Taller de Matematicas 2

I. Intervalos. Desigualdades. Valor Absoluto

El Calculo Infinitesimal se basa en el sistema de NUMEROS REALES, IR.

Los numeros reales se pueden representar en una RECTA. Se elige un punto arbitrario como ORIGENque corresponde al 0, los numeros positivos se representan a la derecha de dicho origen y los negativos a suizquierda.

Los numeros reales estan ORDENADOS:a es MENOR que b, a < b, si geometricamente a esta a la izquierda de b en la RECTA REAL.

a ≤ b ⇐⇒ a < b o a = b

Los INTERVALOS son conjuntos de numeros reales que se corresponden geometricamente con segmentosde recta o semirrectas:

(a, b) = {x ∈ IR /a < x < b} Intervalo ABIERTO

[a, b] = {x ∈ IR /a ≤ x ≤ b} Intervalo CERRADO

(a, +∞) = {x ∈ IR /x > a}

[a, +∞) = {x ∈ IR /x ≥ a}

(−∞, b) = {x ∈ IR /x < b}

(−∞, b] = {x ∈ IR /x ≤ b}

(a, b] = {x ∈ IR /a < x ≤ b} Intervalo SEMIABIERTO

[a, b) = {x ∈ IR /a ≤ x < b} Intervalo SEMIABIERTO

(−∞, +∞) = IR Recta Real

RESOLVER UNA DESIGUALDAD es determinar el conjunto de numeros reales que satisface dichadesigualdad, es decir, encontrar el conjunto SOLUCION. Para ello utilizaremos las siguientes propiedades:

1. Si a < b =⇒ a + c < b + c ∀c ∈ IR

2. Si a < b y c < d =⇒ a + c < b + d

3. Si a < b y c > 0 =⇒ ac < bc

4. Si a < b y c < 0 =⇒ ac > bc

Taller de Matematicas 3

Ejemplo 1 Resolver 1 + x < 7x + 5

1 + x < 7x + 5 =⇒ x < 7x + 4 =⇒ −6x < 4 =⇒ x > −46

= −23

Ejemplo 2 Resolver x2 − 5x + 6 ≤ 0

x2 − 5x + 6 ≤ 0 =⇒ (x − 2)(x− 3) ≤ 0 =⇒ {x ∈ IR /2 ≤ x ≤ 3} =⇒ x ∈ [2, 3]

Valor absoluto

Definimos el VALOR ABSOLUTO de a, |a|, como la distancia de a al origen en la recta real, es decir

|a| =

a si a ≥ 0

−a si a < 0

= +√

a2

Para resolver ecuaciones o desigualdades que contienen valores absolutos, es muy util usar las siguientespropiedades:

1. |ab| = |a||b| ∀a, b ∈ IR

2. Si a > 0, |x| = a ⇐⇒ x = ±a

3. Si a > 0, |x| < a ⇐⇒ −a < x < a

4. Si a > 0, |x| > a ⇐⇒ x > a o x < −a

Ejemplo Resolver |x − 5| ≤ 2

|x − 5| ≤ 2 =⇒ −2 ≤ x − 5 ≤ 2 =⇒ 3 ≤ x ≤ 7 =⇒ x ∈ [3, 7]