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Cuaderno de trabajo
Matemáticas 2
Colaboración
Humberto Hipólito García Díaz
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus Guadalajara
George Thomas
Maurice Weir
Joel Hass
David Lay
Cuaderno de trabajo
Matemáticas 2
Datos de catalogación bibliográfica
Páginas: 88
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2012ISBN: 978-607-32-0861-1Área: Matemáticas
Formato: 20 × 25.5 cm
Cuaderno de trabajo Matemáticas 2.Primera edición
THOMAS, GEORGE et al.
Authorized translation from the English language edition, entitleds
• Thomas Calculus, Single Variable, 12th Edition, by George Thomas, Maurice Weir, Joel Hass, published by Pearson Education Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2010. Original ISBN 978-032-16-3742-0. Translation ISBN 978-607-32-0164-3
• Thomas Calculus, Multivariable, 12th Edition, by George Thomas, Maurice Weir, Joel Hass, published by Pearson Education Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2010. Original ISBN 978-032-16-4369-8. Translation ISBN 978-607-32-0209-1.
• Linear Algebra and its applications, 3th Edition, by David C. Lay, published by Pearson Education Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2006. Original ISBN 978-032-12-8713-7. Translation ISBN 978-970-26-0906-3. All rights reserved.
Adaptación de la traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulados:
• Thomas Calculus, Single Variable, 12a Edición, por George Thomas, Maurice Weir, Joel Hass, publicada por Pearson Education Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright © 2010. ISBN Original 978-0321637420. ISBN Traducción 978-607-32-0164-3
• Thomas Calculus, Multivariable, 12th Edición, por George Thomas, Maurice Weir, Joel Hass, publicada por Pearson Education Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright © 2010. ISBN Original 978-032-16-4369-8. ISBN Traducción 978-607-32-0209-1.
• Linear Algebra and its applications, 3th Edición, por David C. Lay, publicada por Pearson Education Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright © 2006. ISBN Original 978-032-12-8713-7. ISBN Traducción 978-970-26-0906-3. Todos los derechos reservados.
Editor: Carlos Mario Ramírez Torres carlosmario.ramirez@pearsoned.comEditor de desarrollo: Claudia Silva MoralesSupervisor de producción: Enrique Trejo Hernández
PRIMERA EDICIÓN, 2012
D.R. © 2012 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5º piso Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031.
Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóp-tico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito de los coeditores.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización de los coeditores o de sus representantes.
ISBN 978-607-32-0861-1 ISBN e-book 978-607-32-0862-8 ISBN e-chapter 978-607-32-0863-5 Impreso en México. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 15 14 13 12
www.pearsoneducacion.net ISBN 978-607-32-0861-1
v
Tema 1 Antiderivadaseintegraldefinida 1 Determinación de antiderivadas 1 Integrales indefinidas 1
Tema 2 Teoremafundamentaldelcálculo 7
Tema 3 Regladesustitución 11
Tema 4 Integraciónporpartes 17
Tema 5 Ecuacionesdiferenciales 21
Tema 6 Áreadebajodelacurva 25 Área debajo de la gráfica de una función no negativa 25
Tema 7 Áreaentrecurvas 27
Tema 8 Integralesimpropias 33
Tema 9 Sistemadecoordenadastridimensionales 37 Sistemas de coordenadas tridimensionales 37
Contenido
Contenidovi
Tema 10 Superficiescilíndricas 41 Superficies cuádricas 42
Tema 11 Definicióndefuncióndevariasvariables 47 Funciones de varias variables 47
Tema 12 Derivadasparciales 49
Tema 13 Valoresextremosypuntossilla 57
Tema 14 MultiplicadoresdeLagrange 61
Tema 15 Operacionesentrematrices 65
Tema 16 Solucióndesistemadeecuaciones 69
Tema 17 Autovaloresyautovectores 73
Tema 18 Sucesiones 75
Tema 19 Series 77
Tema 20 SeriesdeTayloryMaclaurin 79
1
Tema 1
Antiderivadas e integral definida
DEFINICIÓN Una función F es una antiderivada de f en un intervalo I si F′(x) = f (x) para toda x en I.
TEOREMA Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces la antiderivada más general de f en I es
F(x) + Cdonde C es una constante arbitraria.
Determinación de antiderivadas
DEFINICIÓN La colección de todas las antiderivadas de f se denomina la integral indefinida de f con respecto a x, la cual se denota mediante
ƒ(x) dx.
El símbolo es un signo de integral. La función f es el integrando de la integral, y x es la variable de integración.
Integrales indefinidas
Antiderivada generalFunciónAntiderivada generalFunción
1k
tan kx + C
1k
sen kx + C
−1k
cos kx + C
1n + 1
xn+ 1 + C, n ≠ 1
sen kx
cos kx
sec 2 kx
x n
sec kx tan kx
csc kx cot kx −1k
csc kx + C
1k
sec kx + C
−1k
cot kx + Ccsc 2 kx−
Fórmulas para antiderivadas, k es una constante distinta de cero
Cuaderno de trabajo Matemáticas 22
En los siguientes ejercicios, determine la antiderivada más general o la integral indefi-nida. Compruebe sus respuestas mediante diferenciación.
• • 3t2 + t2
dt
• •1x2 − x2 − 1
3 dx
• • x + 3 x dx
• • 2x(1 − x−3) dx
TEMA 1 Antiderivadas e integral definida 3
• • 7 senθ θ 3
d
• • 4 + t
t3 dt
• • 3 cos 5θ θ d
Indique si cada fórmula es correcta o incorrecta y dé una breve justificación para cada respuesta.
a) •
•
• x sen x dx = x cos x + sen x + C
x sen x dx = x cos x + C
x sen x dx = x2
2 sen x + C
−
−
Cuaderno de trabajo Matemáticas 24
b)
•
•
• x sen x dx = x cos x + sen x + C
x sen x dx = x cos x + C
x sen x dx = x2
2 sen x + C
−
−
c)
•
•
• x sen x dx = x cos x + sen x + C
x sen x dx = x cos x + C
x sen x dx = x2
2 sen x + C
−
−
Indique si cada fórmula es correcta o incorrecta y dé una breve justificación para cada respuesta.
a)
•
• 6(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C
3(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C
• (2x + 1)2 dx =(2x + 1)3
3+ C
b) •
• 6(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C
3(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C
• (2x + 1)2 dx =(2x + 1)3
3+ C
TEMA 1 Antiderivadas e integral definida 5
c)
•
• 6(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C
3(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C
• (2x + 1)2 dx =(2x + 1)3
3+ C
Indique si cada fórmula es correcta o incorrecta y dé una breve justificación para cada respuesta.
a) •
•
• 2x + 1 dx = 13
2x + 1 3 + C
2x + 1 dx = x2 + x + C
2x + 1 dx = x2 + x + C
b)
•
•
• 2x + 1 dx = 13
2x + 1 3 + C
2x + 1 dx = x2 + x + C
2x + 1 dx = x2 + x + C
c)
•
•
• 2x + 1 dx = 13
2x + 1 3 + C
2x + 1 dx = x2 + x + C
2x + 1 dx = x2 + x + C
7
TEOREMA Fundamental del cálculo, parte 1 Si f es continua en [a, b], entonces F(x) =
a
x ƒ(t) dt es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y su derivada es f (x):
F (x) = ddx
x
aƒ(t) dt = ƒ(x).
TEOREMA Cuando f y g son integrables en el intervalo [a, b], la integral definida satisface las reglas de la siguiente tabla.
Tema 2
Teorema fundamental del cálculo
1. Orden de integración: Una de�nición.
2. Intervalo con ancho cero:
3. Múltiplo constante: k cualquier constante.
4. Suma y diferencia:
5. Aditividad:
6. Desigualdad máx-mín: Si f tiene un valor máximo, máx f , y un valor mínimo,mín f , en [a, b], entonces
7. Dominación:
(Caso especial).ƒ x ≥ 0 en [a, b] b
aƒ x dx ≥ 0
ƒ x ≥ g x en [a, b] b
aƒ x dx ≥
b
ag x dx
mín ƒ b − a ≤b
aƒ x dx ≤ máx ƒ b − a
b
aƒ x dx +
c
bƒ x dx =
c
aƒ x dx
b
aƒ x ± g x dx =
b
aƒ x dx ±
b
ag x dx
b
akƒ x dx = k
b
aƒ x dx
a
aƒ x dx = 0
a
bƒ x dx =
b
aƒ x dx
Una de�nición cuando f (a) existe.
−
Reglas que satisfacen las integrales definidas
TEOREMA Fundamental del cálculo, parte 2 Si f es continua en todo punto en [a, b] y f es cualquier antiderivada de f en [a, b], entonces
b
aƒ(x) dx F(b) F(a).
Cuaderno de trabajo Matemáticas 28
Evalúe las integrales en los siguientes ejercicios.
• •0
−2(2x + 5) dx
• •2
0 x(x − 3) dx
• •4
03x − x3
4 dx
• •1
0x2 + x dx
TEMA 2 Teorema fundamental del cálculo 9
• •0
2 1 + cos 2t
2 dt
• •1
2
u7
2− 1
u5 du
• •2
1
s2 + s
s2 ds
• •1
−1 (x2 − 2x + 3) dx
Cuaderno de trabajo Matemáticas 210
• •32
1x−6 5 dx
• •0
(1 + cos x) dx
11
Tema 3
Regla de sustitución
TEOREMA Regla de sustitución Si u = g(x) es una función derivable cuyo rango es un intervalo I, y f es continua en I, entonces
ƒ g x g x dx = ƒ u du.
Evalúe las integrales indefinidas en los siguientes ejercicios; hágalo usando las susti-tuciones dadas para reducir las integrales a una forma estándar.
• sen 3x dx, u = 3x
• 12( y4 + 4y2 + 1)2( y3 + 2y) dy, u = y4 + 4y2 + 1
• dx
5x + 8
Cuaderno de trabajo Matemáticas 212
Evalúe las integrales en los siguientes ejercicios.
• 41 − θθθ 2 d
• 1
x (1 + x)2 dx
• r2 r3
18− 1
5
dr
• sen (2t + 1)
cos2 (2t + 1) dt
TEMA 3 Regla de sustitución 13
• 1
sen1
cos 1
d
•cos
sen2 d
• x
(x2 − 4)3dx
Evalúe las integrales en los siguientes ejercicios.
•−2
−3 dxx
Cuaderno de trabajo Matemáticas 214
•2y dy
y2 − 25
•0
sen t2 − cos t
dt
• 8r dr
4r2 − 5
•4
2
dxx ln x
TEMA 3 Regla de sustitución 15
Evalúe las integrales en los siguientes ejercicios.
• e r
rdr
• 2t e−t 2dt
•e1 x
x2 dx
•e−1 x2
x3dx
Cuaderno de trabajo Matemáticas 216
•ln 2
ln 62e cos e d
•ln
02x ex2
cos (ex2) dx
• er
1 + er dr
17
Tema 4
Integración por partesFórmula de integración por partes
Mediante integración por partes, evalúe las integrales de los siguientes ejercicios.
• x senx2
dx
• cos π θθθ d
• t2 cos t dt
u d = u − du.
Cuaderno de trabajo Matemáticas 218
•2
1x ln x dx
•e
1x3 ln x dx
• xe3x dx
• (x2 − 5x)ex dx
TEMA 4 Integración por partes 19
• 5ex dxx + 1
• 3(ln x) 2 dx
• 4 x ln x dx2
21
Tema 5Ecuaciones diferenciales
En los siguientes ejercicios, demuestre que cada función y = f (x) es una solución de la ecuación diferencial que le acompaña.
•
a) b) c) y = e−x + Ce−(3 2)xy = e−x + e−(3 2)xy = e−x
2y + 3y = e−x
•
a) b) c) y1
x + Cy
1x + 3
y1x
y y2
Cuaderno de trabajo Matemáticas 222
En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación diferencial.
• 2 xy dy
dx= 1, x, y > 0
•dy
dx= x2 y, y > 0
•dy
dx= 3x2 e−y
• 2xy dy
dx= 1
TEMA 5 Ecuaciones diferenciales 23
• x dy
dx= ey + x, x > 0
•dy
dx= 2x 1 − y2, −1 < y < 1
•dy
dx= e2x−y
ex+y
25
Tema 6
Área debajo de la curva
En los siguientes ejercicios, determine el área total entre la función y el eje x.
DEFINICIÓN Si y = f (x) es no negativa e integrable en un intervalo cerrado [a, b], entonces el área debajo de la curva y ∙ f (x) en [a, b] es la integral de f de a a b,
Área debajo de la gráfica de una función no negativa
A =b
aƒ(x) dx.
• y x2 − 2x, −3 ≤ x ≤ 2
• y = 3x2 − 3, −2 ≤ x ≤ 2
Cuaderno de trabajo Matemáticas 226
En siguiente ejercicio, determine el área de la región sombreada.
• y = x3 − 3x2 + 2x, 0 ≤ x ≤ 2
• y = x1 3 − x, −1 ≤ x ≤ 8
• y
x
1
656
y sen x
27
Tema 7
Área entre curvas
DEFINICIÓN Si f y g son continuas con f (x) − g(x) en todo [a, b], entonces el área de la región entre las curvas y ∙ f (x) y y ∙ g(x) de a a b es la integral de ( f − g) de a a b:
A =b
a[ƒ(x) − g (x)] dx.
En los siguientes ejercicios, determine las áreas totales de las regiones sombreadas.
•
0 2–2x
y
y x 4 x2
Cuaderno de trabajo Matemáticas 228
•
x
y
0–1
–1
–2
–3
–2–
y 3(sen x) 1 cos x
•
0 1
1
x
y
(1, 1)
x y2
x y3
28
TEMA 7 Área entre curvas 29
•
x
y
–10
2
1–1–2 2
(–2, –10)
y 2x3 x2 5x
y –x2 3x
(2, 2)
•
x
y
–1 0
–2
1
1
y x2
y –2x4
Cuaderno de trabajo Matemáticas 230
•
x
y
–1 1 2 3–2
2
–5
4
(3, –5)
(–2, 4) y 4 x2
y –x 2
En los siguientes ejercicios, determine las áreas de las regiones encerradas por las rectas y las curvas.
• y = x2 − 2 y y = 2
y = 2x − x2 y y = −3
y = x4 y y = 8x
y = x2 − 2x y y = x
y = x2 y y = −x2 + 4x
y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4
•
y = x2 − 2 y y = 2
y = 2x − x2 y y = −3
y = x4 y y = 8x
y = x2 − 2x y y = x
y = x2 y y = −x2 + 4x
y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4
TEMA 7 Área entre curvas 31
•
y = x2 − 2 y y = 2
y = 2x − x2 y y = −3
y = x4 y y = 8x
y = x2 − 2x y y = x
y = x2 y y = −x2 + 4x
y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4
•
y = x2 − 2 y y = 2
y = 2x − x2 y y = −3
y = x4 y y = 8x
y = x2 − 2x y y = x
y = x2 y y = −x2 + 4x
y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4
•
y = x2 − 2 y y = 2
y = 2x − x2 y y = −3
y = x4 y y = 8x
y = x2 − 2x y y = x
y = x2 y y = −x2 + 4x
y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4
•
y = x2 − 2 y y = 2
y = 2x − x2 y y = −3
y = x4 y y = 8x
y = x2 − 2x y y = x
y = x2 y y = −x2 + 4x
y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4
33
Tema 8
Integrales impropias
DEFINICIÓN Las integrales con límites de integración infinitos son integrales im-propias del tipo I.
1. Si f (x) es continua en [a, q), entonces
2. Si f (x) es continua en (–q, b], entonces
3. Si f (x) es continua en (–q, q), entonces
donde c es cualquier número real.
En cada caso, si el límite es finito, decimos que la integral impropia converge y que el lí-mite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral impropia diverge.
aƒ(x) dx = lím
b
b
aƒ(x) dx .
b
ƒ(x) dx = líma
b
aƒ(x) dx .
ƒ(x) dx =c
ƒ(x) dx +c
ƒ(x) dx ,
DEFINICIÓN Las integrales de funciones que se vuelven infinitas en un punto dentro del intervalo de integración son integrales impropias de tipo II.
1. Si f (x) es continua en (a, b] y es discontinua en a, entonces
2. Si f (x) es continua en [a, b) y es discontinua en b, entonces
3. Si f (x) es discontinua en c, donde a, c, b, y es continua en [a, c) ∪ (c, b], en-tonces
b
aƒ(x) dx = lím
c a+
b
cƒ(x) dx .
b
aƒ(x) dx = lím
c b
c
aƒ(x) dx .
b
aƒ(x) dx =
c
aƒ(x) dx +
b
cƒ(x) dx .
Cuaderno de trabajo Matemáticas 234
Evalúe las integrales en los siguientes ejercicios sin utilizar tablas.
•1
0
dxx
•1
−1
dx
x2 3
•2x dx
(x2 + 1)2
•1
0
+θ 12 + 2θθ
dθ
En cada caso, si el límite es finito decimos que la integral impropia converge y que el límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral diverge.
TEMA 8 Integrales impropias 35
•1
dx
x1.001
•4
0
dx
4 − x
•1
0
dr
r0.999
•x dx
(x2 + 4)3 2
37
Tema 9
Sistema de coordenadas tridimensionales
z
x
(x, 0, 0)
(x, y, 0)
(x, 0, z)
(0, 0, z)
(0, y, z)
(0, y, 0)
x = constante
y = constante
z = constante
y
P(x, y, z)0
Sistemas de coordenadas tridimensionales
El sistema coordenado cartesiano sigue la convención de la mano derecha.
z
plano yz: x 0
plano xz: y 0
plano xy: z 0
y
x
(0, 0, 0)
Origen
Los planos x = 0, y = 0 y z = 0 dividen al espacio en ocho octantes.
Cuaderno de trabajo Matemáticas 238
y
z
x
(0, 0, 5) (2, 3, 5)
(0, 3, 0)(2, 0, 0)
0
Recta y 3, z 5
Recta x 2, z 5
Plano y 3
Recta x 2, y 3
Plano z 5
Plano x 2
Los planos x = 2, y = 3 y z = 5 determinan tres rectas que pasan por el punto (2, 3, 5).
En los siguientes ejercicios describa el conjunto dado con una ecuación o con un par de ecuaciones.
El plano perpendicular a
a) el eje x en (3, 0, 0)
b) el eje y en (0, − 1, 0)
c) el eje z en (0, 0, −2)
•
TEMA 9 Sistema de coordenadas tridimensionales 39
El plano que pasa por el punto (3, −1, 2) perpendicular a
a) el eje x
b) el eje y
c) el eje z
•
El plano que pasa por el punto (3, −1, 1) paralelo a
a) el plano xy
b) el plano yz
c) el plano xz
•
41
Tema 10
Superficies cilíndricas
y
z
xRectas que pasan por la curva generatriz paralelas al eje x
Curva generatriz(en el plano yz)
Cilindros
Un cilindro es una superficie que se genera por el movimiento de una línea recta pa-ralela a una recta fija dada a lo largo de una curva plana dada. La curva se llama cur-va generatriz del cilindro (ver figura). En geometría sólida, donde cilindro significa cilindro circular, las curvas generatrices son circunferencias, pero ahora permitimos curvas generatrices de cualquier tipo. El cilindro de nuestro primer ejemplo es gene-rado por una parábola.
Cilindro y curva generatriz.
Cuaderno de trabajo Matemáticas 242
Ax2 + By2 + Cz2 + Dz = E,
Superficies cuádricas
donde A, B, C, D y E son constantes. Las superficies cuádricas básicas son los elip-soides, los paraboloides, los conos elípticos y los hiperboloides. Las esferas son casos especiales de los elipsoides. Daremos unos cuantos ejemplos para ilustrar cómo dibujar una superficie cuádrica y luego presentamos una tabla de gráficas en la que se resumen los tipos básicos.
y
x
z
EL
IPS
E
c
z0
a
b y
x
z
EL
I PS
E
ELIPSE
Sección transversal elíptica en el plano z z0
La elipse 1
en el plano xy
x2
a2
y2
b2
La elipse 1
en el plano yz
y2
b2z2
c2
La elipse
en el plano xz
x2
a2z2
c2 1
x
z
y
PARÁ
BOLA
0
y x2
P0(x0, x02, 0)
Q0(x0, x02, z)
Todos los puntos del cilindro tienen coordenadas de la forma (x0, x02, z). Le llamamos
“el cilindro y = x2”.
Una superficie cuádrica es la gráfica en el espacio de una ecuación de segundo grado en x, y y z. Nos enfocaremos en la ecuación general
El elipsoide.
TEMA 10 Superficies cilíndricas 43
• x2 + y2 + 4z2 = 10
• z2 + 4y2 − 4x2 = 4
• 9y2 + z2 = 16
• y2 + z2 = x2
Formar pares de ecuaciones y superficies
En los siguientes ejercicios, forme un par con cada ecuación y la superficie que ésta define. También identifique cada superficie por su tipo (paraboloide, elipsoide, etcétera). Las superficies están listadas de la “a” a la “l”.
Cuaderno de trabajo Matemáticas 244
• x = y2 − z2
• x = y2 −− z2
• x2 + 2z2 = 8
• z2 + x2 − y2 = 1
• x = z2 − y2
TEMA 10 Superficies cilíndricas 45
• z
yx
• z
yx
• z
yx
• z
yx
• z
yx
• z
yx
• z = −4x2 − y2
• x2 + 4z2 = y2
• 9x2 + 4y2 + 2z2 = 36
a)
c)
e)
b)
d)
f )
Cuaderno de trabajo Matemáticas 246
• z
yx
• z
yx
• z
yx
• z
yx
• z
x y
• z
yx
g)
k)
i)
h)
l)
j)
47
Tema 11
Definición de función de varias variables
DEFINICIÓN Suponga que D es un conjunto de n-adas de números reales (x1, x2,…, xn). Una función de valores reales f en D es una regla que asigna un único número real (individual)
w = f (x1, x2, , xn)
a cada elemento en D. El conjunto D es el dominio de la función. El conjunto de valores w asignados por f es el rango de la función. El símbolo w es la variable de-pendiente de f, y se dice que f es una función de n variables independientes x1 a xn. También llamamos a las xj variables de entrada de la función y a w la variable de salida de la función.
Determinar los valores de las funciones dadas en los puntos indicados.
• g(x, y, z, ;) )= ex (2y z+ 3 ) g (0, −1, 2
• g(r, s, t, u ;) h(−3, 3, 5, 4)=rs
t 2 u2−
Funciones de varias variables
Cuaderno de trabajo Matemáticas 248
• 3x + 6y + 2z = 12
• y + z = 1
• z = x2 y2 +
• z 1= x2 −− y2
Esbozar las siguientes superficies dadas:
49
Tema 12
Derivadas parciales
DEFINICIÓN La derivada parcial de f (x, y) con respecto a x en el punto (x0, y0) es
si el límite existe.
f
x
(x0, y0)= lím
h 0 f (x0 + h, y0) − f (x0, y0)
h,
DEFINICIÓN La derivada parcial de f (x, y) con respecto a y en el punto (x0, y0) es
siempre que el límite exista.
f
y
(x0, y0)= d
dy f (x0, y)
y =y0
= límh 0
f (x0, y0 + h) − f (x0, y0)
h,
En los siguientes ejercicios, obtenga f/x y f/y.
• f (x, y) = 2x2 − 3y − 4
• f (x, y) = x2 − xy + y2
Cuaderno de trabajo Matemáticas 250
50
f (x, y) = (x2 − 1)( y + 2)•
f (x, y) = 5xy − 7x2 − y2 + 3x − 6y + 2•
• f (x, y) = (xy − 1)2
• f (x, y) = (2x − 3y)3
• f (x, y) = x2 + y2
TEMA 12 Derivadas parciales 51
• f (x, y) = (x3 + ( y 2))2 3
• f (x, y) = e(x+y+1)
• f (x, y) = 1 (x + y)
• f (x, y) = x (x2 + y2)
• f (x, y) = (x + y) (xy − 1)
Cuaderno de trabajo Matemáticas 252
• f (x, y) = e−x sen (x + y)
• f (x, y) = ln (x + y)
• f (x, y) = exy ln y
• f (x, y) = sen2 (x − 3y)
• f (x, y) = cos2 (3x − y2)
TEMA 12 Derivadas parciales 53
• f (x, y, z) = 1 + xy2 − 2z2
• f (x, y, z) = ln (x + 2y + 3z)
• f (x, y, z) = yz ln (xy)
• f (x, y, z) = e−(x2 +y2 +z2)
En los siguientes ejercicios, obtenga fx, fy y fz.
Cuaderno de trabajo Matemáticas 254
• f (x, y) = sen xy
• g (x, y) = x2y + cos y + y sen x
• w = yex2 y
• f (x, y) = x + y + xy
Encuentre todas las derivadas parciales de segundo orden de las funciones de los si-guientes ejercicios.
TEMA 12 Derivadas parciales 55
• w = x sen (x2y)
• w =x − y
x2 + y
57
Tema 13
Valores extremos y puntos sillaDEFINICIÓN Sea que f (x, y) esté definida en una región R que contiene el punto (a, b). Entonces,
1. f (a, b) es un valor máximo local de f si f (a, b) ≥ f (x, y) para todos los puntos (x, y) del dominio en un disco abierto con centro en (a, b).
2. f (a, b) es un valor mínimo local de f si f (a, b) ≤ f (x, y) para todos los puntos (x, y) del dominio en un disco abierto con centro en (a, b).
TEOREMA Criterio de la primera derivada para valores extremos locales.
Si f (x, y) tiene un valor máximo o mínimo local en un punto interior (a, b) de su do-minio, y si las primeras derivadas parciales existen allí, entonces f x(a, b) = 0 y f y(a, b) = 0.
DEFINICIÓN Un punto interior del dominio de una función f (x, y) donde tanto fx como fy se anulan, o donde alguna de éstas no existe, es un punto crítico de f.
DEFINICIÓN Una función derivable f (x, y) tiene un punto de silla en un punto crítico (a, b) si en cada disco abierto con centro en (a, b) existen puntos del dominio (x, y) donde f (x, y) > f (a, b), y puntos del dominio (x, y) donde f (x, y) < f (a, b). El punto correspondiente (a, b, f (a, b)) sobre la superficie z = f (x, y) se llama punto de silla de la superficie.
TEOREMA Criterio de la segunda derivada para valores extremos locales.
Suponga que f (x, y) y sus primeras y segundas derivadas parciales son continuas en un disco con centro en (a, b), y que f x (a, b) = f y(a, b) = 0. Entonces,
i) ƒ tiene un máximo local en (a, b), si f xx < 0 y f xx f yy − f xy2 > 0 en (a, b).
ii) ƒ tiene un mínimo local en (a, b), si f xx > 0 y f xx f yy − f xy2 > 0 en (a, b).
iii) ƒ tiene un punto de silla en (a, b), si f xx f yy − f xy2 < 0 en (a, b).
iv) El criterio no es concluyente en (a, b), si f xx f yy − f xy2 = 0 en (a, b). En este caso,
debemos encontrar otra manera de determinar el comportamiento de f en (a, b).
Cuaderno de trabajo Matemáticas 258
• f (x, y) = x2 + xy + y2 + 3x − 3y + 4
• f (x, y) = 2xy − 5x2 − 2y2 + 4x + 4y − 4
• f (x, y) = x2 + xy + 3x + 2y + 5
• f (x, y) = 5xy − 7x2 + 3x − 6y + 2
• f (x, y) = 2xy − x2 − 2y2 + 3x + 4
Determine todos los máximos locales, los mínimos locales y los puntos de silla de las funciones de los siguientes ejercicios.
TEMA 13 Valores extremos y puntos silla 59
• f (x, y) = x2 − 4xy + y2 + 6y + 2
• f (x, y) = x3 + 3xy2 − 15x + y3 − 15y
• f (x, y) = 1x2 + y2 − 1
• f (x, y) = e2x cos y
• f (x, y =) ex2+y2−4x
61
Tema 14
Multiplicadores de LagrangeEl método de multiplicadores de Lagrange
Suponga que f (x, y, z) y g(x, y, z) son derivables y que g ≠ 0 cuando g(x, y, z) = 0. Para determinar los valores máximos y mínimos locales de f sujeta a la restricción g(x, y, z) = 0 (si ésta existe), se obtienen los valores de x, y, z y que satisfacen en forma simultánea las ecuaciones
ƒ = g y g(x, y, z) = 0.
Para funciones de dos variables independientes, la condición es similar, pero sin la variable z.
• Extremos en una elipse Determine los puntos sobre la elipse x2 + 2y2 = 1, donde f (x, y) = xy asume valores extremos.
• Extremos en una circunferencia Obtenga los valores extremos de f (x, y) = xy sujeta a la restricción g(x, y) = x2 + y2 − 10 = 0.
Cuaderno de trabajo Matemáticas 262
62
• Máximo en una recta Determine el valor máximo de f (x, y) = 49 − x2 + y2 sobre la recta x + 3y = 10.
• Extremos sobre una recta Obtenga los valores extremos locales de f (x, y) = x2y sobre la recta x + y = 3.
• Extremos en una esfera Obtenga los puntos sobre la esfera x2 + y2 + z2 = 25, donde f (x, y, z) = x + 2y + 3z tiene sus valores máximos y mínimos.
• Maximizar un producto Determine el mayor producto que pueden tener los nú-meros positivos x, y y z, si x + y + z2 = 16.
TEMA 14 Multiplicadores de Lagrange 63
Resuelva los siguientes ejercicios.
• f (x, y) = x2 + 4y2 + 6
• 2x − 8y = 20
• f (x, y, z) = x2 + y2 + z2
• 2x + y − z = 9
Cuaderno de trabajo Matemáticas 264
• f (x, y, z) = xyz2
• x − y + z = 20 (xyz2 no cero)
65
Tema 15
Operaciones entre matricesEn los siguientes ejercicios, calcule cada suma o producto si la matriz está definida, Si alguna expresión no está definida, explique por qué. Sean
A = 2 0 −14 −5 2
, B = 7 −5 11 −4 −3
,
C = 1 2−2 1
, D = 3 5−1 4
, E = −53
• −2A, B − 2A, AC, CD
• A +2B, 3C − E, CB, EB
Cuaderno de trabajo Matemáticas 266
• Sean A = 2 −3−4 6
, B = 8 45 5
, y C = 5 −23 1
.
A =
4
1−
0
0
3
1
a) 2A + 3B
5
1
2
1
3
−
−
4
B =
b) BD
1 4
1 3−
0
8C =
1 3
5 4−D =
En los ejercicios, dadas las matrices A, B, C y D efectuar las operaciones indicadas.
Verifique que AB = AC y que sin embargo B ≠ C.
TEMA 15 Operaciones entre matrices 67
c) A − B)( t
d) 2 2D + CA
69
Tema 16
Solución de sistema de ecuacionesEn los siguientes ejercicios, encuentre los inversos de las matrices.
1.
2.
3.
•8 65 4
•3 27 4
•8 57 −− 5
Cuaderno de trabajo Matemáticas 270
• Use el inverso encontrado en el ejercicio 1 para resolver el sistema
8x1 +6x2 = 2
5x1 +4x2 = −1
8x1 + 5x2 = −9
−7x1 − 5x2 = 11
• Use el inverso encontrado en el ejercicio 3 para resolver el sistema
Use la regla de Cramer para calcular las soluciones a los sistemas de los siguientes ejercicios.
• 2x1 +x2 = 7−3x1 + x3 = −8
x2 +2x3 = −3
TEMA 16 Solución de sistema de ecuaciones 71
• 2x1 +x2 + x3 = 4−x1 + 2x3 = 23x1 +x2 +3x3 = −2
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por cada uno de los métodos.
a) Gauss-Jordanb) Cramerc) Inversa de Matriz
x + 2y + z = 4
x − y + z = 1
3x + z = 2 x = 1, y = 1, z = 2•
Cuaderno de trabajo Matemáticas 272
x − 6y + 3z = −2
3x + 3y − 2z = 2
2x − 3y + z = −2 x = 1, y = 3, z = 5•
73
Tema 17
Autovalores y autovectores
• ¿ = 2 es un valor propio de qué no? es un valor propio de 3 23 8
? ¿Por qué sí o por qué no?
• ¿ = −2 es un valor propio de 7 33 −1
? ¿Por qué sí o por qué no?
Cuaderno de trabajo Matemáticas 274
Encuentre los autovalores y autovectores de las siguientes matrices.
• 5 2
1 2−
• 1 4
3 −3
• 4 3
1 2
75
Tema 18
Sucesiones
DEFINICIÓN Una sucesión infinita es una función cuyo dominio son los números enteros positivos.
Encuentre la función correspondiente a la siguiente sucesión y después el vigésimo término.
• 2, 4, 6, 8, 10
• 1, 3, 5, 7, 9
• 4, 4, 4, 4, 4
Cuaderno de trabajo Matemáticas 276
• 1, 4, 9, 16, 25
• 51
2) ,
2
3,3
4,4
5,5
6
• 1, 2, 4, 8, 16, 32
77
Tema 19
Series
TEOREMA La serie geométrica a + ar + ar2 + … Con a distinta de 0.
• Converge y su suma es a∙(1-r) si ∙r ∙ < 1.• Diverge si ∙r ∙ > 1.
Dadas las siguientes series geométricas determine si éstas son convergentes o diver-gentes. En caso de convergencia calcule la suma.
• 2 ++ + +2
5
2
25
2
125…
• 7 +− −7
4
7
16
7
64…
• 1 ++++ −−1)(
5
1
5
1−
……n
Cuaderno de trabajo Matemáticas 278
• 1 5 5
e e…++ +
1−n
• 0.38 + 0038 + 000038 + …
• 3 4 1
1
∞
=∑ (n) n− −
n
• (−6)1
∞
=4 n−1n−
n∑
79
Tema 20
Series de Taylor y MaclaurinDEFINICIÓN
f x( ) = f (n)(a)(x − a)n
n!n=0
∑
f x x a( ) ( )= = sen 2 0
f x x a( ) ( )cos 2 0= =
f x e ax( ) 2 0= =−
Desarrolle las siguientes funciones alrededor de “a” ya sea como serie de Taylor o Maclaurin.
•
•
•
80 Cuaderno de trabajo Matemáticas 2
f x x a( ) ln 1= =
f x x a( ) ( )1 1 0= =−
•
•