.1293
1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 2 1.1581 0.06 3.00 1.0000
* Significante al 5%
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
95% . .Interv Conf
i j iX jX i jX X in jn r i jX X cD .Inf .Sup
2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 2 0.8436 3.00 -2.3314 2.7266
2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 3 0.9787 3.14 -0.4686 5.6853
2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 4 1.0722 3.23 -0.7850 6.1517
3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 2 0.9504 3.00 -0.4385 5.2599
3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 3 1.0463 3.14 -0.8037 5.7751
1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 2 1.1581 3.00 -3.3969 3.5469
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
47/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas47
PRUEBA DE TUKEY:
Diferencia honestamente significativa de Tukey. Equivale a utilizar el mtodo de Stu-dent-Newman-Keuls con K= Nmero de medias. Por tanto, todas las comparacionesson referidas a una misma diferencia mnima. Es uno de los mtodos de mayor acepta-cin.
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA ( )i j :
1) Ho: 0i j =
Ha: 0i j
2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc= 3) PUNTO CRTICO:
K
egl n K =
Donde:
K= Nmero de medias a analizar.n= Tamao total de la muestra.
1
Regin de Aceptacin de 0HRegin de Aceptacin de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
Regin de
Rechazo de 0H
2
; ;eK glq
; ;eK glq
2
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
48/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas48
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
i j
i j
c
X X
X Xq
=
Donde:
( )1 1 1 1 1 1
2 2i j
X X
i j i j
CMEn n n n
= + = +
, Cuando las va-
rianzas son iguales.
( ) 21
1
1
K
i i
i
K
i
i
n S
n K
=
=
=
22
1 1 1
n K Kk
ik
i k k k
TCME X
n= = == (Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro
ANVA)5) CONCLUSIONES:
Si ; ; ; ;e eK gl c K glq q q , entonces se acepta Ho, es decir,
0i j
= , a un nivel de confianza del ( )1 % .
Si ; ; ; ;e ec K gl c K glq q q q < > , entonces se acepta Ha, es decir,
0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es significativa al% ).
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
49/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas49
PROBABILIDAD DE cq (Significancia):
Si [ ];c eP q q K gl n K = , entonces se acepta Ho, es decir,
0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .
Si [ ];c eP q q K gl n K = > , entonces se acepta Ha, es decir,0
i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es significativa al
% ).
INTERVALO DE CONFIANZA PARA ( )i j :
( )( )
( )1 ; ;%
ei j
i j i j K glX XIC X X q
=
( ) ( )( )
( )%; ; ;1 ;
e ei j i j
i j K gl i j i j K glX X X XX X q X X q
+
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
50/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas50
EJEMPLO:
X1 X2 X3 X4
4.2 4 8.3 3.8
2.9 4.5 7.2 4.2
4.1 5.9 5.9 2.2
2.7 6.8 7.5
7.2 4.5
8.1 4
3.8
kn 4 6 7 3
kS 0.78 1.59 1.83 1.06
kX 3.48 6.08 5.89 3.40
20n=
4K= 0.05=
20 4 16egl = =
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2
4 1 0.78 6 1 1.59 7 1 1.83 3 1 1.06 1.5163
4 6 7 3 4e
+
= =+ + +
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
51/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas51
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS:
i j iX jX i jX X in jn i jX X cq 4;16;0.05q .Sig
2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.5965 0.33 4.05 1.0000
2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.6921 3.77 4.05 0.0728
2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 0.7581 3.54 4.05 0.0978
3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.6720 3.59 4.05 0.0924
3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 0.7399 3.36 4.05 0.1226
1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 0.8189 0.09 4.05 1.0000
* Significante al 5%
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
95% . .Interv Conf
i j iX jX i jX X in jn i jX X 4;16;0.05q
.Inf .Sup
2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.5965 4.05 -2.2158 2.6111
2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.6921 4.05 -0.1919 5.4085
2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 0.7581 4.05 -0.3841 5.7508
3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.6720 4.05 -0.3083 5.1297
3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 0.7399 4.05 -0.5078 5.4792
1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 0.8189 4.05 -3.2382 3.3882
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
52/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas52
GAMES-HOWELL:
Mtodo similar al de Tukey. Se basa en la distribucin del rango estudentizado y en unestadstico T en el que, tras estimar las varianzas poblacionales suponiendo que sondistintas, se corrigen los grados de libertad mediante la ecuacin de Welch. En trmi-nos generales de los tres mtodos para varianzas heterogneas, este es el que mejorcontrola la tasa de error en diferentes situaciones.
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA ( )i j :
1) Ho: 0i j =
Ha: 0i j
2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=
3) PUNTO CRTICO:
K2
22
22 22
1 1
ji
i j
ji
ji
i j
SS
n ngl
SSnn
n n
+
=
+
Donde:
K= Nmero de medias a analizar.
n= Tamao total de la muestra.
; ;
2
k glq
1 22
Regin de aceptacin de HoRegin de
rechazo de Ho
Regin de
rechazo de Ho
; ;
2
k glq
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
53/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas53
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
i j
i j
c
X X
X Xq
=
Donde:
22
i j
ji
X X
i j
SS
n n
= +
, Cuando las varianzas no son iguales.
5) CONCLUSIONES:
Si; ; ; ;
2 2
K gl K gl
c
q qq , entonces se acepta Ho, es decir,
0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .
Si; ; ; ;
2 2
K gl K gl
c c
q qq q
< > , entonces se acepta Ha, es decir,
0i j
, a un nivel de confianza del ( )
1 %
(es significativa al
% ).
PROBABILIDAD DE cq (Significancia):
Si 2 ;cP q q K gl n K = , entonces se acepta Ho, es
decir, 0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .
Si 2 ;cP q q K gl n K = > , entonces se acepta Ha, es
decir, 0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es signifi-cativa al % ).
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
54/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas54
INTERVALO DE CONFIANZA PARA ( )i j :
( )( )
( )1
; ;
%
2i j
K gl
i j i j X X
qIC X X
=
( ) ( )( )
( ) ;1
; ;
%
;
2 2i j i jK gl K gl
i j i j i jX X X X
q qX X X X
+
EJEMPLO:
Facultad deCienciasAgrcolas
Facultad deIngeniera en
Informtica y Sis-temas
Facultad deIndustrias
Alimentaras
Facultad deCiencias
Econmicas
52 37 24 18 37 43 19 13
31 22 16 19 40 40 26 21
72 24 22 24 51 35 31 26
36 17 20 30 49 33 13 24
39 88 23 24 36 69 12 12
15 18 24 55 16 32
35 40 30
26
kn 10 12 15 13
kS 41.80 21.08 40.87 21.15
kX 22.74 4.23 11.47 7.53
20n=
4K=
0.05=
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
55/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas55
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS:
i j iX jX i jX X in jn iS jS i jX X cq gl 4; ;0.05
2
glq.Sig
1 3 41.80 40.87 0.93 10 15 22.74 11.47 7.7781 0.12 12.09 2.97 0.9993
1 4 41.80 21.15 20.65 10 13 22.74 7.53 7.4891 2.76 10.52 3.03 0.0780
1 2 41.80 21.08 20.72 10 12 22.74 4.23 7.2953 2.84 9.52 3.09 0.0733
3 4 40.87 21.15 19.71 15 13 11.47 7.53 3.6231 5.44 24.35 2.76 0.0001*
3 2 40.87 21.08 19.78 15 12 11.47 4.23 3.2034 6.18 18.49 2.82 0.0000*
4 2 21.15 21.08 0.07 13 12 7.53 4.23 2.4184 0.03 19.17 2.81 1.0000
* Significante al 5%
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
95% . .Interv Conf
i j iX jX i jX X in jn iS jS i jX X gl 4; ;0.05
2
glq
.Inf .Sup
1 3 41.80 40.87 0.93 10 15 22.74 11.47 7.7781 12.09 2.97 -22.1343 24.0010
1 4 41.80 21.15 20.65 10 13 22.74 7.53 7.4891 10.52 3.03 -2.0602 43.3525
1 2 41.80 21.08 20.72 10 12 22.74 4.23 7.2953 9.52 3.09 -1.8072 43.2405
3 4 40.87 21.15 19.71 15 13 11.47 7.53 3.6231 24.35 2.76 9.7285 29.6972
3 2 40.87 21.08 19.78 15 12 11.47 4.23 3.2034 18.49 2.82 10.7527 28.8139
4 2 21.15 21.08 0.07 13 12 7.53 4.23 2.4184 19.17 2.81 -6.7241 6.8651
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
56/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas56
PRUEBA T2 DE TAMHANE:
Mtodo basado en la distribucin de t de Student. Controla la tasa de error evaluando
cada comparacin con un nivel de significacin ( )1
1 1 C
= .
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA ( )i j :
1) Ho: 0i j =
Ha: 0i j
2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=
3) PUNTO CRTICO:
K
( )12
K KC
=
Donde:
K= Nmero de medias a analizar.C= Nmero de combinaciones ha analizar.
n= Tamao total de la muestra.
= Nivel de significancia para la prueba de Tamhane.
; 2glt
1 22
Regin de aceptacin de Ho
Regin de
rechazo de Ho
Regin de
rechazo de Ho
; 2glt
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
57/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas57
222
22 22
1 1
ji
i j
ji
ji
i j
SS
n ngl
SS
nn
n n
+
=
+
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
i j
i j
c
X X
X Xt
=
Donde:22
i j
ji
X X
i j
SS
n n
= + =
, Cuando las varianzas no son iguales.
5) CONCLUSIONES:
Si ; 2 ; 2egl c glt t t , entonces se acepta Ho, es decir,
0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .
Si ; 2 ; 2c gl c glt t t t < > , entonces se acepta Ha, es decir,
0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es significativa al% ).
PROBABILIDAD DE ct (Significancia):
Si [ ]( )( )1 1 2 CcP t t gl , entonces se acepta Ho, es decir,0
i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
58/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas58
Si [ ]( )( )1 1 2 C
cP t t gl > , entonces se acepta Ha, es decir,
0i j
, a un nivel de confianza del ( )1 % (es significativa al
% ).
INTERVALO DE CONFIANZA PARA ( )i j :
( )( )
( )1 2% ;
i j
i j i j glX XIC X X t
=
( ) ( )( )
( ); 2 ; 21 % i j i ji j gl i j i j glX X X XX X t X X t +
EJEMPLO:Facultad de
CienciasAgrcolas
Facultad deIngeniera en
Informtica y Sis-temas
Facultad deIndustrias
Alimentaras
Facultad deCiencias
Econmicas
52 37 24 18 37 43 19 13
31 22 16 19 40 40 26 21
72 24 22 24 51 35 31 26
36 17 20 30 49 33 13 24
39 88 23 24 36 69 12 12
15 18 24 55 16 32
35 40 30
26
kn 10 12 15 13
kS 41.80 21.08 40.87 21.15
kX 22.74 4.23 11.47 7.53
20n=
4K=
0.05=
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
59/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas59
( ) ( )4 4 16
2C
= =
( )
1
6 1 1 0.0085
= =
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS:
i j iX jX i jX X in jn iS jS i jX X ct gl ; 2glt .Sig
1 3 41.80 40.87 0.93 10 15 22.74 11.47 7.7781 0.12 12.09 3.14 1.0000
1 4 41.80 21.15 20.65 10 13 22.74 7.53 7.4891 2.76 10.52 3.23 0.1107
1 2 41.80 21.08 20.72 10 12 22.74 4.23 7.2953 2.84 9.52 3.30 0.1054
3 4 40.87 21.15 19.71 15 13 11.47 7.53 3.6231 5.44 24.35 2.86 0.0001*
3 2 40.87 21.08 19.78 15 12 11.47 4.23 3.2034 6.18 18.49 2.94 0.0000*
4 2 21.15 21.08 0.07 13 12 7.53 4.23 2.4184 0.03 19.17 2.93 1.0000
* Significante al 5%
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
95% . .Interv Conf
i j iX jX i jX X in jn iS jS i jX X gl ; 2glt .Inf .Sup
1 3 41.80 40.87 0.93 10 15 22.74 11.47 7.7781 12.09 3.14 -23.4662 25.3328
1 4 41.80 21.15 20.65 10 13 22.74 7.53 7.4891 10.52 3.23 -3.5186 44.8109
1 2 41.80 21.08 20.72 10 12 22.74 4.23 7.2953 9.52 3.30 -3.3801 44.8134
3 4 40.87 21.15 19.71 15 13 11.47 7.53 3.6231 24.35 2.86 9.3422 30.0835
3 2 40.87 21.08 19.78 15 12 11.47 4.23 3.2034 18.49 2.94 10.3539 29.2128
4 2 21.15 21.08 0.07 13 12 7.53 4.23 2.4184 19.17 2.93 -7.0185 7.1595
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
60/63
COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas60
PRUEBA T3 DE DUNNETT:
Modificacin propuesta por Dunnett al estadstico T2 de Tamhane. Se basa en la dis-tribucin del Mdulo mximo estudentizado.
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA ( )i j :
1) Ho: 0i j =
Ha: 0i j
2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=
3)
PUNTO CRTICO:K
( )12
K KC
=
Donde:
K= Nmero de medias a analizar.
C= Nmero de combinaciones ha analizar.
n= Tamao total de la muestra.
; ;C glM
1 22
Regin de aceptacin de Ho
Regin de
rechazo de Ho
Regin de
rechazo de Ho
; ;C glM
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COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas61
222
22 22
1 1
ji
i j
ji
ji
i j
SS
n ngl
SS
nn
n n
+
=
+
4) ESTADSTICO ESTIMADO:
i j
i j
c
X X
X XM
=
Donde:22
i j
ji
X X
i j
SS
n n
= + =
, Cuando las varianzas no son iguales.
5) CONCLUSIONES:
Si ; ; ; ;C gl c C glM M M , entonces se acepta Ho, es decir,
0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .
Si ; ; ; ;c C gl c C glM M M M < > , entonces se acepta Ha, es de-
cir, 0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es significati-va al % ).
PROBABILIDAD DE cM (Significancia):
Si [ ];cP M M C gl , entonces se acepta Ho, es decir,0
i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .
Si [ ];cP M M gl C > , entonces se acepta Ha, es decir,0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es significativa al
% ).
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
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COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
Daniel Guzmn Rojas62
INTERVALO DE CONFIANZA PARA ( )i j :
( )( )
( )% ; ;1
i j
i j i j C glX XIC X X M
=
( ) ( )( )
( ); ; ; ;1 % i j i ji j C gl i j i j C glX X X XX X M X X M +
EJEMPLO:
Facultad deCienciasAgrcolas
Facultad deIngeniera en
Informtica y Sis-temas
Facultad deIndustrias
Alimentaras
Facultad deCiencias
Econmicas
52 37 24 18 37 43 19 13
31 22 16 19 40 40 26 21
72 24 22 24 51 35 31 26
36 17 20 30 49 33 13 24
39 88 23 24 36 69 12 12
15 18 24 55 16 32
35 40 30
26
k
n
10 12 15 13
kS 41.80 21.08 40.87 21.15
kX 22.74 4.23 11.47 7.53
20n=
4K=
0.05=
( ) ( )4 4 16
2C
= =
7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias
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COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS:
i j iX jX i jX X in jn iS jS i jX X cM gl ; ;gl CM .Sig
1 3 41.80 40.87 0.93 10 15 22.74 11.47 7.7781 0.12 12.09 3.09 1.0000
1 4 41.80 21.15 20.65 10 13 22.74 7.53 7.4891 2.76 10.52 3.17 0.0989
1 2 41.80 21.08 20.72 10 12 22.74 4.23 7.2953 2.84 9.52 3.23 0.0929
3 4 40.87 21.15 19.71 15 13 11.47 7.53 3.6231 5.44 24.35 2.85 0.0001*
3 2 40.87 21.08 19.78 15 12 11.47 4.23 3.2034 6.18 18.49 2.92 0.0000*
4 2 21.15 21.08 0.07 13 12 7.53 4.23 2.4184 0.03 19.17 2.91 1.0000
* Significante al 5%
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
95% . .Interv Conf
i j iX jX i jX X in jn iS jS i jX X gl ; ;gl CM
.Inf .Sup
1 3 41.80 40.87 0.93 10 15 22.74 11.47 7.7781 12.09 3.09 -23.1073 24.9740
1 4 41.80 21.15 20.65 10 13 22.74 7.53 7.4891 10.52 3.17 -3.0756 44.3679
1 2 41.80 21.08 20.72 10 12 22.74 4.23 7.2953 9.52 3.23 -2.8603 44.2937
3 4 40.87 21.15 19.71 15 13 11.47 7.53 3.6231 24.35 2.85 9.3966 30.0290
3 2 40.87 21.08 19.78 15 12 11.47 4.23 3.2034 18.49 2.92 10.4269 29.1398
4 2 21.15 21.08 0.07 13 12 7.53 4.23 2.4184 19.17 2.91 -6.9664 7.1075