Teoría del Caos, Geometría Teoría del Caos, Geometría Fractal y AplicacionesFractal y Aplicaciones

Ing. Pervys Rengifo RengifoIng. Pervys Rengifo Rengifo

Ing. Carlos Alfonso Velasco ForeroIng. Carlos Alfonso Velasco Forero

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZLORENZ

Santafé de Bogotá D.C., marzo 27 de 2007Santafé de Bogotá D.C., marzo 27 de 2007

Aspectos a TratarAspectos a Tratar

■ Teoría del CaosTeoría del Caos■ Geometría tradicionalGeometría tradicional■ ““Monstruos Geométricos”Monstruos Geométricos”■ Concepto de DimensiónConcepto de Dimensión■ FractalesFractales■ Dimensión FractalDimensión Fractal■ Métodos de GeneraciónMétodos de Generación■ Algunas AplicacionesAlgunas Aplicaciones

Teoría del CaosTeoría del Caos

La Teoría del Caos permite deducir el orden La Teoría del Caos permite deducir el orden subyacente que ocultan fenómenos subyacente que ocultan fenómenos aparentemente aleatorios. Se sabe que aparentemente aleatorios. Se sabe que ecuaciones totalmente deterministas (como el ecuaciones totalmente deterministas (como el set de Lorenz) presentan las siguientes set de Lorenz) presentan las siguientes características que definen el Caos:características que definen el Caos:

■ Son deterministas, es decir:Son deterministas, es decir:Existe una "ley" que gobierna la conducta del Existe una "ley" que gobierna la conducta del sistema .sistema .

■ Tienen una extrema sensibilidad a las Tienen una extrema sensibilidad a las condiciones iniciales, lo cual implica que el condiciones iniciales, lo cual implica que el comportamiento del sistema se indetermina a comportamiento del sistema se indetermina a partir de cierto "Horizonte de Predicitibilidad"partir de cierto "Horizonte de Predicitibilidad"

■ A pesar de la impredictibilidad de una A pesar de la impredictibilidad de una trayectoria particular del Espacio de Fase, se trayectoria particular del Espacio de Fase, se pueden encontrar "Atractores" o zonas del pueden encontrar "Atractores" o zonas del Espacio de Fase que tienden a ser "visitadas" Espacio de Fase que tienden a ser "visitadas" con mayor frecuencia que otras.con mayor frecuencia que otras.

EL EFECTO MARIPOSAEL EFECTO MARIPOSA

■ El batir de las alas de una simple mariposa El batir de las alas de una simple mariposa hoy produce un minúsculo cambio en el hoy produce un minúsculo cambio en el estado de la atmósfera. Durante un periodo estado de la atmósfera. Durante un periodo de tiempo, la atmósfera en efecto divergiría de tiempo, la atmósfera en efecto divergiría de lo que habría hecho. Por tanto, en el de lo que habría hecho. Por tanto, en el tiempo de un mes, un tornado que habría tiempo de un mes, un tornado que habría devastado la costa de Indonesia no tuvo devastado la costa de Indonesia no tuvo lugar. O puede que si no fuese a suceder, lo lugar. O puede que si no fuese a suceder, lo hiciera. (Ian Stewart, ¿Juega Dios a los hiciera. (Ian Stewart, ¿Juega Dios a los dados? Las Matemáticas del Caos, página dados? Las Matemáticas del Caos, página 141)141)

EL EFECTO MARIPOSAEL EFECTO MARIPOSA

■ Por culpa de un clavo, se pierde la herradura,Por culpa de un clavo, se pierde la herradura,Por culpa de la herradura se pierde el caballo,Por culpa de la herradura se pierde el caballo,Por culpa del caballo, se pierde el jinete,Por culpa del caballo, se pierde el jinete,Por culpa del jinete, se pierde el mensaje,Por culpa del jinete, se pierde el mensaje,Por culpa del mensaje, se pierde la batalla,Por culpa del mensaje, se pierde la batalla,Por culpa de la batalla, se pierde el Reino.Por culpa de la batalla, se pierde el Reino.

Ecuación logística:Ecuación logística:X(n+1)=K*X(n)*[1-X(n)]X(n+1)=K*X(n)*[1-X(n)]

EL SISTEMA DE LORENZEL SISTEMA DE LORENZ

xyzdt

dz

xzyxdt

dy

yxdt

dx

666667.2

28

1010

Edward Lorenz construyó un modelo de la dinámica atmosférica, expresado como un sistema de ecuaciones diferenciales, que presentaba sensibilidad a las condiciones iniciales

SISTEMAS DINÁMICOS Y SISTEMAS DINÁMICOS Y FRACTALES FRACTALES

La geometría fractal y la teoría de los sistemas dinámicos están íntimamente ligados, ya que la región del espacio hacia la que tienden asintóticamente una órbita caótica tiene estructura fractal(conocidos como atractores extraños). Por tanto, la geometría fractal permite estudiar el soporte sobre el que se definen los sistemas dinámicos caóticosMoon, F.C Chaotic and Fractal Dynamics. John Wiley, 1992

Geometría TradicionalGeometría Tradicional■ Es la geometría utilizada normalmente.Es la geometría utilizada normalmente.■ También llamada Geometría Euclidiana.También llamada Geometría Euclidiana.■ Se basa en los axiomas presentados en “Los Se basa en los axiomas presentados en “Los

Elementos” alrededor del año 250 A.C.Elementos” alrededor del año 250 A.C.■ Agrupa a las figuras geométricas más conocidas Agrupa a las figuras geométricas más conocidas

como líneas, triángulos, círculos, cuadrados, como líneas, triángulos, círculos, cuadrados, esferas, polígonos, poliedros, etc.esferas, polígonos, poliedros, etc.

■ Estas figuras son realizadas con regla y compás.Estas figuras son realizadas con regla y compás.■ Se aplican y cumplen los conceptos de Longitud, Se aplican y cumplen los conceptos de Longitud,

Área y Volumen.Área y Volumen.

““Monstruos Geométricos”Monstruos Geométricos”

A fines del siglo XIX aparecen figuras que A fines del siglo XIX aparecen figuras que no cumplen los fundamentos de la no cumplen los fundamentos de la geometría euclidiana.geometría euclidiana.

■ 1883, Conjunto de Cantor1883, Conjunto de Cantor■ 1890, Curva de Peano1890, Curva de Peano■ 1904, Curva e Isla de Koch1904, Curva e Isla de Koch■ 1916, Triángulo de Sierpinski1916, Triángulo de Sierpinski

Conjunto de CantorConjunto de CantorGeorge Cantor (1845-1918)George Cantor (1845-1918)

Curva de KochCurva de KochNiels Fabian Helge von Koch (1870-1924)Niels Fabian Helge von Koch (1870-1924)

Curva de KochCurva de Koch

Isla de Koch o “Copo de Nieve”Isla de Koch o “Copo de Nieve”

Curva de PeanoCurva de PeanoGiuseppe Peano (1858-1932)Giuseppe Peano (1858-1932)

Triángulo de SierpinskiTriángulo de SierpinskiWaclaw Sierpinski (1882-1962)Waclaw Sierpinski (1882-1962)

¿QUE HACER AHORA?

Concepto de DimensiónConcepto de Dimensión

La idea convencional se refiere al número La idea convencional se refiere al número de coordenadas necesarias para definir de coordenadas necesarias para definir un objeto:un objeto:

Línea : una (Largo) Línea : una (Largo)

Plano : dos (Largo y Ancho)Plano : dos (Largo y Ancho)Volumen : tres (Largo, Ancho y Profundo)Volumen : tres (Largo, Ancho y Profundo)

Concepto de Dimensión según PoincaréConcepto de Dimensión según Poincaré

¿Cómo determinar la ¿Cómo determinar la Dimensión de cualquier objeto Dimensión de cualquier objeto

geométrico?geométrico?

N=L/r=(L/r)1

N=L2/r2=(L/r)2

N=L3/r3=(L/r)3

Dimensión de SemejanzaDimensión de Semejanza

■ Subdivisión de las figuras en objetos Subdivisión de las figuras en objetos más pequeños pero más pequeños pero geométricamente similares al inicial.geométricamente similares al inicial.

■ N=(L/r)N=(L/r)DD

■ DDSS= Log (N) / Log (L/r)= Log (N) / Log (L/r)

Conjunto de CantorConjunto de Cantor

D=Log(2)/Log(1/(1/3))=0.63093

L=1

N= 2

r=1/3

Un Concepto AvanzadoUn Concepto Avanzado de Dimensión de Dimensión

La Dimensión de Hausdorff-BesicovitchLa Dimensión de Hausdorff-Besicovitch Felix Hausdorff (1868-1942)Felix Hausdorff (1868-1942)

■ Permite la determinación de la Permite la determinación de la dimensión de un objeto.dimensión de un objeto.

■ Puede ser de tipo no entero.Puede ser de tipo no entero.■ Es la definición de dimensión más Es la definición de dimensión más

general.general.

CONJUNTOS FRACTALESCONJUNTOS FRACTALES

Benoit B. Mandelbrot (1924 - )Benoit B. Mandelbrot (1924 - )(La Geometría Fractal de la (La Geometría Fractal de la

Naturaleza, 1982)Naturaleza, 1982)

FRACTALFRACTAL

■ El término fue concebido por El término fue concebido por Mandelbrot, a partir del adjetivo latino Mandelbrot, a partir del adjetivo latino FRACTUS que significa fragmentado e FRACTUS que significa fragmentado e irregular.irregular.

■ Mandelbrot mostró las ventajas de Mandelbrot mostró las ventajas de utilizar los “monstruos geométricos” utilizar los “monstruos geométricos” para representar fenómenos naturales. para representar fenómenos naturales.

DEFINICIÓN DE FRACTALDEFINICIÓN DE FRACTAL

■ ... un Conjunto cuya dimensión de ... un Conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión tradicional. mayor que su dimensión tradicional. (1982)(1982)

■ ... es una forma hecha de partes ... es una forma hecha de partes semejantes al todo de alguna manera. semejantes al todo de alguna manera. (1988)(1988)

■ La Dimensión Fractal es la Dimensión La Dimensión Fractal es la Dimensión de Hausdorff-Besicovitch.de Hausdorff-Besicovitch.

Curva de KochCurva de Koch

D=Log(4)/Log(1/(1/3))

=1.26186

Triángulo de SierpinskiTriángulo de Sierpinski

D=Log(3)/Log(1/(1/2))=1.5849D=Log(3)/Log(1/(1/2))=1.5849

Curva de PeanoCurva de Peano

D=Log(9)/Log(1/(1/3))=2

Métodos de GeneraciónMétodos de Generación

■ Sistemas de Funciones Iteradas (IFS)Sistemas de Funciones Iteradas (IFS)■ Sistemas LSistemas L■ Algoritmos por Tiempo de EscapeAlgoritmos por Tiempo de Escape■ Autómatas CelularesAutómatas Celulares■ Redes NeuronalesRedes Neuronales■ . . .. . .

El Conjunto de Mandelbrot (M-Set)

Conjunto Números Complejos Iteración zz11 = z = z0022 + c + c

IteracionesIteraciones

zz22 = z = z1122 + c + c

zz33 = z = z2222 + c + c

zz44 = z = z3322 + c + c

zz55 = z = z4422 + c + c

Todos los Z y C son números complejos Z0 es el inicializador

La sucesión formada por Z0,Z1, Z2, Z3………ZnSe denomina la ORBITA de Z0 bajo la iteración zz22 + c + c

Las órbitas pueden converger o diverger.

Definición del Conjunto de Mandelbrot

El conjunto Mandelbrot M, consiste de todos aquellos valores (complejos) de c cuyas órbitas de 0 bajo z2 + c correspondientes no escapan al infinito

M-Set= {c / órbita de 0 en ZM-Set= {c / órbita de 0 en Z22 + c converge} + c converge}

Importante: En M-Set siempre interesa estudiar la órbita de Z0 = 0

CONJUNTO DE MANDELBROT

Z n+1=Zn2+c

CONJUNTOS DE JULIA

En el plano complejo

Zn+1=Zn2+C

Cada valor de C determina un conjunto de Julia, que está formado por los Zo cuyas órbitas convergen.

CONJUNTOS DE JULIA

Diferentes Tipos de FractalesDiferentes Tipos de Fractales

FractalesFractales

LinealesLineales

Autosimilitud Perfecta

Dimensión Fractal fácil decalcular con: S = S = LLDD

Se crean a partir de:-Un generador -Un algoritmo de repetición

Ejemplo: Triángulo de Cantor y Triágulo de Sierpinski

ComplejosComplejos

Autosimilitud Estadística

Dimensión Fractal difícil de calcular. Se requiere software. Método: Box Couting

Se crean a partir de:-Un Z0 -Iteraciones en el Plano Complejo

Ejemplo: Conjunto de Mandelbrot, Conjunto de Julia

CaóticosCaóticos

Poseen estructura Fractal.Autosimilitud Estadística

Se requieren métodos de medición más complejos que la Dimensión Fractal.

Se generan a partir de sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo: Atractor de LorentzModela el Clima Meteorológico

Son los objetos geométricosde la Teoría del Caos

¿PARA QUE ¿PARA QUE SIRVE TODO SIRVE TODO

ESTO?ESTO?

APLICACIONESAPLICACIONES

APLICACIONESAPLICACIONES■ SERIES DE TIEMPOSERIES DE TIEMPO■ INTERPOLACIÓN FRACTALINTERPOLACIÓN FRACTAL■ SIMULACIÓN DE SUPERFICIESSIMULACIÓN DE SUPERFICIES■ ASTRONOMÍAASTRONOMÍA■ FRAGMENTACIÓNFRAGMENTACIÓN■ SISMICIDADSISMICIDAD■ EN MEDIOS POROSOSEN MEDIOS POROSOS■ PROCESOS DE AGREGACIÓNPROCESOS DE AGREGACIÓN■ CUENCAS HIDROGRÁFICASCUENCAS HIDROGRÁFICAS■ TURBULENCIATURBULENCIA■ OTRAS ...OTRAS ...

INTERPOLACIÓN FRACTALINTERPOLACIÓN FRACTAL

■ Aprovecha las capacidades de análisis Aprovecha las capacidades de análisis de líneas irregulares.de líneas irregulares.

■ Puede caracterizar series de datos por Puede caracterizar series de datos por medio de la dimensión fractal.medio de la dimensión fractal.

■ Aplicable a series de precipitación, Aplicable a series de precipitación, series de caudales, propiedades series de caudales, propiedades mecánicas de los suelos y materiales.mecánicas de los suelos y materiales.

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7

Simulación de SuperficiesSimulación de Superficies

■ Ampliación de la interpolación fractal.Ampliación de la interpolación fractal.■ Modelar terrenos y campos Modelar terrenos y campos

bidimensionales de diferentes medidas bidimensionales de diferentes medidas como velocidad, porosidad, etc.como velocidad, porosidad, etc.

■ Se puede variar la rugosidad de la Se puede variar la rugosidad de la superficie generada.superficie generada.

■ Se pueden interpolar datos reales Se pueden interpolar datos reales topográficos.topográficos.

FRAGMENTACIÓNFRAGMENTACIÓN

Estudio de patrones de fracturamiento de Estudio de patrones de fracturamiento de los materiales en todas las escalas:los materiales en todas las escalas:

■ Microfisuras en el concreto.Microfisuras en el concreto.■ Fracturas en materiales a tensión.Fracturas en materiales a tensión.■ Fisuramiento del pavimento.Fisuramiento del pavimento.■ Grandes fracturas geológicas.Grandes fracturas geológicas.

Elaboración de modelos de fragmentación. Elaboración de modelos de fragmentación.

SISMICIDADSISMICIDAD

■ Conexión matemática entre la Relación Conexión matemática entre la Relación de Guttemberg-Ritcher y las de Guttemberg-Ritcher y las distribuciones fractales.distribuciones fractales.

■ Distribución Frecuencia-Magnitud de los Distribución Frecuencia-Magnitud de los sismos mundiales D=2sismos mundiales D=2

■ Para Colombia con Sismos de 1998 se Para Colombia con Sismos de 1998 se comprobó que D=1.9592comprobó que D=1.9592

EN MEDIOS POROSOSEN MEDIOS POROSOS

■ Análisis y Simulación de procesos de percolación, invasión-percolación y digitación viscosa.

■ La dimensión fractal es un parámetro que caracteriza estos fenómenos.

■ Aplicable en estudios de flujo de agua subterranea, explotación de petróleo y contaminación de acuíferos.

AGREGACIÓN FRACTALAGREGACIÓN FRACTAL

■ Análisis de fenómenos de agregación de partículas útiles en los procesos de coagulación, floculación y sedimentación para la obtención de agua potable.

■ Modelos de Difusión por Agregación Limitada (DLA)

CUENCAS HIDROGRÁFICASCUENCAS HIDROGRÁFICAS

■ Simular geométricamente diferentes patrones de drenaje. Cuencas de Peano.

■ Relaciones entre los sistemas de ordenamiento de corrientes tradicionales (de Horton y de Strahler) y la dimensión fractal de las redes de drenaje.

TURBULENCIATURBULENCIA

Los torbellinos grandes tienen torbellinitosLos torbellinos grandes tienen torbellinitos

Que se nutren de su velocidad,Que se nutren de su velocidad,Y los torbellinos tienen torbellinos menoresY los torbellinos tienen torbellinos menores

Y así en adelante hasta la viscosidad.Y así en adelante hasta la viscosidad.

OTROSOTROS■ Compresión Fractal de Imágenes.Compresión Fractal de Imágenes.■ Análisis de Tráfico Vehicular.Análisis de Tráfico Vehicular.■ Estudio de Líneas Costeras.Estudio de Líneas Costeras.■ Patología de Estructuras.Patología de Estructuras.■ Análisis de Olas Marítimas.Análisis de Olas Marítimas.■ Aparición de Sismos.Aparición de Sismos.■ MULTIFRACTALES.MULTIFRACTALES.■ . . .. . .

AGRADECIMIENTOSAGRADECIMIENTOS

■ FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZLORENZ

INFORMACIÓN ADICIONALINFORMACIÓN ADICIONAL

■ Pervys Rengifo y Carlos VelascoPervys Rengifo y Carlos Velasco