Post on 10-Mar-2018
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
Demostracio per induccio
Imaginem que volem demostrar que
1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)
2
es cert per tot nombre natural n (∀n ∈ N).
El primer que es pot fer es seleccionar uns quants
nombres naturals (n=1,2,7,...) i veure que la igualtat
es certa per aquests valors. Aixo, pero, no es suficient
per assegurar que la propietat es certa ∀n ∈ N.
El problema que ens plantegem es demostrar una
propietat que fa referencia a TOTS els nombres
naturals.
Com es pot demostrar que una propietat es certa per
tot nombre natural sense haver de comprobar la
propietat pels infinits nombres?
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 1
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
Imaginem que tenim una fila infinita de fitxes de
domino, alineades i preparades per a ser tombades
Sabem per experiencia, que si les peces estan ben
col.locades, en caure la primera fitxa cauran totes.
Com es pot probar que totes les fitxes cauran?
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 2
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
1.- Sabem per experiencia que si colpegem una fitxa
de domino, aquesta caura.
2.- Tambe sabem que si una fitxa cau, i la seguent
esta ben col.locada, la seguent tambe caura.
INTUICIO: la intuicio ens diu que les fitxes aniran
caient una darrera l’altra infinitament.
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 3
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
RESUM:
Si podem demostrar:
1.- que la primera fitxa del
domino cau
2.- que si una fitxa cau
la seguent caura
Llavors podem assegurar que totes les fitxes cauran.
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 4
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
El problema que ens plantegem es demostrar una
propietat, diguem-ne P , que fa referencia a tots els
nombres naturals. Es a dir, volem veure que
P(n) es cert ∀n ∈ N.
Per veure que P(n) es certa ∀n ∈ N es suficient
veure que:
(a) Cas base: P(1) es cert
(b) suposant que P(n) es cert (hipotesi d’induccio),
veure que P(n+ 1) es cert.
Es a dir, veure que P(n) cert =⇒ P(n+ 1) cert
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 5
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
Exemple
Anem a demostrar que per a tot nombre natural n es
compleix
1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)
2.
Per veure que la propietat es certa per a tot nombre
natural, hem de veure dues coses:
1r. cas base n = 1
2n. cert per a n = k =⇒ cert per a n = k + 1
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 6
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
1r. cas base n = 1:
la propietat es certa per a n = 1, ja que 1 = 1·22 .
2n. cert per a n = k =⇒ cert per a n = k + 1
Suposem que la propietat es certa per a n = k,
es a dir, suposem que es cert que:
1+2+ · · ·+k =k(k + 1)
2(hipotesi d’induccio)
Hem de veure que tambe es certa per a
n = k + 1. Per tant, volem veure que
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)(k + 2)
2
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 7
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
Utilitzant la hipotesi d’induccio, sabem calcular
el valor dels k primers termes de la suma que
hem de realitzar:
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =k(k + 1)
2+ (k + 1)
=k(k + 1) + 2(k + 1)
2
=k2 + k + 2k + 2
2
=k2 + 3k + 2
2
=(k + 1)(k + 2)
2
Per tant queda demostrada la propietat ∀n ∈ N. #
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 8
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
Exercici Proposat
Useu el principi d’induccio per veure que les
seguents igualtats son certes per tot nombre
natural:
(a) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2
(b) 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =
1
6n(n+ 1)(2n+ 1)
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 9
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
R1.Demostrar que per a tot n ∈ N, es compleix:
(1 + 2 + . . . + n)2 = 13 + 23 + . . . + n3.
Dem. Per veure que la propietat es certa per a tots els nombres
naturals, utilitzarem el principi d’induccio.
Per tant, hem de veure dues coses:
1.- que es cert per n = 1.
2.- que si es cert per n ≤ k, tambe ho es per n = k + 1.
Vegem primer que es compleix el cas base, es a dir, que la
propietat es certa per n = 1:
12 = 13X
Suposem ara que la propietat es certa per n = k, es a dir que:
(1 + 2 + . . . + k)2 = 13 + 23 + . . . + k3, (1)
vegem que la propietat es certa per n = k + 1, es a dir, volem
veure si es cert que:
(1 + 2 + . . . + k + (k + 1))2 = 13 + 23 + . . . + k3 + (k + 1)3.
Usant la propietat (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 tenim que:
(1+2+. . .+k+(k+1))2= (1+. . .+k)
2+(k+1)
2+2(1+. . .+k)(k+1).
Si tenim en compte que
1 + 2 + . . . + k =k(k + 1)
2,
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 10
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
i la hipotesi d’induccio, equacio (1), tenim que:
(1 + . . . + k + (k + 1))2
= (1 + . . . + k)2+ (k + 1)
2+ 2(1 + . . . + k)(k + 1)
= 13+ . . . + k
3+ (k + 1)
2+ 2
k(k + 1)
2(k + 1)
= 13+ . . . + k
3+ (k + 1)
2+ k(k + 1)
2
= 13+ . . . + k
3+ (k + 1)
2(1 + k)
= 13 + . . . + k3 + (k + 1)3,
com volıem veure.
R2.Demostrar que per a tot n ∈ N, es compleix:
1
1 · 2+
1
2 · 3+ . . . +
1
n · (n + 1)=
n
n + 1
Dem. El cas base es cert perque1
1 · 2=
1
2.
Suposem ara que es cert per n = k, es a dir,
1
1 · 2+
1
2 · 3+ . . . +
1
k · (k + 1)=
k
k + 1, (2)
anem a veure que tambe es cert per n = k + 1, es a dir, volem
veure que
1
1 · 2+
1
2 · 3+ . . . +
1
k · (k + 1)+
1
(k + 1) · (k + 2)=
k + 1
k + 2.
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 11
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
Fent servir la hipotesi d’induccio, equacio (2), tenim que:
1
1 · 2+
1
2 · 3+ . . . +
1
k(k + 1)+
1
(k + 1)(k + 2)
=k
k + 1+
1
(k + 1)(k + 2)=
1
k + 1(k +
1
k + 2)
=1
k + 1
k2 + 2k + 1
k + 2=
1
k + 1
(k + 1)2
k + 2=
k + 1
k + 2,
com volıem veure.
R3.Demostrar que per a tot n ∈ N, es compleix:
1 + 2 + 22+ 2
3+ . . . + 2
n= 2
n+1− 1
Dem. Per demostrar la propietat per induccio hem de veure:
1.- que es cert per n = 1.
2.- que si es cert per n ≤ k, tambe ho es per n = k + 1.
Per n = 1 tenim que 1 + 2 = 3 = 22 − 1 X
Suposem ara que la propietat es certa per n = k, es a dir que
1 + 2 + 22+ 2
3+ . . . + 2
k= 2
k+1− 1,
anem a veure que es cert per n = k + 1, es a dir, vegem que
1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 2k + 2k+1 = 2k+2− 1.
Fent servir la hipotesi d’induccio:
1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 2k + 2k+1 = 2k+1 − 1 + 2k+1
= 2 · 2k+1 − 1 = 2k+2 − 1.
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 12
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
R4.A partir de les igualtats:
1 +1
2= 2 −
1
2
1 +1
2+
1
4= 2 −
1
4
1 +1
2+
1
4+
1
8= 2 −
1
8
deduıu si existeix una “llei general” al respecte, per qualsevol
n ≥ 1. En cas afirmatiu, enuncieu-la i demostreu-la per induccio.
Dem. Anem a determinar primer el valor de l’expressio:
f(n) = 1 +1
2+
1
4+
1
8+ . . . +
1
2n.
Per fer-ho donarem diferents valors a n:
f(1) = 1 +1
2= 2 −
1
2
f(2) = 1 +1
2+
1
4= 2 −
1
4
f(3) = 1 +1
2+
1
4+
1
8= 2 −
1
8
f(4) = 1 +1
2+
1
4+
1
8+
1
16=
31
16= 2 −
1
16
f(5) = 1 +1
2+
1
4+
1
8+
1
16+
1
32=
63
32= 2 −
1
32
Per tant podem deduir que
f(n) = 2 −1
2n.
Per demostrar-ho per induccio hem de veure que:
1.- es cert per n = 1.
2.- si es cert per n ≤ k, tambe ho es per n = k + 1.
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 13
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
Per n = 1 tenim que:
1 +1
2=
3
2= 2 −
1
2.
Suposem ara que es cert per n = k, es a dir,
1 +1
2+ . . . +
1
2k= 2 −
1
2k, (3)
i vegem que es cert per n = k + 1, es a dir, volem veure que
1 +1
2+ . . . +
1
2k+
1
2k+1= 2 −
1
2k+1.
Usant la hipotesi d’induccio:
1 +1
2+ . . . +
1
2k+
1
2k+1= 2 −
1
2k+
1
2k+1= 2 −
1
2k+
1
2 · 2k
= 2 −1
2k(1 −
1
2) = 2 −
1
2k
1
2= 2 −
1
2k+1,
com volıem veure.
R5.Demostrar que n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 es multiple de 9, per
tot n ≥ 1.
Dem. Per demostrar-ho per induccio cal veure dues coses:
1.- que es cert per n = 1.
2.- que si es cert per n ≤ k, tambe ho es per n = k + 1.
Per n = 1 tenim que: 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 = 4 · 9, i per
tant es multiple de 9.
Suposem que es cert per n = k, es a dir, que
k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 es multiple de 9, es a dir, existeix un
nombre natural p tal que:
k3+ (k + 1)
3+ (k + 2)
3= 9p.
Volem veure que tambe es cert per n = k+ 1, es a dir, que existeix
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 14
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
un nombre natural p tal que:
(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = 9p. (4)
Si desenvolupem el cub (k + 3)3 tenim que:
(k + 3)3= k
3+ 9k
2+ 27k + 27,
per tant
(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3
= (k + 1)3+ (k + 2)
3+ k
3+ 9k
2+ 27k + 27
= k3+ (k + 1)
3+ (k + 2)
3+ 9k
2+ 27k + 27.
Fent servir ara la hipotesi d’induccio, equacio (4), tenim que
(k + 1)3+ (k + 2)
3+ (k + 3)
3
= k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 + 9k2 + 27k + 27
= 9p + 9k2+ 27k + 27 = 9(p + k
2+ 3k + 3) = 9p,
on p = p + k2 + 3k + 3.
Per tant hem provat el que volıem.
R6.Demostrar que per a tot n ≥ 1,1
2+
1
4+ . . . +
1
2n< 1.
Dem. Per demostrar-ho per induccio cal veure dues coses:
1.- que es cert per n = 1.
2.- que si es cert per n ≤ k, tambe ho es per n = k + 1.
Per n = 1 tenim que:1
2< 1, que es cert.
Suposem ara que es cert per n = k, es a dir, que
1
2+
1
4+ . . . +
1
2k−1+
1
2k< 1, (5)
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 15
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
i vegem que es cert per n = k + 1, es a dir, volem veure que:
1
2+
1
4+ . . . +
1
2k−1+
1
2k+
1
2k+1< 1.
Si multipliquem l’equacio (5) per 12 tenim que:
1
4+
1
8+ . . . +
1
2k+
1
2k+1<
1
2,
per tant1
2+
1
4+ . . . +
1
2k+
1
2k+1<
1
2+
1
2= 1,
com volıem veure.
R7.Proveu que 2n ≤ n! si n ≥ 4.
Dem. En aquest cas el cas base d’induccio es n = 4, per tant per
demostrar la propietat per induccio hem de veure:
1.- que es cert per n = 4.
2.- que si es cert per n ≤ k, tambe ho es per n = k + 1.
Per n = 4 tenim que 24 = 16 < 24 = 4!, i per tant el cas base es
cert.
Suposem que 2k ≤ k!, anem a veure si es cert per n = k + 1, es a
dir, volem veure si
2k+1≤ (k + 1)!.
Usant la hipotesi d’induccio:
2k+1 = 2k· 2 ≤ k! · 2.
Llavors com que 2 < k + 1, ja que com a mınim k = 4,
2k+1
≤ k! · 2 < k!(k + 1) = (k + 1)!.
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 16
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
R11.Considerem la sequencia de nombres definada per la formula
recursiva an = 2an−1 −a2n−1. Demostreu que an = 1− (1−a0)
2n .
Dem. Per demostrar-ho per induccio cal veure dues coses: que es
cert per n = 1 i que si es cert per n ≤ k, tambe ho es per
n = k + 1.
Per n = 1 tenim que
a1 = 2a0 − a20 = 1 − 1 + 2a0 − a
20 = 1 − (1 − a0)
2,
i per tant el cas base es cert.
Suposem ara que es cert fins n = k, es a dir que,
ak = 1 − (1 − a0)2k
, (6)
anem a veure que es cert per n = k + 1, es a dir que
ak+1 = 1 − (1 − a0)2k+1
.
Si fem servir la definicio del terme ak+1 i la hipotesi d’induccio,
equacio (1), tenim que:
ak+1 = 2ak − a2k= 2(1 − (1 − a0)
2k ) − (1 − (1 − a0)2k )2
= 2 − 2(1 − a0)2k
− 1 − ((1 − a0)2k )2 + 2(1 − a0)
2k
= 2 − 1 − ((1 − a0)2k
)2= 1 − (1 − a0)
2k·2= 1 − (1 − a0)
2k+1.
R12.Els nombres de Fibonacci es defineixen de manera recursiva
segons:
f1 = f2 = 1, fn = fn−1 + fn−2 ∀n ≥ 2,
de manera que els primers nombres de Fibonacci son:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...
Demostreu les seguents propietats d’aquests nombres:
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 17
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
(a) ∀n ∈ N, f3n es parell.
(b) ∀n ∈ N, f4n es divisible per tres.
(a) Anem a veure que f3n es parell, ∀n ∈ N.
El cas base es n = 1. En aquest cas tenim que f3 = 2 que es parell.
Suposem que f3n es parell, per n = k, es a dir que f3n = 2p on
p ∈ N. Anem a veure que f3(k+1) tambe es parell, es a dir, volem
veure que existeix p ∈ N tal que f3(k+1) = 2p.
Per la definicio dels nombres de Fibonacci
f3(k+1) = f3(k+1)−1 + f3(k+1)−2 = f3k+2 + f3k+1.
De la mateixa manera fent servir la definicio dels nombres de
Fibonacci, f3k+2 = f3k+1 + f3k, i per tant
f3(k+1) = f3k+2 + f3k+1 = f3k+1 + f3k + f3k+1 = 2f3k+1 + f3k.
Llavors fent servir la hipotesi d’induccio
f3(k+1) = 2f3k+1 + f3k = 2(f3k+1 + p),
i per tant es un nombre parell (prenent p = p + f3k+1).
(b) Hem de veure que f4n es divisible per tres, o el que es el
mateix, que es un multiple de tres.
En aquest cas el cas base es f4 = 3 que es multiple de tres.
Suposem ara que f4k = 3p, p ∈ N. Anem a veure que f4(k+1)
tambe ho es.
f4(k+1) = f4k+3 + f4k+2 = f4k+2 + f4k+1 + f4k+2 = 2f4k+2 + f4k+1
= 2f4k+2 + f4k+1 = 2(f4k+1 + f4k) + f4k+1 = 3f4k+1 + f4k
= 3(f4k+1 + p),
que es un multiple de 3.
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 18
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
R13.Calculeu el valor de l’expressio2 + 4 + . . . + 2n
1 + 3 + . . . + (2n − 1)per a
tot n ∈ N i demostreu-ho per induccio.
Dem. Anem a determinar primer el valor de l’expressio:
f(n) =2 + 4 + . . . + 2n
1 + 3 + . . . + (2n − 1).
Per fer-ho donarem diferents valors a n:
f(1) =2
1
f(2) =2 + 4
1 + 3=
6
4=
2 · 3
22=
3
2
f(3) =2 + 4 + 6
1 + 3 + 5=
12
9=
3 · 4
32=
4
3
f(4) =2 + 4 + 6 + 8
1 + 3 + 5 + 7=
20
16=
4 · 5
42=
5
4
f(5) =2 + 4 + 6 + 8 + 10
1 + 3 + 5 + 7 + 9=
30
25=
5 · 6
52=
6
5
Per tant podem deduir que
f(n) =n(n + 1)
n2=
n + 1
n
Per fer la demostracio tenim dues opcions, o veure per separat que
2 + 4 + . . . + 2n = n(n + 1) i que 1 + 3 + . . . + (2n − 1) = n2 o be
demostrar que f(n) =n + 1
n.
Ho farem per separat perque sera mes senzill. Per tant hem de
veure que:
i) 2 + 4 + . . . + 2n = n(n + 1)
ii) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2
i) 2 + 4 + . . . + 2n = n(n + 1)
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 19
Gimel
GIM
EL
GR
UP
D’IN
NO
VA
CIÓ
MA
TE
MÀ
TIC
AE
-LE
AR
NIN
G
COMPETENCIA GENERICA: induccio
n = 1 : 2 = 1 · 2 es cert.
n = k =⇒ n = k + 1 : Suposem-ho cert per n = k, es a dir:
2 + 4 + . . . + 2k = k(k + 1).
Vegem que es cert per n = k + 1. Es a dir, volem veure que
2 + 4 + . . . + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2).
Llavors tenim que:
2 + 4 + . . . + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
que es el que volıem veure.
ii) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2
n = 1 : 1 = 12 es cert.
n = k =⇒ n = k + 1 : Suposem-ho cert per n = k, es a dir:
1 + 2 + . . . + (2k − 1) = k2
i vegem-ho per n = k + 1. Es a dir, volem veure que
1 + 2 + . . . + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)2.
Llavors tenim que:
1 + 2 + . . . + (2k − 1) + (2k + 1) = k2+ 2k + 1 = (k + 1)
2,
que es el que volıem veure.
LLavors, usant (i) i (ii) tenim que:
f(n) =2 + 4 + . . . + 2n
1 + 3 + . . . + (2n − 1)=
n(n + 1)
n2=
n + 1
n
com volıem veure.
Matematiques I
N. Pares, F. Pozo, Y. Vidal 20