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17/4/2015 DEFLEXIONES
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DEFLEXIONESSeentiendepordeflexinaquelladeformacinquesufreunelementoporelefectodelasflexionesinternas.Paradeterminarladeflexinseaplicanlasleyesquerelacionanlasfuerzasydesplazamientosutilizandodostiposdemtodosdeclculo:losgeomtricosylosdeenerga.
Mtodosgeomtricos:aplicacindirectadeecuacionesdeequilibrio,ecuacionesdecompatibilidadyleyesconstitutivasdelmaterial(elsticolineal).
Mtodosdeenerga:enestosmtodoslasecuacionesdeequilibrioodecompatibilidadsereemplazanporunprincipiodeenergaysecombinanconlasleyesconstitutivasdelmaterial.
Aunqueenvigasymarcoslasdeformacionessepresentanprincipalmenteporflexin,lasdeformacionesporesfuerzosaxialesencolumnasdemarcosylasdeformacionesporcortante,sobretodoenelementosaltosoprofundosnodejandeserimportantes.Encerchasyarmaduraslasdeflexionessepresentanporlacombinacindelasdeformacionesporcargaaxialencadaunodeloselementosquelacomponen.TrazadotentativodelacurvaelsticaSedenominaporcurvaelstica,lacurvaquerepresentaladeformadadelelementoensulneacentroidal.Envigasymarcossepuedehaceruntrazadotentativodelacurvaelsticaconsiderandolascurvaturasqueseproducenporflexinylasrestriccionesdelosapoyos.Antesdetrazarundiagramademomentossedebedefinirunaconvencindemomentospositivosonegativossegnlaconcavidadqueestosproduzcanenelelemento.Enelementoshorizontalessepuedeasumirlasiguienteconvencin,quecoincidecondibujarlosmomentosparaelladoqueproducentraccin.
Paraloselementosverticalessepuedeadoptarcualquierconvencin.Sesugierequesiempresedibujenlosdiagramasdemomentoporelladodetraccinydeestamanerasesabecomoeslaconcavidad.
Clasesdecurvaturasenapoyosyenjuntas:Articulacin:Tiene1gradodelibertadlibre,correspondientealarotacin.Rodillo:Tienedosformasdemoverse,rotacinydesplazamientoparaleloalasuperficie.Lasrotacionestienenlamismaconvencinquelosmomentosenlasecuacionesestticas,positivoenelsentidocontrarioalasmanecillasdelreloj.
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ApoyoconrodillossinGIRO :unsologradodelibertaddedesplazamientovertical.
Empotramiento:EldesplazamientoyelGIRO sonnulos
Conexinrgidaentreelementos:Porelequilibrioenlaunin,siunodeloselementosterminaconmomentonegativoeneseextremoelotrotambintendrmomentonegativoeneseextremo.Asociandolosmomentosconlasdeflexionestendramosquesilastraccionesenunodeloselementossonenlacaraexterior,enelotrotambinlosernporlotantolasconcavidadesdeambosdebensersimilares,oambasparaafueraoambasparaadentro.
Marcos:Enestasestructurassecumplequelaconcavidadenloselementosqueseconectanenunnudodebeserlamisma:
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VigasDebidoalacontinuidaddelavigaenlosapoyos,larotacinporambosladosdebeserlamisma:
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Articulacininterna:Enestecasolaspendientesalasalidadelaarticulacinpuedenserdiferentesyaquenohayrigidezenlauninyunelementopuederotarconrespectoalotro.
TEORADELAFLEXINENVIGASSefundamentaenlosconceptosdeequilibrio,compatibilidadyleyesconstitutivas.
Equilibrio: Compatibilidad:1=2Enpuntosdecontacto
1=nunionesrgidasEnempotramientos
Leyesconstitutivas: DondeK:rigidezlineal K:rigidezaflexinLateorahaceciertassuposicionesacercadecmosedeformaunavigaensuinterior.
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Suposicionesvalidasparavigasdepocaaltura:NofuncionaenmurosSuposiciones:
1. Unaseccinplanapermaneceplanadespusdeladeflexin.(EulerBernoulli)
2. Laseccinplanadeformadapermaneceperpendicularalasfibrasdedeformacinnula(ejeneutro)
ConestasdossuposicionesyaplicandolostrestiposdeecuacionesdefinidospodemosencontrarlosdesplazamientosdelejeneutroenfuncindelosmomentosinternosM.
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Ecuacionesdeequilibriointerno
Pero:
CompatibilidadinternaTringulopequeo
pero:
Tringulogrande:
Longituddearco:Tringulopequocontringulogrande:
Relacindecurvaturacondeformacindelasfibrasinternas.Leydeelesticidad
Reemplazandoencompatibilidadinterna:
Reemplazandoenequilibrio:
Relacindecurvaturaconfuerzasinternas:
RelacintangentedelacurvadedeformacinconfuerzasinternasfaltarelacionarYconlasfuerzasinternas
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Deformacinencadapunto.
Relacindecurvatura**Sedejaallectorconsultarlaprocedenciadeestarelacin.Considerandoquelasdeformacionessonpequeas,eltrminoelevadoalcuadradoeneldenominadorseaproximaacerodandocomoresultadounarelacinentreelinversodelradiodecurvaturaylasegundaderivadadelacurvaelstica.
y
Integrardosveceslaecuacindemomentodeladeflexin
Ecuacinquerelacionadeflexinconfuerzasinternas
Pendientedelacurvadecorte,igualalacarga
Pendientedelacurvademomento,igualalcortante
EcuacindeferencialdelaflexinSiEIesconstanteentonces:
Cuatrocondicionesdefrontera
RELACIONESDECURVATURAENTREELMOMENTOYLATEMPERATURA
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cambiodelongitudporvariacindetemperatura,introduciendoestaecuacinenlaanteriortenemos:
Siendotladiferenciadetemperaturasentrelasfibrassuperioreseinferiores.Siambosladossufrenuncambiodetemperaturadiferente,entonceselcambiotqueproducecurvaturaesladiferenciaentreelcambioenlapartesuperiorylainferior.
Momentoqueproduceuncambiodetemperaturadiferencialentrelascaras:
momentointernopordiferencialdetemperaturasentrelascaras
CLCULODEDEFLEXIONES:Mtododeladobleintegracin:Estemtodoconsisteenencontrarlaecuacindelacurvaelsticaintegrandodosveceslaecuacindeflexin.
Encadaintegracinserequiereintroducirunaconstante.Estasconstantesseresuelvenporlascondicionesdefrontera.
Ejemplo:Encontrarlaecuacindelacurvaelsticadelasiguienteviga:
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CondicionesdeFontera:
Elmtodoexigeencontrarlasecuacindemomentosinternos.Enelcasodeencontrardiscontinuidadesenlaecuacindemomentos,yasea,porlapresenciadecargaspuntualesoreaccionesentoncessepuedetrabajarconorigenencadapuntodequiebredeldiagramademomentos.Ejemplo2EncontrarladeflexinenDdelasiguienteviga:
Pordobleintegracin:
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Diagramademomentos:
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SabemosquelacurvaelsticaseobtienealintegrardosveceselmomentodivididoporEI.
TodoslosvaloressonporEI
Condicionesdefrontera:
Sedejaparaterminarallector.