Serie Matemática_1Serie Matemática_1

AritméticaAritmética

El origen del ceroEl origen del cero

ContarContar

La noción de número y de contar se La noción de número y de contar se remonta a épocas pre históricas. remonta a épocas pre históricas.

NumeraciónNumeración

Son las formas de contar. Lo más Son las formas de contar. Lo más elemental es contar con las manos.elemental es contar con las manos.

La escrituraLa escritura

La escritura crea la división entre la La escritura crea la división entre la historia y la pre historia.historia y la pre historia.

Surgió la necesidad de escribir los Surgió la necesidad de escribir los números.números.

Había que inventar SIGNOS para los Había que inventar SIGNOS para los números.números.

Vamos a crear signosVamos a crear signos

´ = 1´ = 1

Vamos a crear signosVamos a crear signos

´´ = 2´´ = 2

Vamos a crear signosVamos a crear signos

´´´ = 3´´´ = 3

Vamos a crear signosVamos a crear signos

´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´ = 23´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´ = 23

Es difícil ¿verdad?Es difícil ¿verdad?

´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´ = 23´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´ = 23¿Por qué nos lo agrupamos en grupos de ¿Por qué nos lo agrupamos en grupos de

cinco? cinco?

Con los dedos de una manoCon los dedos de una mano

´´´´´´´´´´

´´´´´´´´´´

´´´´´´´´´´

´´´´´´´´´´

´´´´´´

2323

Con los dedos de dos manosCon los dedos de dos manos

´´´´´ ´´´´´´´´´´ ´´´´´

´´´´´ ´´´´´´´´´´ ´´´´´

´´´´´´

2323

¡Eureka!¡Eureka!

¡Así nació el sistema decimal!¡Así nació el sistema decimal!

En el sistema decimal contamos haciendo En el sistema decimal contamos haciendo grupos de diez en diez.grupos de diez en diez.

Grupos de diezGrupos de diez

Ahora designemos los grupos de diez con Ahora designemos los grupos de diez con un signo distinto. Ejem:un signo distinto. Ejem:

´´´´´´´´´´ = -´´´´´´´´´´ = -

Grupos de diezGrupos de diez

En este caso “veintitrés” se puede En este caso “veintitrés” se puede representar así:representar así:

--´´´ = 23--´´´ = 23

Grupos de diezGrupos de diez

- = 10- = 10

-- = 20-- = 20

--- = 30--- = 30

---- = 40---- = 40

----- = 50----- = 50

------ = 60------ = 60

------- = 70------- = 70

-------- = 80-------- = 80

--------- = 90--------- = 90

¿? = 100¿? = 100

Diez grupos de diezDiez grupos de diez

Cuando llegue usted a tener diez grupos Cuando llegue usted a tener diez grupos de diez (cien), puede usar otro símbolo.de diez (cien), puede usar otro símbolo.

+ = 100+ = 100

Sencillo ¿y al llegar a mil?Sencillo ¿y al llegar a mil?

Diez grupos de cienDiez grupos de cien

Diez cientos, o sea mil, puede indicarse Diez cientos, o sea mil, puede indicarse con otro símbolo.con otro símbolo.

# = 1 000# = 1 000

Escribir númerosEscribir números

El número “El número “cuatro mil seiscientos cuarenta cuatro mil seiscientos cuarenta y cinco”y cinco” se escribiría así: se escribiría así:

####++++++----´´´´´ = 4 645####++++++----´´´´´ = 4 645

Escribir númerosEscribir números

Pero leer números puede ser más fácil si Pero leer números puede ser más fácil si agrupamos estos símbolos. Ejem:agrupamos estos símbolos. Ejem:

# # +++ - - ´´´# # +++ - - ´´´

# # +++ - - ´# # +++ - - ´

Escribir númerosEscribir números

Los antiguos babilonios usaban este Los antiguos babilonios usaban este sistema para escribir números.sistema para escribir números.

# # +++ - - ´´´# # +++ - - ´´´

# # +++ - - ´# # +++ - - ´

Pero empleaban otros signos.Pero empleaban otros signos.

Números (Babilonia)Números (Babilonia)

Números (Babilonia)Números (Babilonia)

Los griegosLos griegos

Emplearon otro sistema: el de las letras Emplearon otro sistema: el de las letras del alfabeto.del alfabeto.

Es natural correlacionar Es natural correlacionar el alfabetoel alfabeto con con el el sistema de numeraciónsistema de numeración. En nuestra niñez . En nuestra niñez nos enseñan los dos sistemas al mismo nos enseñan los dos sistemas al mismo tiempo, y los dos sistemas tienden a tiempo, y los dos sistemas tienden a corresponderse en forma natural. La corresponderse en forma natural. La sucesión "a, be, ce..." nos entra con tanta sucesión "a, be, ce..." nos entra con tanta facilidad como "uno, dos, tres,...". facilidad como "uno, dos, tres,...".

Los griegosLos griegos

Al escribir el siete todos los símbolos son Al escribir el siete todos los símbolos son idénticos:idénticos:

´´´´´´´ = 7´´´´´´´ = 7

Pero al utilizar las letras los símbolos son Pero al utilizar las letras los símbolos son distintos:distintos:

ABCDEFG = 7ABCDEFG = 7

Los griegosLos griegos

Como cada símbolo es distinto, sólo es Como cada símbolo es distinto, sólo es necesario escribir el último. Usted no necesario escribir el último. Usted no puede equivocarse, por el hecho de que puede equivocarse, por el hecho de que G G es la séptima letra del alfabetoes la séptima letra del alfabeto y por lo y por lo tanto tanto representa al "siete".representa al "siete".

Un solo símbolo hace el mismo trabajo de Un solo símbolo hace el mismo trabajo de siete símbolos.siete símbolos.

Los griegosLos griegos

Además...Además...

’’’’’’’’’’’’ (seis) se parece mucho a (seis) se parece mucho a ’’’’’’’’’’’’’’ (siete), (siete),

mientras que...mientras que...

FF (seis) no se parece para nada a (seis) no se parece para nada a GG (siete).(siete).

Los griegosLos griegos

Los griegos usaban Los griegos usaban su propio alfabeto, su propio alfabeto, aquí emplearemos aquí emplearemos nuestro alfabeto:nuestro alfabeto:

A = uno, A = uno,

B = dos, B = dos,

C = tres,C = tres,

D = cuatro, D = cuatro,

E = cinco, E = cinco,

F = seis, F = seis,

G = siete, G = siete,

H = ocho, H = ocho,

I= nueve y I= nueve y

J = diez.J = diez.

Los griegos Los griegos

Si:Si:

A = 1, B = 2, C = 3, D = 4, E = 5, F A = 1, B = 2, C = 3, D = 4, E = 5, F = 6, G = 7, H = 8, I= 9 y J = 10. = 6, G = 7, H = 8, I= 9 y J = 10.

Entonces:Entonces:

K = ¿11?K = ¿11?

Los griegosLos griegos

Podríamos continuar, haciendo que la letra Podríamos continuar, haciendo que la letra K sea igual a "once", pero a ese ritmo K sea igual a "once", pero a ese ritmo nuestro alfabeto sólo nos va a permitir nuestro alfabeto sólo nos va a permitir llegar hasta "veintisiete". llegar hasta "veintisiete".

¿Cuál sería entonces la solución?¿Cuál sería entonces la solución?

Los griegos Los griegos

Si Si J = diezJ = diez

Entonces J no sólo equivale a diez objetos, Entonces J no sólo equivale a diez objetos, sino también a una decena o grupo de sino también a una decena o grupo de diez. diez.

Entonces, ¿por qué no continuar Entonces, ¿por qué no continuar empleando las letras siguientes para empleando las letras siguientes para numerar decenas o grupos de diez?numerar decenas o grupos de diez?

Las decenasLas decenas

J = diez, J = diez,

K = veinte, K = veinte,

L = treinta, L = treinta,

M = cuarenta, M = cuarenta,

N = cincuenta, N = cincuenta,

Ñ = sesenta, Ñ = sesenta,

O = setenta, O = setenta,

P = ochenta, P = ochenta,

Q = noventa. Q = noventa.

¿Y las centenas?¿Y las centenas?

Las centenasLas centenas

R = cien (un R = cien (un ciento),ciento),

S = doscientos, S = doscientos,

T= trescientos, T= trescientos,

U = cuatrocientos, U = cuatrocientos,

V - quinientos, V - quinientos,

W = seiscientos, W = seiscientos,

X= setecientos, X= setecientos,

Y = ochocientos y Y = ochocientos y

Z = novecientos, Z = novecientos,

Ya no hay más Ya no hay más letrasletras

Ventajas y desventajasVentajas y desventajas

Ventaja:Ventaja:

Cualquier número Cualquier número menor que mil menor que mil puede escribirse puede escribirse con tres símbolos. con tres símbolos.

785 = XPE785 = XPE

816 = YJF.816 = YJF.

Desventaja:Desventaja:

Para usar los Para usar los números hasta mil números hasta mil se deben se deben memorizar memorizar cuidadosamente cuidadosamente los significados de los significados de veintisiete veintisiete símbolos distintos.símbolos distintos.

La principal desventajaLa principal desventaja

Se usaban los mismos símbolos para los Se usaban los mismos símbolos para los números y para las palabras.números y para las palabras.

Los judíos de la era grecorromana Los judíos de la era grecorromana adoptaron el sistema griego para adoptaron el sistema griego para representar los números pero, por representar los números pero, por supuesto, emplearon el alfabeto hebreo... supuesto, emplearon el alfabeto hebreo... y muy pronto tuvieron dificultades. y muy pronto tuvieron dificultades.

La principal desventajaLa principal desventaja Peor todavía, las palabras parecen Peor todavía, las palabras parecen

números. Por ejemplo, empleando nuestro números. Por ejemplo, empleando nuestro propio alfabeto UPA es "cuatrocientos propio alfabeto UPA es "cuatrocientos ochenta y uno". ochenta y uno".

UPA = 481UPA = 481

Podríamos creer que hay algo tonto y de Podríamos creer que hay algo tonto y de significado estúpido en el número significado estúpido en el número "cuatrocientos ochenta y uno ""cuatrocientos ochenta y uno "En quechua En quechua UPAUPA quiere decir quiere decir zonzozonzo. .

La numerologíaLa numerología

Los judíos, al estudiar meticulosamente Los judíos, al estudiar meticulosamente cada sílaba de la Biblia veían números en cada sílaba de la Biblia veían números en todas las palabras.todas las palabras.

Es la numerología. Una pseudociencia. Es la numerología. Una pseudociencia.

La numerologíaLa numerología Existe un número que ha tenido repercusiones. Existe un número que ha tenido repercusiones.

Se encuentra en el Apocalipsis, un libro de difícil Se encuentra en el Apocalipsis, un libro de difícil interpretación ¿por qué?interpretación ¿por qué?

Juan estaba denunciando al gobierno romano, y Juan estaba denunciando al gobierno romano, y se exponía abiertamente a una acusación de se exponía abiertamente a una acusación de traición y a la crucifixión por sus palabras. traición y a la crucifixión por sus palabras.

En consecuencia, hizo un esfuerzo para redactar En consecuencia, hizo un esfuerzo para redactar de una manera que fuera perfectamente clara de una manera que fuera perfectamente clara para los primeros cristianos, pero que al mismo para los primeros cristianos, pero que al mismo tiempo resultara completamente tiempo resultara completamente incomprensible para las autoridades romanas.incomprensible para las autoridades romanas.

La numerologíaLa numerología

En el capítulo decimotercero habla de En el capítulo decimotercero habla de bestias con poderes diabólicos.bestias con poderes diabólicos.

Dice: "Aquí hay sabiduría. El que tiene Dice: "Aquí hay sabiduría. El que tiene entendimiento, cuente el número de la entendimiento, cuente el número de la bestia, pues es número de hombre. Y su bestia, pues es número de hombre. Y su número es número es seiscientos sesenta y seisseiscientos sesenta y seis".".

666666

La numerologíaLa numerología

La numerologíaLa numerología

Nerón ¿el anticristo?Nerón ¿el anticristo?

El Apocalipsis fue escrita sólo unas pocas El Apocalipsis fue escrita sólo unas pocas décadas después de la gran persecución décadas después de la gran persecución de los cristianos en tiempos de Nerón. de los cristianos en tiempos de Nerón.

Si se escribe en caracteres hebreos el Si se escribe en caracteres hebreos el nombre de Nerón ("Nerón Caesar"), la nombre de Nerón ("Nerón Caesar"), la suma de los números que representan las suma de los números que representan las distintas letras da por resultado distintas letras da por resultado efectivamente seiscientos sesenta y seis, efectivamente seiscientos sesenta y seis, "el número de la bestia"."el número de la bestia".

Nerón ¿el anticristo?Nerón ¿el anticristo?

Otros “anticristos”Otros “anticristos”

Cinco siglos después se lo pudo haber Cinco siglos después se lo pudo haber aplicado (y así ocurrió) a Mahoma. aplicado (y así ocurrió) a Mahoma.

En tiempos de la Reforma los católicos En tiempos de la Reforma los católicos "calcularon" el nombre de Martín Lutero y "calcularon" el nombre de Martín Lutero y encontraron que tenía el número de la bestia. encontraron que tenía el número de la bestia.

Los protestantes devolvieron el cumplido Los protestantes devolvieron el cumplido haciendo el mismo descubrimiento en el caso haciendo el mismo descubrimiento en el caso de varios de los Papas.de varios de los Papas.

Otros “anticristos”Otros “anticristos”

Otros “anticristos”Otros “anticristos”

Todavía después, cuando las rivalidades Todavía después, cuando las rivalidades religiosas fueron remplazadas por las religiosas fueron remplazadas por las nacionalistas, Napoleón Bonaparte fue el nacionalistas, Napoleón Bonaparte fue el nuevo anticristo.nuevo anticristo.

Y si hacemos otros malabares con los Y si hacemos otros malabares con los números descubriremos que "Herr Adollf números descubriremos que "Herr Adollf Hitler" es otro anticristo.Hitler" es otro anticristo.

Otros “anticristos”Otros “anticristos”

Los romanosLos romanos

Al igual que los griegos, los romanos Al igual que los griegos, los romanos usaban las letras del alfabeto. usaban las letras del alfabeto.

Pero no las empleaban en ordenPero no las empleaban en orden, sino que , sino que usaban sólo unas pocas letras.usaban sólo unas pocas letras.

Los romanosLos romanos

Los romanos crearon símbolos Los romanos crearon símbolos nuevos nuevos para grupos de diezpara grupos de diez y y

para grupos de cincopara grupos de cinco..

Los romanosLos romanos

El símbolo para el número uno es IEl símbolo para el número uno es I

uno = Iuno = I

dos = IIdos = II

tres = IIItres = III

cuatro = IIIIcuatro = IIII

Los romanosLos romanos

El símbolo para el cinco no es IIIII, El símbolo para el cinco no es IIIII, sino V sino V

cinco = Vcinco = V

Probablemente se inspiraron en una mano.Probablemente se inspiraron en una mano.

Los romanosLos romanos

El símbolo para el diez es XEl símbolo para el diez es X

diez = Xdiez = X

Probablemente dos manos unidas por las Probablemente dos manos unidas por las muñecas.muñecas.

Escribir númerosEscribir números

El "veintitrés" sería XXIIIEl "veintitrés" sería XXIII

23 = XXIII23 = XXIII

El "cuarenta y ocho" sería XXXXVIIlEl "cuarenta y ocho" sería XXXXVIIl

48 = XXXXVIII48 = XXXXVIII

Escribir númerosEscribir números Los otros números:Los otros números:

"cincuenta" es L"cincuenta" es L"cien " es C"cien " es C

"quinientos" es D"quinientos" es D"mil " es M. "mil " es M.

CC es la primera letra de centum (que es la primera letra de centum (que quiere decir "cien") quiere decir "cien") MM es la primera letra de mille (mil). es la primera letra de mille (mil).

Números romanosNúmeros romanos

Números romanosNúmeros romanos

Ahora podemos escribir Ahora podemos escribir ""mil setecientos mil setecientos sesenta y tressesenta y tres"" en números romanos como en números romanos como sigue:sigue:

1 763 = MDCCLXIII 1 763 = MDCCLXIII

Números romanosNúmeros romanos

Los números se pueden escribir en Los números se pueden escribir en cualquier orden, el número 1763 se cualquier orden, el número 1763 se podría escribir así:podría escribir así:

1 763 = IIICMDCXLX1 763 = IIICMDCXLX

¡Pero no se entendería nada!¡Pero no se entendería nada!

Números romanosNúmeros romanos

Por lo tanto es mejor "seguir un orden".Por lo tanto es mejor "seguir un orden". Primero escribiremos los millares, luego Primero escribiremos los millares, luego

las centenas, las decenas y finalmente las las centenas, las decenas y finalmente las unidades:unidades:

1 763 = MDCCLXIII 1 763 = MDCCLXIII

Números romanosNúmeros romanos

Si escribe un número y le sigue un número Si escribe un número y le sigue un número menor se suman.menor se suman.

Si escribe un número y le antecede un Si escribe un número y le antecede un número menor se restan.número menor se restan.

Números romanosNúmeros romanos

VIVI es "cinco" más "uno", o sea "seis" es "cinco" más "uno", o sea "seis"

IVIV es "cinco" menos "uno", o sea "cuatro" es "cinco" menos "uno", o sea "cuatro"

Estas son las "reglas" para escribir Estas son las "reglas" para escribir números romanos.números romanos.

Números romanosNúmeros romanos

Si:Si:

IVIV es "cinco" menos "uno“ es "cinco" menos "uno“

Entonces:Entonces:

IIVIIV es el "tres" es el "tres" ¿?¿?

No. La regla nos dice que sólo se acepta No. La regla nos dice que sólo se acepta un símbolo.un símbolo.

Números romanosNúmeros romanos

LXLX es "sesenta", mientras que es "sesenta", mientras que

XLXL es "cuarenta".es "cuarenta".

CXCX es "ciento diez",mientras que es "ciento diez",mientras que

XCXC es "noventa". es "noventa".

MCMC es "mil cien", mientras que es "mil cien", mientras que

CMCM es "novecientos"; etcétera. es "novecientos"; etcétera.

Números romanosNúmeros romanos

Ahora comprendemos la importancia de Ahora comprendemos la importancia de que existan reglas para poder escribir que existan reglas para poder escribir correctamente los números.correctamente los números.

Otra "regla" nos indica que no se pueden Otra "regla" nos indica que no se pueden escribir más de cuatro letras iguales. Por escribir más de cuatro letras iguales. Por que en este sistema también se cuenta en que en este sistema también se cuenta en grupos de cinco.grupos de cinco.

Números romanosNúmeros romanos

Por lo tanto...Por lo tanto...

IIIII = VIIIII = V

XXXXX = LXXXXX = L

CCCCC = DCCCCC = D

MMMMM =MMMMM = ¿? ¿?

Números romanosNúmeros romanos

Se coloca una línea encima de los Se coloca una línea encima de los números para formar los millares:números para formar los millares:

____IV = 4.000IV = 4.000______CXV = 115.000 CXV = 115.000

Los mayasLos mayas

Escribir númerosEscribir números

Con el sistema que introduje al inicio Con el sistema que introduje al inicio donde: donde:

’ ’ representa las unidadesrepresenta las unidades

- - representa las decenasrepresenta las decenas

++ representa las centenas representa las centenas

== representa los miles representa los miles

Y con nueve símbolos:Y con nueve símbolos:

A, B, C, D, E, F, G, H, IA, B, C, D, E, F, G, H, I

Escribir númerosEscribir números

Podríamos escribir cada número con un Podríamos escribir cada número con un pequeño sombrerito que indicará: = + - ’. pequeño sombrerito que indicará: = + - ’.

Vamos a escribir "dos mil quinientos Vamos a escribir "dos mil quinientos ochenta y uno":ochenta y uno":

= + - ’= + - ’

B E H AB E H A

Escribir númerosEscribir números

Escribamos "cinco mil quinientos Escribamos "cinco mil quinientos cincuenta y cinco":cincuenta y cinco":

= + - ’= + - ’

E E E EE E E E

Escribir númerosEscribir números

Entonces:Entonces:

EEEE = "cinco mil quinientos cincuenta y EEEE = "cinco mil quinientos cincuenta y cinco"cinco"

Pero ¿Qué pasaría si en un número dado Pero ¿Qué pasaría si en un número dado no hubiera ninguna decena, o tal vez no hubiera ninguna decena, o tal vez ninguna unidad? ninguna unidad?

Escribir númerosEscribir números

Escribamos el "diez" y el "ciento uno" :Escribamos el "diez" y el "ciento uno" :

10 = 10 = - ’- ’

AA

101 =101 = + - ’+ - ’

A A A A

Escribir númerosEscribir números

Podríamos emplear $ para simbolizar Podríamos emplear $ para simbolizar NADA:NADA:

10 = 10 = - ’- ’

A $A $

101 =101 = + - ’+ - ’

A $ A A $ A

¡Eureka!¡Eureka!

¡Así nació el cero!¡Así nació el cero!

Los descubrieron los mayas.Los descubrieron los mayas.

Los hindúes lo llamaron Los hindúes lo llamaron sunyasunya..

Los árabes Los árabes céfercéfer (vacío). (vacío).

De aquí nacen las palabras cifra y cero.De aquí nacen las palabras cifra y cero.

Los números arábigosLos números arábigos

Los números arábigos como los usamos Los números arábigos como los usamos ahora son, por supuesto, ahora son, por supuesto, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 97, 8, 9 y el importantísimoy el importantísimo 00..

Se llaman Se llaman arábigosarábigos por que los europeos por que los europeos aprendieron estos números de los árabes.aprendieron estos números de los árabes.

¡Y no se parecen en nada a las letras del ¡Y no se parecen en nada a las letras del alfabeto!alfabeto!

Los números arábigosLos números arábigos

Permiten mayor facilidad en el cálculo. ¡Y Permiten mayor facilidad en el cálculo. ¡Y se acabaron las confusiones por que los se acabaron las confusiones por que los números, ahora si, son distintos a las números, ahora si, son distintos a las letras!letras!

Los números arábigosLos números arábigos

Es el mejor de todos los sistemas que ha Es el mejor de todos los sistemas que ha creado el hombre. Sencillo y práctico.creado el hombre. Sencillo y práctico.

Los números arábigosLos números arábigos

Serie Matemática_1Serie Matemática_1Noviembre - 2007Noviembre - 2007

Leonardo Sánchez CoelloLeonardo Sánchez Coello

conocerciencia@yahoo.esconocerciencia@yahoo.es