Computación gráfica, una visión matemática del arte

““El conocimiento te hace libre”El conocimiento te hace libre”

GRUPO LINUX UNIVERSIDAD DISTRITAL

COMPUTACIÓN GRÁFICA, UNA COMPUTACIÓN GRÁFICA, UNA VISIÓN MATEMÁTICA DEL ARTE VISIÓN MATEMÁTICA DEL ARTE

POR: POR: David Toro TrianaDavid Toro Triana

bochica@gmail.combochica@gmail.comOCGOCG

IntroducciónIntroducciónSería injusto y hasta limitante dar una visión matemática Sería injusto y hasta limitante dar una visión matemática del arte, o a la inversa, una visión artística de la del arte, o a la inversa, una visión artística de la matemática, tal es vez imposible. matemática, tal es vez imposible.

Buscaremos entonces un paso que nos lleve desde el arte Buscaremos entonces un paso que nos lleve desde el arte a la matemática y otro que nos lleve desde la matemática a la matemática y otro que nos lleve desde la matemática hacia el arte.hacia el arte.

Esto es un sano ejercicio intelectual o incluso espiritual. Esto es un sano ejercicio intelectual o incluso espiritual. Coloquemos entonces nuestra mente en un estado creativo.Coloquemos entonces nuestra mente en un estado creativo.

AgendaAgenda●UNA BREVE HISTORIA PARA COMENZAR : Un UNA BREVE HISTORIA PARA COMENZAR : Un universo que se piensa, es creativo y es lógicouniverso que se piensa, es creativo y es lógico

●DESDE EL ARTE HACIA LA MATEMÁTICA: La obra del DESDE EL ARTE HACIA LA MATEMÁTICA: La obra del el señor M.C. Escher.el señor M.C. Escher.

●DESDE LA MATEMATICA AL ARTE: Los fractales, el DESDE LA MATEMATICA AL ARTE: Los fractales, el viaje psicodélico sin drogasviaje psicodélico sin drogas

●SECCIÓN COMPUTACIONAL: El placer de jugar con los SECCIÓN COMPUTACIONAL: El placer de jugar con los bits. bits.

Una breve historiaUna breve historiaEn una galaxia como muchasEn una galaxia como muchas

Una breve historiaUna breve historiaEn una de tantas esquinas de esa galaxiaEn una de tantas esquinas de esa galaxia

Una breve historiaUna breve historiaNuestra estrella mas cercana comienza a brillarNuestra estrella mas cercana comienza a brillar

Una breve historiaUna breve historiaEn un proceso similar al que la creo, nacen mundos, que En un proceso similar al que la creo, nacen mundos, que giran alrededor de ella, así como ella gira alrededor de su giran alrededor de ella, así como ella gira alrededor de su galaxiagalaxia

Una breve historiaUna breve historiaEn uno de esos mundos la materia se organiza en En uno de esos mundos la materia se organiza en estructuras que son capaces de copiarse a si mismasestructuras que son capaces de copiarse a si mismas

Una breve historiaUna breve historiaEstas estructuras son el comienzo para la aparición de una Estas estructuras son el comienzo para la aparición de una cantidad enorme de organismoscantidad enorme de organismos

Una breve historiaUna breve historiaEn estos organismos aparecen muchos niveles de algo que En estos organismos aparecen muchos niveles de algo que hoy reconocemos como inteligenciahoy reconocemos como inteligencia

Una breve historiaUna breve historiaEn algunos de esos seres inteligentes reconocemos algo que En algunos de esos seres inteligentes reconocemos algo que llamamos creatividad llamamos creatividad

Una breve historiaUna breve historiaTambién reconocemos algo que llamamos lógica También reconocemos algo que llamamos lógica

Una breve historiaUna breve historiaSin animo de ser excluyentes, asociemos la lógica a la Sin animo de ser excluyentes, asociemos la lógica a la matemática y la creatividad al arte. matemática y la creatividad al arte.

Desde el arte hacia la matemáticaDesde el arte hacia la matemática¿QUIEN ES M.C. ESCHER?¿QUIEN ES M.C. ESCHER?

Maurits Cornelis Escher, Maurits Cornelis Escher, nacio en Leeuwarden, nacio en Leeuwarden, Holanda en 1898. Muere en Holanda en 1898. Muere en Baarn en 1972.Baarn en 1972.

Artista inclasificable, su Artista inclasificable, su obra es poco convencional obra es poco convencional en el arte.en el arte.

Desde el arte hacia la matemáticaDesde el arte hacia la matemática

A menudo me encuentro más A menudo me encuentro más cerca de los matemáticos que de cerca de los matemáticos que de mis colegas los artistas. mis colegas los artistas.

Todos mis trabajos son juegos. Todos mis trabajos son juegos. Juegos serios.Juegos serios.

Desde el arte hacia la matemáticaDesde el arte hacia la matemática

ALGUNOS TEMAS RECURRENTES EN LA OBRA DE ALGUNOS TEMAS RECURRENTES EN LA OBRA DE ESCHERESCHER●El dibujo es un engañoEl dibujo es un engaño●El estudio de la perspectivaEl estudio de la perspectiva●Mundos simultáneos, mundos Mundos simultáneos, mundos imposibles.imposibles.●Cristales y otras construccionesCristales y otras construcciones●El infinitoEl infinito

EL DIBUJO ES UN ENGAÑO Manos dibujando 1948EL DIBUJO ES UN ENGAÑO Manos dibujando 1948

EL DIBUJO ES UN ENGAÑOEL DIBUJO ES UN ENGAÑO Reptiles Reptiles

EL DIBUJO ES UN ENGAÑOEL DIBUJO ES UN ENGAÑO Encuentro 1944 Encuentro 1944

EL DIBUJO ES UN ENGAÑOEL DIBUJO ES UN ENGAÑO Galería de grabados Galería de grabados 19561956

EL DIBUJO EL DIBUJO ES UN ENGAÑOES UN ENGAÑO

BalcónBalcón

EL ESTUDIO DE LA PERSPECTIVA relatividad 1953EL ESTUDIO DE LA PERSPECTIVA relatividad 1953

Partición cúbica Partición cúbica del espacio 1952del espacio 1952

EL ESTUDIO EL ESTUDIO DE LA DE LA PERSPECTIVA PERSPECTIVA

ProfundidadProfundidad19551955

Arriba y abajoArriba y abajo

EL ESTUDIO DE LA PERSPECTIVA EL ESTUDIO DE LA PERSPECTIVA San Pedro Roma 1935San Pedro Roma 1935

MUNDOSMUNDOSSIMULTÁNEOS SIMULTÁNEOS

Naturaleza muertaNaturaleza muertacon espejo 1934con espejo 1934

MUNDOSMUNDOSSIMULTÁNEOS SIMULTÁNEOS

Naturaleza muertaNaturaleza muertacon calle 1937con calle 1937

MUNDOS SIMULTÁNEOSMUNDOS SIMULTÁNEOSGota de rocío 1948Gota de rocío 1948

MUNDOS SIMULTÁNEOSMUNDOS SIMULTÁNEOSOndulaciones en agua 1950Ondulaciones en agua 1950

MUNDOS MUNDOS SIMULTÁNEOSSIMULTÁNEOS

Tres mundos 1955Tres mundos 1955

MUNDOS MUNDOS SIMULTÁNEOSSIMULTÁNEOS

Mano con esfera Mano con esfera reflejantereflejante

MUNDOS IMPOSIBLES Cóncavo y convexo 1955MUNDOS IMPOSIBLES Cóncavo y convexo 1955

MUNDOS MUNDOS IMPOSIBLES IMPOSIBLES

Belvedere 1958Belvedere 1958

Cascada 1958Cascada 1958

Escaleras arribaEscaleras arribaescaleras abajoescaleras abajo

CRISTALES Y CRISTALES Y CONSTRUCCIONESCONSTRUCCIONES

Planetoide Planetoide tetraédrico 1954tetraédrico 1954

Cinta de MoebioCinta de Moebio

Cinta de Cinta de Moebio 1963Moebio 1963

Hay un Hay un salvapantallas con salvapantallas con este temaeste tema

Partición regular Partición regular de la superficie,de la superficie,traslación, traslación, rotación y reflexiónrotación y reflexión

Ángeles y diablosÁngeles y diablos19411941

Partición regular Partición regular de la superficiede la superficie

CRISTALES Y CRISTALES Y CONSTRUCCIONES CONSTRUCCIONES

MetamorfosisMetamorfosis

CRISTALES Y CRISTALES Y CONSTRUCCIONES CONSTRUCCIONES Metamorfosis Metamorfosis

CRISTALES Y CRISTALES Y CONSTRUCCIONES CONSTRUCCIONES MetamorfosisMetamorfosis

EL INFINITOEL INFINITO Evolución II 1959Evolución II 1959

EL INFINITOEL INFINITO Limite circular III 1959Limite circular III 1959

EL INFINITOEL INFINITO Cielo e infiernoCielo e infierno

EL INFINITOEL INFINITO

Remolino 1957Remolino 1957

MariposasMariposas

Serpientes 1969Serpientes 1969

Desde la matemática al arteDesde la matemática al arte

¿QUE ES UN FRACTAL?¿QUE ES UN FRACTAL?

Se suele dar una definición Se suele dar una definición matemática oscura para el matemática oscura para el común de los mortales, es común de los mortales, es conveniente mejor comenzar conveniente mejor comenzar con algunas de las con algunas de las características de un fractal.características de un fractal.

Desde la matemática al arteDesde la matemática al arteAUTOSIMILITUDAUTOSIMILITUD

Si al ver una de sus partes Si al ver una de sus partes reconocemos la estructura en reconocemos la estructura en su totalidadsu totalidad

Desde la matemática al arteDesde la matemática al arteNATURALEZA IRREGULARNATURALEZA IRREGULAR

Aunque es una característica Aunque es una característica mas bien intuitiva, es muy mas bien intuitiva, es muy común encontrarla; la palabra común encontrarla; la palabra fractal viene de “fractus” o fractal viene de “fractus” o “frangere” que se refiere a algo “frangere” que se refiere a algo muy quebrado.muy quebrado.

Desde la matemática al arteDesde la matemática al arteUNA NUEVA UNA NUEVA DIMENSIONALIDAD DIMENSIONALIDAD

Una curva con longitud Una curva con longitud infinita, y no diferenciable pero infinita, y no diferenciable pero continua:continua:

LA CURVA DE KOCHLA CURVA DE KOCH

Desde la matemática al arteDesde la matemática al arteUNA NUEVA UNA NUEVA DIMENSIÓNALIDADDIMENSIÓNALIDADPerímetro:Perímetro:a) 1 x 3a) 1 x 3 = 3= 3b) (1/3) x 12 = 4b) (1/3) x 12 = 4c) (1/9) x 48 = 5.333c) (1/9) x 48 = 5.333d) hasta el infinito y mas d) hasta el infinito y mas allá = curva de Koch.allá = curva de Koch.[tamaño de linea] x (1/3)[tamaño de linea] x (1/3)[numero lineas nuevas] x 4[numero lineas nuevas] x 4

Desde la matemática al arteDesde la matemática al arteUNA NUEVA DIMENSIÓNALIDADUNA NUEVA DIMENSIÓNALIDAD

longitud = (Numero de unidades) x (unidad de medida)^1longitud = (Numero de unidades) x (unidad de medida)^1área = (Numero de unidades) x (unidad de medida)^2área = (Numero de unidades) x (unidad de medida)^2Se podría decir que:Se podría decir que:Tamaño = N x u^D con D= dimensiónTamaño = N x u^D con D= dimensión

Desde la matemática al arteDesde la matemática al arteUNA NUEVA DIMENSIÓNALIDADUNA NUEVA DIMENSIÓNALIDADSi se toma una D menor a la correspondiente, Si se toma una D menor a la correspondiente, la figura tiene un tamaño infinito (área de la figura tiene un tamaño infinito (área de longitud infinita)longitud infinita)Si se toma un D mayor a la correspondiente la Si se toma un D mayor a la correspondiente la figura tiene un tamaño nulo (linea con área figura tiene un tamaño nulo (linea con área nula)nula)La curva de Koch se comporta bien con una La curva de Koch se comporta bien con una dimensión D=1.2618=(log 4)/(log 3)dimensión D=1.2618=(log 4)/(log 3)(numero de partes similares / factor de escala)(numero de partes similares / factor de escala)

Desde la matemática al arteDesde la matemática al arteDEFINICIÓN DEFINICIÓN

““Un fractal es una figura cuya dimensión Un fractal es una figura cuya dimensión topológica es menor que su dimensión fractal.“topológica es menor que su dimensión fractal.“

No es conveniente simplemente decir que No es conveniente simplemente decir que tienen dimensión fraccionaria.tienen dimensión fraccionaria.

La dimensión fractal también se conoció como La dimensión fractal también se conoció como dimensión Hausdorff/Besicovich.dimensión Hausdorff/Besicovich.

NATURALEZA FRACTAL DE LAS COSTAS NATURALEZA FRACTAL DE LAS COSTAS Con una unidad de medida(H) menor se obtienen longitudes cada vez mayores Con una unidad de medida(H) menor se obtienen longitudes cada vez mayores (Richardson 1961)(Richardson 1961)

Desde la matemática al arteDesde la matemática al arteEn un figura euclideana estas relaciones se cumplen:En un figura euclideana estas relaciones se cumplen:

perímetro² = K x (área) > cuadrado: p² = 16 x áreaperímetro² = K x (área) > cuadrado: p² = 16 x áreaárea³área³ = K x (Volumen)² > cubo: a³ = 216 x v²= K x (Volumen)² > cubo: a³ = 216 x v²

En una estructura fractal , el volumen no esta elevado al En una estructura fractal , el volumen no esta elevado al cuadrado, o el área a la 1.cuadrado, o el área a la 1.

Desde la matemática al arteDesde la matemática al arteNATURALEZA FRACTAL DEL NATURALEZA FRACTAL DEL CEREBRO DE LOS MAMIFEROSCEREBRO DE LOS MAMIFEROSLa relación entre el volumen del cerebro y La relación entre el volumen del cerebro y el área de la superficie que el área de la superficie que lo encierra:lo encierra:

área³área³ = K x (Volumen)^d= K x (Volumen)^d

con d entre 2.73 y 2.79.con d entre 2.73 y 2.79.

Desde la matemática al arteDesde la matemática al arteNATURALEZA FRACTAL DE LA NATURALEZA FRACTAL DE LA ESTRUCTURA NASAL DE ALGUNOS ESTRUCTURA NASAL DE ALGUNOS ANIMALESANIMALES

La relación entre el área y el volumen La relación entre el área y el volumen encerrado no es euclideana.encerrado no es euclideana.

Desde la matemática al arteDesde la matemática al arteNATURALEZA FRACTAL DE ALGUNOS NATURALEZA FRACTAL DE ALGUNOS FENÓMENOS ECONÓMICOSFENÓMENOS ECONÓMICOS

El comportamiento en el cambio de precio El comportamiento en el cambio de precio de las algunas mercancías muestra de las algunas mercancías muestra una naturaleza fractal.una naturaleza fractal.Otros fenómenos: lingüística, Otros fenómenos: lingüística, comportamiento de circuitos, comportamiento de circuitos, ....... las levaduras del guarapo :)....... las levaduras del guarapo :)

Desde la matemática al arteDesde la matemática al arteIRREGULARIDAD REGULARIRREGULARIDAD REGULAREl grado de irregularidad de un El grado de irregularidad de un fractal es el mismo a medida que se fractal es el mismo a medida que se cambia de escala.cambia de escala.El grado de irregularidad de una El grado de irregularidad de una costa es el mismo a medida que se costa es el mismo a medida que se cambia la escala.cambia la escala.El modelo fractal es conveniente en El modelo fractal es conveniente en muchos casos.muchos casos.

Desde la matemática al arteDesde la matemática al arteUNA GOTA DE TINTAUNA GOTA DE TINTA

Desde la matemática al arteDesde la matemática al arteCADENAS MONTAÑOSAS TEXTURASCADENAS MONTAÑOSAS TEXTURAS

Sección computacionalSección computacionalEL TRIANGULO DE SIERPINSKYEL TRIANGULO DE SIERPINSKY

Sección computacionalSección computacionalEL CONJUNTO DE MANDELBROTEL CONJUNTO DE MANDELBROT

Benoît Mandelbrot nació en 1924 en Varsovia, PoloniaBenoît Mandelbrot nació en 1924 en Varsovia, Polonia

ReferenciasReferencias● Los objetos fractales: forma azar y dimensiónLos objetos fractales: forma azar y dimensión. . Mandelbrot, Benoit B.Mandelbrot, Benoit B.●La geometría fractal de la naturalezaLa geometría fractal de la naturaleza. Mandelbrot, . Mandelbrot, Benoit B.Benoit B.●Caos, fractales y cosas raras. Caos, fractales y cosas raras. Braun, Eliecer.Braun, Eliecer.●El cerebro de broca: reflexiones sobre el El cerebro de broca: reflexiones sobre el apasionante mundo de la ciencia.apasionante mundo de la ciencia. Sagan, Carl. Sagan, Carl.●El espejo mágico de Maurits Cornelis Escher.El espejo mágico de Maurits Cornelis Escher. Ernst, Ernst, Bruno.Bruno.

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