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Introducción al Control Difuso
Introducción
Para la mayoría de sistemas en ingeniería, hay dos fuentes importantes de información: los sensores que proveen medidas
numéricas de variables, y los expertos humanos que proveen
instrucciones y descripciones lingüísticas acerca del sistema.
La información numérica que la proveen los sensores, es la fuente única de información en las aproximaciones
convencionales a problemas de ingeniería, mientras que
difícilmente incorporamos la información lingüística. Debido a
que hay gran cantidad de conocimiento almacenado en términos
lingüísticos, es muy importante incorporarlo dentro de los problemas de ingeniería de manera sistemática y eficiente,
máxime cuando corresponde a una forma muy cercana de
describir el conocimiento humano.
Una aproximación a la forma como manejamos la información y la procesamos los humanos, fue presentada por Lofti Zadeh por
medio de su Lógica Difusa, la cual permite incluir el razonamiento
impreciso y el manejo de la incertidumbre, desde su misma
concepción, bajo una connotación de procesamiento de datos aproximado y con palabras.
¿Por qué la información lingüística puede ser representada
usando Lógica Difusa?
Conjuntos Difusos
En 1964 Zadeh propone por primera vez la noción de conjuntos difusos en un memorando interno de investigación.
En 1965, la revista "Informationand Control" publica el memorando anterior, como el artículo "Fuzzy Sets".
Controladores Difusos
En 1974, el Británico Ebrahim Mandani, demuestra la aplicabilidad de la lógica difusa en el campo del control. desarrolla el primer sistema de Control Difuso práctico: La Regulación de un Motor de Vapor.
Modelado Difuso
El modelado difuso fue propuesto con el sistema Takagi Sugeno y a través de él podemos intentar acercar los paradigmas matemáticos y lingüísticos para describir un problema o un sistema.
Fuzzy Boom
� Los japoneses empiezan a explotar la lógica difusa de forma masiva, mientras que los occidentales asumen una actitud reacia, frente a estos nuevos desarrollos.
� Aparece toda una serie de investigadores japoneses en el campo de la lógica difusa tales como Sugeno, Togai, Bart Kosko.
� En 1986, Yamakawa, "Fuzzy Controller hardware system". Desarrolla controladores fuzzy en circuitos integrados.
� En 1987, en el Japón se inaugura el tren subterráneo de Sendai, lo que representa un gran hito en la historia de los sistemas difusos, pues el tren es controlado y guiado por us sistema difuso, siendo famosa su suavidad para los pasajeros, sobretodo en el frenado.
� En 1987, aparece el concepto de “Fuzzy Boom", ya que se comercializa una multitud de productos basados en la lógica difusa, sobretodo en el Japón, pero ya para son bien conocidos productos como las cámaras de fotografía y video con ajuste de imagen difusos, entre otros.
Modelado Neuro-Difuso
El modelado difuso fue propuesto con el sistema Takagi Sugeno y en él se integran las potencialidades de los sistemas difusos y las redes neuronales artificiales. El primero aporta la claridad en cuanto a la descripción del modelo y las segundas su capacidad de adaptación gracias al aprendizaje.
Lógica Difusa Tipo 2
Aunque esta nueva forma de modelar el conocimiento impreciso fue propuesta en 1975 por Zadeh, solo a partir del año 2000 se ha empezado a formular una serie de aplicaciones en el ámbito del control de procesos, procesamiento digital de señales y robótica.En este nuevo paradigma la imprecisión se intenta modelar de una manera más ajustada a la realidad recurriendo a generación de niveles de pertenencia también imprecisos.
Conceptos de Lógica Difusa
Conjunto Binario vs. Conjunto Difuso
Conjunto Binario Conjunto Difuso
150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 2000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Altura (cm)150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 2000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
¿Cómo podemos representar matemáticamente un conjunto difuso?
Conjuntos Difusos con Universos Discretos
0.9Medellín
0.3San Vicente
0.9Cali
µAx
Ciudad deseable para vivir
{ }{ }{ }( )...3.0,Vicente San,9.0,Medellin,9.0,Cali=A{ } { } { } { }
{ } { } { }
=
1.0,6,2.0,5,3.0,4
,7.0,3,0.1,2,5.0,1,1.0,0A
0.16
0.25
0.34
0.73
1.02
0.51
0.10
µAx
Número aceptable de hijos
Conjuntos Difusos con Universos Continuos
e-((x-30)/2)^2x≥0, x∈Rn
µAX
Edad alrededor de 30 años
20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Edad
Categorización de una variable con conjuntos difusos
Altura de una persona
[180,200]Muy Alta (MA)
[170,190]Alta (A)
[160,180]Normal (N)
[150,170]Baja (B)
[140,160]Muy Baja (MB)
Rango (cm)Etiqueta
X = [140,200] cm
Conjuntos Difusos
Funciones de Pertenencia
−
−
−
−= 01minmax ,
cd
xd,,
ab
ax,b,c,d)trapmf(x;a
−
−
−
−= 0minmax ,
bc
xc,ab
axb,c)trimf(x;a,
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Niv
el de P
ert
enencia
Triangular
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Niv
el de P
ert
enencia
Trapezoidal
Triangular Trapezoidal
(a) (b) (c) (a) (b) (c) (d)
Funciones de Pertenencia
2
2
1
,
−−
= σ
cx
e)cgaussmf(x; σ b
b
cxb,c)gbellmf(x;
2
1
1
−+
=
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Niv
el de P
ert
enencia
Gaussiana
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Niv
el de P
ert
enencia
Campana Generalizada
Gaussiana Campana Generalizada
Operaciones entre Conjuntos Difusos
Conjunto A Conjunto B
Operaciones entre Conjuntos DifusosIntersección
{ }XxBxAxxBAC ∈∀∈∧∈=∩= ,:
( ) ( ){ }xx BABA µµ ,min=∩( ) ( )xx BABA µµµ ⋅=∩
Mínimo Producto
Operaciones entre Conjuntos DifusosUnión
{ }XxBxAxxBAC ∈∀∈∨∈=∪= ,:
( ) ( ){ }xx BABA µµ ,max=∪( ) ( ) ( ) ( )xxxx BABABA µµµµµ ⋅−+=∪
Máximo Suma Algebraica
Operaciones entre Conjuntos Difusos:NOT o Complemento
AA µµ −=1
{ }XxAxxAC ∈∀∉== ,:'
Razonamiento Difuso
El razonamiento difuso está basado en la regla de inferencia Modus Ponens Generalizado (del latín modo que afirma) es una regla de inferencia simple que esta definido como:
Premisa 1: x es A’Premisa 2: SI x es A, ENTONCES y es B
Consecuente: y es B’
Donde A, A’ , B, B’ son conjuntos difusos, x, y son variables lingüísticas. El modus ponems generalizado es usado ya que permite realizar una inferencia cuando el antecedente es parcialmente conocido o cuando es similar pero no igual a A.
Sistemas de Lógica Difusa Puro
MECANISMO DE INFERENCIA DIFUSA
ENTRADA DIFUSA EN U
SALIDA DIFUSA EN V
BASE DE REGLAS DIFUSAS
Un sistema de lógica difusa puro, está compuesto por una base de reglas y un mecanismo de inferencia con los cuales se determina una transformación desde los conjuntos difusos en un universo de discurso de entrada U ∈∈∈∈ Rn, hacia los conjuntos difusos en un universo de discurso de salida V∈∈∈∈Rn. Tienen la desventaja de que sus entradas y salidas son conjuntos difusos, cuando la mayoría de problemas en ingeniería las entradas y salidas son valores numéricos reales. Sin embargo, son útiles para hacer uso sistemático de información lingüística.
Sistemas de Lógica Difusa Takagi Sugeno
En los sistemas de lógica difusa tipo Takagi Sugeno, la base de reglas de inferencia poseen consecuentes de tipo numérico. Podemos considerar que el antecedente de estas reglas es difuso, mientras que el consecuente es determinístico.
Sistemas de Lógica Difusa con Fuzzificador y Defuzzificador
MECANISMO DE INFERENCIA DIFUSA
ENTRADA DIFUSA EN U
SALIDA DIFUSA EN V
BASE DE REGLAS DIFUSAS
FUZZIFICADOR DEFUZZIFICADOR
X EN U Y EN V
Sistemas Difusos
Sistemas Difusos
Takagi-Sugeno-Kang Mamdani
Lingüísticos Aproximados
Inferencia Difusa
Nos han llamado para diseñar un sistema que prediga el número de posibles asistentes a una sala múltiple de cine ubicada en un centro comercial muy popular de nuestra ciudad. Cómo podríamos predecir el público que asistiría a una película en particular, con base en un sistema de inferencia difuso?
Inferencia Mamdani
Si x1 es A11 AND x2 es A12 ENTONCES y es B1
Si x1 es A21 AND x2 es A22 ENTONCES y es B2
REGLAS DE
INFERENCIA
X1 X2
MIN
A21
A11
A22
A12A12(X2)
A11(X1)
A21(X1)
A22(X2)
B2
B1
X1 X2AGREGACIÓN
x2x1
COG
x2x1
Inferencia Sugeno
Si x1 es A11 AND x2 es A12 ENTONCES y1=F(x1,x2)
Si x1 es A21 AND x2 es A22 ENTONCES y2=F(x1,x2)
REGLAS DE
INFERENCIA
PROD
X1 X2
A21
A11
A22
A12A12(X2)
A11(X1)
A21(X1)
A22(X2)
W2
W1
X1 X2 AGREGACIÓN
Y1=F(X1,X2)
Y2=F(X1,X2)
21
2211
WW
YWYWY
+
+=
x2x1
x1 x2
Control DifusoEl control difuso es una estrategia que pertenece al Control Inteligente cuyas decisiones las toma utilizando un sistema de inferencia basado en lógica difusa.Un controlador Difuso es por naturaleza no lineal y existen diversos tipos, en general se define un conjunto de estructuras básicas cuyo comportamiento se aproxima a los controladores clásicos del tipo Proporcional (P), Integral (I) o Derivativo (D). Donde estas denominaciones dependen del procesamiento que se realice sobre la señal de error antes de entrar al sistema de inferencia difuso.En este curso estudiaremos los siguientes esquemas:� Controlador P difuso� Controlador PD difuso con Acción de Control
Incremental� Controlador PD difuso con derivada de la salida� Controlador PI difuso� Controlador PID difuso
Control P Difuso
PLANTASISTEMA DE LÓGICA DIFUSAe(k)ENTRADA
+
-
u(k) SALIDA
y(k)
Control PD Difuso
PLANTAe(k)ENTRADA
+
- u(k) SALIDA
y(k)
de/dt
SISTEMA DE LÓGICA DIFUSA
Controlador PD Difuso con Acción de Control Incremental
Controlador PD Difuso con Acción de Control Incremental
Acción de Control luego de la integración
Salida incremental del sistema difuso
Controlador PD Difuso con derivada de la salida
PLANTAe(k)ENTRADA
+
- u(k) SALIDAdy/dt
SISTEMA DE LÓGICA DIFUSA
y(k)
Controlador PI Difuso
PLANTAe(k)ENTRADA
+
- u(k) SALIDA
y(k)
1/s
SISTEMA DE LÓGICA DIFUSA
Controlador PID Difuso
PLANTA
e(k)
ENTRADA+
- u(k) SALIDA
y(k)
de/dt
SISTEMA DE LÓGICA DIFUSA1/s
Control de NivelDefinición del Problema
Como ejemplo vamos a controlar el nivel de un liquido en un tanque usando un controlador difuso, en donde las variables de entrada del controlador corresponden al error en el nivel y a la derivada del nivel.Como variable de salida consideraremos la acción incremental sobre la apertura de la válvula.
Control de NivelConjuntos Difusos
Error
Derivada del Nivel
Acción Incremental
Control de NivelBase de Reglas
AMAMAMAMAMMP
AAAAAMP
CMCQAAMC
CMCCCCN
CMCMCMCMCMMN
ERROR
MPPCNMN
DERIVADA DEL NIVELREGLAS
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
errorderivadactr
l
Control de NivelSimulación del Controlador
t
tiempo
1.5
10s+1
Transfer Fcn
u
To Workspace2
y
To Workspace1
r
To Workspace
SubtractStep
MATLAB
Function
MATLAB Fcn
1
s
Integrator
1.1
Gain2
1.5
Gain1
10
Gain
du/dt
Derivative
Clock
Control de NivelAnálisis de Desempeño
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Refe
rencia
y S
alid
a
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
tiempo
Acció
n d
e C
ontr
ol
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
0.1
0.2
0.3
0.4
Refe
rencia
y S
alid
a0 50 100 150 200 250 300 350 400
-0.5
0
0.5
tiempo
Acció
n d
e C
ontr
ol