UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL¨FRANCISCO DE MIRANDA¨

ÁREA: TECNOLOGÍAPROGRAMA: INGENIERÍA INDUSTRIAL

Realizado por:Licdo. Flores, Jesús Licda. Pérez, María

Puerto Cumarebo; mayo de 2016

DERIVADAS IMPLICITAS

En todo lo estudiado, hasta ahora se ha supuesto como representación de función explícita, es decir como: y=f(x). La derivación implícita se da, cuando no se puede expresar en esta forma.

Cuando la variable y esta definida implícitamente, se deriva teniendo estos pasos: Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x. Agrupar los términos en que aparezca dy/dx en el

lado izquierdo de la ecuación y los demás a la derecha.

Factorizar dy/dx del lado izquierdo de la ecuación Despejar dy/dx

EJEMPLO: DERIVAR LA ECUACIÓNY3+Y2-5Y -X2 =-4

3 2 2[ 5 ] [ 4]d dy y y xdx dx

3 2 25 4d d d d dy y y xdx dx dx dx dx

23 2 5 2 0dy dy dyy y xdx dx dx

SOLUCIÓN

1. Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a x

2. Agrupar los términos que aparezcan dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación y los demás a la derecha.

23 2 5 2dy dy dyy y xdx dx dx

3. Factorizar dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación

2[3 2 5] 2dy y y xdx

4. Despejar dy/dx

2

23 2 5

dy xdx y y

TEOREMA:Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y)=0, define a y de manera implícita

como una función de x, es decir: y=f(x), para todo x, en el dominio de f(x).Si F es diferenciable podemos calcular dy/dx, con la fórmula:

donde: : es derivada de F con respecto a x, se toma y como constante.

: es derivada de F con respecto a y, se toma x como constante.

EN EFECTO:TENEMOS LA ECUACIÓN:F(X,Y)=0

𝒅𝒚𝒅𝒙 =

−𝑭 𝒙

𝑭 𝒚(𝑭 𝒚≠𝟎)

EJEMPLO: DERIVAR:

SOLUCIÓN

𝐹 (𝑥 , 𝑦 )=0→  𝑥2 𝑦−𝑥 𝑦 2+𝑥2+𝑦 2=0

𝑑𝑦𝑑𝑥=

−𝐹 𝑥

𝐹 𝑦

hallamos

Luego, se reemplaza en la fórmula y se obtiene:

=

APLICACIÓN:

Un obrero levanta con la ayuda de una soga, un tablón hasta lo alto de un edificio en construcción.

Supongamos que el otro extremo del tablón de 5m sigue una trayectoria perpendicular a la pared y que el obrero mueve el tablón a razón de 0.15m/s. ¿A qué ritmo se desliza por el suelo el extremo cuando está a 2.5 m de la pared?

SOLUCIÓN

Del teorema de Pitágoras se tiene que x2 + y2 = r2

Derivamos a la expresión como función implícita tomando en cuenta que el tablón no cambia de longitud. Se tiene:

0.15m/s

Vx

DE DONDE:

.xdx y dyvdt x dt

4.33 .(0.15)2.50.26

x

x

v

mv s

EJERCICIOS

1. Hallar de 2. Dada la ecuación: . Hallar .