Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales

Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza

Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Matemáticas

Ecuaciones diferenciales

Salvador Sánchez-Pedreño Guillén

Departamento de Matemáticas

Universidad de Murcia

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Caída de un cuerpo

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Ecuaciones lineales deprimer orden

1 Introducción a las ecuaciones diferencialesEjemplos de ecuaciones diferenciales en la naturaleza

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Ecuaciones lineales deprimer orden

1 Introducción a las ecuaciones diferencialesEjemplos de ecuaciones diferenciales en la naturaleza

2 Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de variables separablesEcuaciones homogéneasEcuaciones lineales de primer orden

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Nociones generales

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Nociones generales

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:

f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0

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Nociones generales

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:

f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0

Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria alorden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.

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Nociones generales

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:

f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0

Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria alorden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.

Resolver o integrar la ecuación es hallar las funcionesy(x) que cumplen la ecuación; es decir, la incógnita dela ecuación es la función y(x).

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Nociones generales

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:

f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0

Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria alorden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.

Resolver o integrar la ecuación es hallar las funcionesy(x) que cumplen la ecuación; es decir, la incógnita dela ecuación es la función y(x).

Aunque las ecuaciones diferenciales se puedan resolverpor métodos numéricos, algunos tipos de ecuacionestienen soluciones que se pueden expresar en términosde funciones elementales.

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Nociones generales

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:

f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0

Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria alorden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.

Resolver o integrar la ecuación es hallar las funcionesy(x) que cumplen la ecuación; es decir, la incógnita dela ecuación es la función y(x).

Aunque las ecuaciones diferenciales se puedan resolverpor métodos numéricos, algunos tipos de ecuacionestienen soluciones que se pueden expresar en términosde funciones elementales.

Las ecuaciones diferenciales más sencillas son las de laforma siguiente (cálculo de primitivas) y ′ = f (x)

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden

y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?

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Ejemplo

Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden

y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?

Solución. Es una ecuación de primer orden.

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Ejemplo

Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden

y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?

Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x

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Ejemplo

Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden

y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?

Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x , que sepueden dar en términos de un parámetro C en la forma

y(x) = 2x2 +1

2e2x + C

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Ejemplo

Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden

y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?

Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x , que sepueden dar en términos de un parámetro C en la forma

y(x) = 2x2 +1

2e2x + C

Esta expresión corresponde a la denominada solucióngeneral de la ecuación.

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Ejemplo

Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden

y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?

Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x , que sepueden dar en términos de un parámetro C en la forma

y(x) = 2x2 +1

2e2x + C

Esta expresión corresponde a la denominada solucióngeneral de la ecuación.Si, ahora, exigimos la condición 1 = y(0) = 1

2+ C , lo que

se conoce como condición inicial de la ecuación

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Ejemplo

Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden

y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?

Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x , que sepueden dar en términos de un parámetro C en la forma

y(x) = 2x2 +1

2e2x + C

Esta expresión corresponde a la denominada solucióngeneral de la ecuación.Si, ahora, exigimos la condición 1 = y(0) = 1

2+ C , lo que

se conoce como condición inicial de la ecuación,entonces C = 1

2y por tanto la única solución que cumple

esa condición extra es

y(x) = 2x2 +1

2e2x +

1

2

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Ejemplo

Encontrar todas las soluciones de la EDO

(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican

y(0) = 2 e y ′(0) = 0?

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Ejemplo

Encontrar todas las soluciones de la EDO

(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican

y(0) = 2 e y ′(0) = 0?

Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.

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Ejemplo

Encontrar todas las soluciones de la EDO

(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican

y(0) = 2 e y ′(0) = 0?

Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como

y ′′(x) = − 2x

(1 + x2)2

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Ejemplo

Encontrar todas las soluciones de la EDO

(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican

y(0) = 2 e y ′(0) = 0?

Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como

y ′′(x) = − 2x

(1 + x2)2

Si consideramos la nueva función u(x) = y ′(x)

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(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican

y(0) = 2 e y ′(0) = 0?

Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como

y ′′(x) = − 2x

(1 + x2)2

Si consideramos la nueva función u(x) = y ′(x), laecuación se transforma en

u′(x) = − 2x

(1 + x2)2

y,así, u(x) es una primitiva de la función dada

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Ejemplo

Encontrar todas las soluciones de la EDO

(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican

y(0) = 2 e y ′(0) = 0?

Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como

y ′′(x) = − 2x

(1 + x2)2

Si consideramos la nueva función u(x) = y ′(x), laecuación se transforma en

u′(x) = − 2x

(1 + x2)2

y,así, u(x) es una primitiva de la función dada, es decir

y ′(x) = u(x) =1

1 + x2+ C

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Ejemplo

Encontrar todas las soluciones de la EDO

(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican

y(0) = 2 e y ′(0) = 0?

Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como

y ′′(x) = − 2x

(1 + x2)2

Si consideramos la nueva función u(x) = y ′(x), laecuación se transforma en

u′(x) = − 2x

(1 + x2)2

y,así, u(x) es una primitiva de la función dada, es decir

y ′(x) = u(x) =1

1 + x2+ C

Tomando de nuevo primitivas obtenemos

y(x) = arctan(x) + Cx + D

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Si, ahora, exigimos que se cumplan las condicionesiniciales y(0) = 2 e y ′(0) = 0 se obtiene fácilmente D = 2y C = −1, por lo que la única solución que cumple esascondiciones iniciales es

y(x) = arctan(x)− x + 2

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Si, ahora, exigimos que se cumplan las condicionesiniciales y(0) = 2 e y ′(0) = 0 se obtiene fácilmente D = 2y C = −1, por lo que la única solución que cumple esascondiciones iniciales es

y(x) = arctan(x)− x + 2

Como sugieren los ejemplos anteriores, una EDO de ordenn puede tener una infinidad de soluciones, que se expresanmediante n parámetros en la solución general de laecuación

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Si, ahora, exigimos que se cumplan las condicionesiniciales y(0) = 2 e y ′(0) = 0 se obtiene fácilmente D = 2y C = −1, por lo que la única solución que cumple esascondiciones iniciales es

y(x) = arctan(x)− x + 2

Como sugieren los ejemplos anteriores, una EDO de ordenn puede tener una infinidad de soluciones, que se expresanmediante n parámetros en la solución general de laecuación,Si se imponen n condiciones iniciales (por ejemplo, si sefijan los valores de y(x0), y

′(x0), y′′(x0), . . . , y

(n−1)(x0))entonces la ecuación tiene una única solución particularpara esas condiciones iniciales.

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Según Newton y Leibniz, los problemas físicos se puedenformular en términos de ecuaciones diferenciales.

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Según Newton y Leibniz, los problemas físicos se puedenformular en términos de ecuaciones diferenciales.Veamos a continuación, a modo de ejemplo, cómo lasecuaciones diferenciales aparecen en el estudio defenómenos naturales.

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Caída libre

Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.

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Caída libre

Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.En este caso, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo esmg , donde g es la aceleración debida a la gravedadterrestre.

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Caída libre

Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.En este caso, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo esmg , donde g es la aceleración debida a la gravedadterrestre. Si y(t) mide la distancia hacia abajo del cuerpoen función del tiempo t, entonces su aceleración seráy ′′(t)

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Caída libre

Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.En este caso, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo esmg , donde g es la aceleración debida a la gravedadterrestre. Si y(t) mide la distancia hacia abajo del cuerpoen función del tiempo t, entonces su aceleración seráy ′′(t), y la segunda Ley de Newton nos da

my ′′(t) = mg o sea y ′′(t) = g

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Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g

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Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g y portanto

y ′(t) = v(t) = gt + C ,

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Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g y portanto

y ′(t) = v(t) = gt + C ,

de donde

y(t) =1

2gt2 + Ct + D

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orden

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g y portanto

y ′(t) = v(t) = gt + C ,

de donde

y(t) =1

2gt2 + Ct + D

De la condición v(0) = v0 se deduce que C = v0 y dey(0) = y0 se deduce que D = y0.

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g y portanto

y ′(t) = v(t) = gt + C ,

de donde

y(t) =1

2gt2 + Ct + D

De la condición v(0) = v0 se deduce que C = v0 y dey(0) = y0 se deduce que D = y0.Por tanto la posición del cuerpo en cada instante vienedada por

y(t) =1

2gt2 + v0t + y0

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Caída retardada

Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo.

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Caída retardada

Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo. Si k es laconstante de proporcionalidad de la resistencia del aire, lasegunda ley de Newton nos dice que

my ′′(t) = mg − k y ′(t) o sea y ′′(t) = g − a y ′(t)

(con a = k/m).

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Caída retardada

Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo. Si k es laconstante de proporcionalidad de la resistencia del aire, lasegunda ley de Newton nos dice que

my ′′(t) = mg − k y ′(t) o sea y ′′(t) = g − a y ′(t)

(con a = k/m).Para integrar esta ecuación de segundoorden volvemos a hacer v = y ′(t),

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales

Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza

Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Caída retardada

Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo. Si k es laconstante de proporcionalidad de la resistencia del aire, lasegunda ley de Newton nos dice que

my ′′(t) = mg − k y ′(t) o sea y ′′(t) = g − a y ′(t)

(con a = k/m).Para integrar esta ecuación de segundoorden volvemos a hacer v = y ′(t), que transforma laecuación en

v ′(t) = g − av(t) óv ′(t)

g − av(t)= 1

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Caída de un cuerpo

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Caída retardada

Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo. Si k es laconstante de proporcionalidad de la resistencia del aire, lasegunda ley de Newton nos dice que

my ′′(t) = mg − k y ′(t) o sea y ′′(t) = g − a y ′(t)

(con a = k/m).Para integrar esta ecuación de segundoorden volvemos a hacer v = y ′(t), que transforma laecuación en

v ′(t) = g − av(t) óv ′(t)

g − av(t)= 1

Tomando primitivas obtenemos

−1

alog(g − av) = t + C

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Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

De donde,

g − av = e−at−aC = De−at ó v =1

a

(

g −De−at)

(con D = e−aC ).

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Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

De donde,

g − av = e−at−aC = De−at ó v =1

a

(

g −De−at)

(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir

y(t) =1

a

(

gt +1

aDe−at

)

+ E =g

at +

D

a2e−at + E

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Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

De donde,

g − av = e−at−aC = De−at ó v =1

a

(

g −De−at)

(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir

y(t) =1

a

(

gt +1

aDe−at

)

+ E =g

at +

D

a2e−at + E

La condición sobre la posición inicial nos dice que

y0 = y(0) =D

a2+ E ,

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orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

De donde,

g − av = e−at−aC = De−at ó v =1

a

(

g −De−at)

(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir

y(t) =1

a

(

gt +1

aDe−at

)

+ E =g

at +

D

a2e−at + E

La condición sobre la posición inicial nos dice que

y0 = y(0) =D

a2+ E ,

y v0 = y ′(0) = g−Da

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

De donde,

g − av = e−at−aC = De−at ó v =1

a

(

g −De−at)

(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir

y(t) =1

a

(

gt +1

aDe−at

)

+ E =g

at +

D

a2e−at + E

La condición sobre la posición inicial nos dice que

y0 = y(0) =D

a2+ E ,

y v0 = y ′(0) = g−Da

, de donde

D = g − av0 y E = y0 −g − av0

a2

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Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

De donde,

g − av = e−at−aC = De−at ó v =1

a

(

g −De−at)

(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir

y(t) =1

a

(

gt +1

aDe−at

)

+ E =g

at +

D

a2e−at + E

La condición sobre la posición inicial nos dice que

y0 = y(0) =D

a2+ E ,

y v0 = y ′(0) = g−Da

, de donde

D = g − av0 y E = y0 −g − av0

a2

y así finalmente

y(t) = y0 +g

at +

g − av0

a2(e−at − 1)

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Ley de enfriamiento deNewton

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orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Reacciones químicas de primer orden

Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Reacciones químicas de primer orden

Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0)

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Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Reacciones químicas de primer orden

Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es

−dx

dt= kx ó

1

x

dx

dt= −k

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Reacciones químicas de primer orden

Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es

−dx

dt= kx ó

1

x

dx

dt= −k

(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)

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Reacciones químicas de primer orden

Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es

−dx

dt= kx ó

1

x

dx

dt= −k

(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)Tomando primitivas en ambos miembros

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orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Reacciones químicas de primer orden

Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es

−dx

dt= kx ó

1

x

dx

dt= −k

(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)Tomando primitivas en ambos miembros se tiene

log x = −kt + C ⇒ x = Ae−kt (con A = eC )

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Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Reacciones químicas de primer orden

Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es

−dx

dt= kx ó

1

x

dx

dt= −k

(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)Tomando primitivas en ambos miembros se tiene

log x = −kt + C ⇒ x = Ae−kt (con A = eC )

De la condición inicial x(0) = x0 se deduce que A = x0,de modo que

x(t) = x0e−kt

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Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia

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Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.

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Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.Para ese valor T se tiene x(T ) = x0/2

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Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.Para ese valor T se tiene x(T ) = x0/2, lo que sustituidoen la ecuación da

x0

2= x0e

−kT o sea kT = log 2 ó k =log 2

T

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Ecuaciones de primer

orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.Para ese valor T se tiene x(T ) = x0/2, lo que sustituidoen la ecuación da

x0

2= x0e

−kT o sea kT = log 2 ó k =log 2

T

Si la vida media es muy larga, como ocurre a menudo,basta con ver, por ejemplo, para qué valor T1 la cantidadinicial se reduce a sus 9 décimas partes

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orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.Para ese valor T se tiene x(T ) = x0/2, lo que sustituidoen la ecuación da

x0

2= x0e

−kT o sea kT = log 2 ó k =log 2

T

Si la vida media es muy larga, como ocurre a menudo,basta con ver, por ejemplo, para qué valor T1 la cantidadinicial se reduce a sus 9 décimas partes, y entonces

k =log(10/9)

T1

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Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene

dx

dt= k (x − TA) ó

1

x − TA

dx

dt= k

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Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene

dx

dt= k (x − TA) ó

1

x − TA

dx

dt= k

para cierta constante k que depende del cuerpo.

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene

dx

dt= k (x − TA) ó

1

x − TA

dx

dt= k

para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene

log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )

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orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene

dx

dt= k (x − TA) ó

1

x − TA

dx

dt= k

para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene

log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )

Si la temperatura inicial (t = 0) es x0

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orden

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene

dx

dt= k (x − TA) ó

1

x − TA

dx

dt= k

para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene

log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )

Si la temperatura inicial (t = 0) es x0 entoncesx0 = x(0) = TA + B

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Ecuaciones de primer

orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene

dx

dt= k (x − TA) ó

1

x − TA

dx

dt= k

para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene

log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )

Si la temperatura inicial (t = 0) es x0 entoncesx0 = x(0) = TA + B , o sea B = x0 − TA

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orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene

dx

dt= k (x − TA) ó

1

x − TA

dx

dt= k

para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene

log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )

Si la temperatura inicial (t = 0) es x0 entoncesx0 = x(0) = TA + B , o sea B = x0 − TA y así finalmente

x(t) = TA + (x0 − TA)ekt

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Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,

donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después

marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál

era la temperatura en la habitación?

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,

donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después

marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál

era la temperatura en la habitación?

Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,

donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después

marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál

era la temperatura en la habitación?

Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro

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Ecuaciones de primer

orden

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Ecuaciones homogéneas

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Ejemplo

Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,

donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después

marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál

era la temperatura en la habitación?

Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,

donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después

marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál

era la temperatura en la habitación?

Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0).

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales

Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza

Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,

donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después

marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál

era la temperatura en la habitación?

Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos

22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e

k

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Ejemplo

Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,

donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después

marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál

era la temperatura en la habitación?

Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos

22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e

k

16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e

2k

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Ecuaciones de primer

orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,

donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después

marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál

era la temperatura en la habitación?

Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos

22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e

k

16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e

2k

Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e

k ,

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Ecuaciones de primer

orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,

donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después

marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál

era la temperatura en la habitación?

Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos

22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e

k

16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e

2k

Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e

k , seobtiene ek = 1/2

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orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,

donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después

marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál

era la temperatura en la habitación?

Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos

22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e

k

16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e

2k

Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e

k , seobtiene ek = 1/2 y entonces12 = (x0 − TA)e

k = (x0 − TA)/2

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,

donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después

marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál

era la temperatura en la habitación?

Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos

22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e

k

16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e

2k

Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e

k , seobtiene ek = 1/2 y entonces12 = (x0 − TA)e

k = (x0 − TA)/2, de donde(x0 − TA) = 24 y así x(0) = 34

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,

donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después

marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál

era la temperatura en la habitación?

Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos

22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e

k

16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e

2k

Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e

k , seobtiene ek = 1/2 y entonces12 = (x0 − TA)e

k = (x0 − TA)/2, de donde(x0 − TA) = 24 y así x(0) = 34, es decir, la temperaturaen la habitación era de 34oC.

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ecuaciones de primer orden

Las ecuaciones de primer orden son ecuaciones del tipo

f (x , y , y ′) = 0

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orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ecuaciones de primer orden

Las ecuaciones de primer orden son ecuaciones del tipo

f (x , y , y ′) = 0

Diremos que está escrita de forma explícita, o con laderivada despejada, si se escribe en la forma

y ′ = g(x , y)

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orden

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Ecuaciones homogéneas

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Ecuaciones de primer orden

Las ecuaciones de primer orden son ecuaciones del tipo

f (x , y , y ′) = 0

Diremos que está escrita de forma explícita, o con laderivada despejada, si se escribe en la forma

y ′ = g(x , y)

Veamos cómo se integran en algunos casos sencillos.

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ecuaciones de variables separables

Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma

y ′ = g(y)f (x)

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orden

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Ecuaciones de variables separables

Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma

y ′ = g(y)f (x)

Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:

∫

y ′(x)

g(y(x))dx = C +

∫

f (x) dx

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Ecuaciones de variables separables

Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma

y ′ = g(y)f (x)

Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:

∫

y ′(x)

g(y(x))dx = C +

∫

f (x) dx

(las dos constantes de integración se reúnen en C ).

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ecuaciones de variables separables

Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma

y ′ = g(y)f (x)

Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:

∫

y ′(x)

g(y(x))dx = C +

∫

f (x) dx

(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación.

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Ecuaciones de variables separables

Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma

y ′ = g(y)f (x)

Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:

∫

y ′(x)

g(y(x))dx = C +

∫

f (x) dx

(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación. En principio tenemos y(x) dadade forma implícita, en una expresión de la formaG (y(x)) = F (x)

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Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma

y ′ = g(y)f (x)

Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:

∫

y ′(x)

g(y(x))dx = C +

∫

f (x) dx

(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación. En principio tenemos y(x) dadade forma implícita, en una expresión de la formaG (y(x)) = F (x); pero en muchos casos es posibledespejarla.

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Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma

y ′ = g(y)f (x)

Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:

∫

y ′(x)

g(y(x))dx = C +

∫

f (x) dx

(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación. En principio tenemos y(x) dadade forma implícita, en una expresión de la formaG (y(x)) = F (x); pero en muchos casos es posibledespejarla.Si queremos obtener la solución particular para una ciertacondición inicial y(x0) = y0, basta con sustituirla en lasolución general para determinar el valor de C en ese caso.

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .

Solución. Separando las variables

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Ecuaciones de primer

orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .

Solución. Separando las variables y tomando luegoprimitivas se obtiene

dy

dx= xex−y = xexe−y ⇒

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Caída de un cuerpo

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Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .

Solución. Separando las variables y tomando luegoprimitivas se obtiene

dy

dx= xex−y = xexe−y ⇒

⇒ eydy = xexdx ⇒ ey = (x − 1) ex + C

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .

Solución. Separando las variables y tomando luegoprimitivas se obtiene

dy

dx= xex−y = xexe−y ⇒

⇒ eydy = xexdx ⇒ ey = (x − 1) ex + C

(la segunda primitiva se calcula fácilmente por partes).

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Ecuaciones de primer

orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .

Solución. Separando las variables y tomando luegoprimitivas se obtiene

dy

dx= xex−y = xexe−y ⇒

⇒ eydy = xexdx ⇒ ey = (x − 1) ex + C

(la segunda primitiva se calcula fácilmente por partes).Despejando y en función de x obtenemos

y = log ((x − 1)ex + C )

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con

y(x0) = y0.

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Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con

y(x0) = y0.

Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y

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Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con

y(x0) = y0.

Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene

yy ′ =ex

1 + ex⇒ y2

2= log(1 + ex ) + C ⇒

⇒ y(x) =√

2 log(1 + ex ) + D

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con

y(x0) = y0.

Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene

yy ′ =ex

1 + ex⇒ y2

2= log(1 + ex ) + C ⇒

⇒ y(x) =√

2 log(1 + ex ) + D

que es la solución general.

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con

y(x0) = y0.

Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene

yy ′ =ex

1 + ex⇒ y2

2= log(1 + ex ) + C ⇒

⇒ y(x) =√

2 log(1 + ex ) + D

que es la solución general. La condición inicial implica que

y0 = y(x0) =√

2 log(1 + ex0) + D ⇒⇒ D = y2

0 − 2 log(1 + ex0)

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Ejemplo

Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con

y(x0) = y0.

Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene

yy ′ =ex

1 + ex⇒ y2

2= log(1 + ex ) + C ⇒

⇒ y(x) =√

2 log(1 + ex ) + D

que es la solución general. La condición inicial implica que

y0 = y(x0) =√

2 log(1 + ex0) + D ⇒⇒ D = y2

0 − 2 log(1 + ex0)

y sustituyendo este valor de D en la solución general

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Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con

y(x0) = y0.

Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene

yy ′ =ex

1 + ex⇒ y2

2= log(1 + ex ) + C ⇒

⇒ y(x) =√

2 log(1 + ex ) + D

que es la solución general. La condición inicial implica que

y0 = y(x0) =√

2 log(1 + ex0) + D ⇒⇒ D = y2

0 − 2 log(1 + ex0)

y sustituyendo este valor de D en la solución generalobtenemos la solución particular

y(x) =

√

y20 + 2 log

(

1 + ex

1 + ex0

)

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Funciones homogéneas

Una función f (x , y) es homogénea si verifica

f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0

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orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Funciones homogéneas

Una función f (x , y) es homogénea si verifica

f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0

Por ejemplo:

f (x , y) = xey no es homogénea pues txety 6= xey .

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Ecuaciones homogéneas

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Funciones homogéneas

Una función f (x , y) es homogénea si verifica

f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0

Por ejemplo:

f (x , y) = xey no es homogénea pues txety 6= xey .

f (x , y) =x2 + y2

x + yno es homogénea pues

f (tx , ty) = (tx)2+(ty)2

tx+ty= t f (x , y) 6= f (x , y).

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Funciones homogéneas

Una función f (x , y) es homogénea si verifica

f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0

Por ejemplo:

f (x , y) = xey no es homogénea pues txety 6= xey .

f (x , y) =x2 + y2

x + yno es homogénea pues

f (tx , ty) = (tx)2+(ty)2

tx+ty= t f (x , y) 6= f (x , y).

f (x , y) =

√

x2 + y2

x + ysí es homogénea pues

f (tx , ty) =

√(tx)2+(ty)2

tx+ty= f (x , y).

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Ecuaciones de primer

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Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Funciones homogéneas

Una función f (x , y) es homogénea si verifica

f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0

Por ejemplo:

f (x , y) = xey no es homogénea pues txety 6= xey .

f (x , y) =x2 + y2

x + yno es homogénea pues

f (tx , ty) = (tx)2+(ty)2

tx+ty= t f (x , y) 6= f (x , y).

f (x , y) =

√

x2 + y2

x + ysí es homogénea pues

f (tx , ty) =

√(tx)2+(ty)2

tx+ty= f (x , y).

f (x , y) =2x5 − 7x4y + 29x2y3 + xy4

x5 + 2x2y2 − xy4 + 6y5sí es

homogénea, pues en f (tx , ty) aparece t5 como factorcomún en el numerador y en el denominador.

Matemáticas

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Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales

Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza

Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.

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orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.En efecto: y = ux , nos da y ′ = u′x + u (observemos queu es la nueva variable independiente).

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.En efecto: y = ux , nos da y ′ = u′x + u (observemos queu es la nueva variable independiente).Entonces

u′x + u = f (x , ux) = f (1, u)

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Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.En efecto: y = ux , nos da y ′ = u′x + u (observemos queu es la nueva variable independiente).Entonces

u′x + u = f (x , ux) = f (1, u)

luego

u′ =f (1, u) − u

x

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√

x2 + y2.

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Ejemplo

Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√

x2 + y2.

Solución. Despejando y ′ queda

y ′ =y +

√

x2 + y2

x= f (x , y)

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Ejemplo

Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√

x2 + y2.

Solución. Despejando y ′ queda

y ′ =y +

√

x2 + y2

x= f (x , y)

que es homogénea pues

f (tx , ty) =ty +

√

t2x2 + t2y2

tx=

ty + t√

x2 + y2

tx= f (x , y)

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Ejemplo

Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√

x2 + y2.

Solución. Despejando y ′ queda

y ′ =y +

√

x2 + y2

x= f (x , y)

que es homogénea pues

f (tx , ty) =ty +

√

t2x2 + t2y2

tx=

ty + t√

x2 + y2

tx= f (x , y)

Haciendo el cambio de variable indicado y sustituyendo enla ecuación

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Ejemplo

Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√

x2 + y2.

Solución. Despejando y ′ queda

y ′ =y +

√

x2 + y2

x= f (x , y)

que es homogénea pues

f (tx , ty) =ty +

√

t2x2 + t2y2

tx=

ty + t√

x2 + y2

tx= f (x , y)

Haciendo el cambio de variable indicado y sustituyendo enla ecuación obtenemos

u + u′x =ux +

√x2 + u2x2

x= u +

√

1 + u2 ⇒

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Ejemplo

Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√

x2 + y2.

Solución. Despejando y ′ queda

y ′ =y +

√

x2 + y2

x= f (x , y)

que es homogénea pues

f (tx , ty) =ty +

√

t2x2 + t2y2

tx=

ty + t√

x2 + y2

tx= f (x , y)

Haciendo el cambio de variable indicado y sustituyendo enla ecuación obtenemos

u + u′x =ux +

√x2 + u2x2

x= u +

√

1 + u2 ⇒

⇒ du

dx= u′ =

√1 + u2

x⇒ du√

1 + u2=

dx

x⇒

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√

x2 + y2.

Solución. Despejando y ′ queda

y ′ =y +

√

x2 + y2

x= f (x , y)

que es homogénea pues

f (tx , ty) =ty +

√

t2x2 + t2y2

tx=

ty + t√

x2 + y2

tx= f (x , y)

Haciendo el cambio de variable indicado y sustituyendo enla ecuación obtenemos

u + u′x =ux +

√x2 + u2x2

x= u +

√

1 + u2 ⇒

⇒ du

dx= u′ =

√1 + u2

x⇒ du√

1 + u2=

dx

x⇒

⇒ arg senh(u) = log x + C

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Entonces

u = senh(log x + C ) =e log x+C − e− log x−C

2=

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Entonces

u = senh(log x + C ) =e log x+C − e− log x−C

2=

u =xeC − 1

xeC

2=

xK − 1xK

2

donde hemos llamado K = eC .

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Entonces

u = senh(log x + C ) =e log x+C − e− log x−C

2=

u =xeC − 1

xeC

2=

xK − 1xK

2

donde hemos llamado K = eC .Por último, deshacemos el cambio para recuperar lavariable y = ux :

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Entonces

u = senh(log x + C ) =e log x+C − e− log x−C

2=

u =xeC − 1

xeC

2=

xK − 1xK

2

donde hemos llamado K = eC .Por último, deshacemos el cambio para recuperar lavariable y = ux :

y = ux = xxK − 1

xK

2=

K

2x2 − 1

2K

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Ecuaciones lineales de primer orden

Llamamos ecuaciones lineales de primer orden a las dela forma

y ′ + f (x)y = g(x) (†)

donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.

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Ecuaciones lineales de primer orden

Llamamos ecuaciones lineales de primer orden a las dela forma

y ′ + f (x)y = g(x) (†)

donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.Un caso especialmente sencillo se produce cuandog(x) = 0.

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Ecuaciones lineales de primer orden

Llamamos ecuaciones lineales de primer orden a las dela forma

y ′ + f (x)y = g(x) (†)

donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.Un caso especialmente sencillo se produce cuandog(x) = 0. Entonces la ecuación

y ′ + f (x) y = 0 (‡)

(que se llama ecuación lineal homogénea asociada a (†))es de variables separables

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Ecuaciones lineales de primer orden

Llamamos ecuaciones lineales de primer orden a las dela forma

y ′ + f (x)y = g(x) (†)

donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.Un caso especialmente sencillo se produce cuandog(x) = 0. Entonces la ecuación

y ′ + f (x) y = 0 (‡)

(que se llama ecuación lineal homogénea asociada a (†))es de variables separables:

y ′ = −f (x)y ⇒ y ′

y= −f (x)

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Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces

log(y) = −F (x) + C ,

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces

log(y) = −F (x) + C ,

y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es

y(x) = Ke−F (x)

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces

log(y) = −F (x) + C ,

y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es

y(x) = Ke−F (x)

Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†)

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces

log(y) = −F (x) + C ,

y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es

y(x) = Ke−F (x)

Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†), pues se tiene:Método de variación de las constantes

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces

log(y) = −F (x) + C ,

y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es

y(x) = Ke−F (x)

Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†), pues se tiene:Método de variación de las constantesCon las notaciones anteriores, la solución general de unaecuación lineal de primer orden (†) es

y(x) = K (x) e−F (x)

donde la función K (x) se obtiene sustituyendo esaexpresión en la ecuación lineal homogénea (†).

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces

log(y) = −F (x) + C ,

y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es

y(x) = Ke−F (x)

Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†), pues se tiene:Método de variación de las constantesCon las notaciones anteriores, la solución general de unaecuación lineal de primer orden (†) es

y(x) = K (x) e−F (x)

donde la función K (x) se obtiene sustituyendo esaexpresión en la ecuación lineal homogénea (†). Es decir, lasolución general de (†) es como la de (‡) pero cambiandola constante K por una función K (x), cuyo valor hay quedeterminar.

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).La derivada de y(x) = K (x) e−F (x) es

y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =

= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)

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Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).La derivada de y(x) = K (x) e−F (x) es

y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =

= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)

y al sustituir estas expresiones en (†) se obtiene

g(x) = y ′(x) + f (x) y(x) = K ′(x) e−F (x) ⇒

⇒ K ′(x) = g(x) eF (x)

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Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).La derivada de y(x) = K (x) e−F (x) es

y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =

= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)

y al sustituir estas expresiones en (†) se obtiene

g(x) = y ′(x) + f (x) y(x) = K ′(x) e−F (x) ⇒

⇒ K ′(x) = g(x) eF (x)

Por tanto K (x) es una primitiva de g(x) eF (x)

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Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).La derivada de y(x) = K (x) e−F (x) es

y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =

= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)

y al sustituir estas expresiones en (†) se obtiene

g(x) = y ′(x) + f (x) y(x) = K ′(x) e−F (x) ⇒

⇒ K ′(x) = g(x) eF (x)

Por tanto K (x) es una primitiva de g(x) eF (x), por lo quefinalmente

y(x) =

(∫

g(x) eF (x) dx + C

)

e−F (x)

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Esta es una fórmula general para resolver (†), pero no essencilla de recordar.

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Esta es una fórmula general para resolver (†), pero no essencilla de recordar. En los ejemplos repetiremos estospasos:

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Esta es una fórmula general para resolver (†), pero no essencilla de recordar. En los ejemplos repetiremos estospasos:

Obtener la solución general de y ′ + f (x)y = 0 entérminos de una constante K .

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Esta es una fórmula general para resolver (†), pero no essencilla de recordar. En los ejemplos repetiremos estospasos:

Obtener la solución general de y ′ + f (x)y = 0 entérminos de una constante K .

Buscar la solución general de y ′ + f (x)y = g(x)cambiando la constante K por una función K (x) ysustituyendo en la ecuación para determinar quién esK (x).

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orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y

con y(1) = 5e.

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Ejemplo

Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y

con y(1) = 5e.

Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex .

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Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y

con y(1) = 5e.

Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales

Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza

Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y

con y(1) = 5e.

Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:

dy

dx= y ⇒ dy

y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex

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ecuaciones

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Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza

Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y

con y(1) = 5e.

Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:

dy

dx= y ⇒ dy

y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex

Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex .

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Caída de un cuerpo

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Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y

con y(1) = 5e.

Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:

dy

dx= y ⇒ dy

y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex

Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:

ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C

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Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y

con y(1) = 5e.

Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:

dy

dx= y ⇒ dy

y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex

Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:

ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C

y por tanto la solución general es y(x) = (x + C ) ex

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orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y

con y(1) = 5e.

Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:

dy

dx= y ⇒ dy

y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex

Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:

ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C

y por tanto la solución general es y(x) = (x + C ) ex

Sustituyendo ahora la condición inicial5e = y(1) = (1 + C ) e

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orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y

con y(1) = 5e.

Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:

dy

dx= y ⇒ dy

y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex

Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:

ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C

y por tanto la solución general es y(x) = (x + C ) ex

Sustituyendo ahora la condición inicial5e = y(1) = (1 + C ) e, obtenemos C = 4

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y

con y(1) = 5e.

Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:

dy

dx= y ⇒ dy

y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex

Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:

ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C

y por tanto la solución general es y(x) = (x + C ) ex

Sustituyendo ahora la condición inicial5e = y(1) = (1 + C ) e, obtenemos C = 4, luego lasolución pedida es y(x) = (x + 4) ex .

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Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2

).

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Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2

).

Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex

2

.

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Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2

).

Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex

2

. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables

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Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2

).

Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex

2

. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:

dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C

⇒ y = Kex2

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Ejemplo

Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2

).

Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex

2

. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:

dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C

⇒ y = Kex2

Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex

2

.

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Caída de un cuerpo

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Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2

).

Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex

2

. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:

dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C

⇒ y = Kex2

Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex

2

. Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:

2x ex2

= y ′−2xy = K ′(x) ex2

+K (x) ex2

2x−2x K (x) ex2

=

= K ′(x) ex2

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ecuaciones

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Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza

Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2

).

Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex

2

. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:

dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C

⇒ y = Kex2

Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex

2

. Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:

2x ex2

= y ′−2xy = K ′(x) ex2

+K (x) ex2

2x−2x K (x) ex2

=

= K ′(x) ex2

luego K ′(x) = 2x y así K (x) = x2 + C

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Caída de un cuerpo

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Ley de enfriamiento deNewton

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orden

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Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Ejemplo

Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2

).

Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex

2

. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:

dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C

⇒ y = Kex2

Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex

2

. Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:

2x ex2

= y ′−2xy = K ′(x) ex2

+K (x) ex2

2x−2x K (x) ex2

=

= K ′(x) ex2

luego K ′(x) = 2x y así K (x) = x2 + C , de modo que lasolución general es

y(x) = (x2 + C ) ex2