Transcript of Dinamica de-estructuras-anil-k-chopra-espanol-4-ed
- 1. Dinmica de estructuras A01_CHOPRA.indd i 23/07/13 16:37
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- 3. Dinmica de estructuras Cuarta edicin Anil K. Chopra
University of California at Berkeley Traduccin Jess Elmer Murrieta
Murrieta Maestro en investigacin de operaciones Tecnolgico de
Monterrey - Campus Morelos Revisin tcnica Luciano Roberto Fernndez
Sol Consuelo Gmez Sobern Departamento de Materiales Universidad
Autnoma Metropolitana-Azcapotzalco A01_CHOPRA.indd iii 23/07/13
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- 4. Authorized translation from the English language edition,
entitled DYNAMICS OF STRUCTURES 4th edition, by ANIL CHOPRA,
published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall,
Copyright 2012. All rights reserved. ISBN 9780132858038 Traduccin
autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada DYNAMICS OF
STRUCTURES 4 edicin, por ANIL CHOPRA, publicada por Pearson
Education, Inc., publicada como Prentice Hall, Copyright 2012.
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autorizada. Edicin en espaol Direccin General: Philip de la Vega
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Marisa de Anta CUARTA EDICIN, 2014 D.R. 2014 por Pearson Educacin
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E-CHAPTER: 978-607-32-2241-9 Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1
2 3 4 5 6 7 8 9 0 16 15 14 13 www.pearsonenespaol.com Datos de
catalogacin bibliogrfica CHOPRA, ANIL K. Dinmica de estructuras
Cuarta edicin PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2014 ISBN: 978-607-32-2239-6
rea: Ingeniera Formato: 18.5 x 23.5 cm Pginas: 752 A01_CHOPRA.indd
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- 5. Dedicado a Hamida y Nasreen, con gratitud por sugerirme la
idea de trabajar en un libro, y con agradecimiento por soportar
pacientemente y compartir estos aos de preparacin conmigo. Su
presencia y aliento hicieron que esta idea se volviera una
realidad. A01_CHOPRA.indd v 23/07/13 16:37
- 6. A01_CHOPRA.indd vi 23/07/13 16:37
- 7. vii PARTE I Sistemas con un solo grado de libertad 1 1
Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y mtodos de
solucin 3 2 Vibracin libre 39 3 Respuesta a las excitaciones
armnicas y peridicas 65 4 Respuesta a excitaciones arbitrarias,
escalonadas y de pulso 125 5 Evaluacin numrica de la respuesta
dinmica 165 6 Respuesta ssmica de sistemas lineales 197 7 Respuesta
al sismo de los sistemas inelsticos 257 8 Sistemas generalizados de
un solo grado de libertad 307 PARTE II Sistemas de varios grados de
libertad 345 9 Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema
y mtodos de solucin 347 10 Vibracin libre 403 Contenido breve
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- 8. Descripcinviii 11 Amortiguamiento en estructuras 447 12
Anlisis dinmico y respuesta de los sistemas lineales 467 13 Anlisis
ssmico de sistemas lineales 513 14 Anlisis de los sistemas lineales
con amortiguamiento no clsico 617 MATERIAL EN EL SITIO WEB 15
Reduccin de los grados de libertad 657 16 Evaluacin numrica de la
respuesta dinmica 673 17 Systems with Distributed Mass and
Elasticity (EN INGLS) 697 18 Introduction to the Finite Element
Method (EN INGLS) 729 PARTE III RESPUESTA SSMICA, DISEO Y EVALUACIN
DE EDIFICIOS DE VARIOS NIVELES 755 19 Respuesta ssmica de edicios
elstico lineales 757 20 Anlisis ssmico y respuesta de edicios
inelsticos 775 21 Earthquake Dynamics of Base-Isolated Buildings
(EN INGLS) 809 22 Dinmica estructural en los cdigos de construccin
835 23 Dinmica estructural en las especicaciones de evaluacin de
los edicios 863 Apndice A Mtodo del dominio de la frecuencia para
el anlisis de respuesta 883 Apndice B Notacin 905 Apndice C
Respuestas a problemas seleccionados 917 ndice 933 A01_CHOPRA.indd
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- 9. ix Prlogo xxi Prefacio xxiii Agradecimientos xxxi PARTE I
Sistemas con un solo grado de libertad 1 1 Ecuaciones de
movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin 3 1.1
Estructuras simples 3 1.2 Sistemas de un grado de libertad 7 1.3
Relacin fuerza-desplazamiento 8 1.4 Fuerza de amortiguamiento 12
1.5 Ecuacin de movimiento: fuerza externa 14 1.6 Sistema
masa-resorte-amortiguador 19 1.7 Ecuacin de movimiento: excitacin
ssmica 23 1.8 Planteamiento del problema y elementos mecnicos 26
Contenido A01_CHOPRA.indd ix 23/07/13 16:37
- 10. Contenidox 1.9 Combinacin de respuestas estticas y dinmicas
28 1.10 Mtodos de solucin de la ecuacin diferencial 28 1.11 Estudio
de los sistemas de 1GDL: organizacin 33 Apndice 1: Coeficientes de
rigidez para un elemento en flexin 33 2 Vibracin libre 39 2.1
Vibracin libre no amortiguada 39 2.2 Vibracin libre viscosamente
amortiguada 48 2.3 Energa en vibracin libre 56 2.4 Vibracin libre
con amortiguamiento de Coulomb 57 3 Respuesta a las excitaciones
armnicas y peridicas 65 Parte A: Sistemas con amortiguamiento
viscoso: resultados bsicos 66 3.1 Vibracin armnica de sistemas no
amortiguados 66 3.2 Vibracin armnica con amortiguamiento viscoso 72
Parte B: Sistemas con amortiguamiento viscoso: aplicaciones 85 3.3
Respuesta ante un generador de vibracin 85 3.4 Frecuencia natural y
amortiguamiento a partir de pruebas armnicas 87 3.5 Transmisin de
fuerza y aislamiento de vibraciones 90 3.6 Respuesta ante el
movimiento del terreno y aislamiento de vibraciones 91 3.7
Instrumentos para medir vibraciones 95 3.8 Energa disipada por el
amortiguamiento viscoso 99 3.9 Amortiguamiento viscoso equivalente
103 Parte C: Sistemas con amortiguamiento no viscoso 105 3.10
Vibracin armnica con amortiguamiento independiente de la frecuencia
105 3.11 Vibracin armnica con friccin de Coulomb 109
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- 11. Contenido xi Parte D: Respuesta ante una excitacin peridica
113 3.12 Representacin de las series de Fourier 114 3.13 Respuesta
ante una fuerza peridica 114 Apndice 3: Grfica de escala
tetralogartmica 118 4 Respuesta a excitaciones arbitrarias,
escalonadas y de pulso 125 Parte A: Respuesta a fuerzas que varan
arbitrariamente en el tiempo 125 4.1 Respuesta a un impulso
unitario 126 4.2 Respuesta a una fuerza arbitraria 127 Parte B:
Respuesta a fuerzas escalonada y creciente 129 4.3 Fuerza
escalonada 129 4.4 Fuerza tipo rampa o linealmente creciente 131
4.5 Fuerza escalonada con tiempo de crecimiento finito 132 Parte C:
Respuesta a excitaciones de pulso 135 4.6 Mtodos de solucin 135 4.7
Fuerza de pulso rectangular 137 4.8 Fuerza de pulso sinusoidal de
medio ciclo 143 4.9 Fuerza de pulso triangular simtrica 148 4.10
Efectos de la forma del pulso y anlisis aproximado para los pulsos
cortos 151 4.11 Efectos del amortiguamiento viscoso 154 5 Evaluacin
numrica de la respuesta dinmica 165 5.1 Mtodos paso a paso en el
tiempo 165 5.2 Mtodos basados en la interpolacin de la excitacin
167 5.3 Mtodo de la diferencia central 171 5.4 Mtodo de Newmark 174
5.5 Estabilidad y error de clculo 180 5.6 Sistemas no lineales:
mtodo de la diferencia central 183 5.7 Sistemas no lineales: mtodo
de Newmark 183 A01_CHOPRA.indd xi 23/07/13 16:37
- 12. Contenidoxii 6 Respuesta ssmica de sistemas lineales 197
6.1 Excitacin ssmica 197 6.2 Ecuacin de movimiento 203 6.3
Cantidades de respuesta 204 6.4 Historia de la respuesta 205 6.5
Concepto del espectro de respuesta 207 6.6 Espectros de respuesta
de deformacin, de pseudo-velocidad y de pseudo-aceleracin 208 6.7
Respuesta estructural mxima a partir del espectro de respuesta 217
6.8 Caractersticas del espectro de respuesta 222 6.9 Espectro de
diseo elstico 230 6.10 Comparacin de los espectros de diseo y
respuesta 239 6.11 Distincin entre los espectros de diseo y de
respuesta 241 6.12 Espectros de respuesta de velocidad y aceleracin
242 Apndice 6: El centro, movimiento del terreno de 1940 246 7
Respuesta al sismo de los sistemas inelsticos 257 7.1 Relaciones
fuerza-deformacin 258 7.2 Resistencia a la cedencia normalizada,
factor de reduccin de la resistencia a la cedencia y factor de
ductilidad 265 7.3 Ecuacin de movimiento y parmetros de control 266
7.4 Efectos de la cedencia 267 7.5 Espectro de respuesta para la
deformacin de cedencia y la resistencia a la cedencia 274 7.6
Resistencia a la cedencia y deformacin a partir del espectro de
respuesta 278 7.7 Relacin resistencia a la cedencia-ductilidad 278
7.8 Efectos relativos de la cedencia y el amortiguamiento 280 7.9
Energa disipada 281 A01_CHOPRA.indd xii 23/07/13 16:37
- 13. Contenido xiii 7.10 Dispositivos complementarios para la
disipacin de energa 284 7.11 Espectro de diseo inelstico 289 7.12
Aplicaciones del espectro de diseo 296 7.13 Comparacin de los
espectros de respuesta y de diseo 302 8 Sistemas generalizados de
un solo grado de libertad 307 8.1 Sistemas generalizados de 1GDL
307 8.2 Ensambles de cuerpos rgidos 309 8.3 Sistemas con masa y
elasticidad distribuidas 311 8.4 Sistema de masa concentrada:
edificio de cortante 323 8.5 Frecuencia de vibracin natural por el
mtodo de Rayleigh 330 8.6 Seleccin de la funcin de forma 334
Apndice 8: Fuerzas de inercia para los cuerpos rigidos 338 PARTE II
Sistemas de varios grados de libertad 345 9 Ecuaciones de
movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin 347 9.1
Sistema sencillo: edificio cortante de dos niveles 347 9.2 Enfoque
general para los sistemas lineales 352 9.3 Condensacin esttica 369
9.4 Sistemas planos o de planta simtrica: movimiento del terreno
372 9.5 Edificios de un piso con planta asimtrica 377 9.6 Edificios
de varios niveles con planta asimtrica 383 9.7 Excitacin
multisoporte 387 9.8 Sistemas inelsticos 392 9.9 Planteamiento del
problema 392 9.10 Elementos mecnicos 393 9.11 Mtodos para resolver
las ecuaciones de movimiento: descripcin general 393
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- 14. Contenidoxiv 10 Vibracin libre 403 Parte A: Frecuencias y
modos de vibracin naturales 404 10.1 Sistemas sin amortiguamiento
404 10.2 Frecuencias y modos de vibracin naturales 406 10.3
Matrices modal y espectral 408 10.4 Ortogonalidad de los modos 409
10.5 Interpretacin de la ortogonalidad modal 410 10.6 Normalizacin
de los modos 410 10.7 Expansin modal de los desplazamientos 420
Parte B: Respuesta de vibracin libre 421 10.8 Solucin de ecuaciones
de vibracin libre: sistemas no amortiguados 421 10.9 Sistemas con
amortiguamiento 424 10.10 Solucin de ecuaciones de vibracin libre:
sistemas clsicamente amortiguados 425 Parte C: Clculo de las
propiedades de vibracin 428 10.11 Mtodos de solucin para el
problema de valor caracterstico 428 10.12 Cociente de Rayleigh 430
10.13 Mtodo de iteracin vectorial inverso 430 10.14 Iteracin
vectorial con desplazamiento: procedimiento preferente 435 10.15
Transformacin de k = 2 m a la forma estndar 440 11 Amortiguamiento
en estructuras 447 Parte A: Datos experimentales y fracciones de
amortiguamiento modal recomendadas 447 11.1 Propiedades de vibracin
del edificio de la biblioteca Millikan 447 11.2 Estimacin de las
fracciones de amortiguamiento modal 452 Parte B: Construccin de la
matriz de amortiguamiento 454 11.3 Matriz de amortiguamiento 454
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- 15. Contenido xv 11.4 Matriz de amortiguamiento clsico 455 11.5
Matriz de amortiguamiento no clsico 464 12 Anlisis dinmico y
respuesta de los sistemas lineales 467 Parte A: Sistemas de dos
grados de libertad 467 12.1 Anlisis de los sistemas de dos grados
de libertad sin amortiguamiento 467 12.2 Amortiguador de masa
resonante 470 Parte B: Anlisis modal 472 12.3 Ecuaciones modales
para los sistemas no amortiguados 472 12.4 Ecuaciones modales para
los sistemas amortiguados 475 12.5 Respuesta de desplazamiento 476
12.6 Fuerzas de los elementos 477 12.7 Anlisis modal: resumen 477
Parte C: Contribuciones a la respuesta modal 482 12.8 Expansin
modal del vector de excitacin p(t) = sp(t) 482 12.9 Anlisis modal
para p(t) = sp(t) 486 12.10 Factores de contribucin modal 487 12.11
Respuestas modales y nmero requerido de modos 489 Parte D:
Procedimientos especiales de anlisis 496 12.12 Mtodo de correccin
esttica 496 12.13 Mtodo de superposicin de la aceleracin modal 499
12.14 Mtodo de superposicin de la aceleracin modal: excitacin
arbitraria 500 13 Anlisis ssmico de sistemas lineales 513 Parte A:
Anlisis de la historia de la respuesta 514 13.1 Anlisis modal 514
13.2 Edificios de varios niveles con planta simtrica 520 13.3
Edificios de varios niveles con planta asimtrica 540
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- 16. Contenidoxvi 13.4 Respuesta torsional de edificios con
planta simtrica 551 13.5 Anlisis de respuesta para la excitacin
multisoporte 555 13.6 Idealizacin estructural y respuesta a los
sismos 561 Parte B: Anlisis con el espectro de respuesta 562 13.7
Respuesta mxima a partir del espectro de respuesta de los sismos
562 13.8 Edificios de varios niveles con planta simtrica 567 13.9
Edificios de varios niveles con planta asimtrica 579 13.10 Una
envolvente basada en el espectro de respuesta para respuestas
simultneas 587 13.11 Respuesta mxima a movimientos del terreno con
varios componentes 595 14 Anlisis de los sistemas lineales con
amortiguamiento no clsico 617 Parte A: Sistemas con amortiguamiento
clsico: reformulacin 618 14.1 Frecuencias y modos de vibracin
natural 618 14.2 Vibracin libre 619 14.3 Respuesta al impulso
unitario 620 14.4 Respuesta ssmica 621 Parte B: Sistemas con
amortiguamiento no clsico 622 14.5 Frecuencias y modos de vibracin
natural 622 14.6 Ortogonalidad de los modos 623 14.7 Vibracin libre
627 14.8 Respuesta al impulso unitario 632 14.9 Respuesta ssmica
636 14.10 Sistemas con valores caractersticos de valor real 638
14.11 Anlisis del espectro de respuesta 646 14.12 Resumen 647
Apndice 14: Deducciones 648 A01_CHOPRA.indd xvi 23/07/13 16:37
- 17. xvii MATERIAL EN EL SITIO WEB 15 Reduccin de los grados de
libertad 657 15.1 Restricciones cinemticas 658 15.2 Concentracin de
masas en los grados de libertad seleccionados 659 15.3 Mtodo de
Rayleigh-Ritz 659 15.4 Seleccin de los vectores de Ritz 663 15.5
Anlisis dinmico mediante los vectores de Ritz 668 16 Evaluacin
numrica de la respuesta dinmica 673 16.1 Mtodos de anlisis en el
tiempo paso a paso 673 16.2 Sistemas lineales con amortiguamiento
no clsico 675 16.3 Sistemas no lineales 681 17 Systems with
Distributed Mass and Elasticity (EN INGLS) 697 17.1 Equation of
Undamped Motion: Applied Forces 698 17.2 Equation of Undamped
Motion: Support Excitation 699 17.3 Natural Vibration Frequencies
and Modes 700 17.4 Modal Orthogonality 707 17.5 Modal Analysis of
Forced Dynamic Response 709 17.6 Earthquake Response History
Analysis 716 17.7 Earthquake Response Spectrum Analysis 721 17.8
Difficulty in Analyzing Practical Systems 724 18 Introduction to
the Finite Element Method (EN INGLS) 729 Part A: RayleighRitz
Method 729 18.1 Formulation Using Conservation of Energy 729 18.2
Formulation Using Virtual Work 733 18.3 Disadvantages of
RayleighRitz Method 735 Part B: Finite Element Method 735 18.4
Finite Element Approximation 735 18.5 Analysis Procedure 737
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- 18. Contenidoxviii 18.6 Element Degrees of Freedom and
Interpolation Functions 739 18.7 Element Stiffness Matrix 740 18.8
Element Mass Matrix 741 18.9 Element (Applied) Force Vector 743
18.10 Comparison of Finite Element and Exact Solutions 747 18.11
Dynamic Analysis of Structural Continua 748 PARTE III RESPUESTA
SSMICA, DISEO Y EVALUACIN DE EDIFICIOS DE VARIOS NIVELES 755 19
Respuesta ssmica de edicios elstico lineales 757 19.1 Sistemas
analizados, espectro de diseo y cantidades de respuesta 757 19.2
Influencia de T1 y en la respuesta 762 19.3 Factores de contribucin
modal 763 19.4 Influencia de T1 en la respuesta de los modos
superiores 765 19.5 Influencia de en la respuesta de los modos
superiores 768 19.6 Variacin de la respuesta de los modos
superiores con la altura 769 19.7 Cuantos modos deben incluirse 771
20 Anlisis ssmico y respuesta de edicios inelsticos 775 Parte A:
Anlisis de la historia de la respuesta no lineal 776 20.1
Ecuaciones de movimiento: formulacin y solucin 776 20.2 Clculo de
las demandas ssmicas: factores por considerar 777 20.3 Demandas de
la distorsin de entrepiso 781 20.4 Demandas de resistencia para
sistemas de 1GDL y VGDL 787 Parte B: Procedimientos de anlisis
aproximado 788 20.5 Motivacin y concepto bsico 788 20.6 Anlisis de
la historia de la respuesta modal desacoplada 790 20.7 Anlisis
pushover modal 797 20.8 Evaluacin del anlisis pushover modal 802
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- 19. Contenido xix 20.9 Anlisis pushover modal simplificado para
su aplicacin prctica 807 21 Earthquake Dynamics of Base-Isolated
Buildings (EN INGLS) 809 21.1 Isolation Systems 809 21.2
Base-Isolated One-Story Buildings 812 21.3 Effectiveness of Base
Isolation 818 21.4 Base-Isolated Multistory Buildings 822 21.5
Applications of Base Isolation 828 22 Dinmica estructural en los
cdigos de construccin 835 Parte A: Cdigos de construccin y dinmica
estructural 836 22.1 Cdigo internacional de construccin (Estados
Unidos), 2009 836 22.2 Cdigo nacional de construccin de Canad, 2010
839 22.3 Cdigo del Distrito Federal en Mxico, 2004 (ltima
actualizacin en enero de 2004) 841 22.4 Eurocdigo 8, 2004 844 22.5
La dinmica estructural en los cdigos de construccin 846 Parte B:
Evaluacin de los cdigos de construccin 852 22.6 Cortante basal 852
22.7 Cortantes de entrepiso y fuerzas estticas equivalentes 856
22.8 Momentos de volteo 858 22.9 Observaciones finales 861 23
Dinmica estructural en las especicaciones de evaluacin de los
edicios 863 23.1 Procedimiento dinmico no lineal: prctica actual
864 23.2 Estimacin del desplazamiento de techo para un sistema de
1GDL 865 23.3 Estimacin de la deformacin en sistemas inelsticos de
1GDL 868 23.4 Procedimientos estticos no lineales 874 23.5
Observaciones finales 880 A01_CHOPRA.indd xix 23/07/13 16:37
- 20. Contenidoxx Apndice A Mtodo del dominio de la frecuencia
para el anlisis de respuesta 883 Apndice B Notacin 905 Apndice C
Respuestas a problemas seleccionados 917 ndice 933 A01_CHOPRA.indd
xx 23/07/13 16:37
- 21. xxi La necesidad de un libro de texto sobre ingeniera
ssmica fue planteada por primera vez por el eminente ingeniero
consultor, John R. Freeman (1855-1932). Despus del sismo de 1925
que caus grandes daos en Santa Brbara, California, Freeman se
interes en el tema y realiz bsquedas de libros adecuados en la
Biblioteca Pblica de Boston. Encontr que no slo no haba ningn libro
de texto sobre ingeniera ssmica, sino que el tema en s no se
mencionaba en ninguno de los libros de ingeniera estructural.Al
revisar al pasado podemos ver que la enseanza de la ingeniera en
1925 se encontraba en un gran atraso, los clculos se realizaban
usando regla de clculo y los programas de estudio no preparaban al
estu- diante para la comprensin de la dinmica estructural. De
hecho, no se haban desarrollado instrumentos para el registro de
movimientos fuertes del terreno, y la sociedad no pareca estar
preocupada por el peligro de los sismos. En aos recientes se han
publicado textos sobre ingeniera ssmica y dinmica estruc- tural,
pero este libro del profesor Anil K. Chopra llena un nicho
existente entre los libros ms elementales y los que son para
estudios avanzados de posgrado. El autor es un recono- cido experto
en ingeniera ssmica y dinmica estructural, y su libro ser de gran
valor para los estudiantes, no slo en las regiones ssmicas, sino
tambin en otras partes del mundo, dado que el conocimiento de la
dinmica estructural es esencial para la ingeniera moderna. El libro
presenta material sobre vibraciones y la dinmica de las
estructuras, y demuestra su aplicacin a los movimientos
estructurales causados por los sismos. El material se presenta de
una manera muy clara, con numerosos ejemplos ilustrativos
resueltos, por lo que incluso estudiantes de alguna universidad
donde no se imparta este curso sern capaces de estudiar con el
libro a su propio paso. Los lectores que ya practican la ingeniera,
con la ayuda de este libro no deben tener ninguna dificultad para
estudiar el tema. Una caracterstica muy interesante del libro es la
aplicacin de la teora de la dinmica estructural a los aspectos ms
importantes en la respuesta ssmica y el diseo de edificios de
Prlogo A01_CHOPRA.indd xxi 23/07/13 16:37
- 22. Prlogoxxii varios niveles. La informacin que se presenta
aqu ser de gran valor para los ingenieros que participan en el
diseo ssmico real y que desean mejorar su comprensin del tema.
Aunque el material del libro conduce a la ingeniera ssmica, la
informacin que se presenta tambin es relevante para las vibraciones
inducidas por el viento sobre las es- tructuras, as como los
movimientos realizados por el hombre, como los producidos por
martillos a gravedad o por el trfico de vehculos pesados. Este
texto sobre vibraciones y dinmicas estructurales no tiene
competencia, y puede recomendarse a cualquier estudiante serio.
Creo que este libro debe ser el que John R. Freeman estaba
buscando. George W. Housner California Institute of Technology
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- 23. xxiii FILOSOFA Y OBJETIVOS Este libro sobre la dinmica de
estructuras est concebido como un texto para cursos de ingeniera
civil. Incluye muchos temas tericos de la dinmica estructural, y
aplicaciones de esta teora al anlisis, la respuesta, el diseo y la
evaluacin de las estructuras en casos de sismo. Se asume un nulo
conocimiento de la dinmica estructural con el fin de que resulte
adecuado para el lector que estudia el tema por primera vez. La
presentacin es suficientemente detallada e integrada mediante
referencias cruzadas a fin de que sea adecuada para el autoestudio.
Esta ca- racterstica, junto con una seleccin de temas motivados por
la prctica, debe ser atractiva para los ingenieros profesionales,
sobre todo para los que estn interesados en el anlisis y diseo de
estructuras en ubicaciones ssmicas. Al elaborar este libro se ha
puesto un nfasis especial en facilitar el aprendizaje de la dinmica
estructural a los estudiantes e ingenieros profesionales, ya que
puede resul- tar difcil. Para lograr este objetivo, se ha
estructurado la presentacin en torno a varias caractersticas: las
matemticas se mantienen tan sencillas como el tema lo permite. Los
procedimientos analticos se resumen y se hace hincapi en los pasos
clave, facilitando su aplicacin por parte del lector. Estos
procedimientos se ilustran con ms de 120 ejemplos resueltos, muchos
de ellos completos y realistas en los que se enfatiza la
interpretacin f- sica de los resultados. Se han diseado y ejecutado
con detalle alrededor de 500 figuras, de modo que resulten
pedaggicamente eficaces; muchas de ellas implican simulaciones com-
pletas por computadora de la respuesta dinmica de las estructuras.
Se incluyen, asimismo, fotografas de las estructuras y los
movimientos estructurales registrados durante los sismos a fin de
relacionar la presentacin con hechos reales. Prefacio
A01_CHOPRA.indd xxiii 23/07/13 16:37
- 24. Prefacioxxiv La preparacin de este libro se inspir en
varios objetivos: Relacionar las ideas estructurales estudiadas con
las propiedades de las estructuras reales. Presentar la teora de la
respuesta dinmica de la estructuras de una manera que destaque la
comprensin fsica de los procedimientos analticos. Ilustrar las
aplicaciones de la teora en la solucin de problemas motivados por
aplicaciones prcticas. Interpretar los resultados tericos para
entender la respuesta de las estructuras a diferentes excitaciones
dinmicas, con nfasis en la excitacin ssmica. Aplicar la teora de la
dinmica estructural para realizar estudios paramtricos que pongan
en evidencia varios aspectos fundamentales de la respuesta, el
diseo y la evaluacin de los sismos en edificios de varios niveles.
Este modo de presentacin debe ayudar al lector a lograr una
comprensin ms pro- funda del tema y aplicar con confianza la teora
de la dinmica estructural a problemas prcticos; sobre todo en el
anlisis, el diseo y la evaluacin de estructuras ante los sismos,
reduciendo as la brecha existente entre la teora y la prctica.
EVOLUCIN DEL LIBRO Dado que el libro apareci por primera vez en
1995, se ha revisado y ampliado en varias formas, lo que dio lugar
a la segunda edicin en 2001 y a la tercera edicin en 2007. Im-
pulsado por un creciente nmero de registros de movimientos del
terreno en la proximidad de una falla, el captulo 6 se extendi para
identificar las caractersticas especiales de los movimientos del
terreno cercanos a las fallas y compararlas con los movimientos
habituales lejanos a stas. Debido al inters cada vez mayor en el
comportamiento de los puentes ante los sismos, en varios captulos
se aadieron ejemplos sobre la dinmica de stos y su res- puesta ante
estos eventos. Debido a la gran necesidad de simplificar los
procedimientos del anlisis dinmico adecuados para la ingeniera
ssmica basada en el desempeo, se ampli el captulo 7 a fin de
proporcionar un anlisis ms completo de las deformaciones inducidas
por los sismos en los sistemas inelsticos y elsticos, y para
demostrar las aplicaciones del espectro de diseo inelstico en el
diseo estructural de ductilidad permisible, el diseo basado en el
desplazamiento y la evaluacin ssmica de estructuras existentes. El
anterior captulo 19 (ahora 20) se reescribi por completo para
incorporar los avances posteriores a 1990 en el anlisis de los
sismos y la respuesta de las construcciones inelsticas. El anterior
captulo 21 (ahora 22), que originalmente se limitaba a tres cdigos
de construccin (Esta- dos Unidos, Canad y Mxico), se ampli para
incluir el Eurocdigo. La adicin del captu- lo 22 (ahora 23) estuvo
motivada por la adopcin de las directrices basadas en el desempeo
para la evaluacin de construcciones existentes en la profesin de la
ingeniera estructural. En respuesta a las peticiones de los
lectores se incluy el mtodo de dominio de la frecuencia para el
anlisis dinmico, pero presentado como un apndice en vez de estar
dis- perso a lo largo del libro. Esta decisin se debi a mi objetivo
de mantener las matemticas tan sencillas como lo permita cada tema,
con lo que la dinmica estructural se vuelve ms accesible a los
estudiantes e ingenieros profesionales. A01_CHOPRA.indd xxiv
23/07/13 16:37
- 25. Prefacio xxv NOVEDADES EN ESTA EDICIN Dinmica de
estructuras ha sido bien recibido desde que se public por primera
vez, hace ya ms de 18 aos, y contina siendo utilizado como texto en
universidades de Estados Uni- dos y muchos otros pases, y cuenta
tambin con una gran cantidad de lectores profesiona- les deseosos
de actualizarse. Se han hecho traducciones al japons, coreano,
chino, griego, persa y al espaol. La preparacin de esta cuarta
edicin me proporcion la oportunidad de mejorar, ampliar y
actualizar el libro. El captulo 14 es nuevo, por lo que fue
necesaria una renumeracin de los captulos 14 a 22 (como 15 a 23);
esta nueva numeracin se refleja en el resto del prefacio. Los
captulos 5 y 16 se sometieron a una revisin exhaustiva; los
captulos 12 y 13 se ampliaron; y el 22 y el 23 se actualizaron.
Enseguida presentamos algunos de los cambios especficos: Se aadi el
captulo 14, sobre sistemas con amortiguamiento no clsico. Esta adi-
cin fue motivada por el gran inters por estos sistemas que se
presentan en varias situaciones prcticas: estructuras con sistemas
complementarios para la disipacin de energa o sobre la base de un
sistema de aislamiento, sistemas terreno-estructu- ra y sistemas
fluido-estructura. Los captulos 5 y 16, sobre la evaluacin numrica
de la respuesta dinmica, se reescribieron para ajustarse a las
formas en las que estos mtodos numricos se implementan generalmente
en los programas computacionales y para ofrecer una presentacin
integrada del anlisis esttico no lineal (tambin conocido como an-
lisis paso a paso (o pushover) modal, y el anlisis dinmico no
lineal. Se aadi una seccin al final del captulo 12 para presentar
una versin general del mtodo de superposicin en el modo de
aceleracin para excitaciones ms complejas, como la fuerza de las
olas que se presenta en las plataformas de perfo- racin en alta
mar. El captulo 13 se ampli para incluir dos temas que hasta ahora
haban sido rele- gados a la literatura de investigacin, pero que
son de inters prctico: (1) la com- binacin de respuestas mximas de
una estructura a los distintos componentes del movimiento de
traslacin del terreno, con el fin de estimar la respuesta mxima a
varios componentes de excitacin, y (2) las ecuaciones de respuesta
basadas en el espectro para determinar una envolvente que delimita
la trayectoria de respuesta conjunta de todas las fuerzas que actan
al mismo tiempo y que controlan el diseo ssmico de un elemento
estructural. Los captulos 22 y 23 se actualizaron para reflejar la
edicin ms actual de los c- digos de construccin para el diseo de
nuevos edificios y las directrices basadas en el desempeo y las
normas para la evaluacin de construcciones existentes. La adicin
del captulo 14 implic algunas modificaciones en los captulos 2, 4,
6, 10 y 12. Se aadieron nuevas figuras, fotografas, as como
ejemplos resueltos y problemas de fin de captulo. Con el uso de
este libro en el aula y analizndolo con cuidado en los ltimos aos,
han surgido mejoras adicionales. El texto se ha clarificado y
perfeccionado, hacindolo ms global, y se han reorganizado algunas
secciones para mejorar su presentacin. A01_CHOPRA.indd xxv 23/07/13
16:37
- 26. Prefacioxxvi TEMAS QUE SE PRESENTAN Este libro est
organizado en tres partes: I. Sistemas con un solo grado de
libertad; II. Siste- mas de varios grados de libertad y III.
Respuesta ssmica, diseo y evaluacin de edificios de varios niveles.
La parte I incluye los captulos 1 a 8. En el captulo 1 se formula
el problema de la dinmica estructural para estructuras simples
elsticas e inelsticas, que pueden ideali- zarse como sistemas con
un solo grado de libertad (1GDL), y se estudian brevemente cuatro
mtodos para resolver la ecuacin diferencial que controla el
movimiento de la estructura. Despus se estudia la respuesta dinmica
de los sistemas elstico lineales (1) a la vibracin libre (captulo
2), (2) a las excitaciones armnicas y peridicas (captulo 3), y (3)
a las ex- citaciones de paso e impulso (captulo 4). En los captulos
2 y 3 se incluye la dinmica de los sistemas de 1GDL con
amortiguamiento de Coulomb, un tema que por lo regular no se
incluye en los textos de ingeniera civil, pero que se ha hecho
relevante para la ingeniera ssmica porque los dispositivos para la
disipacin de energa basados en la friccin se uti- lizan en la
construccin resistente a los sismos. Tras la presentacin numrica de
los m- todos de clculo de tiempo por pasos para la respuesta
dinmica de los sistemas de 1GDL (captulo 5), se estudia la
respuesta ssmica de los sistemas elsticos e inelstico lineales en
los captulos 6 y 7, respectivamente. La cobertura de estos temas es
ms amplia que en los textos disponibles; se incluyen detalles sobre
la construccin de respuesta y los espectros de diseo, los efectos
de la amortiguacin y la fluencia, as como la distincin entre la
res- puesta y los espectros de diseo. El tema del captulo 8 es el
anlisis de sistemas complejos tratados como sistemas generalizados
de 1GDL. La parte II incluye los captulos 9 a 18 (los 4 ltimos se
encuentran en el sitio web del libro, 15 y 16 en espaol y 17 y 18
en ingls) sobre el anlisis dinmico de sistemas con varios grados de
libertad (VGL). En el primero de estos captulos (el 9) se formula
el problema de la dinmica estructural para estructuras idealizadas
como sistemas con un nmero finito de gra-
dosdelibertad,yseilustramediantenumerososejemplos;tambinseincluyeunadescripcin
general de los mtodos para resolver las ecuaciones diferenciales
que controlan el movimien- to de la estructura. En el captulo 10 se
ve la vibracin libre de sistemas con amortiguamiento clsico y al
clculo numrico de frecuencias de vibracin y modos naturales de la
estructura. El captulo 11 aborda varios aspectos que se plantean en
la definicin de las propiedades de amortiguamiento de las
estructuras, incluyendo datos experimentales (a partir de ensayos
de vibracin forzada sobre las estructuras y movimientos de las
estructuras registrados du- rante los sismos) que proporcionan una
base para estimar las fracciones de amortiguamiento modal y los
procedimientos analticos para construir la matriz de
amortiguamiento en caso necesario. El captulo 12 aborda el anlisis
dinmico de los sistemas lineales, donde se pone nfasis en el
procedimiento clsico de anlisis modal. La parte C de este captulo
representa una nueva forma de ver el anlisis modal que facilita la
comprensin de la forma en la que las contribuciones de la respuesta
modal estn influenciadas por la distribucin espacial y la variacin
en el tiempo de las fuerzas aplicadas, originando criterios
prcticos en el nmero de modos que deben incluirse en el clculo de
la respuesta. En el captulo 13 se desarrollan los procedimientos
del anlisis modal para el anlisis de sismos en sistemas con amorti-
guamiento clsico; tanto el anlisis de la historia de la respuesta,
como los procedimientos del anlisis para el espectro de respuesta
se presentan en una forma que proporciona una interpretacin fsica;
este ltimo procedimiento estima la respuesta mxima de los sistemas
A01_CHOPRA.indd xxvi 23/07/13 16:37
- 27. Prefacio xxvii con VGL directamente de la respuesta ssmica
o del espectro de diseo. Los procedimientos se ilustran con
numerosos ejemplos, entre ellos la respuesta lateral-torsional
acoplada de edificios con planta asimtrica y la respuesta torsional
de edificios nominalmente simtri- cos. Este captulo termina con los
procedimientos de respuesta basados en el espectro para considerar
todas las fuerzas que actan al mismo tiempo y que controlan el
diseo de un elemento estructural, as como para estimar la respuesta
mxima de una estructura a la exci- tacin de un sismo con mltiples
componentes. Este procedimiento se ampla en el captulo 14 al
anlisis de la historia de la respuesta para sistemas con
amortiguamiento no clsico sometidos a una excitacin ssmica. Para
este propsito, primero se revisan los sistemas con amortiguamiento
clsico y se modifican los procedimientos de anlisis de los captulos
10 y 13, de modo que faciliten su extensin al caso ms general. El
captulo 15 (en el sitio web del libro) est dedicado al aspecto
computacional prctico para reducir el nmero de grados de libertad
en la idealizacin estructural reque- rida para el anlisis esttico,
con el fin de reconocer que la respuesta dinmica de muchas
estructuras puede representarse mediante sus primeros modos
naturales de vibracin. En el captulo 16 (tambin en el sitio web) se
presentan los mtodos numricos de tiempo por pasos para sistemas con
VGL no susceptibles al anlisis modal clsico: sistemas con
amortiguamiento no clsico o sistemas que responden en el intervalo
del comportamiento no lineal. El captulo 17 (en ingls) se ocupa de
los problemas clsicos en la dinmica de los sistemas con masa
distribuida; slo se incluyen los sistemas unidimensionales. En el
captulo 18 (tambin en ingls) se presentan dos mtodos para
discretizar los sistemas uni- dimensionales con masa distribuida:
el mtodo de Rayleigh-Ritz y el mtodo del elemento finito. Se
presenta el concepto de matriz de masa consistente y se demuestra
la precisin y la convergencia de las frecuencias naturales
aproximadas de una viga en voladizo, determi- nadas mediante el
mtodo del elemento finito. La parte III del libro consta de cinco
captulos (todos en el sitio web) que se ocupan del diseo de
respuesta ssmica y la evaluacin de edificios con varios niveles, un
tema que en general no se incluye en los textos de dinmica
estructural. Se abordan varios aspectos impor- tantes y prcticos
usando los procedimientos analticos desarrollados en los captulos
anterio- res. En el captulo 19 se presenta la respuesta ssmica de
edificios con varios niveles elstico lineales para un intervalo
amplio de dos parmetros clave: el periodo de vibracin natural
fundamental y la relacin de rigidez viga-columna. Con base en estos
resultados se desarrolla una comprensin de la manera en que estos
parmetros afectan a la respuesta ssmica de los edificios y, en
particular, a las contribuciones relativas de respuesta de los
distintos modos naturales, las cuales conducen a informacin prctica
sobre el nmero de modos ms altos que deben incluirse en los clculos
de respuesta ssmica. El captulo 20 se refiere al importante tema de
la respuesta ssmica de edificios con varios niveles que se deforman
en su intervalo inelstico. La parteA de este captulo presenta un
riguroso anlisis de la historia de la respues- ta no lineal;
identifica la importante influencia de los supuestos en el modelo,
los principales parmetros estructurales y los detalles del
movimiento ssmico sobre las demandas ssmicas; asimismo, determina
la fuerza necesaria para limitar las demandas de ductilidad de cada
nivel en un edificio de varios niveles. En vista de que el anlisis
riguroso no lineal de la historia de la respuesta sigue siendo una
tarea difcil, en la parte B se desarrolla el procedimiento del
anlisis paso a paso o pushover modal (APM) (un procedimiento de
anlisis aproximado). En este procedimiento se estiman las demandas
ssmicas mediante anlisis no esttico lineales de la estructura
sometida a distribuciones de fuerza inerciales modales. El
aislamiento de la base A01_CHOPRA.indd xxvii 23/07/13 16:37
- 28. Prefacioxxviii es el tema del captulo 21 (en ingls). El
objetivo es estudiar el comportamiento dinmico de los edificios
soportados sobre sistemas de aislamiento de la base con el objetivo
limitado de entender por qu y en qu condiciones resulta eficaz al
reducir las fuerzas inducidas por los sismos en una estructura. En
el captulo 22 se presentan las disposiciones de la fuerza ssmica en
cuatro cdigos de construccin: International Building Code (Estados
Unidos), National Building Code of Canada, Eurocdigo y Cdigo del
Distrito Federal (Mxico), as como su relacin con la teora de la
dinmica estructural desarrollada en los captulos 6 , 7, 8 y 13.
Pos- teriormente se evalan las disposiciones de los cdigos en vista
de los resultados del anlisis dinmico de edificios que se presenta
en los captulos 19 y 20. Las directrices y normas basa- das en el
desempeo para la evaluacin de edificios existentes consideran de
forma explcita el comportamiento inelstico en la estimacin de las
demandas ssmicas en los niveles de bajo rendimiento, como la
seguridad de la vida y la prevencin de colapso. En el captulo 23 se
presentan y analizan determinados aspectos del procedimiento
dinmico y del procedimiento esttico no lineales en esos documentos
(ATC-40, FEMA 356 y ASCE 41-06) dada la teora de la dinmica
estructural desarrollada en los captulos 7 y 20. NOTA PARA LOS
PROFESORES Este libro es adecuado para cursos tanto a nivel de
postgrado como de pregrado superior. No es necesario ningn
conocimiento previo sobre la dinmica estructural. Los fundamen- tos
necesarios se obtienen a travs de los cursos habituales de los
estudiantes de ingeniera civil, que incluyen: Anlisis esttico de
las estructuras, incluyendo las estructuras estticamente inde-
terminadas y la formulacin matricial de procedimientos de anlisis
(conocimien- tos previos necesarios principalmente para la parte
II) Diseo estructural Dinmica de cuerpos rgidos Matemticas:
ecuaciones diferenciales ordinarias (para la parte I), lgebra
lineal (para la parte II) y ecuaciones diferenciales parciales (slo
para el captulo 17) Al proporcionar un tratamiento elemental pero
minucioso de una gran cantidad de te- mas, el libro permite una
flexibilidad inusual en la seleccin de los contenidos, a criterio
del profesor, para desarrollar varios cursos, o adaptar uno a su
medida, en funcin del material presentado; he aqu algunos ejemplos.
Casi todo el libro puede cubrirse en un curso de un ao: Ttulo:
Dinmica de estructuras I (1 semestre) Plan de estudio: captulo 1;
secciones 1 y 2 del captulo 2; partes A y B del captulo 3; captulo
4; temas seleccionados del captulo 5; secciones 1 a 7 del captulo
6; sec- ciones 1 a 7 del captulo 7; temas seleccionados del captulo
8; secciones 1 a 4 y 9 a 11 del captulo 9; partes A y B del captulo
10; secciones 1 y 2 del captulo 11; partes A y B del captulo 12;
secciones 1, 2, 7 y 8 (excluyendo el mtodo CQC) del captulo 13; y
temas seleccionados de la parte A del captulo 22. A01_CHOPRA.indd
xxviii 23/07/13 16:37
- 29. Prefacio xxix Ttulo: Dinmica de estructuras II (1 semestre)
Plan de estudio: secciones 5 a 7 del captulo 9; secciones 3 a 5 del
captulo 11; partes C y D del captulo 12, secciones 3 a 11 del
captulo 13; partes seleccionadas de los captulos 14, 15, 17, 19 a
21, y 23; y el apndice A. La seleccin de los temas para el primer
curso se ha realizado en parte por la nece- sidad de proporcionar
una cobertura completa, incluyendo el anlisis dinmico y el anlisis
ssmico en sistemas con VGL, para los estudiantes que toman un solo
curso. Es posible organizar versiones abreviadas de los esquemas
anteriores de modo que se impartan en dos cursos trimestrales. Una
posibilidad es la siguiente: Ttulo: Dinmica de estructuras I (1
trimestre) Plan de estudio: captulo 1; secciones 1 y 2 del captulo
2; secciones 1 a 4 del captulo 3; secciones 1 y 2 del captulo 4;
temas seleccionados del captulo 5; secciones 1 a 7 del captulo 6;
secciones 1 a 7 del captulo 7; temas seleccionados del captulo 8;
sec- ciones 1 a 4 y 9 a 11 del captulo 9; partes A y B del captulo
10; parte B del captulo 12; secciones 1, 2, 7 y 8 (excluyendo el
mtodo CQC) del captulo 13. Ttulo: Dinmica de estructuras II (1
trimestre) Plan de estudio: secciones 5 a 7 del captulo 9;
secciones 3 a 9 del captulo 13; y te- mas seleccionados de los
captulos 19 a 23. Un curso de un semestre, con nfasis en la
ingeniera ssmica, puede organizarse de la siguiente manera: Ttulo:
Dinmica ssmica de estructuras Plan de estudios: captulo 1;
secciones 1 y 2 del captulo 2; secciones 1 y 2 del cap- tulo 4;
captulos 6 y 7; temas seleccionados del captulo 8; secciones 1 a 4
y 9 a 11 del captulo 9; partes A y B del captulo 10; parte A del
captulo 11; secciones 1 a 3 y 7 a 11 del captulo 13; temas
seleccionados de los captulos 19 a 23. La resolucin de problemas es
esencial para que los estudiantes aprendan sobre la dinmica
estructural. Para ello, los primeros 18 captulos incluyen 373
problemas. Los captulos 19 a 23 no incluyen problemas por dos
razones: (1) en estos captulos no se presentan nuevos
procedimientos de anlisis dinmico; (2) este material no es para
plantear problemas pequeos y significativos. Sin embargo, ser til
trabajar con los ejemplos que se presentan en los captulos 19 a 23
y reproducir los resultados. La computadora es esencial para
resolver algunos de esos problemas, los cuales se en- cuentran bien
identificados. En su solucin se asume que el estudiante tiene
acceso a programas de computadora, como MATLAB o MATHCAD. Las
soluciones de estos problemas estn disponibles en ingls para los
profesores en el sitio web del libro (pregunte a su representante
cmo acceder a ellos). A01_CHOPRA.indd xxix 23/07/13 16:37
- 30. Prefacioxxx En mis conferencias en Berkeley, desarrollo la
teora en el pizarrn y la ilustro me- diante transparencias de las
figuras ms complejas del libro; las versiones ampliadas de muchas
de las figuras, que resultan adecuadas para la elaboracin de
transparencias que pueden usarse en el aula, estn disponibles para
los profesores en el sitio web del libro. A pesar de que se ha
solicitado un conjunto completo de diapositivas de PowerPoint, no
se ha desarrollado porque no creo que este enfoque sea la
estrategia ms eficaz para la enseanza de la dinmica de estructuras.
NOTA PARA LOS INGENIEROS PROFESIONALES Muchos ingenieros
profesionales me alentaron durante la dcada de 1980 a preparar un
li- bro ms completo de Dinmica de estructuras, Estudio elemental
(Dynamics of Structures, A Primer), una monografa publicada en 1981
por el Earthquake Engineering Research Ins- titute. Esta necesidad,
espero, se cubri mediante el presente libro. Al haber sido
concebido como un libro de texto, incluye el formalismo y el
detalle necesario para los estudiantes, pero estas caractersticas
no deberan disuadir a los profesionales de utilizar el libro,
porque su filosofa y estilo estn creados para facilitar el
aprendizaje del tema mediante el autoes- tudio. Para los ingenieros
profesionales interesados en el anlisis, respuesta, diseo y eva-
luacin de las estructuras ante sismos, sugiero la siguiente ruta de
lectura: captulos 1 y 2; captulos 6 a 9; partes A y B del captulo
10; parte A del captulo 11; y los captulos 13 y 19 a 23.
REFERENCIAS En un texto introductorio no es prctico presentar las
fuentes de la informacin. Se han omitido las referencias para
evitar distraer al lector. Sin embargo, se han incluido comenta-
rios ocasionales para aadir una perspectiva histrica, y al final de
casi todos los captulos se proporciona una breve lista de las
publicaciones adecuadas para una lectura adicional. SUS COMENTARIOS
SON BIENVENIDOS Invito a los profesores, estudiantes e ingenieros
profesionales a escribirme (chopra@ ce.berkeley.edu) si tienen
alguna sugerencias de mejora o aclaraciones, o si identifican erro-
res en el libro. Les agradezco de antemano por tomarse el tiempo y
el inters en hacerlo. Anil K. Chopra A01_CHOPRA.indd xxx 23/07/13
16:37
- 31. xxxi Agradezco a todas las personas que ayudaron en la
preparacin de este libro. El profesor Rakesh K. Goel, un compaero
de principio a fin, me ayud de nu- merosas formas y jug un papel
importante. Su contribucin ms importante fue desarrollar y ejecutar
los programas de computadora necesarios para generar los resultados
numricos y crear la mayora de las figuras. El profesor Gregory L.
Fenves ley el primer borrador del manuscrito original, lo analiz
conmigo cada semana y siempre realiz importantes sugerencias para
su mejora. Seis revisores, los profesores Luis Esteva, William J.
Hall, Rafael Riddell, C. C. Tung y los fallecidos George W. Housner
y Donald E. Hudson examinaron el bo- rrador final del manuscrito
original. Ellos me alentaron y dieron sugerencias muy acertadas.
Los profesores Gregory L. Fenves y Filip C. Fillipou me aconsejaron
sobre la modificacin de los captulos 5 y 16, y realizaron
observaciones sobre el proyecto final. El Dr. Ian Aiken me
proporcion materiales (incluyendo fotografas) y recomen- daciones
para la modificacin de las secciones 7.10.1 y 7.10.2 sobre
dispositivos complementarios para la disipacin de energa. El Dr.
Charles Menun, cuyos resultados de investigacin fueron la base para
la nueva seccin 13.10, me asesor mucho sobre la preparacin de esta
seccin y revis varios borradores. Agradecimientos A01_CHOPRA.indd
xxxi 23/07/13 16:37
- 32. Agradecimientosxxxii El profesor scar Lpez y el Dr. Charles
Menun, cuyos resultados de investi- gacin fueron la base de la
nueva seccin 13.11, me proporcionaron su ayuda y revisaron el
borrador final. Varios revisores los profesores Michael C.
Constantinou, Takeru Igusa, George C. Lee, Fai Ma y Carlos E.
Ventura me sugirieron mejoras para la versin final del captulo 14.
Seis expertos me asesoraron en la interpretacin de las versiones
actualizadas de los cuatro cdigos de construccin del captulo 22:
Yousef Bozorgnia y Ronald O. Hamburguer (International Building
Code); Jagmohan L. Humar (National Buil- ding Code of Canada);
Eduardo Miranda (Cdigo del Distrito Federal, Mxico); y Peter Fajfar
y Michael N. Fardis (Eurocdigo). Diversos profesores que han
adoptado el libro en sus cursos durante varios aos me han sugerido
mejoras. Algunas de las modificaciones y adiciones en esta edi- cin
estuvieron motivadas por las recomendaciones de los profesores A.
Stavros Anagnostopoulos, Michael C. Constantinou, Kincho Law y Jose
M. Roesset. Muchos ex estudiantes me han ayudado durante aos en la
preparacin de solucio- nes para los ejemplos resueltos y los
problemas de fin de captulo, y me han ayuda- do de otras maneras:
Ashraf Ayoub, Ushnish Basu, Shih-Po Chang, Juan Chvez, Chatpan
Chintanapakdee, Juan Carlos De la Llera, Rakesh K. Goel, Garrett
Hall, Gabriel Hurtado, Petros Keshishian, Allen Kwan, Lin
Wen-Hsiung, Charles Me- nun y Tsung-Li Tai. Han-Chen Tan realiz el
procesamiento de textos y grficos para el manual de soluciones
original de los 233 problemas de la primera edicin. Varios
estudiantes y ex estudiantes me ayudaron en la preparacin del
material nuevo en la cuarta edicin: Juan Carlos Reyes resolvi los
ejemplos y problemas finales de los captulos 5, 14 y 16, y elabor
las figuras. Yvonne Tsui gener los resultados numricos de la seccin
13.10 y prepar las figuras preliminares. Neal Simon Kwong resolvi
los ejemplos y prepar las figuras en las secciones 12.14 y 13.11, y
finaliz las figuras de la seccin 13.10. Eric Keldrauk desarroll los
resultados de la figura 11.4.3. Charles D. James, Director de
Sistemas de Informacin para el NISEE en la Uni- versidad de
California, Berkeley, me ayud en la seleccin y recopilacin de las
fotografas nuevas. Claire Johnson prepar el texto para las partes
nuevas y modificadas en el manus- crito, y tambin reuni y edit el
manual de soluciones. Barbara Zeiders trabaj como editora de textos
en esta edicin, como lo hizo en las tres primeras ediciones. El
profesor Joseph Penzien asumi mis funciones como editor asociado de
Earth- quake Engineering and Structural Dynamics desde junio de
1993 hasta agosto de 1994 cuando estaba trabajando en el libro
original. Tambin deseo expresar mi profundo agradecimiento a los
profesores Ray W. Clough, Jr., Joseph Penzien, Emilio Rosenblueth y
A. S. Veletsos por la influencia que han tenido A01_CHOPRA.indd
xxxii 23/07/13 16:37
- 33. Agradecimientos xxxiii en mi crecimiento profesional. A
principios de la dcada de 1960, los profesores Clough, Penzien, y
Rosenblueth me expusieron sus puntos de vista bien sustentados y
sus cursos tan bien organizados sobre la dinmica estructural y la
ingeniera ssmica. Ms tarde, el profesor Veletsos, a travs de su
investigacin, sus escritos y sus conferencias, influy en mi
enseanza y filosofa de investigacin. Su obra, en colaboracin con el
fallecido profesor Nathan M. Newmark, defini el enfoque adoptado
para algunas secciones de los captulos 6 y 7; y que, en colaboracin
con el profesor Carlos E. Ventura, defini el estilo de presen-
tacin para el captulo 14. Este libro ha tenido la influencia de mi
propia experiencia de investigacin en colabo- racin con mis
alumnos. Desde 1969, varias organizaciones han apoyado mi
investigacin en la ingeniera ssmica, como la National Science
Foundation, el Cuerpo de Ingenieros del Ejrcito de Estados Unidos y
el California Strong Motion Instrumentation Program. Este libro y
sus ediciones revisadas se han preparado durante aos sabticos, un
privi- legio que agradezco a la Universidad de California en
Berkeley. Anil K. Chopra A01_CHOPRA.indd xxxiii 23/07/13 16:37
- 34. A01_CHOPRA.indd xxxiv 23/07/13 16:37
- 35. 1 PARTE I Sistemas con un solo grado de libertad
M01_Chopra.indd 1 23/07/13 11:16
- 36. M01_Chopra.indd 2 23/07/13 11:16
- 37. 3 1 Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y
mtodos de solucin AVANCE En este primer captulo se formula el
problema de la dinmica estructural para estructuras simples que
pueden idealizarse como sistemas con una masa concentrada
soportados por una estructura sin masa. Se consideran tanto las
estructuras elsticas lineales, as como las estructuras inelsticas,
sometidas a una fuerza dinmica aplicada o a un movimiento del
terreno inducido por un sismo. Despus se estudian brevemente cuatro
mtodos para resol- ver la ecuacin diferencial que rige el
movimiento de la estructura. El captulo termina con un resumen de
la forma en que est organizado el estudio de la respuesta dinmica
de los sistemas con un grado de libertad en los captulos
siguientes. 1.1 ESTRUCTURAS SIMPLES El estudio de la dinmica
estructural se inicia con estructuras simples, como la prgola que
se muestra en la figura 1.1.1 y el tanque de agua elevado de la
figura 1.1.2. Se tiene inters en comprender la vibracin de estas
estructuras cuando se les aplica una fuerza lateral (u horizontal)
en la parte superior o un movimiento horizontal del terreno debido
a un sismo. Estas estructuras se llaman simples porque pueden
idealizarse como una masa m con- centrada o agrupada soportada por
una estructura sin masa con rigidez k en la direccin lateral. Dicha
idealizacin es apropiada para esta prgola con un techo de concreto
pesado sostenido por columnas ligeras de tubo de acero, que pueden
suponerse carentes de masa. El techo de concreto es muy rgido y la
flexibilidad de la estructura en la direccin lateral (u horizontal)
la proporcionan en su totalidad las columnas. El sistema idealizado
se muestra M01_Chopra.indd 3 23/07/13 11:16
- 38. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y
mtodos de solucin Captulo 14 en la figura 1.1.3a con un par de
columnas que soportan la longitud tributaria del techo de concreto.
Este sistema tiene una masa concentrada m igual a la masa del techo
mostrado, y su rigidez lateral k es igual a la suma de las
rigideces de las columnas tubulares individua- les. En la figura
1.1.3b se muestra una idealizacin similar, la cual es apropiada
para el tanque cuando se encuentra lleno de agua. Como el chapoteo
del agua no es posible en un tanque lleno, se trata de una masa
concentrada m sostenida por una torre relativamente ligera que
puede considerarse como carente de masa. La torre en voladizo que
soporta el depsito de agua proporciona la rigidez lateral k a la
estructura. Por el momento, se asumir que el movi- miento lateral
de estas estructuras es pequeo suponiendo que las estructuras de
soporte se deforman dentro de su lmite elstico lineal. Ms adelante
en este captulo se ver que la ecuacin diferencial que controla el
desplazamiento lateral u(t) de estas estructuras idealizadas sin
ninguna excitacin externa fuerza aplicada o movimiento del terreno
es m + ku = 0 (1.1.1) donde los puntos sobre las variables indican
diferenciacin con respecto al tiempo, por lo que representa la
velocidad de la masa y su aceleracin. La solucin de esta ecuacin,
presentada en el captulo 2, mostrar que si a la masa de los
sistemas idealizados de la fi- gura 1.1.3 se le impone un
desplazamiento inicial u(0), despus se libera y se permite que
vibre libremente, la estructura oscilar o vibrar hacia adelante y
hacia atrs alrededor de Figura 1.1.1 Esta prgola en el Hotel Macuto
Sheraton, cerca de Caracas, Venezuela, se da por el sismo del 29 de
julio de 1967. El evento con magnitud 6.5, que se ubic a unas 15
millas del hotel, deform en exceso las columnas de tubo de acero,
produciendo un desplaza- miento permanente del techo de 9 pulgadas.
(Tomada de la coleccin Steinbrugge, Servicio de Informacin Nacional
de Ingeniera Ssmica en la Universidad de California, Berkeley).
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- 39. Seccin 1.1 Estructuras simples 5 su posicin de equilibrio
inicial. Como se muestra en la figura 1.1.3c, se presenta el mismo
desplazamiento mximo oscilacin tras oscilacin; estas oscilaciones
continan de manera indefinida y los sistemas idealizados nunca
llegaran al reposo. Por supuesto, lo anterior no es una situacin
realista. La intuicin sugiere que si el techo de la prgola o la
parte supe- rior del tanque de agua fueran desplazados lateralmente
mediante una cuerda y la cuerda se cortara de repente, la
estructura oscilara cada vez con menor amplitud y con el tiempo
Figura 1.1.3 (a) Prgola idealizada, (b) tanque de agua idealizado,
(c) vibracin libre debida a un desplazamiento inicial. Figura 1.1.2
Este tanque de concreto refor- zado sobre una sola columna de
concreto de 40 pies de altura, que se encuentra cerca del
aeropuerto de Valdivia, no sufri daos por los sismos chilenos de
mayo de 1960. Cuando el tanque est lleno de agua, la estructura
puede analizarse como un sistema de un grado de libertad. (Tomada
de la coleccin Steinbru- gge, Servicio de Informacin Nacional de
Ingeniera Ssmica, Universidad de California, Berkeley). Longitud
tributaria Losa rgida Columnas sin masa um k (a) k m (b) u Torre
sin masa u(0) u Tiempot (c) M01_Chopra.indd 5 23/07/13 11:16
- 40. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y
mtodos de solucin Captulo 16 se detendra. Experimentos de este tipo
se realizaron en modelos de laboratorio de marcos de un solo nivel,
y los registros medidos de su respuesta a la vibracin libre se
presentan en la figura 1.1.4. Como era de esperarse, el movimiento
de los modelos estructurales decay con el tiempo, siendo el
decaimiento del modelo de plexigls ms rpido que el del marco de
aluminio. Figura 1.1.4 (a) Modelos de marco de aluminio y plexigls
montados sobre una pequea mesa vibra- dora que se usa para una
demostracin en clase de la Universidad de California en Berkeley
(cortesa de T. Merport), (b) registro de la vibracin libre del
mode- lo de aluminio, (c) registro de la vibracin libre del modelo
de plexigls. (a) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4
0.6 0.8 1.0 (b) Aceleracin,g Tiempo, s (c) Aceleracin,g 0 1 2 3 4 5
6 7 8 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 u1 = 0.915 g t1 =
1.110 s u11 = 0.076 g t11 = 3.844 s M01_Chopra.indd 6 23/07/13
11:16
- 41. Seccin 1.2 Sistemas de un grado de libertad 7 El proceso
mediante el cual la amplitud de la vibracin disminuye de manera
cons- tante se denomina amortiguamiento. La energa cintica y la
energa de deformacin del sistema vibratorio se disipan mediante
diversos mecanismos de amortiguamiento que se mencionarn ms
adelante. Por el momento, simplemente se reconoce que es necesario
incluir un mecanismo de disipacin de energa en la idealizacin
estructural con el fin de caracterizar el decaimiento del
movimiento observado durante los ensayos de vibracin libre de una
estructura. El elemento de amortiguamiento que se utiliza comnmente
es el amortiguador viscoso, en parte porque su manejo matemtico es
ms sencillo. En los cap- tulos 2 y 3 se presentan otros mecanismos
de disipacin de la energa. 1.2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD El
sistema considerado se muestra esquemticamente en la figura 1.2.1.
Se compone de una masa m concentrada en el nivel del techo, un
marco sin masa que proporciona rigidez al sis- tema, y un
amortiguador viscoso que disipa la energa de vibracin del sistema.
Se supone que la viga y las columnas son axialmente indeformables.
Este sistema puede considerarse como una idealizacin de una
estructura de un nivel. Cada elemento estructural (viga, columna,
muro, etctera) de la estructura real contribuye a las propiedades
inerciales (masa), elsticas (rigidez o flexibilidad) y de disipacin
de la energa (amortiguamiento) de la estructura. Sin embargo, en el
sistema idealizado, cada una de estas propiedades se concentra en
tres componentes puros distintos: el componente de masa, el
componente de rigidez y el componente de amortiguamiento. El nmero
de desplazamientos independientes requerido para definir las
posiciones desplazadas de todas las masas en relacin con su posicin
original se denomina el nmero de grados de libertad (GDL) para el
anlisis dinmico. De manera tpica, se requieren ms GDL para definir
las propiedades de rigidez de una estructura que los GDL necesarios
para representar las propiedades inerciales. Considere el marco de
un nivel de la figura 1.2.1, restringido a moverse slo en la
direccin de la excitacin. El problema de anlisis esttico debe
formularse con tres GDL (el desplazamiento lateral y la rotacin de
los dos nudos) para determinar la rigidez lateral del marco (vea la
seccin 1.3). En contraste, la estructura tiene un solo GDL (el
desplazamiento lateral) para el anlisis dinmico si se idealiza con
la masa concentrada en una ubicacin, por lo regular al nivel del
techo. Por lo tanto, se le llama sistema de un grado de libertad
(1GDL). (a) Marco sin masa Amortiguador viscoso p(t) uMasa (b) u ut
ug Figura 1.2.1 Sistema de un grado de libertad: (a) fuerza
aplicada p(t); (b) movi- miento del terreno inducido por un sismo.
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- 42. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y
mtodos de solucin Captulo 18 Se considerarn dos tipos de excitacin
dinmica: (1) la fuerza externa p(t) en la di- reccin lateral
(figura 1.2.1a), y (2) el movimiento del terreno ug(t) inducido por
un sismo (figura 1.2.1b). En ambos casos u indica el desplazamiento
relativo entre la masa y la base de la estructura. 1.3 RELACIN
FUERZA-DESPLAZAMIENTO Considere el sistema mostrado en la figura
1.3.1a sin excitacin dinmica, sometido a una fuerza externa esttica
fS aplicada en la direccin del GDL u tal como se muestra. La fuer-
za interna que se opone al desplazamiento u es igual y opuesta a la
fuerza externa fS (figura 1.3.1b). Se desea determinar la relacin
entre la fuerza fS y el desplazamiento relativo u aso- ciado con
las deformaciones en la estructura durante el movimiento
oscilatorio. Esta relacin de fuerza-desplazamiento sera lineal para
pequeas deformaciones, pero volvera no lineal en el caso de grandes
deformaciones (figura 1.3.lc); se consideran tanto las relaciones
lineales como las no lineales (figura 1.3.1c y d). La determinacin
de la relacin entre fS y u es un problema estndar en el anlisis
estruc- tural esttico, y se supone que el lector est familiarizado
con este tipo de anlisis. Por lo tanto, la presentacin en esta
seccin es breve y se limita a los aspectos esenciales. (a) fS u fS
Fuerza restauradora fS Fuerza externa (b) k 1 uouo a b c d o fS u
(c) k 1 fS u (d) Figura 1.3.1 M01_Chopra.indd 8 23/07/13 11:16
- 43. Seccin 1.3 Relacin fuerza-desplazamiento 9 1.3.1 Sistemas
elstico lineales Para un sistema lineal la relacin entre la fuerza
lateral fS y la deformacin resultante u es lineal, es decir, fS =
ku (1.3.1) donde k es la rigidez lateral del sistema; sus unidades
son fuerza/longitud. En la ecuacin (1.3.1) est implcito el supuesto
de que la relacin lineal fS-u determinada para pequeas
deformaciones de la estructura tambin es vlida para el caso de
grandes deformaciones. Esta relacin lineal implica que fS es una
funcin de u con un solo valor (es decir, las curvas de carga y
descarga son idnticas). Se dice que tal sistema es elstico, por lo
que se utiliza el trmino sistema elstico lineal para enfatizar
ambas propiedades. Considere el marco de la figura 1.3.2a con una
cruja de tamao L, altura h, mdu- lo de elasticidad E y segundo
momento de rea de la seccin transversal (o momento de inercia)
alrededor del eje de flexin = Ib e Ic para la viga y las columnas,
respectivamente; las columnas estn sujetas (o empotradas) en la
base. La rigidez lateral del marco puede determinarse fcilmente
para dos casos extremos: si la viga es infinitamente rgida (es
decir, la rigidez a la flexin EIb = q, figura 1.3.2b), k = columnas
12E Ic h3 = 24 E Ic h3 (1.3.2) Por otra parte, para una viga sin
rigidez (es decir, EIb = 0, figura 1.3.2c), k = columnas 3E Ic h3 =
6 E Ic h3 (1.3.3) Observe que para los dos valores extremos de la
rigidez de la viga, la rigidez lateral de la estructura es
independiente de L, la longitud de la viga o el tamao de la cruja.
La rigidez lateral del marco con un valor intermedio de la rigidez
de la viga ms rea- lista, puede calcularse mediante los
procedimientos estndar del anlisis estructural estti- co. La matriz
de rigidez del marco se formula con respecto a tres GDL: el
desplazamiento lateral u y las rotaciones de los dos nudos
viga-columna (figura 1.3.2a). La relacin fuerza Figura 1.3.2 EIb
EIc L h (a) u fS (b) EIb = u fS (c) EIb = 0 u fS En este libro el
trmino preferido para I es segundo momento de rea en vez del que se
usa comnmente, momento de inercia; este ltimo se reservar para
definir los efectos de la inercia asociada con el movimiento
rotacional de los cuerpos rgidos. M01_Chopra.indd 9 23/07/13
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- 44. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y
mtodos de solucin Captulo 110 lateral-desplazamiento de la ecuacin
(1.3.1) se determina por condensacin esttica o por eliminacin de
los GDL de rotacin. Al aplicar este procedimiento a un marco con L
= 2h y EIb = EIc, se obtiene su rigidez lateral (vea el ejemplo
1.1): k = 96 7 E Ic h3 (1.3.4) La rigidez lateral del marco puede
calcularse de manera similar para cualquier valor de Ib, Ic, L y h
utilizando los coeficientes de rigidez de un elemento uniforme a
flexin que se presentan en el apndice 1. Si se desprecian las
deformaciones por cortante en los elementos, el resultado puede
escribirse en la forma k = 24E Ic h3 12 + 1 12 + 4 (1.3.5) donde =
(EIb/L) (2EIc/h) es la relacin de rigidez de la viga con la columna
(que se describe en la seccin 18.1.1). Para = 0, q y 1 4, la
ecuacin (1.3.5) se reduce a los re- sultados de las ecuaciones
(1.3.3), (1.3.2) y (1.3.4), respectivamente. La rigidez lateral se
representa de manera grfica como una funcin de en la figura 1.3.3;
se incrementa por un factor de 4 cuando crece desde cero hasta
infinito. 104 103 102 101 100 101 102 6 24 k/(EIc/h3 ) Figura 1.3.3
Variacin de la rigidez lateral, k, con la relacin de rigidez de la
viga con la columna, r. Ejemplo 1.1 Calcule la rigidez lateral para
el marco mostrado en la figura E1.1a, suponiendo que los ele-
mentos son infinitamente rgidos en la direccin axial. Figura E1.1
(a) L = 2h h EIc EIc EIb u2 u3 u1 (b) k21 = 6EIc / h2 k31 = 6EIc /
h2 k11 = 2(12EIc) h3 u1 = 1 (c) k22 = 4EIc / h + 4EIb / L k32 =
2EIb / L k12 = 6EIc h2 u2 = 1 M01_Chopra.indd 10 23/07/13
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- 45. Seccin 1.3 Relacin fuerza-desplazamiento 11 Solucin Esta
estructura puede analizarse mediante cualquiera de los mtodos
estndar, in- cluyendo la distribucin de momentos. Aqu se utiliza la
definicin de coeficientes de influen- cia de la rigidez para
resolver el problema. El sistema tiene los tres GDL mostrados en la
figura E1.1a. Para obtener la primera columna de la matriz de
rigidez de 3 3, se impone un desplazamiento unitario en el GDL u1,
con u2 = u3 = 0. Las fuerzas ki1 necesarias para mantener esta
configuracin deformada se muestran en la figura E1.1b. stas se
determinan usando los coeficientes de rigidez para un elemento
uniforme a la flexin que se presenta en el apndice 1. Los elementos
ki2 en la segunda columna de la matriz de rigidez se determinan
imponiendo u2 = 1 con u1 = u3 = 0; vea la figura E1.1c. De manera
similar, los elementos ki3 en la tercera columna de la matriz de
rigidez pueden determinarse al imponer los desplazamientos u3 = 1
con u1 = u2 = 0. As, se conoce la matriz de rigidez de 3 3 de la
estructura y es posible escribir las ecuaciones de equilibrio. Para
un marco con Ib = Ic sometido a la fuerza lateral fS, se tiene E Ic
h3 24 6h 6h 6h 6h2 h2 6h h2 6h2 u1 u2 u3 = fS 0 0 (a) A partir de
la segunda y tercera ecuaciones, las rotaciones de los nudos pueden
expresarse en trminos del desplazamiento lateral de la siguiente
manera: u2 u3 = 6h2 h2 h2 6h2 1 6h 6h u1 = 6 7h 1 1 u1 (b) Al
sustituir la ecuacin (b) en la primera de las tres ecuaciones de la
ecuacin (a) se obtiene fS = 24E Ic h3 E Ic h3 6 7h 6h 6h 1 1 u1 =
96 7 E Ic h3 u1 (c) As, la rigidez lateral del marco es k = 96 7 E
Ic h3 (d) Este procedimiento para eliminar rotaciones de los nudos,
conocido como el mtodo de con- densacin esttica, se presenta en
libros de texto sobre el anlisis esttico de las estructuras. Este
tema se retomar en el captulo 9. 1.3.2 Sistemas inelsticos En la
figura 1.3.4 se muestra la relacin experimental fuerza-deformacin
de un elemento estructural de acero sometido a niveles de
deformacion cclicos esperados durante un sis- mo. La curva de carga
inicial es no lineal a los niveles ms grandes de deformacin y las
curvas de descarga y recarga difieren de la curva de carga inicial;
se dice que un sistema as es inelstico. Esto implica que la relacin
fuerza-deformacin depende de la direccin, es decir, depende de si
la deformacin est aumentando o disminuyendo. De este modo, la
fuerza restauradora es una funcin implcita de la deformacin: fS =
fS(u) (1.3.6) La relacin fuerza-deformacin para el marco idealizado
de un nivel (figura 1.3.1a) que se deforma en el rango inelstico
puede determinarse de dos formas. Un enfoque consiste en utilizar
mtodos de anlisis estructural esttico no lineal. Por ejemplo, en el
anlisis de una estructura de acero con un modelo constitutivo
esfuerzo-deformacin supuesta, el anlisis M01_Chopra.indd 11
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- 46. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y
mtodos de solucin Captulo 112 mantiene un registro del inicio y la
propagacin de la fluencia en ubicaciones crticas y la formacin de
articulaciones plsticas para obtener la curva de carga inicial
(o-a) que se muestra en la figura 1.3.1c. Las curvas de descarga
(a-c) y recarga (c-a) pueden calcularse de manera similar o es
posible definirlas a partir de la curva de carga inicial con las
hiptesis existentes. Otro enfoque es definir la relacin inelstica
de fuerza-deformacin como una versin idealizada de los datos
experimentales, como en la figura 1.3.4. Se tiene inters en el
estudio de la respuesta dinmica de los sistemas inelsticos por- que
muchas estructuras estn diseadas bajo el supuesto de que estarn
sometidas a grietas, fluencia y daos durante algn movimiento
intenso del terreno causado por los sismos. 1.4 FUERZA DE
AMORTIGUAMIENTO Como se mencion con anterioridad, el proceso
mediante el cual la amplitud de la vibracin libre disminuye de
manera constante se denomina amortiguamiento. En el amortiguamien-
to, la energa del sistema en vibracin se disipa por diversos
mecanismos y, con frecuencia, ms de un mecanismo puede estar
presente al mismo tiempo. En los sistemas limpios sencillos como
los modelos de laboratorio de la figura 1.1.4, la mayor parte de la
disipacin de energa puede ser asociada al efecto trmico del
esfuerzo elstico repetido del material y de la friccin interna que
se produce en un slido cuando se deforma. Sin embargo, en las
estruc- turas reales existen muchos otros mecanismos que tambin
contribuyen a la disipacin de la energa. En un edificio en vibracin
stos incluyen la friccin en las conexiones de acero,
DIFERENCIASDEMOMENTOSENLAVIGAM(KIP-PULG) DISTORSIN DE PANEL Figura
1.3.4 Relacin fuerza-deformacin para un elemento estructural de
acero. (Tomada de H. Krawinkler, V. V. Bertero y E. P. Popov,
comportamiento inelstico de subensambles de acero viga-columna.
Informe No. 71-7 CEIE, Universidad de California, Berkeley, 1971).
M01_Chopra.indd 12 23/07/13 11:16
- 47. Seccin 1.4 Fuerza de amortiguamiento 13 la apertura y
cierre de microfisuras en el concreto y la friccin entre la propia
estructura y los elementos no estructurales, tales como muros
divisorios. Parece imposible identificar o describir matemticamente
cada uno de estos mecanismos de disipacin de energa en un edificio
real. Como resultado, el amortiguamiento de las estructuras reales
se representa por lo general en una forma muy idealizada. Para
muchos fines, el amortiguamiento real en una estructura de 1GDL
puede idealizarse de manera satisfactoria por medio de un
amortiguador viscoso lineal. El coeficiente de amortiguamiento se
selecciona de modo que la energa disipada sea equivalente a la
energa disipada en todos los mecanismos de amortiguamiento,
combinados, presentes en la estructura real. Por lo anterior, esta
idealizacin se denomina amortiguamiento viscoso equivalente, un
concepto que se desarrolla con mayor detalle en el captulo 3. En la
figura 1.4.1a se muestra un amortiguador viscoso lineal sometido a
una fuerza fD en la direccin del GDL u. La fuerza interna en el
amortiguador es igual y opuesta a la fuerza externa fD (figura
1.4.1b). Como se muestra en la figura 1.4.1c, la fuerza de
amortiguamiento de fD se relaciona con la velocidad u a travs del
amortiguador viscoso lineal por fD = cu (1.4.1) donde la constante
c es el coeficiente de amortiguamiento viscoso; tiene unidades de
fuerza tiempo/longitud. A diferencia de la rigidez de una
estructura, el coeficiente de amortiguamiento no puede calcularse a
partir de las dimensiones de la estructura y los tamaos de los
elementos estruc- turales. Esto no debera ser sorprendente puesto
que, como se ha sealado antes, no es posible identificar todos los
mecanismos que disipan la energa de vibracin en las estructuras
reales. As, los experimentos de vibracin en estructuras reales
proporcionan datos para evaluar el coeficiente de amortiguamiento.
stos pueden ser experimentos de vibracin libre que condu- cen a
datos como los que se muestran en la figura 1.1.4; la razn de
decaimiento del movimien- to en la vibracin libre proveer una base
para evaluar el coeficiente de amortiguamiento, como se ver en el
captulo 2. La propiedad de amortiguamiento tambin puede
determinarse a partir de experimentos de vibracin forzada, un tema
que se estudia en el captulo 3. El amortiguador viscoso equivalente
tiene la intencin de modelar la disipacin de ener- ga para
amplitudes de deformacin dentro del lmite elstico lineal de toda la
estructura. Den- tro de este intervalo de deformaciones, el
coeficiente de amortiguamiento c determinado a partir de pruebas
experimentales puede variar con la amplitud de la deformacin. Esta
no linea- lidad del amortiguamiento en general no se considera
explcitamente en los anlisis dinmicos. Esto puede tratarse de
manera indirecta mediante la seleccin de un valor para el
coeficiente de Figura 1.4.1 (a) fD fD u fD fD Fuerza externa Fuerza
restauradora (b) c 1 fD u (c) M01_Chopra.indd 13 23/07/13
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- 48. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y
mtodos de solucin Captulo 114 amortiguamiento conistente con la
amplitud de deformacin esperada, y que por lo regular se toma como
la deformacin asociada con el lmite elstico lineal de la
estructura. Se disipa energa adicional debido al comportamiento
inelstico de la estructura a gran- des deformaciones. Ante la accin
de fuerzas o deformaciones cclicas, este comportamiento implica la
formacin de un ciclo de histresis fuerza-deformacin (figura
1.3.1c). La energa de amortiguamiento disipada durante un ciclo de
deformacin entre los lmites de deformacin uo est dada por el rea
dentro del ciclo de histresis abcda (figura 1.3.1c). Esta disipacin
de energa no suele modelarse mediante un amortiguador viscoso, en
especial si la excitacin es un movimiento ssmico, por razones que
se describen en el captulo 7. En cambio, el enfoque ms comn,
directo y preciso para explicar la disipacin de energa debida al
comportamiento inelstico es determinar la relacin inelstica entre
la fuerza restauradora y la deformacin, como se muestra en las
figuras 1.3.1c y 1.3.4, al resolver la ecuacin de movimiento
(captulo 5). Tales relaciones de fuerza-deformacin se obtienen a
partir de pruebas experimentales en las estructuras o componentes
estructurales a bajas velocidades de deformacin, lo que excluye
cualquier disipacin de energa derivada de los efectos dependientes
de la velocidad de defor- macin. El enfoque habitual es modelar
este amortiguamiento en el intervalo de deformaciones inelsticas
mediante el mismo amortiguador viscoso que se defini anteriormente
para peque- as deformaciones en el intervalo elstico lineal. 1.5
ECUACIN DE MOVIMIENTO: FUERZA EXTERNA En la figura 1.5.1a se
muestra el marco idealizado de un nivel que se present con
anteriori- dad, sometido a una fuerza dinmica p(t) aplicada de
manera externa en la direccin del GDL u. Esta notacin indica que la
fuerza p vara con el tiempo t. El desplazamiento resultante de la
masa tambin vara con el tiempo y se indica mediante u(t). En las
secciones 1.5.1 y 1.5.2 se obtiene la ecuacin diferencial que
controla el desplazamiento u(t) mediante dos mtodos que utilizan
(1) la Segunda ley del movimiento de Newton y (2) el equilibrio
dinmico. En la seccin 1.5.3 se presenta una manera alternativa para
obtener dicha ecuacin. 1.5.1 Uso de la Segunda ley del movimiento
de Newton En la figura 1.5.1b se muestran las fuerzas que actan
sobre la masa en un cierto instante de tiempo. stas incluyen la
fuerza externa p(t), la fuerza restauradora elstica (o inelstica)
fS (figura 1.3.1) y la fuerza de amortiguamiento fD (figura 1.4.1).
Se considera que la fuerza externa es positiva en la direccin del
eje x, y que el desplazamiento u(t), la velocidad u(t) y la
aceleracin (t) tambin son positivas en la direccin del eje x. Las
fuerzas elsticas y (a) p(t) u m fS fD m p(t) (b) fS fD fI p(t) (c)
Figura 1.5.1 M01_Chopra.indd 14 23/07/13 11:16
- 49. Seccin 1.5 Ecuacin de movimiento: fuerza externa 15 de
amortiguamiento se muestran actuando en la direccin opuesta, dado
que son las fuerzas internas que se oponen a la deformacin y a la
velocidad respectivamente. La fuerza resultante a lo largo del eje
x es p fS fD, y a partir de la Segunda ley del movimiento de Newton
se tiene p fS fD = m o m + fD + fS = p(t) (1.5.1) Despus de
sustituir las ecuaciones (1.3.1) y (1.4.1), esta ecuacin se
convierte en m + cu + ku = p(t) (1.5.2) sta es la ecuacin de
movimiento que controla la deformacin o el desplazamiento u(t) de
la estructura idealizada en la figura 1.5.1a, que se supone elstica
lineal, sometida a una fuerza externa dinmica p(t). Las unidades de
masa son fuerza/aceleracin. Esta deduccin puede extenderse con
facilidad a sistemas inelsticos. La ecuacin (1.5.1) todava es vlida
y todo lo que debe hacerse es sustituir la ecuacin (1.3.1),
restrin- gida a los sistemas lineales, por la ecuacin (1.3.6),
vlida para los sistemas inelsticos. Por lo tanto, para tales
sistemas, la ecuacin de movimiento es m + c u + fS(u) = p(t)
(1.5.3) 1.5.2 Equilibrio dinmico Despus de haber sido entrenados
para pensar en trminos del equilibrio de fuerzas, los inge- nieros
estructurales pueden encontrar el principio de equilibrio dinmico
de DAlembert muy atractivo. Este principio se basa en la nocin de
una fuerza inercial ficticia, una fuerza que es igual al producto
de la masa por su aceleracin y que acta en direccin opuesta a la
aceleracin. Lo anterior establece que, con las fuerzas de inercia
incluidas, un sistema est en equilibrio en cada instante de tiempo.
As, es posible dibujar un diagrama de cuerpo libre de una masa en
movimiento y pueden usarse los principios de la esttica para
desarrollar la ecuacin de movimiento. En la figura 1.5.1c se
presenta el diagrama de cuerpo libre en el momento t, donde la masa
se ha reemplazado por su fuerza de inercia, representada mediante
una lnea disconti- nua para distinguir esta fuerza ficticia de las
fuerzas reales. Al igualar a cero la sumatoria de todas las
fuerzas, se obtiene la ecuacin (1.5.1b), que se obtuvo con
anterioridad utilizando la Segunda ley del movimiento de Newton.
1.5.3 Componentes de rigidez, amortiguamiento y masa En esta seccin
la ecuacin que descibe el desplazamiento para el marco idealizado
de un solo nivel se formula con un punto de vista alternativo. Bajo
la accin de la fuerza externa p(t), las condiciones del sistema se
describen mediante el desplazamiento u(t), la velocidad u(t), y la
aceleracin (t), vea la figura 1.5.2a. Ahora visualice el sistema
como la combinacin de tres componentes puros: (1) el componente de
rigidez: el marco sin amortiguamiento o masa (figura 1.5.2b); (2)
el componente de amortiguamiento: el marco con su propiedad de
amortiguamiento, pero sin rigidez o masa (figura 1.5.2c) y (3) el
componente de masa: la masa del techo sin la rigidez o el
amortiguamiento del marco (figura 1.5.2d). Dos o ms ecuaciones en
la misma lnea con el mismo nmero de ecuacin se referirn como
ecuaciones a, b, c, etctera, de izquierda a derecha.
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- 50. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y
mtodos de solucin Captulo 116 La fuerza externa fS sobre el
componente de rigidez se relaciona con el desplazamien- to u por
medio de la ecuacin (1.3.1) si el sistema es elstico lineal, la
fuerza externa fD so- bre el componente de amortiguamiento se
relaciona con la velocidad u mediante la ecuacin (1.4.1), y la
fuerza externa fI sobre el componente de masa se relaciona con la
aceleracin por medio de fI = m. Por lo tanto, la fuerza externa
p(t) aplicada al sistema completo puede visualizarse como
distribuida entre los tres componentes de la estructura, y fS + fD
+ fI debe ser igual a la fuerza aplicada p(t) que conduce a la
ecuacin (1.5.1b). Aunque este punto de vista alternativo puede
parecer innecesario para el sistema sencillo de la figura 1.5.2a,
resulta til para los sistemas complejos (captulo 9). Ejemplo 1.2 Un
edificio industrial pequeo de un solo nivel, de 20 por 30 pies en
planta, se muestra en la figu- ra E1.2 con marcos a momento en la
direccin norte-sur y marcos contraventeados en la direccin
este-oeste. El peso de la estructura puede idealizarse como 30
lb/pie2 concentradas en el nivel del techo. Los contravientos
horizontales estn en la cuerda inferior de las armaduras del techo.
Todas las columnas tienen seccin de W8 24, los segundos momentos de
rea de la seccin transversal respecto a los ejes x y y son Ix =
82.8 pulg4 e Iy = 18.3 pulg4 , respectivamente; para el acero, E =
29,000 ksi. Los contravientos verticales estn hechos con varillas
de 1 pulgadas de dimetro. Formule la ecuacin que controla la
vibracin libre en (a) la direccin norte-sur y (b) la direccin
este-oeste. Figura 1.5.2 (a) Sistema; (b) componente de rigidez;
(c) componente de amortiguamien- to; (d) componente de masa. Figura
E1.2 (a) Planta; (b) elevaciones este y oeste; (c) elevaciones
norte y sur; (d) contra- viento. = p(t) Desplazamiento u Velocidad
u Aceleracin u (a) + fS Desplazamiento u (b) + fD Velocidad u (c)
fI Aceleracin u (d) I I I I Contravientos horizontales 20 30 (a) x
y N Armadura de techo 124 30 (b) (c) Contravientos verticales 20
(d) A, E L u fS p M01_Chopra.indd 16 23/07/13 11:16
- 51. Seccin 1.5 Ecuacin de movimiento: fuerza externa 17 Solucin
La masa concentrada en el techo es m = w g = 30 30 20 386 = 46.63
lb-s2/pulg = 0.04663 kip-s2/pulg Debido a los contravientos
horizontales, el techo puede tratarse como un diafragma infinta-
mente rgido. (a) Direccin norte-sur. Debido a la armadura de techo,
cada columna se comporta como una columna empotrada en sus dos
extremos y la rigidez lateral de los dos marcos a momento (figura
E1.2b) es kN-S = 4 12E Ix h3 = 4 12(29 103)(82.8) (12 12)3 = 38.58
kipspulg y la ecuacin del movimiento es m + (kN-S) u = 0 (a) (b)
Direccin este-oeste. Los marcos contraventeados, como los que se
muestran en la fi- gura E1.2c, suelen disearse como dos sistemas
superpuestos: un marco rgido comn que sopor- ta las cargas
verticales (muertas y vivas), adems de un sistema de contravientos
verticales, que se considera en general como una armadura conectada
mediante pasadores que resiste las fuerzas laterales. As, la
rigidez lateral de un marco contraventeado puede estimarse como la
suma de las rigideces laterales de los contravientos individuales.
La rigidez de un contraviento (figura E1.2d) es kcontraviento =
(AE/L) cos2 . Esto puede deducirse de la manera siguiente. Se
inicia con la relacin fuerza-deformacin axial para un contraviento:
p = AE L (b) Por esttica fS = pcos, y por cinemtica u = /cos. Al
sustituir p = fS/cos y = ucos en la ecuacin (b) se obtiene fS =
kcontravientou kcontraviento = AE L cos2 (c) Para el contraviento
de la figura E1.2c, cos = 20/ 122 + 202 = 0.8575, A = 0.785 pulg2 ,
L = 23.3 pies y kcontraviento = 0.785(29 103) 23.3 12 (0.8575)2 =
59.8 kips/pulg Aunque cada marco tiene dos contravientos, slo el
que est en tensin proporciona resistencia lateral; el que est en
compresin se pandear ante una fuerza axial pequea y contribuir poco
a la rigidez lateral. Teniendo en cuenta los dos marcos, kE-W = 2
59.8 = 119.6 kipspulg (d) y la ecuacin del movimiento es m+ (kE-W)
u = 0 Observe que el error al despreciar la rigidez de las columnas
es pequeo: kcol = 2 12EIy/h3 = 4.26 kips/pulg contra kcontraviento
= 59.8 kips/pulg. Ejemplo 1.3 En la figura E1.3 se muestra una
trabe cajn de un puente, hecha de concreto, con 375 pies de largo
sobre cuatro soportes (dos estribos y dos ejes intermedios ubicados
simtricamente). El M01_Chopra.indd 17 23/07/13 11:16
- 52. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y
mtodos de solucin Captulo 118 Figura E1.3 Estribo 1 Estribo 2 Eje 1
Eje 2 x y Longitudinal Transversal 125 125 125 Tablero (a) (b)
Tablero del puente Zapatas z x 25 (c) k k M01_Chopra.indd 18
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- 53. Seccin 1.6 Sistema masa-resorte-amortiguador 19 rea de la
seccin transversal del tablero del puente es de 123 pies2 . El peso
del puente se idealiza como concentrado en el nivel de la cubierta,
el peso volumtrico del concreto es de 150 lb/pie3 . El peso de las
columnas en los ejes puede despreciarse. Cada eje consiste en tres
columnas de 25 pies de altura con seccin transversal circular,
donde Iy = Iz = 13 pies4 (figura E1.3b). Formule la ecuacin de
movimiento que controla la vibracin libre en la direccin
longitudinal. El mdulo de elasticidad del concreto es E = 3000 ksi.
Solucin El peso por unidad de longitud concentrado en el nivel de
la cubierta es (123 1) 150 = 18.45 kips/pie. El peso total
concentrado en el nivel de la cubierta es w = 18.45 375 = 6919 kips
y la masa correspondiente es m = w g = 6919 32.2 = 214.9 kip-s2/pie
La rigidez longitudinal del puente se calcula suponiendo que la
cubierta del puente se despla- zar como cuerpo rgido como se
muestra en la figura E1.3c. Cada columna de un acodamiento se
comporta como una columna empotrada en sus dos extremos. La rigidez
longitudinal pro- porcionada por cada acodamiento es keje = 3 12E
Iz h3 = 3 12(3000 144)13 (25)3 = 12,940 kips/pie Dos ejes
proporcionan una rigidez total de k = 2 keje = 2 12,940 = 25,880
kips/pie La ecuacin que controla el desplazamiento longitudinal u
es m + ku = 0 1.6 SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR Se ha
presentado el sistema 1GDL idealizando una estructura de un nivel
(figura 1.5.1a), un enfoque que debera ser atractivo para los
estudiantes de ingeniera estructural. Sin em- bargo, el sistema
1GDL clsico es el sistema masa-resorte-amortiguador de la figura
1.6.1a. La dinmica de este sistema se desarrolla en los libros de
texto sobre vibracin mecnica y fsica elemental. Si se considera que
el resorte y el amortiguador no tienen masa, que la masa es rgida y
que todo movimiento ocurre en la direccin del eje x, se tiene un
sistema de 1GDL. En la figura 1.6.1b se muestran las fuerzas que
actan sobre la masa, las cuales incluyen la fuerza restauradora
elstica, fS = ku, ejercida por un resorte lineal de rigidez k, y la
fuerza res- tauradora de amortiguamiento, fD = cu, debida a un
amortiguador viscoso lineal. Entonces, a partir de la Segunda ley
del movimiento de Newton resulta la ecuacin (1.5.1b). De manera
alternativa, puede obtenerse la misma ecuacin mediante el uso del
principio de DAlembert y al escribir una ecuacin de equilibrio de
fuerzas en el diagrama de cuerpo libre, incluyen- do la fuerza de
inercia (figura 1.6.lc). Es evidente que la ecuacin de movimiento
obtenida anteriormente, para el marco idealizado de un nivel en la
figura 1.5.1a, tambin es vlida para el sistema
masa-resorte-amortiguador de la figura 1.6.1a. M01_Chopra.indd 19
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- 54. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y
mtodos de solucin Captulo 120 Ejemplo 1.4 Deduzca la ecuacin de
movimiento del peso w suspendido por un resorte en el extremo libre
de la viga de acero en voladizo que se muestra en la figura E1.4a.
Para el acero, E = 29,000 ksi. Desprecie las masas de la viga y el
resorte. Superficie sin friccin (a) u m p(t) k c ku cu p(t) mg mg
(b) ku cu p(t) mu mg mg (c) Figura 1.6.1 Sistema
masa-resorte-amortiguador. Figura E1.4 (a) Sistema; (b) posiciones
no deformada, deformada y de equilibrio esttico; (c) diagrama de
cuerpo libre; (d) fuerzas del resorte y la viga. L = 10 2 de
dimetro k = 20 lb/pulg w = mg p(t) (a) (b) u st u Posicin no
deformada Equilibrio esttico (c) fS p(t) w mu (d) fS fS Solucin En
la figura E1.4b se muestra la posicin deformada del extremo libre
de la viga, el resorte y la masa. El desplazamiento u de la masa se
mide desde su posicin inicial con la viga y el resorte en su
configuracin original no deformada. El equilibrio de fuerzas de la
figura E1.4c resulta en mu + fS = w + p(t) (a) M01_Chopra.indd 20
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- 55. Seccin 1.6 Sistema masa-resorte-amortiguador 21 donde fS =
keu (b) y falta por determinar la rigidez efectiva ke del sistema.
La ecuacin de movimiento es m + ke = w + p(t)u u (c) El
desplazamiento u puede expresarse como = st + uu (d) donde st es el
desplazamiento esttico debido al peso w y u se mide desde la
posicin de equi- librio esttico. Al sustituir la ecuacin (d) en la
ecuacin (a) y al observar (1) que = u porque st no vara con el
tiempo y (2) que kest = w,