Post on 11-Mar-2015
DERIVADA DE FUNCIONES CIRCULARES
Prof. Luis Martínez Catalán Prof. Luis Martínez Catalán 20082008
DERIVADA DE FUNCIONES CIRCULARESDERIVADA DE FUNCIONES CIRCULARES
x
y
0
122 yx
B
P
A
T
0
Se obtiene que 0
lím 1sen
Límite que aplicado en el cuociente de
Newton, permite deducir los valores de las derivadas de las funciones
circulares siguientes:
De
Sí , con
Entonces,
useny
dx
duuusen
dx
d
dx
dycos)(
)(xuu
Sí , conuy cos )(xuu
Entonces,
dx
duusenu
dx
d
dx
dy )(cos
Sí , conutgy )(xuu
Entonces,
dx
duuutg
dx
d
dx
dy 2sec)(
Sí , con
Entonces,
uy cot
dx
duuecu
dx
d
dx
dy 2cos)(cot
)(xuu
Sí , conuy sec )(xuu
Entonces,
dx
dutguuu
dx
d
dx
dysec)(sec
Sí , conuecy cos )(xuu
Entonces,
dx
duuuecuec
dx
d
dx
dycotcos)(cos
DERIVACION DE LA FUNCION DERIVACION DE LA FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICAEXPONENCIAL Y LOGARITMICA
Sí , con
Entonces,
uy alog
dx
due
uu
dx
d
dx
dyaa log
1log
)(xuu
Sí , conuy ln )(xuu
Entonces,
dx
du
uu
dx
d
dx
dy 1ln
Sí , con
Entonces,
uay
dx
duaaa
dx
d
dx
dy uu ln
)(xuu
Sí , con )(xuu
Entonces,
dx
duee
dx
d
dx
dy uu
uey
Ej: Determinar si: dx
dy
1)
)53(log 2 xy a
Solución:
53
12
xdx
dy xea 6log53
62
x
x
dx
dy ealog
2)
)3()2ln( 23 xxy
Solución: xxxx
xxdx
dy2)2()3(3
)3()2(
1 32223
)3()2(
49523
24
xx
xxx
dx
dy
Ej: Determinar si:
2
2
dx
yd
a)
xey x ln
Solución:
dx
dy xx exe lnx
1
dx
dy xe x lnx
e x
2
2
dx
yd xx exe ln2
1
x
exe
x
xx
2
2
dx
yd xe x ln2
)1(
x
xe
x
e xx
2
2
dx
yd xe xln2
12
xx
Ej:
xexsenedx
dy xx 3cos332 22
b)
xseney x 32
xsenexexexsenedx
yd xxxx 393cos63cos634 22222
2
)3cos1235(22
2
xxsenedx
yd x
Solución:
Ej:
)4()21(cos 22 xxecdx
dy
c)
)21cot( 2xy
)21(cos24)21(cos4 2222
2
xecxxecdx
yd
Solución:
)21(cos4 22 xecx
)4()21(cot)21(cos 22 xxxec
)21(cot)21(cos32)21(cos4 2222222
2
xxecxxecdx
yd
.
DERIVACION LOGARITMICADERIVACION LOGARITMICA
Si una función es logarítmica (forma de producto o cuociente) )(ufy
Se aplica, primero, logaritmos naturales, y luego se deriva.
Si , es logarítmica, entonces,
Derivando implícitamente,
)(xfy )(lnln xfy
dx
d
dx
dy
y
1 )(ln xf
dx
dy
dx
dy )(ln xf
dx
dy yln
Ej: Det. Si , por derivación logarítmicadx
dy )3()2( 23 xxy
)3()2(lnln 23 xxy
)3(ln)2(lnln 23 xxy
3
2
2
3133
2
x
x
x
x
dx
dy
y
3
2
2
333
2
x
x
x
xy
dx
dy
)2(2)3(3 322 xxxxdx
dy
Ej: ),3()2(ln 23 xxy dx
dy?
)3(ln)2(ln 23 xxy
)3()2(
495
3
2
2
323
24
23
2
xx
xxx
x
x
x
xy
Ej: Si , determinarxxy dx
dy
Soluc.
Aplicando
Derivando implícitamente,
ln
xxy lnln
xxdx
dy
yln
1
dx
dy
x
1)ln1()1(ln xxxy x
Ej: ,ln xxy dx
dy?
xxy lnlnln
xxy lnlnln 2)(lnln xy
xx
dx
dy
y
1ln2
1
xx
ydx
dyln
2
xxxx
x
dx
dy xx
ln2ln2 1lnln