Post on 15-Oct-2020
Que es la Teorıa Matematica de Control
Constanza Sanchez de la Vega
Departamento de Matematica, Facultad de Cs. Exactas y Naturales,Universidad de Buenos Aires.
21 de Octubre de 2009
Controlar
Controlar un objeto significa influenciar su comportamiento de manerade alcanzar un fin deseado.
Para implementar esta influencia, los ingenieros construyen dispositivosque incorporan distintas tecnicas matematicas.
Estos dispositivos van desde los
acueductos romanosmaquina de vapor de Watt
hasta sofisticados controladores de microprocesadores que se encuentranentre los objetos que consumimos como ser:
reproductores de CDautos
o en la industria
roboticaaeronavegacion (pilotos automaticos)
Controlar
Controlar un objeto significa influenciar su comportamiento de manerade alcanzar un fin deseado.
Para implementar esta influencia, los ingenieros construyen dispositivosque incorporan distintas tecnicas matematicas.
Estos dispositivos van desde los
acueductos romanosmaquina de vapor de Watt
hasta sofisticados controladores de microprocesadores que se encuentranentre los objetos que consumimos como ser:
reproductores de CDautos
o en la industria
roboticaaeronavegacion (pilotos automaticos)
Controlar
Controlar un objeto significa influenciar su comportamiento de manerade alcanzar un fin deseado.
Para implementar esta influencia, los ingenieros construyen dispositivosque incorporan distintas tecnicas matematicas.
Estos dispositivos van desde los
acueductos romanosmaquina de vapor de Watt
hasta sofisticados controladores de microprocesadores que se encuentranentre los objetos que consumimos como ser:
reproductores de CDautos
o en la industria
roboticaaeronavegacion (pilotos automaticos)
Controlar
Controlar un objeto significa influenciar su comportamiento de manerade alcanzar un fin deseado.
Para implementar esta influencia, los ingenieros construyen dispositivosque incorporan distintas tecnicas matematicas.
Estos dispositivos van desde los
acueductos romanosmaquina de vapor de Watt
hasta sofisticados controladores de microprocesadores que se encuentranentre los objetos que consumimos como ser:
reproductores de CDautos
o en la industria
roboticaaeronavegacion (pilotos automaticos)
Controlar
Controlar un objeto significa influenciar su comportamiento de manerade alcanzar un fin deseado.
Para implementar esta influencia, los ingenieros construyen dispositivosque incorporan distintas tecnicas matematicas.
Estos dispositivos van desde los
acueductos romanosmaquina de vapor de Watt
hasta sofisticados controladores de microprocesadores que se encuentranentre los objetos que consumimos como ser:
reproductores de CDautos
o en la industria
roboticaaeronavegacion (pilotos automaticos)
Controlar
Controlar un objeto significa influenciar su comportamiento de manerade alcanzar un fin deseado.
Para implementar esta influencia, los ingenieros construyen dispositivosque incorporan distintas tecnicas matematicas.
Estos dispositivos van desde los
acueductos romanosmaquina de vapor de Watt
hasta sofisticados controladores de microprocesadores que se encuentranentre los objetos que consumimos como ser:
reproductores de CDautos
o en la industria
roboticaaeronavegacion (pilotos automaticos)
Un ejemplo sencillo - El tanque de agua
Tenemos un cilindro
• 3 metros de altura (H = 3)• 2 metros de diametro (r = 1)
Si le ponemos agua a razon de 1 litro cada 30 segundos, es decir 120litros por hora .
La altura h de agua alcanzada en el tanque esta controlada por lacantidad de agua que dejamos entrar en el tanque.
El volumen del cilindro viene dado por Vol = π · r2 · h.
Un ejemplo sencillo - El tanque de agua
Tenemos un cilindro
• 3 metros de altura (H = 3)• 2 metros de diametro (r = 1)
Si le ponemos agua a razon de 1 litro cada 30 segundos, es decir 120litros por hora .
La altura h de agua alcanzada en el tanque esta controlada por lacantidad de agua que dejamos entrar en el tanque.
El volumen del cilindro viene dado por Vol = π · r2 · h.
Un ejemplo sencillo - El tanque de agua
Tenemos un cilindro
• 3 metros de altura (H = 3)• 2 metros de diametro (r = 1)
Si le ponemos agua a razon de 1 litro cada 30 segundos, es decir 120litros por hora .
La altura h de agua alcanzada en el tanque esta controlada por lacantidad de agua que dejamos entrar en el tanque.
El volumen del cilindro viene dado por Vol = π · r2 · h.
Un ejemplo sencillo - El tanque de agua
Tenemos un cilindro
• 3 metros de altura (H = 3)• 2 metros de diametro (r = 1)
Si le ponemos agua a razon de 1 litro cada 30 segundos, es decir 120litros por hora .
La altura h de agua alcanzada en el tanque esta controlada por lacantidad de agua que dejamos entrar en el tanque.
El volumen del cilindro viene dado por Vol = π · r2 · h.
El tanque de aguaRecordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cubico equivale a 1.000 litros.
1 hora→ 120 litros → Vol = 0, 12m3 → h = 0,12π ≈ 0,0382 m.
10 horas→ 1200 litros → Vol = 1, 2m3 → h = 1,2π ≈ 0, 382m.
72 horas→ 8640 litros → Vol = 8, 64m3 → h = 8,64π ≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a lacantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado delsistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =C (t)
1000 · π
El tanque de aguaRecordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cubico equivale a 1.000 litros.
1 hora→ 120 litros → Vol = 0, 12m3 → h = 0,12π ≈ 0,0382 m.
10 horas→ 1200 litros → Vol = 1, 2m3 → h = 1,2π ≈ 0, 382m.
72 horas→ 8640 litros → Vol = 8, 64m3 → h = 8,64π ≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a lacantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado delsistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =C (t)
1000 · π
El tanque de aguaRecordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cubico equivale a 1.000 litros.
1 hora→ 120 litros → Vol = 0, 12m3 → h = 0,12π ≈ 0,0382 m.
10 horas→ 1200 litros → Vol = 1, 2m3 → h = 1,2π ≈ 0, 382m.
72 horas→ 8640 litros → Vol = 8, 64m3 → h = 8,64π ≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a lacantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado delsistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =C (t)
1000 · π
El tanque de aguaRecordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cubico equivale a 1.000 litros.
1 hora→ 120 litros → Vol = 0, 12m3 → h = 0,12π ≈ 0,0382 m.
10 horas→ 1200 litros → Vol = 1, 2m3 → h = 1,2π ≈ 0, 382m.
72 horas→ 8640 litros → Vol = 8, 64m3 → h = 8,64π ≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a lacantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado delsistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =C (t)
1000 · π
El tanque de aguaRecordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cubico equivale a 1.000 litros.
1 hora→ 120 litros → Vol = 0, 12m3 → h = 0,12π ≈ 0,0382 m.
10 horas→ 1200 litros → Vol = 1, 2m3 → h = 1,2π ≈ 0, 382m.
72 horas→ 8640 litros → Vol = 8, 64m3 → h = 8,64π ≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a lacantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado delsistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =C (t)
1000 · π
El tanque de aguaRecordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cubico equivale a 1.000 litros.
1 hora→ 120 litros → Vol = 0, 12m3 → h = 0,12π ≈ 0,0382 m.
10 horas→ 1200 litros → Vol = 1, 2m3 → h = 1,2π ≈ 0, 382m.
72 horas→ 8640 litros → Vol = 8, 64m3 → h = 8,64π ≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a lacantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado delsistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =C (t)
1000 · π
El tanque de aguaRecordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cubico equivale a 1.000 litros.
1 hora→ 120 litros → Vol = 0, 12m3 → h = 0,12π ≈ 0,0382 m.
10 horas→ 1200 litros → Vol = 1, 2m3 → h = 1,2π ≈ 0, 382m.
72 horas→ 8640 litros → Vol = 8, 64m3 → h = 8,64π ≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a lacantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado delsistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =C (t)
1000 · π
El tanque de aguaRecordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cubico equivale a 1.000 litros.
1 hora→ 120 litros → Vol = 0, 12m3 → h = 0,12π ≈ 0,0382 m.
10 horas→ 1200 litros → Vol = 1, 2m3 → h = 1,2π ≈ 0, 382m.
72 horas→ 8640 litros → Vol = 8, 64m3 → h = 8,64π ≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a lacantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado delsistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =C (t)
1000 · π
El tanque de aguaRecordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cubico equivale a 1.000 litros.
1 hora→ 120 litros → Vol = 0, 12m3 → h = 0,12π ≈ 0,0382 m.
10 horas→ 1200 litros → Vol = 1, 2m3 → h = 1,2π ≈ 0, 382m.
72 horas→ 8640 litros → Vol = 8, 64m3 → h = 8,64π ≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a lacantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado delsistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =C (t)
1000 · π
El tanque de aguaRecordemos:
r = 1 y entonces Vol = π · h.
En una hora entran 120 litros de agua.
1 metro cubico equivale a 1.000 litros.
1 hora→ 120 litros → Vol = 0, 12m3 → h = 0,12π ≈ 0,0382 m.
10 horas→ 1200 litros → Vol = 1, 2m3 → h = 1,2π ≈ 0, 382m.
72 horas→ 8640 litros → Vol = 8, 64m3 → h = 8,64π ≈ 2, 75m.
Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a lacantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado delsistema depende de C (t) = 120 · t = control donde t es la cantidad de horas
h(C (t)) =C (t)
1000 · π
El concepto de Optimizacion
Si pienso que la cantidad de agua que sale de la canilla depende delesfuerzo que se haga, entonces entre todas las formas que tengo dellenar el tanque hasta una cierta altura prefijada, puedo buscar la queproduzca menor esfuerzo en un tiempo dado, o la que tarde menostiempo.
Figura: Bomba manual de agua
El concepto de Controlabilidad
Fijados un tiempo en el que quiero que se llene el tanque y una alturahasta donde quiero llenarlo, puedo preguntarme si hay alguna manera dellenarlo de manera de cumplir con esos requisitos.
Si la cantidad maxima de agua por minuto que puedo poner en eltanque es de 5 litros. ¿Podre llenarlo hasta la altura maxima en 1 dıa?
Recordemos que:
La altura del tanque es de 3 metros.
El Volumen total del tanque es 3 · π m3 ≈ 9, 4m3 = 9400 lts.
24 horas equivalen a 1440 minutos y 1440 · 5 = 7200.
Si ahora la cantidad maxima de agua por minuto que puedo poner en eltanque es de 7 litros, vemos que hay muchas maneras de llenar eltanque hasta el tope en 1 dıa (1440 · 7 = 10080).
El concepto de Feedback o Retroalimentacion
Si el tanque tuviera un flotador, este mide en todo momento la alturadel agua en el tanque y corta el ingreso de agua cuando esta llega a laaltura maxima. Este mecanismo, observa el estado del sistema en cadamomento, a partir de lo cual se decide como determinar el control.
Si el tanque tuviera una perdida o un exceso de agua ingresando poralguna falla, el flotador permitirıa mantener el nivel de agua deseado, encontraposicion con un control predeterminado que fuera programadopara llenar el tanque sin la existencia de un flotador.
En este caso el control se determina en cada momento y permitecorregir las desviaciones del comportamiento deseado.
Los acueductos romanos
Figura: El acueducto de Segovia
Los romanos disenaron un sistema de esclusas (un dispositivo por el que el agua
fluye por debajo de una puerta) para mantener el nivel de agua constante.
Regulador de velocidadLas necesidades para la navegacion tuvieron una fuerte influencia en loscientıficos y las investigaciones tecnologicas durante los siglos XVII yXVIII.En el siglo XVIII, se construyeron unos molinos de viento para controlarla velocidad de navegacion.La idea fue utilizar dos pelotas enganchadas en un eje que giraba juntocon el molino de viento, de manera que la fuerza centrıfuga hiciera quese elevaran. Este movimiento de elevacion hacıa desplazar un eje queafectaba la posicion de las velas.
Maquina de vaporDurante la Revolucion Industrial, con la adaptacion de James Watt en 1769de los controladores de velocidad a las maquinas de vapor, los mecanismosde control se hicieron muy populares.
Figura: Maquina a vapor de Watt
Modelo economico
En 1928, Frank P. Ramsey, matematico ingles, desarrollo un modeloeconomico que lleva su nombre. En este modelo se asume que
k es el capital
c es el consumo
f (k) es la produccion a partir de un capital k
Por lo tanto, si dejo pasar un perıodo de tiempo desde t = t0 hastat = t1 = t0 + 1, la relacion entre el consumo y el capital viene dado por
k(t1) = k(t0) + f (k(t0))− c(t0).
O dicho de otra manera, la variacion del capital es:
dk
dt= f (k)− c .
Es decir, el consumo controla el estado del capital.
Modelo economico
El modelo de Ramsey, planteaba que una persona busca maximizar suconsumo intertemporalmente y por lo tanto dado un capital inicial, sepreguntaba como debıa ser el mejor consumo en cada momento en un ciertoperıodo de tiempo.
Aterrizaje de un coheteQueremos aterrizar un cohete suavemente, es decir, con velocidad 0, en unacierta superficie.
h(t) es la altura del cohete respecto de la superficie.u(t) es la propulsion instantanea hacia arriba producido por elencendido de los motores.g es la fuerza de gravedad.m(t) es la masa del cohete.
Aterrizaje de un cohete
Como el combustible se consume con el encendido de los motores, la masadel cohete va decreciendo, asumimos que en forma proporcionalmentenegativa a la propulsion. Es decir, la variacion de la masa respecto deltiempo viene dada por
dm
dt= −k · u.
Por otro lado, sabemos que la velocidad v(t) es la variacion de la posicion,en este caso la altura h(t). Y la aceleracion a(t) es la variacion de lavelocidad. Luego por la Ley de Newton, se tiene que
m(t) · a(t) = Fuerza = u(t)− g ·m(t)
Aterrizaje de un coheteEl sistema queda descripto por las ecuaciones
dh
dt= v , h(0) = h0
dv
dt= −g + u
m , v(0) = v0
dm
dt= −k · u, m(0) = m0
El estado del sistema en cada momento, que en este caso viene dado por lamasa m(t) y la altura h(t) estan controlados por la propulsion del motoru(t).
Se busca determinar la propulsion de los motores necesario para que elcohete aterrice en la superficie suavemente en un cierto tiempo tf de maneraque se consuma la menor cantidad de combustible posible.
Es decir, se quiere determinar el control u de manera que h(tf ) = 0,v(tf ) = 0 y la perdida de masa del cohete: m(0)−m(tf ) sea mınima.
Se puede tomar tf dado o libre.
Algunas aplicaciones
Robotica: procesos de control que permiten que un robot camine otome un objeto.
Industria aeroespacial:
control activo en las alas de los aviones para volver el perfil masaerodinamico.mecanismos de feedback para el piloto automatico.
Medicina:
diseno de mecanismos de suministro de insulina equipados de chips decontrol.control de la intensidad de una cierta terapia a utilizar para minimizar unafuncion que mide la patologıa del tumor.
Tecnologıa: mecanismos de control en los reproductores de CD quepermite alcanzar altas velocidades de rotacion sin afectar la estabilidaddel disco.
GRACIAS!