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Curso
propedéutico
Contador Público
2021
Contabilidad
3
CONTENIDO Objetivo General ...................................................... 4
Características de Contador Público y académico ................... 5
Contabilidad ...................................................... 6
¿Qué es la Contabilidad? ................................................. 7
La Contabilidad según las NIF ............................................. 7
Actividad: ........................................................... 8
¿Qué son las NIF? ..................................................... 8
Clasificación de las NIF.................................................. 8
Actividad ........................................................... 9
¿Qué son los postulados básicos? ........................................... 9
Clasificación de postulados: .............................................. 10
Actividad .......................................................... 11
Objetivo principal de la Contabilidad. ....................................... 13
Actividad .......................................................... 14
Objetivos .......................................................... 16
Actividad .......................................................... 17
Estado de situación Financiera ............................................ 18
Balance general ...................................................... 18
Actividad .......................................................... 20
Análisis de Cuentas de Activo ............................................ 21
Actividad .......................................................... 24
Actividad .......................................................... 25
Análisis de cuentas de pasivo ............................................. 26
Actividad .......................................................... 28
Elementos de la Contabilidad ............................................. 28
Clasificación de las cuentas. .............................................. 29
Represntación de las Cuentas. “ Cuenta T” .................................... 30
Práctica Final ....................................................... 39
Referencias bibliográficas ....................................... 40
4
Objetivo General
El alumno entenderá la importancia que representa el conocimiento
de los conceptos básicos, elementos que constituyen las cuentas de
la contabilidad y su impacto en la información financiera con apego
a las Normas de Información Financiera para la toma de decisiones.
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Características de Contador Público y académico
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Contabilidad MARCO CONCEPTUAL
Definición
Es una técnica, que se utiliza para producir sistemática y
estructuradamente información cuantitativa expresada en unidades
monetarias de las transacciones que realiza una entidad económica y
de ciertos eventos económicos identificables y cuantificables que
le afectan con el objeto de facilitar a los diversos interesados el
tomar decisiones en relación con dicha entidad.
Definición de arte, ciencia, técnica y disciplina. La Contabilidad
ha sido considerada como arte, ciencia, técnica y disciplina,
vocablos cuya acepción es necesario conocer ara aplicar en la
definición de contabilidad el que juzgue más conveniente.
Arte. Conjunto de preceptos y reglas necesarios para hacer bien
algo.
Ciencia. Conjunto de conocimientos obtenidos mediante la observación
y el razonamiento sistemáticamente estructurados y de los que se
deducen principios y leyes generales.
Técnica. Perteneciente o relativo a las aplicaciones de la ciencia y
las artes. Conjunto de procedimientos y recursos de que se sirve una
ciencia o un arte.
Disciplina . Arte, facultad o ciencia.
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Otra definición
Es una disciplina que nos enseña las normas y procedimientos para
ordenar, analizar y registrar las operaciones practicadas por las
unidades económicas constituidas por un solo individuo o bajo la
forma de sociedades civiles o mercantiles (bancos, industrias,
comercios, instituciones de beneficencia, etc.)
¿Qué es la Contabilidad?
La contabilidad es un medio para brindar información histórica y
comunicar la información relativa al impacto de las actividades
financieras realizadas por una organización.
La Contabilidad es tanto una actividad de servicio como una
disciplina descriptiva, analítica y genera información
sistematizada.
La Contabilidad según las NIF
Según la NIF A-1 la Contabilidad se define como la técnica que se
utiliza para el registro de las operaciones que afectan
económicamente a una entidad y que produce sistemática y
estructuradamente información financiera ara la toma de decisiones.
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Actividad: De acuerdo a los conceptos antes mencionados define con tus propias
palabras “la Contabilidad”
¿Qué son las NIF? Son el conjunto de pronunciamientos normativos, conceptuales y
articulares, obligatorios para todos aquellos que prepararán
información financiera.
Clasificación de las NIF
Serie NIF A Marco Conceptual
Serie NIF B Normas aplicables a los
Estados Financieros en su
conjunto
Serie NIF C Normas aplicables a conceptos
específicos de los Estados
Financieros
Serie NIF D Normas aplicables a problemas
de determinación de
resultados.
Serie NIF E Normas aplicables a las
actividades especializadas de
distintos sectores
9
Actividad ¿Por qué consideras que es importante conocer las NIF?
¿Qué son los postulados básicos? Son fundamentos que rigen el ambiente en el que deben operar el
sistema de información contable.
Son guías de acción normativas.
Concepto de postulados básicos. Dan pauta para explicar “en que
momento” y “como” deben reconocerse los efectos derivados de las
transacciones, transformaciones internas y otros eventos, que
afectan económicamente a una entidad.
Por lo que son esencia misma de las normas articulares.
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Clasificación de postulados: Sustancia Económica
Entidad Económica
Negocio en Marcha
Devengación Contable
Asociación de Costos y Gatos con Ingresos
Valuación
Dualidad Económica
Consistencia
Sustancia Económica. La sustancia económica debe prevalecer en la
delimitación y operación del sistema de información contable.
El sistema de información contable debe ser delimitado en forma tal
que pueda ser capaz de captar la esencia económica del ente emisor
de información financiera. Debe otorgarse en consecuencia, prioridad
al fondo o sustancia económica sobre la forma legal. Ello es debido
a que la forma legal de una operación puede tener una apariencia
diferente al auténtico fondo económico de la misma.
Ejemplo: Capital.
Entidad Económica. Es aquella unidad identificable que realiza
actividades económicas, constituida por combinaciones de recursos
humanos, materiales y financieros, conducidos y administrados por
un único centro de control que toma decisiones encaminadas al
cumplimiento de los fines específicos para los que fue creado.
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La personalidad de la entidad económica es independiente de las de
sus accionistas, propietario o patrocinadores.
Existen dos tipos de entidades económicas:
Actividad De acuerdo a tu contexto anota cinco empresas:
Lucrativas No Lucrativa
Lucrativa No Lucrativa
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Negocio en Marcha. La entidad económica se resume en existencia
permanente, dentro de un horizonte de tiempo ilimitado, salvo prueba
de lo contrario, por lo que las cifras en el sistema de información
contable, representan valores sistemáticamente obtenidos.
En tanto prevalezcan dichas condiciones, no deben determinarse los
valores estimados provenientes de la disposición o liquidación del
conjunto de los activos netos de la entidad.
Ejemplo: Entidad Comercial Compra – Venta.
Devengación Contable. Los efectos derivados de las transacciones que
llevan a cabo una entidad económica con otras entidades, de las
transformaciones internas y de otros eventos, que le han afectado
económicamente, deben reconocerse contablemente en su totalidad, y
en el momento en que ocurren independientemente de la fecha en que
se consideren realizados para fines contables.
Ejemplo: Gastos devengados o provisionados, créditos en
parcialidades.
Asociación de Costos y Gastos con Ingresos. Los costos y gastos de una entidad
deben identificarse con el ingreso que generen en el mismo periodo,
independientemente de la fecha en que se realicen.
Se deben identificar los costos y gastos que se incurrieron o
consumieron en el proceso de su generación de dichos ingresos.
Ejemplo: Materia prima consumida, mano de obra consumida, papelería
consumida.
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Valuación. Los efectos financieros derivados de las transacciones,
transformaciones internas y otros eventos, que afecten
económicamente a la entidad, deben cuantificarse en términos
monetarios, atendiendo a los atributos del elemento a ser evaluado,
con el fin de catar el valor económico más objetivo de los activos
netos.
Ejemplo: Cuantificar el valor de las transacciones como compras,
ventas, gastos, entre otros.
Dualidad Económica. La estructura financiera de una entidad económica
está constituida por los recursos de los que dispone para la
consecución de sus fines y por las fuentes para obtener dichos
recursos, ya sean propias o ajenas.
Ejemplo:
Consistencia. Ante la existencia de operaciones similares en una
entidad, debe corresponder un mismo tratamiento contable, el cual
debe permanecer a través del tiempo, en tanto no cambie la esencia
económica de las operaciones.
Ejemplo: Las depreciaciones, amortizaciones, inventarios.
Objetivo principal de la Contabilidad. Es proporcionar información útil en la toma de decisiones.
Los propósitos fundamentales para que lleves a cabo la contabilidad
son los siguientes:
Establecer un control riguroso sobre cada uno de los recursos y las
obligaciones del negocio.
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Registrar en forma clara y precisa todas las operaciones efectuada
por la empresa durante el ejercicio fiscal.
Proporcionar, en cualquier momento una imagen clara y verídica de
las situaciones financiera que guarda el negocio.
Actividad Subraya la respuesta correcta a los siguientes reactivos.
1.Nos indica como alimentar y operar el sistema de información
contable ara que sea capaz de captar la esencia económica.
Negocio en marcha
Devengación contable
Sustancia económica
Dualidad económica
2.Indica que los eventos económicos se deben reconocer contablemente
en el momento en que ocurren y los efectos económicos se identifican
con un período contable.
Negocio en marcha
Devengación contable
Sustancia económica
Dualidad económica
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3.Estructura financiera de una entidad y se conforma por el origen
y fuente de los recursos.
Negocio en marcha
Devengación contable
Sustancia económica
Dualidad económica
4.Toda entidad económica tiene existencia permanente salvo prueba
de lo contrario.
Negocio en marcha
Devengación contable
Sustancia económica
Dualidad económica
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Objetivos
Co
nta
bili
dad
Registra operaciones y Transacciones
Materiales Financieros y Humanos
Valuación y presentación
Información Financiera
Estado de posición Financiera
(Balance General)
Estado de Resultados Integrales
(Pedidas y Ganancias)
UsuariosAccionistas,
Administradores, Proveedores, Clientes, SAT
Toma de decisiones
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Actividad Analizando el esquema anterior escribe por lo menos cuatro usuarios
a los que les interese la información financiera.
Información Contable
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Estado de situación Financiera El estado de situación financiera muestra unidades monetarias la
situación financiera del ente económico en una fecha determinada por
lo que es un estado estático.
Por lo tanto, la situación financiera está representada por la
relación que tiene los activos con los pasivos y el capital.
Partes que integran el estado de situación financiera.
Balance general Encabezado
Nombre, razón o denominación social de la entidad
Mención de ser balance general
Fecha del balance general
Cuerpo
Nombre de las cuentas que constituyen el activo, correctamente
valuadas y clasificadas
Nombre de las cuentas que forman el pasivo correctamente valuadas y
clasificadas
Nombre de las cuentas que constituyen el capital contable, con su
respectivo valor y correctamente clasificadas
Pie
Firma del propietario o funcionario autorizado (gerente, director o
administrador)
Firma del contador que lo elaboró o del auditor que lo reviso y
autorizo
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El Activo: está integrado por los bienes y derechos que son propiedad
de un ente económico, como el efectivo, las cuentas por cobrar a
clientes, los inventarios propiedades muebles y enseres que poseen
un valor monetario.
20
Actividad Investigación de la Clasificación de Activo.
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Análisis de Cuentas de Activo Las cuentas de Activo siempre comenzaran con un
cargo y sus saldos deben ser deudores.
Caja. Está destinada a registrar los movimientos
de efectivo manejados por el negocio.
Aumenta. Importe de efectivo que la empresa
tiene al iniciar sus operaciones.
Por el Dinero que se recibe.
Disminuye. Por el efectivo desembolsado.
Bancos. Aquí se registran todos los movimientos
de efectivo que se hacen a través de una cuenta
de cheques.
Aumenta. Depositando dinero en la cuenta de
cheques, cobranzas efectuadas directamente por
el banco, intereses liquidados por el banco.
Disminuye.
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Cuentas por cobrar
Documentos por cobrar
Debe Haber
El valor del crédito concedido Por los cobros totales o parciales
de los créditos.
Letra de Cambio
Artículo 76. La letra de cambio debe contener. Según LGTOC.
Mención de ser letra de cambio, inserta en el texto del documento.
La expresión del lugar, día, mes y año en que se suscribe.
La orden incondicional al girado de pagar una suma determinada de
dinero.
El nombre del girado.
El lugar de pago.
El nombre de la persona a quien ha de hacerse el pago.
Esta cuenta registra el crédito cuando tiene respaldo de un documento,
como letra de cambio, pagare, etc.
Documentos por cobrar
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La firma del girador o de la persona que suscriba a su ruego o en
su nombre.
Pagaré
Articulo 170 LGTOC. El pagaré debe contener:
La mención de ser pagare, inserta en el texto del documento.
La promesa incondicional de pagar una suma determinada de dinero.
El nombre de la persona a quien ha de hacerse el pago
El lugar del pago.
La fecha en que se suscriba el documento.
La firma del suscritor o de la persona que firme a su ruego a su
nombre.
Clientes. Las facturas por cobrar se manejan en esta cuenta.
Aumenta:
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Disminuye: Cobros, Documentos recibidos en pago, notas de créditos
provenientes de devolución de mercancías.
Actividad Esta imagen a que cuenta hace referencia y cuál es su movimiento
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El pasivo: representa las deudas y obligaciones a cargo del ente
económico y está compuesto por la suma de dinero que se debe a
proveedores, bancos, acreedores diversos y algunas provisiones que
se establezcan.
Actividad Investigación de la Clasificación de Pasivo.
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Análisis de cuentas de pasivo Las cuentas de Pasivo siempre comenzaran con un abono y sus saldos
deben ser Acreedor.
Se manejan los documentos
endientes de pago.
Aumenta. Importe de los documentos
pagados.
Disminuye. Importe de los
documentos aceptados que deban
pagarse posteriormente a la fecha
de su vencimiento.
Proveedores. Las facturas de
proveedores endientes de pago se
manejan en esta cuenta.
Aumenta.
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Disminuye. Pagos, documentos aceptados en pago de facturas, notas
de cargos provenientes de devolución de mercancía
Partida doble. La partida doble consiste en registrar, por medio de
cargos y abonos, los efectos que producen las operaciones en los
diferentes elementos del balance, de tal manera que siempre subsista
la igualdad entre el activo y la suma del pasivo con el Capital.
El Capital: está representado por la propiedad que tienen los
accionistas o propietarios en el ente económico, dicho de otra manera
por la diferencia entre los activos y los pasivos.
El estado de situación financiera tiene tres elementos básicos que
están unidos por una relación fundamental denominada ecuación
contable, la cual expresa el equilibrio o “balance” entre el activo
y la suma de los pasivos más el capital.
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Actividad Completa las siguientes ecuaciones:
P MAS C IGUAL A
MENOS IGUAL
MENOS IGUAL
Elementos de la Contabilidad Las cuentas. Es el registro donde se anotan en forma clara, ordenada
y comprensible los aumentos y disminuciones que sufre un valor o
concepto del Activo, Pasivo o Capital Contable.
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Nombre de la cuenta. El nombre que se asigne a la cuenta debe
dar una idea clara y recisa del conceto o lemento que controla. por
ejemplo cuando la cuenta controla el dinero se le llama Caja.
Clasificación de las cuentas. Las cuentas se clasifican en tres grupos, que son:
Cuentas del activo
Cuentas del pasivo
Cuentas del Capital
Cuentas del Activo. Son las que controlan o verifican las alteraciones
que generan las operaciones realizadas en los diferentes recursos
que integran el activo de la entidad.
Cuentas del Pasivo. Son las que controlan las variaciones que
producen las operaciones efectuadas en las distintas obligaciones
que forman el asivo de la empresa.
Cuentas del Capital. Son las verifican las alteraciones que generan
las operaciones realizadas en los diferentes ingresos, costos y
gastos que constituyen la utilidad neta obtenida por la entidad o,
en su caso la perdida neta.
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Represntación de las Cuentas. “ Cuenta T”
Caja
Debe Haber
El DEBE o cargo se coloca El HABER o Abono se
a la izquierda. coloca a la derecha.
Movimientos y Saldos. Se llaman movimientos a las sumas de los cargos
y abonos. Existen dos clases de movimientos:
Movimiento Deudor. Se llama movimiento Deudor a la suma de los Cargos
de una cuenta.
Movimiento Acreedor. Se llama movimiento Acreedor a la suma de los
abonos de una cuenta.
Saldo. Es la diferencia entre el movimiento Deudor y el Acreedor.
Saldo Deudor. Cuando su movimiento Deudor es mayor que el Acreedor.
Saldo Acreedor. Una cuenta tiene saldo acreedor cuando su movimiento
Acreedor es mayor que el Deudor.
Cuenta Saldada o Cerrada. Una cuenta esta saldada o cerrada cuando
sus movimientos son iguales.
Reglas o principios Para el registro de operaciones.
Toda cuenta de Activo debe empezar con un cargo, es decir, con una
anotación en él debe.
Toda cuenta de Pasivo debe comenzar con un abono, o sea, con una
anotación en el haber.
La cuenta del Capital debe empezar con un abono, es decir, con una
anotación en el haber.
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Reglas del cargo y del abono.
Se debe cargar: Cuando aumenta el Activo
Cuando disminuye el Pasivo
Cuando disminuye el Capital.
Se debe abonar: Cuando disminuye el Activo
Cuando aumenta el Pasivo
Cuando aumenta el Capital
Actividad.
La empresa La Fortuna S.A de C.V vende licores por $ 50,000 en
efectivo.
¿Qué Aumenta?_____________________________________________________
¿Qué Disminuye?___________________________________________________
Actividad
En el siguiente esquema de Mayor o T, escriba cuando se debe cargar
o abonar una cuenta.
CARGO ABONO
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Libro Diario Y Libro Mayor
Libro Diario. El Diario es un libro contable donde se recogen, día
a día, los hechos económicos de una empresa.
La anotación de un hecho económico en el libro Diario se llama
asiento; es decir en él se registran todas las transacciones
realizadas por una empresa.
Registro de la operación en el Libro Diario:
Numero
de
asiento
Folio
del
mayor
Descripción Parcial Debe Haber
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Actividad
Registra en el Libro Diario, la empresa El Diamante S.A de C.V compra
de $ 100,000 de mercancía con cheque
Numero
de
asiento
Folio
del
mayor
Descripción Parcial Debe Haber
Libro Mayor. Es el resumen de tosas las transacciones que se
registran en el libro diario, con el propósito de conocer su
movimiento y saldo en forma particular.
Los cargos y créditos a las distintas cuentas, de los asientos de
diario, se registran en las cuentas mediante el proceso llamado asar
al mayor.
Nombre de la Cuenta
Debe Haber
34
Actividad
Realiza el pase a Mayor de la operación anterior
Debe Haber
Debe Haber
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Estado de Resultados
El Estado de resultados muestra los efectos de las operaciones de
una entidad y su resultado final en forma de un beneficio o una
perdida por un periodo determinado.
En las operaciones de la entidad hay una distinción muy clara entre
los ingresos, costos, gastos y así deben ser representados sus
resultados.
Los ingresos son las cantidades percibidas por la entidad como
consecuencia de sus operaciones.
Los costos y gastos, por lo contrario, son las cantidades requeridas
para la consecución del objetivo de sus actividades.
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El estado de resultados es un estado dinámico, por lo que sus cifras
se expresan en forma acumulativa durante un periodo determinado,
generalmente por no más de un año.
La utilidad o perdida que muestra el estado de resultados modifica
el patrimonio de los dueños o accionistas (capital), la primera
incrementándolo y la segunda reduciéndolo, con ello se modifica
ecuación contable que tratamos en el estado de situación financiera.
Estructura del Estado de Resultados
Primera parte
Ventas Totales
(-)Devoluciones sobre ventas
(-)Descuento sobre ventas
(=)Ventas Netas
Compras
(+)Gastos de compra
(=)Compras Totales
(-)Devoluciones sobre compras
(-)Descuento sobre compras
(=)Compras netas
Inventario inicial
(+)Compras netas
(=)Total de mercancías
(-)Inventario Final
(=)Costo de lo vendido
Ventas netas
(-)Costo de lo vendido
(=)Utilidad o pérdida bruta
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Segunda Parte
Gastos de venta
(+)Gastos de Administración
(+)Gastos Financieros
(=)Gastos de operación
Utilidad bruta
(-)Gastos de operación
(=)Utilidad de operación
Otros Productos
(-) Otros gastos
(=)Utilidad Neta entre otros gastos y productos
Utilidad de operación
(+)Utilidad Neta + utilidad de operación
(=) Utilidad Neta del Ejercicio
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Actividad
Elabora un Estado de resultados con los siguientes saldos:
Ventas $890,000, inventario inicial $750,000, Gastos de venta
$60,000, gastos financieros $5,000, productos financieros $ 2,000,
otros productos $2,000, compras $850,000, inventario final $700,000,
gastos de administración $80,000 y otros gastos $4,000.
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Práctica Final Con las operaciones siguientes haga los ejercicios contables en el
libro diario, en el libro mayor y posteriormente obtenga la balanza
de con Comprobación, así como la elaboración de Estados Financieros.
Adquiera material para su venta al proveedor la Consentida, S.A de
C.V por $ 500,000 a crédito, pagaderos en un mes según fecha de
factura No.2546 del 1° de Agosto de 2015.
Se paga a los proveedores las mercancías compradas en el mes anterior
por un importe de $500,000, con el cheque No. 1530 de Fecha 02 de
Agosto de 2015.
Se consume gasolina ara el equipo de reparto por un importe de $
2,000, de la estación de servicios Gasomatic S.A., con la factura
No. 4502, de fecha 03 de Agosto de 2015.
Se registra el pasivo del pago de consumo de papelería por un importe
de $5,000 según factura No.1540, de fecha 03 de Agosto de 2015, con
un crédito de 15 días Papelera el Buen papel S.A de C.V.
Se haga el adeudo de las facturas acreedoras por la compra de
papelería del mes pasado por un importe de $10,000, con el cheque
No.1532, de fecha 04 de Agosto del 2015.
Se paga la totalidad del adeudo por la compra de la camioneta ara
el equipo de reparto de la empresa que fue adquirida el mes pasado
por un importe de $ 350,000, según la factura No. 14320, de
automotriz S.A de C.V
Se vende mercancía por un importe de $ 150,000, con un costo de
ventas por $75,000, según factura No. 150, de fecha 05 de agosto de
2015.
Se paga Aseguradora la Fe S.A., el asegurado de la empresa según
póliza No. 5403, de fecha 05 de agosto de 2015, por un importe de $
55,000, con un vencimiento a un ano con cheque No. 1533.
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pago de mantenimiento de automotriz, S.A de C.V., por afinación y
verificación de la camioneta del equipo de transporte de la empresa
por $ 12,000, según factura No. 14400, del 06 de agosto de 2015.
Pago de los sueldos correspondientes al 10 de Agosto de la primera
quincena con un importe de $25,000.
Referencias bibliográficas
-Elias Lara Flores y Leticia Lara Ramírez. Primer Curso de Contabilidad.
Trillas.
- Javier Romero López y Gerardo Guajardo Cantú. Fundamentos de Contabilidad I.
Ed. Mc.
Graw Hill.
-Carlos Torres Tovar. Contabilidad I, Ed. Trillas.
-Luis Felipe Hidalgo Torres. Juan Carlos Hernández Cruz, Aureliano Martínez
Castillo. Contabilidad II Ed. Mc. Graw Hill.
-Horngren, Ch. (2012). Contabilidad de costos. (14a Ed.). México. Pearson
Prentice Hall,
-Del Río, C. (2011). Costos I. (22a Ed.). México. ECAFSA,
CURSO
PROPEDÉUTICO
2021
MATEMÁTICAS
CONTENIDO
TEMA PÁGINA
NÚMEROS REALES 1
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES 2
- SUMA Y RESTA 2
- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 3
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 5
- Monomios. Operaciones. 5
- Polinomios. Operaciones. 8
- División de polinomios. 10
PRODUCTOS NOTABLES 15
FACTORIZACIÓN 16
1
NÚMEROS REALES.
Los números reales, constituyen el conjunto fundamental bajo el cual podemos
obtener resultados cuantitativos en varias disciplinas, ingenierías y
ciencias afines. Los números reales se clasifican, mediante subconjuntos,
como se muestra en la siguiente figura.
Números Naturales.
Es una de las primeras aplicaciones de las matemáticas en la vida real. Las
propiedades más importantes de este conjunto es la existencia de un orden,
la existencia del 1 como primer elemento, que todo número natural tiene
otro como sucesor y que todo número natural (excepto el 1), tiene otro
número natural como antecesor. El conjunto de números naturales se denota
por N, y se define como:
N =
Números Enteros.
El conjunto de números naturales está contenido en los números enteros (Z),
los cuales se definen como:
Z
Números Racionales.
El cociente no siempre pertenece al conjunto de los números enteros, por
ejemplo: . Por lo que, en este caso, es necesario definir un nuevo
conjunto, que se denota con Q.
Q = {x/x = tales que p, q ϵ Z, q ≠ 0}
2
Números Irracionales.
Se define como el conjunto de números que no son racionales:
I = {x/x es una expansión decimal infinita no periódica}
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES.
SUMA Y RESTA.
La suma de números racionales con un denominador común es un número
racional cuyo numerador es la suma de los numeradores y cuyo denominador
es el denominador común.
Ejemplo:
+ = =
En general, para dos números racionales cualesquiera, la definición de
suma es:
+ =
Por lo tanto, la definición de la resta es:
=
Ejemplos:
= = =
= = =
Ejercicio.-Realiza la siguiente suma de fracciones:
=
Paso 1.-Primero se calcula el mcm de 6 y 4:
6 4 2
3 2 2
3 1 3 2 X 2 X 3 = 12 ……… m.c.m
1 1
3
= = =
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.
Para dos números racionales cualesquiera, la definición
de multiplicación es:
por lo tanto, la definición de división es:
Ejemplos:
Ejercicio. Escribe Cada expresión como una fracción simple
reducida a su mínima expresión.
4
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
5
EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Una expresión algebraica es una expresión que se obtiene
sumando, restando, multiplicando, dividiendo y calculando
raíces de constantes y/o variables. Los términos que
constituyen una expresión algebraica son los siguientes:
1.-Signo
2.-Literal
3.-Coeficiente y,
4.-Grado
Ejemplo:
Signo Coeficiente
Grado
Literal
Literal
Las expresiones algebraicas se dividen en dos:
a) Monomio. Es una expresión algebraica que consta de
un sólo término, por ejemplo:
Las operaciones que pueden realizarse con monomios,
son la suma, resta, multiplicación y división.
La suma y resta, puede realizarse siempre y cuando se tengan
dos monomios con la parte literal semejante, es decir,
6
En la multiplicación, se multiplican los coeficientes y se
suman los exponentes de los elementos con la misma base, por
ejemplo:
En cuanto a la división, se dividen los coeficientes y se
restan los exponentes de los elementos con la misma base, por
ejemplo:
EJERCICIO.- REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES.
a) =
b) =
c) =
d) =
e) =
f) =
g) =
h) =
i) =
j) =
k) =
l) =
7
m) =
n) =
ñ) =
o) =
p) =
q) =
r) =
s) =
t) =
8
u) =
v) =
w) =
b) Polinomios. Es una expresión algebraica de la
forma:
por ejemplo:
Las operaciones con polinomios, son las mismas que para los
monomios, tomando en cuenta las siguientes consideraciones.
Para la suma y resta, se suman o se restan según el caso, los
términos que tienen el mismo grado, por ejemplo:
Sea y
Encuentra: a)
b)
Solución:
a)
b) =
=
9
Con respecto a la multiplicación, se multiplican todos los
términos de un polinomio por todos los términos del otro; es
importante tomar en cuenta las siguientes reglas.
,
Por ejemplo:
Sea
Encuentra:
Solución:
RESUELVE.
Sean
I.- Realiza la suma, diferencia, producto y cociente entre:
a) f y g
b) h y n
c) m y s
II.-Resuelve:
III.-Resuelve:
10
IV.-Multiplicar:
a) por
b) por
c) por
d) por
e)
f)
g)
La división de polinomios.
Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos
factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar
el otro factor (cociente). De ésta definición se deduce que el
cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo.
Por ejemplo, al dividir
11
Por otro lado, al dividir dos polinomios, se considera lo
siguiente:
Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una
misma variable,
Se divide el primer término del dividendo entre el
primero del divisor y se tendrá el primer término del
cociente,
Este primer término del cociente se multiplica por todo
el divisor y el producto se resta del dividendo, para
lo cual se cambia el signo, escribiendo cada término
debajo de su semejante, si algún término de éste
producto no tiene semejante en el dividendo se escribe
en el lugar que le corresponda de acuerdo con la
ordenación del dividendo y el divisor,
El residuo obtenido en el paso anterior se trata como
un nuevo dividendo y se repiten con él los pasos
anteriores.
EJEMPLOS.
Cociente
1) Divisor Dividendo
Residuo
2)
12
3)
Ordenando términos se tiene:
RESUELVE CORRECTAMENTE LAS SIGUIENTES DIVISIONES.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
13
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
DIVISIÓN DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS.
14
EJERCICIO.-REALIZA LAS SIGUIENTES DIVISIONES.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
15
PRODUCTOS NOTABLES.
Se llaman productos notables, a ciertos productos que
cumplen con reglas fijas y definidas, cuyo resultado puede ser
escrito fácilmente (por inspección), sin haber realizado la
multiplicación.
Ejercicio. Efectúa las siguientes operaciones.
a)
b)
c)
d)
16
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
ñ)
FACTORIZACIÓN
En álgebra, la factorización de polinomios se utiliza para
simplificar la tarea de encontrar la solución de ecuaciones,
simplificar expresiones y en general para facilitar su
manipulación.
Métodos de Factorización.
a) Factorización de polinomios por término común.
La forma más simple de factorización es cuando todos los
términos del polinomio tienen un factor común, por ejemplo:
i)
ii)
17
EJERCICIO.-Factoriza los siguientes polinomios que tienen
factor común.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
b) Factorización de polinomios por diferencia de
cuadrados.
Este tipo de polinomios resultan de la multiplicación de
expresiones de la forma:
Entonces para encontrar la factorización de polinomios que
son diferencia de cuadrados solo hay que calcular:
Por ejemplo: Factorizar
=
=
18
EJERCICIO.-Factoriza por medio de diferencia de cuadrados.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
c) Factorización de trinomios que son cuadrados perfectos.
Se identifica por tener tres términos, de los cuales
dos tienen raíces exactas, y el término restante equivale al
doble producto de las raíces.
Para solucionarlo debemos considerar lo siguiente:
1.-Organizar los términos dejando en los extremos los que
tengas raíces exactas.
2.-Extraer la raíz cuadrada del primero y tercer término,
los cuales se escribirán dentro de un paréntesis, separados
por el signo del segundo término.
3.-El paréntesis se eleva al cuadrado.
Ejemplo: Al factorizar:
EJERCICIO.-Factoriza las siguientes expresiones.
1)
2)
19
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
d) Factorización de trinomios que no son cuadrados
perfectos.
Presentan la forma: de
modo que
Por ejemplo.
EJERCICIO.-Factoriza las siguientes expresiones.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
20
9)
10)
e) Factorización de polinomios por agrupación de términos.
La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo,
los dos términos que se agrupen deben tener algún factor común,
y siempre que las cantidades que quedan dentro del paréntesis
después de sacar el factor común en cada grupo, sean
exactamente iguales.
Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del Factor
Común.
Ejemplo:
=
=
EJERCICIO.-Factoriza los siguientes polinomios agrupando
términos.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
21
f) Factorización de binomios del tipo
Se pueden dividir en cuatro clases:
i) Suma o diferencia de cubos.
Ejemplo:
Ejemplo: (
ii) Binomios del tipo para n>3 y divisible por 2
Ejemplo: = (
=
iii) Binomios del tipo para n>3 y divisible por 3
Ejemplo: =
=
iv) Binomios del tipo para n>3 y no divisible por 2
ni por 3
Se puede factorizar usando las siguientes fórmulas:
Ejemplos:
1) =
=
=
22
2)
EJERCICIO.- Aplicando los métodos de factorización, reduce las
siguientes fracciones algebraicas.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
23
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)