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XXVII REUNIÓN DE ESTUDIOS REGIONALESCambios Regionales en la UE y Nuevos Retos Territoriales
TITULO DEL RESUMEN:APLICACIÓN DE LAS CURVAS CUADRÁTICAS COMOMODELOS DE CONCENTRACIÓN DE VARIABLESECONÓMICAS
AUTORES: Dra. Mª ÀNGELS CABASÉS y Dra. Mª JESÚSGÓMEZ Departamento de Economía Aplicada.
Universidad de Lleida
Direcciones de contacto de los autores:
MªANGELS CABASES PIQUE
Departamento de Economia Aplicada
Facultad de Derecho y Economia
Plaza Victor Siurana, 1 25003 LLEIDA
Tf. 973.70.31.42
E-mail: .Angels.Cabases@econap.UdL.es
MªJESÚS GÓMEZ ADILLÓN
Departamento de Economia Aplicada
Facultad de Derecho y Economia
Plaza Victor Siurana, 1 25003 LLEIDA
Tf. 973.70.31.42
E-mail: M.Jesus.Gomez@econap.UdL.es
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TITULO: APLICACIÓN DE LAS CURVAS CUADRÁTICAS COMOMODELOS DE CONCENTRACIÓN DE VARIABLESECONÓMICAS
RESUMEN
A partir de estudios teóricos, que analizan modelos de
concentración de una variable económica, en el presente trabajo se
pretende profundizar en la especificación de modelos que tengan
utilidad como curvas de Lorenz.
El objetivo que se pretende es ver si una forma cuadrática
propuesta por Villaseñor y Arnold (1984) puede ajustarse como
curva de concentración, a través del cálculo de funciones de
densidad derivadas de las funciones anteriores.
También se calculan medidas de concentración que se derivan de
curvas cuadraticas particulares obtenidas teóricamente, entre otras,
el índice de Pietra y el índice de Gini.
En una segunda parte se realiza una aplicación empírica que
persigue cuantificar las desigualdades en el PIB por cápita de las
comarcas de Catalunya para los años 1991 y 1996.
AUTORES: M.Àngels Cabasés y M. Jesús Gómez. Departamentode Economia Aplicada. Universidad de Lleida.
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TITULO DE LA COMUNICACIÓN:
APLICACIÓN DE LAS CURVAS CUADRÁTICAS COMOMODELOS DE CONCENTRACIÓN DE VARIABLESECONÒMICAS
1. Introducción a las curvas cuadráticas de concentración
Una de las áreas de mayor interés en el ámbito del estudio de la
concentración de una variable económica, ha sido la especificación
de su distribución junto con la elección de una o más medidas de
concentración.
Diversos autores han realizado investigaciones en este sentido y han
sugerido distintas curvas de concentración. Algunos de ellos como
Pareto (1896), Aitchison y Brown (1957), Fisk (1961), Salem y Mount
(1974), Singh (1976), Maddala (1976), Gail (1978), Gastwirth (1978),
Basmann (1990), McDonald (1979) entre otros, han efectuado
estudios basándose en modelos de probabilidad teóricos. Destacan
las aportaciones por Kakwani y Podder (1973), Villaseñor y Arnold
(1989) y Gupta (1984) ya que han propuesto nuevas formas
funcionales para definir una curva de concentración mediante las
cuales se obtienen medidas de la desigualdad, de fácil
interpretación. Todos tienen un punto en común, estudiar modelos
de probabilidad teóricos en los cuales se fundamentan las curvas de
concentración, y que en gran medida describan el comportamiento
de los datos que se disponen.
En concreto, este trabajo se inicia con la descripción de una forma
cuadrática propuesta por Villaseñor y Arnold1 del tipo:
1 Villaseñor, J. y Arnold, B., “Elliptical Lorenz Curves”, Journal of Econometrics, vol.40,págs.327-338, 1989.
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0cqbpqap 22 =++ [M1]
El objetivo que se pretende con esta investigación es analizar si este
modelo puede ajustarse a una curva cuadrática de Lorenz. Para ello
se hace necesario obtener una función q, que por un lado, sea una
función de p (tomando a q como la función de concentración y a p
como la función de acumulación de probabilidad), y por otro lado,
que cumpla con las propiedades de una curva de concentración:
- si p = 0 → q(p) = 0
- si p = 1 → q(p) = 1
- q’(p) ≥ 0
- q’’(p) ≥ 0
Si efectuamos el análisis de las propiedades en el modelo propuesto
observamos que no se cumplen y por tanto no puede ser
considerado como una curva de concentración.
Bajo esta línea de investigación, se añade a la forma anterior otros
términos para conseguir modelos de concentración, en concreto se
analizaran las siguientes ecuaciones:
- 0dpcqbpqap 22 =+++
- 0eqcqbpqap 22 =+++
- 0eqdpcqbpqap 22 =++++
Villaseñor, J. y Arnold, B., “Some examples of fitted general quadratic Lorenz curves”,Technical report, núm.130, University of California, 1984.
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En primer lugar el modelo M1 se modifica sumando el término dp
que depende de la función de acumulación de probabilidad,
resultando la siguiente expresión:
0dpcqbpqap 22 =+++ [M2]
A partir de aquí se hace necesario hallar un conjunto de restricciones
en los parámetros para que se cumplan las propiedades de una
curva de concentración. Esta tarea resulta muy enojosa y larga,
presentándose diferentes alternativas, motivo por el cual las
restricciones que a continuación se presentan permiten que la curva
sea una curva de concentración elíptica.
El estudio de esta nueva forma cuadrática lleva a las siguientes
conclusiones:
a) Si el parámetro c = 0, no se obtiene ninguna curva de Lorenz
puesto que nos hallamos con la misma problemática anterior, que
surge en la ecuación M1.
b) Considerando a c ≠ 0, y en concreto el caso, c = 1, la posible
curva de concentración seria:
( )2
)dpap(4pbbpq2
1222 +−−−= [C1]
Para esta posible curva de concentración se ha considerado el valor
negativo de la raíz puesto que es el procedimiento más indicado
para obtener las conclusiones que se desean alcanzar.
Para que la función cuadrática [C1] sea una verdadera función de
concentración, es decir, que cumpla las propiedades anteriormente
citadas, es necesario que pase por los puntos (0,0) y (1,1), para lo
cual debe cumplirse la restricción en los parámetros:
0dab1 =+++ .
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Al mismo tiempo serán necesarias las siguientes restricciones en los
parámetros para que la curva sea una verdadera función de
concentración:
01dba0b0a0d ≥+++≤≤>
Por otro lado, si a la forma cuadrática original M1 se añade un
miembro diferente al de la ecuación M2, que en este caso depende
de q (función de concentración), se obtiene la siguiente ecuación:
0eqcqbpqap 22 =+++ [M3]
A partir de la cual, podemos obtener las siguientes conclusiones:
a) Suponiendo a c = 0, la función es:
)ebp(apq
2
+−= [C2]
Que pasará por los puntos (0,0) y (1,1), si bae −−= y si los
parámetros toman las restricciones que se enumeran se obtiene una
nueva curva de concentración:
a)1p(b0b0a >−≤≤
b) Suponiendo c = 1, la función a estudiar será:
( )2
ap4)ebp()ebp(q2122 −+−+−= [C3]
que pasará por los puntos (0,0) y (1,1) si 1−−−= bae y será una
función de concentración si los parámetros toman los valores:
a4b01a0b0a 2 ><−≤≤
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Y por último se estudia una forma cuadrática más general,
añadiendo al modelo M1 los términos dp y eq , de forma conjunta,
que engloba todos los parámetros estudiados anteriormente:
0eqdpcqbpqap 22 =++++ [M4]
De igual forma se supone c = 0, obteniéndose la función:
)ebp()dpap(q
2
++−= [C4]
y en concreto, se considera el tramo que pasa por los puntos (0,0) y
(1,1), siendo necesario que dbae −−−= .
Cumplirá con las propiedades de una curva de Lorenz si los
parámetros toman las restricciones:
0dab0d0b0a >++≥≤≤
En el caso particular para c = 1 la función q pasará a ser la siguiente:
2))dpap(4)ebp(()ebp(q
2122 +−+−+−= [C5]
Con la condición 01 =++++ edba para que pase por los puntos
(1,1) y (0,0), junto con las restricciones generales para cumplir con
las propiedades deseadas:
01dba0d0b0a >+++≥≤≤
2. Cálculo de las densidades derivadas de las formascuadráticas
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Existen muchas curvas de Lorenz, propuestas por diferentes
autores, que no se han calculado a partir de densidades conocidas
de la variable objeto de estudio. Tal es el caso de la curva de
concentración con forma cuadrática más general que se ha
propuesto anteriormente.
A pesar de desconocer la densidad de la variable aleatoria, es
posible su cálculo si se tiene en cuenta que para )p(qq = , se
cumple:
µx
dqdp)p(q ==′ obteniéndose su inversa pxq 1 =
−
µ
De forma que el dominio de la variable aleatoria será:
[ ])1(q),0(qx ′′∈ µµ
Puesto que el mínimo de x → µ)0(q′ y el máximo de x →
µ)1(q′
En concreto en este trabajo, se obtienen las funciones de densidad
derivadas de la expresión M4 que engloba los distintos parámetros
estudiados en los modelos M2 y M3. Resultan interesantes los
casos particulares que se presentan a continuación:
1. De la curva [C2] si se supone que el parámetro b toma el
valor 0, la función de probabilidad acumulada será: µ2xp = con
un dominio de la variable µ2x0 << y una función de densidad:
µξ 21)x(f =
Podemos observar que se corresponde con una densidad
uniforme.
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2. Partiendo de la curva cuadrática más general [M4] y
suponiendo 0ba == y 1c = :
dx4dx)1d(p 2
2222 µ−+=
1ddx
1dd
−<<
+µµ
Resultando una función de densidad, tal como: 3
2
x2d)x(f µ
ξ = .
Si d=1 se corresponde con la función de densidad de la
distsribución de Pareto, para α = 2.
3. Continuando con la misma curva [M4] pero suponiendo que
0bd == y 1c = :
21222 )axa(2x)1a(p
++=
µ con
1aa2x0−
<< µ obteniendo la
función de densidad:
23222
22
)axa(2a)1a()x(f
++=
µµ
ξ
4. De la curva [C4] con 0=b , la función de acumulación de
probabilidad, el dominio de x y la función de densidad que se
obtienen son:
µµ
a2dx)da(p −+=
da)da2(x
dad
++<<
+µµ
10
µξ a2da)x(f += densidad que también se corresponde con una
distribución uniforme.
5. Partiendo nuevamente, de la curva cuadrática más general
[M4] y considerando que 042 =− ab se obtiene:
)d2be(2e)bx2(2
)d2be(p 22
2
−−+
−=µ
µ
2b
)ed4be2(d2bex
ed
212µµ
−
+−−<<−
3
2
)bx2()bed2(2)x(f
µµ
ξ +−=
3. Cálculo del valor máximo en las curvas cuadráticasparticulares
El valor de la máxima diferencia entre la función de acumulación de
probabilidad p y la curva de concentración q(p) se halla donde la
función presenta su máximo tal y como puede observarse en el
gráfico 1.
Esta diferencia se considera la distancia perpendicular a la abscisa
cuando D(p) = p – q(p) = Fξ(x) - qξ(x) = D(x). Como D’(p)dp = D’(x)dx
, entonces ocurre que D’(p) = 0 si y solo si D’(x) = 0 , se cumple para
p = pµ = Fξ(µ)2.
2 Cabe esperar que D’(x) = 0 ⇒ fξ(x) – x/µ fξ(x) = 0 ⇒ x = µ
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Por tanto, la máxima diferencia entre la curva y la recta igualitaria se
produce cuando pµ - q(pµ ) teniendo en cuenta que en el punto x = µ
la curva de concentración toma su máximo y la pendiente en este
punto coincide con la pendiente de la bisectriz principal:
1)p(qx >′→> µ
1)p(qx <′→< µ
Podemos apreciar en el gráfico 1 la representación de la máxima
distancia entre la curva y la recta igualitaria.
Gráfico 1. Máxima distancia entre la curva y la recta igualitaria
1,00,0
1,0
0,0
p
q(p)
p( )
q(p( ))µ
µ
q'(p) = 1
Máxima diferencia
También, si se observa el gráfico puede observarse como el punto
(pµ, q(pµ)) es el vértice del mayor triángulo que se puede inscribir
dentro de la curva, el cual a su vez, se considera como la cota
inferior del índice de Gini.
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En esta línea Pietra (1930) obtiene una medida de concentración de
la variable, que demuestra es igual a la máxima discrepancia entre la
curva y la recta igualitaria 3
[ ]µ
µ2xE
P−
= con µµµµ D)p(D)p(qpP ==−=
Siguiendo el mismo orden utilizado en la deducción de las curvas
cuadráticas particulares, hemos obtenido el cálculo del valor máximo
de cada función puesto que el índice de Pietra puede considerarse
una medida adecuada de la desigualdad de una distribución:
1. De la curva [C1]: 41)p(qp =− µµ
2. De la curva [C2]: d41)p(qp =− µµ
3. De la curva [C3]:
−++=− 1
a1a)1a(
21)p(qp µµ
4. De la curva [C4]: )da(4
a)p(qp+
=− µµ
5. De la curva [C5]:
d2be)b2(e
41
b2b2be
41
2e)p(qp
2
−+−
+−−=− µµ
3 Posteriormente, Gastwirth (1972), estudiando medidas de concentración alternativas al Índice de Gini obtiene el
Índice de Pietra al analizar la mitad de la desviación media relativa:
µµµµµδ D)p(D)p(qp2
==−= donde ∫ −=∞
µµδ )x(dF)x(2
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4. Cálculo del índice de Gini
Tradicionalmente el índice se define como el doble del área
comprendida entre la curva y la recta igualitaria de forma que la
expresión que le corresponde es:
))p(q(E21dp))p(qp(2G1
0−=−= ∫ con 1p0 ≤≤
Para el cálculo del índice derivado de la curva cuadrática se ha
considerado el índice en función del valor medio de la masa
acumulada de variable. Gráficamente el área de concentración es la
siguiente:
Gráfico 2. Área de concentración
1,00,0
1,0
0,0
p
q(p)
área de concentración
Siendo su expresión: )q(E21qdp
21A
1
0−=−= ∫
El doble del área es por tanto,
∫∫∫∫∫ −=−−=−=1
0
1
0
1
0
1
0
1
0qdppdqqdpqdp1qdp21A2
14
El índice de Gini de la curva cuadrática general resulta una
expresión un tanto incómoda y por tanto se simplifica considerando:
α = b2 – 4a
β = 2be – 4d
λ = e2 = (a + b + d + 1)2
Y suponiendo que α = b2 – 4a > 0 :
αλβ
ααβλαβαλ
αλβαβα
ααβαλβααβαλ
88)2ln()4(
4)2(
8)22ln()4(
e2b1G
2
2
++−++++
−
−++++−
+
++=
5. Aplicación a la variable económica PIB per cápita
Con los datos correspondientes al PIB per cápita4 de las comarcas
de Cataluña para los años 1991 y 1996, se han ensayado todas las
posibilidades que ofrece la curva cuadrática general:
0eqdpcqbpqap 22 =++++ [M4]
Partiendo de este modelo, el ajuste se ha realizado considerando los
siguientes cambios:
)pq(d)pqq(b)pq(a)qq( 22 −+−+−=−
4 Según el SEC el producto interior bruto a precios de mercado representa el valor final dela actividad de producción de las unidades productoras en el territorio y corresponde a laproducción total de bienes y servicios de la economía menos el total de consumointermedio, más el IVA que grava los productos y más los impuestos ligados a laimportación.
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Siendo necesario que )d1ba(e +++−= para que el modelo sea
una verdadera curva de concentración.
Los datos correspondientes al PIB per cápita se presentan a
continuación en la tabla 1.
Tabla 1. PIB per cápita y población por comarcas de CataluñaAños 1991 y 1996.
PIB(millones de pesetas
corrientes)
Población
Comarca 1991 1996 1991 1996
Alt Camp 2,09942 2,68148 34016 34403
Alt Empordà 1,69437 2,27084 90755 93172
Alt Penedès 1,49888 1,85147 69863 73196
Alt Urgell 1,66428 2,17238 19010 19004
Alta Ribagorça 1,68839 2,09881 3514 3542
Anoia 1,39510 1,67760 82450 86964
Bages 1,38823 1,80336 152177 152586
Baix Camp 1,84357 2,17395 131599 140540
Baix Ebre 1,69828 2,10999 64645 65879
Baix Empordà 1,62510 2,04161 89930 95986
Baix Llobregat 1,24191 1,56336 610192 643419
Baix Penedès 1,88036 1,87319 38080 47550
Barcelonès 1,66943 2,44679 2302137 2131378
Berguedà 1,32706 1,69715 38965 38606
Cerdanya 1,69095 2,17786 12396 12735
Conca de Barberà 1,59308 2,03686 18001 18285
Garraf 1,33684 1,52602 76915 90435
Garrigues 1,02836 1,48462 19429 19273
Garrotxa 1,64368 2,14850 46060 46708
Gironès 1,92767 2,55556 125875 129044
Maresme 1,23032 1,48258 293103 318891
Montsià 1,53704 1,87269 54307 54765
Noguera 1,23935 1,68719 34782 34478
Osona 1,55715 1,92730 117442 122923
Pallars Jussà 1,46633 1,85167 12860 12809
Pallars Sobirà 1,48671 1,81579 5418 5814
Pla d'Urgell 1,43830 1,85717 28802 29104
Pla de l'Estany 1,54290 1,84173 21072 23833
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Priorat 1,21150 1,59520 9475 9212
Ribera d'Ebre 2,64069 3,56056 23055 22442
Ripollès 1,55571 2,14553 27167 26365
Segarra 1,76027 2,12737 17040 17375
Segrià 1,61624 2,11631 162904 163691
Selva 1,67019 2,11030 98255 104825
Solsonès 1,57802 1,95390 10792 11171
Tarragonès 2,32124 2,73590 155881 169016
Terra Alta 1,25129 1,68094 12945 12584
Urgell 1,46803 1,85781 29789 30185
Val d'Aran 2,28315 2,71690 6184 7047
Vallès Occidental 1,45239 1,81492 649699 685600
Vallès Oriental 1,60560 1,94737 262513 285129
Fuente: Anuario de la Caixa Catalunya (1998).
No todos los modelos posibles que se han presentado en la primera
parte de este trabajo han proporcionado ajustes de calidad, es decir,
los parámetros estimados no han permitido que se cumplan las
propiedades de una curva de concentración.
En los dos años considerados, ha funcionado el modelo cuando b =
a = 0 y c = 1, dando lugar a la siguiente función de concentración:
( )2
dp4ee)p(q2
12 −−−= con 0d ≥ )1d(e +−=
Parámetro que determina la concentración de la distribución del PIB
per cápita en las comarcas de la comunidad autónoma de Cataluña.
El resultado de los ajustes para los dos años se presenta en los
cuadros 1 y 2.
Cuadro 1. Estimación de la función de concentración. Año 1991
pqqq −⋅=− 00,42
17
Predictor Coeficiente DesvEst razón-t p
q – p 4,00473 0,07660 52,28 0,000
s = 0,01919 F = 2733,41 p = 0,000
Cuadro 2. Estimación de la función de concentración. Año 1996
pqqq −⋅=− 91,22
Predictor Coeficiente DesvEst razón-t p
q – p 2,90984 0,03373 86,27 0,000
s = 0,01392 F = 7442,14 p = 0,000
Por otro lado y para el año 1991 ha funcionado el modelo cuando c =
b = 0 dando lugar a la expresión:
dadpap)p(q
2
++= con 0d0a ≥≤ )da(e +−=
Obtenemos la correspondiente estimación en el cuadro 3 para el año
1991.
Cuadro 3. Estimación de la función de concentración. Año 1991
)(98,1)(628,0)( 22 pqpqqq −⋅+−⋅−=−
Predictor Coeficiente DesvEst razón-t p
q – p2 -0,6282 0,1127 -5,57 0,000
q – p 1,9823 0,3674 5,40 0,000
s = 0,01442 F = 2435,99 p = 0,000
Estimaciones que permiten obtener las curvas de concentración y
dos medidas de desigualdad, el índice de Pietra y el índice de Gini
que en particular, toman los valores que se presentan en los cuadros
4 y 5.
18
Cuadro 4. Valores de los índices de concentraciónCaso particular para c = 1 y a = b = 0
Años Índice de Gini Índice de Pietra
1991 0,08 0,062
1996 0,11 0,085
Gráfico 3. Curvas de concentración del caso particular para c =1 y a = b = 0 para los años 1991 y 1996.
0,0 0,5 1,0
0,0
0,5
1,0
p
q(d) 1991
1996
Puede observarse que tanto el índice de Gini como el índice de
Pietra presentan unos valores muy bajos y aunque indican un
aumento de desigualdad en el año 1996, puesto que el valor de los
índices aumenta en este periodo, consideramos que el PIB en las
comarcas de Catalunya no esta muy concentrado.
Si se considera el siguiente caso particular, cuando c=b=0, como
vemos en el cuadro5, la conclusión para el año 1991 es la misma
aunque los valores de los índices son sensiblemente mayores que
en el caso anterior.
Cuadro 5. Valores de los índices de concentración
19
Caso particular para c = b = 0
Años Índice de Gini Índice de Pietra
1991 0,15 0,116
20
Bibliografía
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España. Valladolid.
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