CONCEPTOS BÁSICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Definición

Una ecuación es una igualdad entre dos expresión algebraicas.

P = Q

Algunas ecuaciones que se han trabajado a lo largo de nuestro estudio del calculo son.

2 𝑥+3 𝑦=24

2 𝑥2+3 𝑥=12

Ecuación lineal con dos variables

Ecuación cuadrática

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Definición

32𝑥+1=43𝑥− 4

𝑥+2√2 𝑥+4=4

Ecuación exponencial

Ecuación trigonométrica

Ecuación radical

Ecuación logarítmicalog 2 (2 𝑥+1 )− log2 (𝑥+3 )=3

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¿ Que será una ecuación diferencial?

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Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen las derivadas de una o más

variables dependientes con respecto a una o más variables independientes

𝒅𝒚𝒅𝒙

−𝟑 𝒚+𝟒=𝟎 𝒅𝟐𝒚𝒅 𝒙𝟐 +𝒅𝒚

𝒅𝒙−𝟑 𝒚=𝟒 𝒙+𝒆𝟐 𝒙

( 𝒅𝒚𝒅𝒙 )𝟐

+𝟐 𝒙𝒚+𝟒=𝟎 02

2

2

2

yu

xu

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Sabemos que

𝒅𝒚𝒅𝒙

=𝒚 ¿ 𝒅𝟐𝒚𝒅 𝒙𝟐=𝒚 ¿/ ¿¿ 𝒅𝒏 𝒚

𝒅 𝒙𝒏 =𝒚 (𝒏 )

Otra manera de expresar las ecuaciones diferenciales es

𝟑 𝒚 ¿−𝟓𝒚=𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙

𝟐 𝒚 ¿/ ¿−𝟓𝒚 ¿+𝒚=𝟓𝒙+𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙 ¿

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Escriba tres ejemplos de ecuaciones diferenciales

Comparta sus ejemplos con el grupo

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ( EDO) : Son aquellas ecuaciones diferenciales en las cuales aparecen derivadas

ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales:Son aquellas ecuaciones diferenciales en las cuales aparecen

derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes.

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El orden de una ecuación diferencial corresponde al orden de la mayor derivada que aparece

El grado de una ecuación diferencial es el exponente, si es un numero natural, al que esta elevada la derivada de mayor orden que aparezca en la ecuación diferencial

Máxima Derivada

Exponente máxima derivada

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Determine el orden y el grado de las siguientes ecuaciones diferenciales

𝒚 (𝟒)+𝟒 𝒚 ¿/¿−𝟓 𝒚=𝑪𝒐𝒔𝟑𝒙 ¿

(𝒚 (𝟒))𝟐+𝟒 𝒚 ¿/ ¿−𝟓𝒚=𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 ¿

(𝒚 (𝟑))𝟓+𝟒 𝒚 ¿/ ¿−𝟓 𝒚=𝑪𝒐𝒔𝟑𝒙 ¿

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Una ecuación diferencial se dice que es lineal si se puede escribir en la forma:

O en la forma

)()()(.........)()( xgyxadxdy

xadx

ydxa

dxyd

xan

n

nn

n

n

011

1

1

+…..++=g(x)

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Es decir , la ecuación diferencial es lineal si se cumple que:

1) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado.

2) Cada coeficiente solo depende de la variable x, que es la variable independiente.

3) No aparecen productos de la variable dependiente y sus respectivas derivadas ordinarias.

4) No deben aparecer productos entre las derivadas ordinarias.

5) No aparecen funciones trascendentales de la variable dependiente. Como por ejemplo : Seny , Lny ,

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• Cuales de las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales, en caso de no ser diga la razón por la cual no son lineales

𝟐 𝒚 ¿/ ¿+𝟓𝒚 ¿ +𝟑𝒚=𝟐 ¿

𝟐 𝒙 𝒚 ¿ /¿+(𝒙+𝟏 )𝒚 ¿+𝟑𝒚=𝟐𝒙 ¿

𝟐𝒙𝒚 ¿/ ¿+𝟓𝒚 ¿+𝟑 𝒙𝟐 𝒚=𝟐 ¿

𝟐 𝒚 ¿/ ¿+𝟐𝒚 𝒚 ¿+𝟑 𝒚=𝟎¿

𝟐 𝒚 ¿/ ¿+𝟓𝒚 ¿ +𝟑𝒚 𝟐=𝟐 ¿

𝟐¿¿

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• Una ecuación diferencial se dice que es homogénea, cuando se encuentra igualada a cero

• Una ecuación diferencial se dice que es de coeficientes constantes cuando todos los son constantes,

• Una ecuación diferencial se dice que es de coeficientes variables cuando algún depende de la variable independiente.

𝒚 ¿ /¿+𝟒 𝒙 𝒚 ¿+𝒚=𝟎 ¿

𝟑 𝒚 ¿/ ¿+𝟒 𝒚 ¿+𝒚=𝟎 ¿

𝒚 ¿ /¿+𝟒 𝒙 𝒚 ¿ /¿+𝟐 𝒚 ¿+𝒚=𝟎 ¿

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Clasifica la siguiente ecuación diferencial

• Ecuación diferencial ordinaria• No homogénea• De coeficientes constantes• De orden 3• Grado 4• No lineal

𝟑 (𝒚 ¿ /¿ )𝟒+𝟐 𝒚 ¿/ ¿−𝟒𝒚 ¿+𝒚=𝒆𝟐 𝒙 ¿

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Clasifica las siguientes ecuaciones diferenciales

xyyxy 542///

xeyyxy 542 ///

054 /// yyy

0652

22

2

ydx

dyx

dx

yd

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SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL.

• Se llama solución de una ecuación diferencial a toda función que satisface dicha ecuación diferencial. Es decir al sustituir en la ecuación diferencial a , y todas las derivadas que aparezcan en ella se obtiene una identidad.

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• Diga si la función es solución de la ecuación diferencial

Reemplazando en la ecuación diferencial dada

𝒚 ¿ /¿+𝒚 ¿+𝒚=𝟎 ¿

−𝑺𝒆𝒏𝒙+𝑪𝒐𝒔𝒙+𝑺𝒆𝒏𝒙=𝟎𝑪𝒐𝒔𝒙=𝟎

Como no se obtuvo una igualdad ,entonces la función dada NO es solución de la ecuación diferencial

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Determine si cada función dada es solución de la ecuación diferencial correspondiente

FUNCION ECUACION DIFERENCIAL

SOLUCION DE LA

SOLUCION DE LA

SOLUCION DE LA

SOLUCION DE LA

Un problema de valores iniciales es aquel en el que se busca determinar una solución ( particular) a una ecuación

diferencial, sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas, dadas para un valor de la variable

independiente. Tales condiciones se denominan condiciones iniciales.

𝑦 (𝑥0 )=𝑦 0

𝑦 ¿ (𝑥0 )=𝑦1

𝑦 ¿/ ¿ (𝑥0 )=𝑦2¿

𝑦 (𝑛−1 )(𝑥0 )=𝑦𝑛

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• Un problema con valores de frontera es un problema que busca determinar una solución particular a una ecuación diferencial sujeta a

condiciones de la función desconocida especificadas en dos o mas valores de la

variable independiente, Tales condiciones se llaman condiciones de frontera

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𝑦 ¿ (𝑥1)=𝑦1

𝑦 ¿/ ¿ (𝑥2 )=𝑦2¿ 𝑦 (𝑛−1 )(𝑥𝑛)=𝑦𝑛

𝑦 (𝑥0 )=𝑦 0

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• Sea un rectángulo en el plano que contiene al punto en su interior. Si las funciones son continuas en R, entonces existe un intervalo I

con centro en y una única función definida en I que satisface el problema de valor inicial

definido por

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

yf

f

;

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