Post on 04-Jan-2016
description
1
Capítulo 6
Diseño de Compensadores en el Dominio de la Frecuencia
2
Compensación en el Dominio de la FrecuenciaLa Compensación en el dominio de la frecuencia se puedever como:
• Añadir ganancia a bajas frecuencias mejora el desempeño en estado estable.
• Añadir ángulo de fase a la frecuencia deseada del margen de fasemejora la desempeño transitorio.
• La frecuencia del margen de fase aproxima al ancho de banda delazo cerrado . El añadir ángulo de fase se puede usar para
diseñar un ancho de banda deseado y/o margen de fase.
3
Estructura del Compensador Atraso & Adelanto
atraso) o adelanto Diseño( de ParámetroIntegral alProporcionón Compensaci a Aproxima 1
DerivativaalProporcionón Compensaci 0to)lfa_adelanAdelanto(a deón Compensaci 1
a_atraso)Atraso(alf deón Compensaci 1Katraso) o (Kadelantor compensado del ganancia
)1()1()(
ττταααα
αττ
⇒+⇒>>
+⇒=⇒<⇒>
=
++
=
c
c
Kdonde
ssKsD
4
Elementos Claves de la técnica de diseño
• Trasladar especificaciones al ancho de banda de lazocerrado y/o especificaciones del margen de fase.
• Control del ancho de banda seleccionando la frecuenciade ganancia de cruce a 0 dB, como la “frecuencia de cruce”.
• Control del margen de fase seleccionando el ángulo defase correcto en el cruce.
5
Aproximación Asintótica de la Respuesta en Frecuencia en Lazo Cerrado
C jR j H j
GH jGH j
CR
jH j
GH j
G j GH j
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( ) ( )
ωω ω
ωω
ωω
ω
ω ω
=+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
≅ >>
≅ <<
11
1
1
1 for
for
El ancho de banda de lazo cerrado es aproximadamentea la frecuencia de cruce de la ganancia de lazo abierto, |GH(jωgc)|=1 (0 dB) El cual es también la Frecuencia del margen de fase.
6
Factor de Amortiguamiento Vs. Margen de Fase
0 10 20 30 40 50 60 70 800
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Exact RelationApproximation:PM/100
Aproximación clave:
Margen de Fase ~
100*factor de amortiguamiento
Aproximación clave:
Margen de Fase ~
100*factor de amortiguamiento
22
1
412
2tan
Fase deMargen
ςς
ς
++−
=
−
7
PO % Vs.Margen de Fase
0 10 20 30 40 50 60 70 800
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Nota:
Márgenes de Fase desde 40 a60 grados
Corresponde a
PO % desde 30 a 10 %.
Nota:
Márgenes de Fase desde 40 a60 grados
Corresponde a
PO % desde 30 a 10 %.
8
Ancho de Banda Normalizado Vs.Factor de Amortiguamiento
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6Nota:
1) Sistema bien amortiguado:
Ancho de Banda ~ Frecuencia Natural
2) Sistema Sobreamortiguado:
Ancho de Banda ~ 0.5*Frecuencia Natural
Nota:
1) Sistema bien amortiguado:
Ancho de Banda ~ Frecuencia Natural
2) Sistema Sobreamortiguado:
Ancho de Banda ~ 0.5*Frecuencia Natural
9
Lazo Cerrado: Transitorio y Respuesta en Frecuencia
T s C sR s s s
n
n n
( ) ( )( )
= =+ +
ωςω ω
2
2 22
( )M T j n
n n
= =− +
( )ω ω
ω ω ς ω ω
2
2 2 2 2 2 24
10
Pico de Resonancia y Ancho de Banda
M p =−
1
2 1 2ς ξ
ω ω ςp n= −1 2 2
( )ω ω ς ς ςBW n= − + − +1 2 4 4 22 4 2
11
Lazo Cerrado - Pico de Resonancia Vs. P.O.%
12
Ancho de Banda Normalizado Vs. Factor de Amortiguamiento
13
Adelanto de Fase
0
90
0
-90
∠ G(j )ω
ωm
G (j ) c ω dB
1τ
1ατ
∠ +(1 j τ)ω
20 log α
1τ
1ατ
ω
ωατj+∠
11
14
Máximo Incremento de Fase para Compensación de Adelanto
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90Máximo Incremento de fase vs. alfa
Máx
imo
adel
anto
de
fase
(gra
dos)
alfa
Código en MATLAB:
alfa=0:0.01:1;» phi_max=(180/pi)*asin((1-alfa)./(1+alfa));» plot(alfa,phi_max)» grid,title('MáximoIncremento de Fase vs alfa')» ylabel(‘Máximo Adelanto de Fase (grados)')» xlabel(‘alfa')
Código en MATLAB:
alfa=0:0.01:1;» phi_max=(180/pi)*asin((1-alfa)./(1+alfa));» plot(alfa,phi_max)» grid,title('MáximoIncremento de Fase vs alfa')» ylabel(‘Máximo Adelanto de Fase (grados)')» xlabel(‘alfa')
15
Adelanto de Fase
16
…
Planta
17
Pasos de Diseño1. Determine la ganancia de lazo abierto para satisfacer
requerimientos de error.2. Usando esta ganancia evalúe el margen de fase del sistema
sin compensar.3. Determine el adelanto de fase necesario (φL) que debe ser
añadido al sistema.
4. Dondeφd: Margen de fase deseadoφa: Margen de fase actual
εφφφ +−= adL
ooo 14/60/40,12/40/20,5/20 =⇒=⇒=⇒ εεε decadadBdecadadBdecadadB
ε = reducción desconocida en φ dependiente de la pendiente de la curvade ganancia que cruza 0 dB.
18
…4. Determine α a partir de:
Por lo tanto determine la frecuencia donde la curva de magnitud del sistema sin compensar es igual a
Esta frecuencia es la nueva frecuencia de cruce por 0 dB y ωmaxsimultáneamente, debido a que la red de compensación proporciona una ganancia de
dB⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−α1log10
maxen log101log10 ωα
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
zp
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
+−=
+−= −
αφ
φφα
ααφ 1tan290 o
sin1sin1 i.e.
11sin 1
LL
LL
19
…
5. Utilice:
para evaluar τ, por lo tanto determine las frecuencias de codo de la red de adelanto a partir de:
6. Para mantener las especificaciones de error, inserte un amplificador con ganancia:
( )pzzp 1010max10max loglog21log ó 1
−=== ωατ
ω
α1
ατω
τω 11 == polocero L
20
Ejemplo 1
Especificaciones:Tiempo de Establecimiento (±2%), Ts≤ 4sPorcentanje de Sobreimpulos, PO% ≤ 20%
Y(s)
21
Ejemplo 1 – Adelanto de Fase
-20
-10
0
10
20
30
Mag
nitu
de (d
B)
100
101
-181
-180.5
-180
-179.5
-179
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
22
Ejemplo 1 ....
23
Ejemplo 1 ....
24
Ejemplo 1 ....
25
Ejemplo 2
Especificaciones:Error en estado estable para una rampa < 5%Margen de fase del sistema de al menos 45º
Un sistema de control realimentado tiene la siguiente ganancia de lazo abierto:
( ) ( )2+=
ssKsGol
26
Ejemplo 2 – Adelanto de Fase
-50-40-30-20-10
01020304050
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 18 deg (at 6.17 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
27
Ejemplo 2 ....
28
Ejemplo 2 ....
29
Ejemplo 2 ....
30
Ejemplo 2 ....
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
31
Atraso de Fase
90
0
-90ωm
-20 dB/dec(pendiente)
1
ατ
1
τ
∠ +(1 j τ)ω
-20 log α
1
ατ
1
τ
ω
∠+
1
1 j ατω
φm
∠ G (j )c ω
G (j ) c ω dB
32
Atraso de Fase
33
Pasos de Diseño
1. Determine la ganancia de lazo abierto para satisfacer requerimientos de error.
2. Usando esta ganancia evalúe el margen de ganancia y margen de fase del sistema sin compensar.
3. Si las especificaciones del margen de ganancia y fase no se satisfacen, determine la frecuencia donde el ángulo de fase de la ganancia de lazo abierto es -180º + el margen de fase requerido φd, donde φd es el margen de fase especificado + 5º ó 12º, seleccione esto como la nueva frecuencia ajustada de la ganancia de cruce ωcn.
34
…4. Seleccione esta frecuencia de codo como:
(el cero de la red de atraso esta localizado ~ una década por debajo de la nueva frecuencia ajustada de la ganancia de cruce.)
5. Determine la atenuación necesaria para llevar la magnitud a 0 dB a la nueva frecuencia de cruce. Observe que esta atenuación es -20loga, por lo tanto la otra frecuencia de codo se determina a partir de:
(i.e. el polo de la red de atraso)
110 τωω == cn
cero
ατω 1
=polo
35
Ejemplo 3
Especificaciones:Error en estado estable para una rampa < 5%Margen de fase del sistema de al menos 45º
Se realizará el ejemplo 2 con un compensador de atraso de fase.Un sistema de control realimentado tiene la siguiente ganancia de lazo abierto:
( ) ( )2+=
ssKsGol
36
Ejemplo 3 – Atraso de Fase
-50-40-30-20-10
01020304050
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 18 deg (at 6.17 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
37
Ejemplo 3 ....
38
Ejemplo 3 ....
39
Ejemplo 3 ....
40
Ejemplo 3 ....
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
0
1
2
3
4
5
41
Ejemplo 4
Especificaciones:Constante de velocidad del sistema (Kv) = 20Factor de amortiguamiento ζ = 0.707
( )( )210+
=ss
KsGol
Un sistema de control realimentado tiene la siguiente ganancia de lazo abierto:
42
Ejemplo 4 – Atraso de Fase
-150
-100
-50
0
50
100M
agni
tude
(dB)
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = 1.2e-014 dB (at 10 rad/sec) , Pm = 0 deg (at 10 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
43
Ejemplo 4 ....
44
Ejemplo 4 ....
45
Ejemplo 4 ....
46
Ejemplo 4 ....
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
0
1
2
3
4
5