Post on 31-Jan-2016
de N a R
Inserte el nombre del grupo de trabajo en el patrón de diapositivas
Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Naturales
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Reales
Decimales
Los Conjuntos Numéricos
Prof. Isaías Correa Marín 2012
de N a R
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Conjuntos Numéricos
Última actualización: 22 de abril de 2023
NN0
Z
Q
I
R
N N0 Z Q R
I R
de N a R
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Racionales
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Naturales
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N
1
2
3
}{ ..,...4,3,2,1= INNaturales
Características
•Es infinito
•Es Discreto
•Es Ordenado
•Se representa en un rayo
Propiedades de la adición y multiplicación
•Clausura o Cierre en + y .
•Asociatividad en + y .
•Conmutatividad en + y .
•Neutro en .
Distributividad
Multiplicación sobre la adición
de N a R
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Decimales
N0
0
1
23
Cardinales}{ ..,...4,3,2,1,0= IN 0
Características
•Es infinito
•Es Discreto
•Es Ordenado
•Se representa en un rayo
Propiedades de la adición y multiplicación
•Clausura o Cierre en + y .
•Asociatividad en + y .
•Conmutatividad en + y .
•Neutro en + y .
Distributividad
Multiplicación sobre la adición
de N a R
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Enteros
Racionales
Irracionales
Naturales
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Z0
12
3
-1-2
Enteros}{ ..,...4,3,2,1,0,1,2,3...,= Z ---
Características
•Es infinito
•Es Discreto
•Es Ordenado
•Se representa en una recta
Propiedades de la adición y multiplicación
•Clausura o Cierre en + y .
•Asociatividad en + y .
•Conmutatividad en + y .
•Neutro en + y .
•Inverso(opuesto)en +
Distributividad
Multiplicación sobre la adición
de N a R
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Enteros
Racionales
Irracionales
Naturales
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Reales
Decimales
Racionales0 3
1 2 -0,5
-1 4,7
-3
52
3,0
Q
Características
•Es infinito
•Es Denso
•Es Ordenado
•Se representa en una recta
Propiedades de la adición y multiplicación
•Clausura o Cierre en + y .
•Asociatividad en + y .
•Conmutatividad en + y .
•Neutro en + y .
•Inverso en + y .
Distributividad
Multiplicación sobre la adición
de N a R
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Enteros
Racionales
Irracionales
Naturales
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Decimales
Irracionales
ICaracterísticas
•Es infinito
•Es Denso
•Es Ordenado
•Se representa en una recta
Son los decimales infinitos no periodicos
2π
1,75432...
de N a R
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Teorema de Pitagoras
Para representar en la recta numérica se debe ocupar el teorema de Pitagoras.
La suma de los cuadrados de cada cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa.
2
12x = 2
x = 2
x = 1 + 1
x=1 +1
2
2
222
de N a R
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RealesSon todos los tipos de números que conocemos hasta el momento
Características
•Es infinito
•Es Denso
•Es Ordenado
•Se representa en una recta
(la completa)
Prioridad en las operaciones
de N a R
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Denso significa que entre dos números, se encuentran infinitos números más.
Denso
de N a R
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Infinito
No tiene último elemento
de N a R
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Discreto
No existe otro número entre dos números consecutivos
de N a R
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Orden
Se puede discriminar entre dos números, el mayor, menor o igual
Definición de orden:
Un número es mayor que otro si se encuentra a la derecha en la recta numérica
de N a R
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Adición de enteros
•Para sumar enteros de igual signo se suman los números y se conserva el signo
•Para sumar enteros de distinto signo, los números se restan y se conserva el signo del que tiene mayor valor absoluto
de N a R
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Valor absoluto
El valor absoluto de un número, es el número sin el signo(por lo tanto siempre es positivo)
El valor absoluto se representa con dos barras paralelas.
15Un ejemplo concreto de valor absoluto es la distancia
de N a R
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Sustracción de enteros
Para restar enteros, el minuendo se mantiene, la resta cambia a suma y el sustraendo cambia al opuesto aditivo
a – b = a + (-b)
de N a R
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Multiplicación y División de enteros
Regla de los signos:
Multiplicación
1) + . + = +
2) + . - = -
3) - . + = -
4) - . - = +
En la división se ocupa la misma regla.
de N a R
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Reales
Decimales
Aplicaciones del M.C.M.
Igualar denominadores
Ejemplo: Dejar los racionales
4
3y
6
5
con el mismo denominador
6
3 2
4
2 2
2 . 3 22
M.C.M. (6,4) = 22 . 3
12
10-
6
5
12
9
4
3
.2
.2
. 3
. 3
de N a R
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Adición y sustracción de racionales
Para sumar o restar racionales con distinto denominador, se deben dejar iguales los denominadores, para esto se siguen los siguientes pasos:
1. Se debe obtener el mcd
2. Se debe amplificar cada fracción, para quedar una equivalente con el denominador mcd encontrado.
3. Se suman o restan los numeradores obtenidos, según corresponda. Ver Ejemplo
de N a R
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Decimales
Ejemplo
3
12
6
5
9
2
3
7
6
5
9
2
3
7
6
5
9
22
2
3
3
9
9
18
63
18
15
18
4
18
52
9
82
1. El número mixto se transforma a fracción
2. Se obtiene el mcd(9,6,3)=18
3. Se amplifica cada fracción, para que de 18 el denominador
4. Se suma o esta según corresponde
5. Se transforma la fracción impropia a número mixto y se simplifica.
de N a R
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Irracionales
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Decimales
Fracción impropia
Cuando el numerador es mayor que el denominador; en este caso la fracción se puede transformar a número mixto.
Ejemplo:
9
25
9
47
de N a R
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Multiplicación y división de fracciones
Para multiplicar fracciones se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador, pero antes se debe simplificar, cualquier numerador con cualquier denominador(en parejas).
56
15
8
5
7
3 En este caso no hubo simplificación
División de fracciones
de N a R
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Irracionales
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Decimales
5
7
21
15
9
8
5:5
7:7
7:21
5:15
9
8
1
1
3
3:3
3:9
8
9
8
1
1
3
1
3
8
1
1
3
3
9
8
Simplificando
de N a R
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División de fracciones
Para dividir fracciones, el dividendo se mantiene, la división cambia a multiplicación y el divisor cambia al inverso multiplicativo
c
d
b
a
d
c
b
a:
Al transformarse en multiplicación se puede ocupar la simplificación Ejemplo
numérico
de N a R
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Decimales
Ejemplo de división de fracciones
9
12:
15
8
4:12
3:9
3:15
4:8
3:3
3:3
5
2
3
3
5
2
5
2
1
1
5
2
12
9
15
8
de N a R
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Irracionales
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Decimales
Ejercicios combinados
•En primer lugar se deben resolver los paréntesis, si hay varios, desde adentro hacia fuera.
•Las potencias se deben calcular en primer lugar.
•La multiplicación y la división antes que la adición y sustracción.
•Es conveniente partir de izquierda a derecha
5
2)
3
15,0(33:
5
28 2
de N a R
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Decimales
Propiedades (R,+, .)La adición con la multiplicación forman una estructura en los reales, llamada Cuerpo
Cierre Asociatividad Neutro Inverso
(opuesto)
Conmutatividad Distributividad
IN ........... de sobre +
IN0 ............ de sobre +
Z de sobre +
Q de sobre +
R de sobre +
y y y
y
y
y y
y y
y y
y
y
y
y y
y y
y y
y
de N a R
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Racionales
Irracionales
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Decimales
Decimales
Al transformar una fracción a notación decimal, puede darnos:
• Un decimal Finito o Exacto
• Un decimal Infinito Periodico
Semiperiodico{75,0=
43
3,0=31
61,0=61
Operatoria con decimales finitos Operatoria con decimales infinitos
periódicos y semiperiódicos
de N a R
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Decimal Finito
En el numerador se escribe la parte decimal y en el denominador se escriben potencias de 10, cantidad de ceros depende de la cantidad de dígitos que tiene la parte decimal.
100
78478,4
de N a R
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Decimales
Decimal Infinito Periódico
En el numerador se escribe el periodo y en el denominador tantos 9 como dígitos tenga el periodo.
999
3414341,4
de N a R
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Racionales
Irracionales
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Decimal Infinito Semiperiodico
En el numerador se escribe la cifra decimal (con su periodo y ante período) y se le resta el ante periodo, en el denominador se escriben tantos 9 como dígitos tenga el período, seguido de tantos ceros como dígitos tenga el ante período.
900
5612
900
6-6212 206,12
de N a R
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Enteros
Racionales
Irracionales
Naturales
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Decimales
Operatoria con decimales finitos
3,7698
0978,0
672,3
7846,1
9954,10
78,12
9,6174
7124
24934
7,2562,3
0//
21
7,33:1,11
3,0:11,1
El divisor debe quedar entero, por lo tanto se amplifica por una potencia de 10
de N a R
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Decimales
Operatoria con decimales Infinitos
Es conveniente transformar a fracción los decimales infinitos periódicos y semiperiódicos, para operar con ellos, especialmente la multiplicación y división.
35,17,042,090
5531
10
7
99
42
90
481
10
7
99
42
90
138
10
7
99
42
576,2990
2631
990
1518369420
de N a R
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Reales
Decimales
576,235,17,042,0
Otro camino
75.......2,65757575
.......5333333333,1
......7000000000,0
......4242424242,0
+
de N a R
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Enteros
Racionales
Irracionales
Naturales
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Reales
Decimales
Sustracción
51,0245,075,0
....0,15555555 50,1
2....0,45222222 245,0
....577777777,0 75,0
+
de N a R
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Enteros
Racionales
Irracionales
Naturales
Página principal
Reales
Decimales
Multiplicación
10
8
90
31
9
510
8
90
334
9
5
8,043,05,0
:5
:5
2
8
90
31
9
1
:2
:2
1
4
90
31
9
1
810
124 :2
:2
405
62
3086419750,15
de N a R
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Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Naturales
Página principal
Reales
Decimales
División
10
5
9
35,03,0
6,03
2
1
2
3
1
5
10
9
3
:3
:3
:5
:5
de N a R
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Cardinales
Enteros
Racionales
Irracionales
Naturales
Página principal
Reales
Decimales
Intercalar decimales
1,46y 54,1
.....460000000,1
.....455555555,1
4561,1
4560,1
4559,1
4558,1
4557,1
4556,1