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DISEÑO ÓPTIMO DE ESTRUCTURASRETICULARES EN ELASTICIDAD LINEAL VÍA
TEORÍA DE LA DUALIDAD.
Estudio teórico y numérico.Miguel Angel Carrasco Briones
Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas
Departamento de Ingenierıa Matematica
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 1/59
� (Parte I) Optimización de estructuras mecánicas� Introducción.� Modelo de carga aleatoria.� Experiencias numéricas.� (Parte II) Algoritmo de tipo proximal utilizandopenalización exponencial.� Resultados clásicos.� Descripción del algoritmo.� Experiencias numéricas.
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 2/59
Optimización de estructuras mecánicas
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 3/59
Introducción
� Definición.� Problema: encontrar la mejor estructura quesoporte un conjunto de cargas.� Restricciones: equilibrio mecánico, volumen total yotros . . .� Criterio: maximizar la rigidez.
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 4/59
Formulación matemática
� ������� �� � ��(
�
)
��� � � ����� � � � � �
�� � �� � !#" $ � � � $ !&% �
Variables de diseño� �: volumen de las barras “aspecto topológico”.� � : posición de los nodos “aspecto geométrico”.
La cantidad"' � � se conoce como “complacencia”.
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 5/59
Formulación matemática
� ( número de barras.� )
número de nodos.� * grados de libertad.
� � � + ,
(distribución de cargas).� � � + ,
(desplazamientos nodales).
� �� � - � � +� . � / 0� �132 " � 1 � 4
� � ����� � � � + , 5 ,� matriz de rigidez.
El valor"' � � es independiente de � tal que
� � � � � � ��
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 6/59
Matriz de rigidez
� � �� � � � �132 " � 1 � 1 �� �donde � 1 ��� � � 6 17 1 ��� � ' 8 1 ��� � 8 1 ��� � � + , 5 ,
Notar que
� 1 es diádica (� 1 � 9 1 9 1 ).� 6 1: módulo de Young de la barra
:
-ésima.� 7 1 ��� �
: largo de la barra
:
-ésima.� 8 1 ��� �: vector de cosenos directores.
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 7/59
Estructura base
� Inconvenientes de la variable � ;
� Altamente no lineal.� Difícil de resolver numéricamente.
Solución:
Eliminamos como variable de diseño.
Utilizamos una estructura base.
f
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 8/59
Estructura base
� Inconvenientes de la variable � ;
� Altamente no lineal.� Difícil de resolver numéricamente.� Solución:� Eliminamos � como variable de diseño.� Utilizamos una estructura base.
f
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 8/59
Estructura base
� Inconvenientes de la variable � ;
� Altamente no lineal.� Difícil de resolver numéricamente.� Solución:� Eliminamos � como variable de diseño.� Utilizamos una estructura base.
f
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 8/59
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
f
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
f
Problema: aumenta la dimensión,
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
f
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
f
Problema: aumenta la dimensión,
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 9/59
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
f
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
f
Problema: aumenta la dimensión, �� < � ) ' � �
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 9/59
Formulación minimax
(
=
) � ��� > ?@ � AB"C 1C � - � � � 1 � D � � 4 �
El dual de
� = �
es el problema de diseño óptimo
� � �
.� Disminución de la dimensión.� La demostración de la equivalencia entre
� = �
y
� � �
no hace uso de la estructura particular de lasmatrices
� 1 �
� Pérdida de la diferenciabilidad de la funciónobjetivo.
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 10/59
Idea de demostración
(
=
) � ��� > ? @ � AB"C 1C � -E 1 �� � 4 �donde
EGF �� � � HI � J �F � D � J� �
� AB� > KML�
132 " � 1E 1 �� � � � AB"C 1C , -E 1 �� � 4
definiendo
N �� � � � � OF P H �F EF �� �
�Q � R � ��� > ? @ � ABTS> KUL N �� � � � �V � R � ABTS> KUL � ��� > ? @ N �� � � � �
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 11/59
Reducción a un programa cuadrático
(
=
) � ��� > ? @ � A B"C 1C , -� � � 1 � D � �� 4 �
Utilizando
� 1 � 9 1 9 1 (diádica),� = �
es equivalente aresolver
�W Q � � � � > ?@ � X > ?� Y ' D � Z�
��� �� 9 1 � [ Y : � � � � �� (
D 9 1 � [ Y : � � � � �� (�
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 12/59
Ejemplo
Se constata la inestabilidad física de la solución.
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 13/59
Ejemplo
Se constata la inestabilidad física de la solución.
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 13/59
Ejemplo
Se constata la inestabilidad física de la solución.
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 13/59
Modelo de carga aleatoria
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 14/59
Modelo de carga aleatoria
� ��� > ? @ � AB"C 1C � - � � � 1 � D \� �� 4Problema Primal.(
Q
)
� ���� > ?L� \� � Problema de diseño, Dual(
V
)
��� �� � � � � � � \�
�� � � �
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 15/59
Para demostrar
�Q � R �V �
se puede utilizar la funciónde perturbación
] �� � � � � � AB"C 1C � - � � � 1� D \� � ^ � 1 4 �
De esta forma el problema primal
(
Q
) � ��� > ? @ ] �� � 0 ��
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 16/59
La conjugada de Fenchel esta definida por
] _ �� _� � � � `abc � �d > ? @ 5 ?L - � _ � ^ � �� D ] �� � � � 4
Se verifica que
] _ �� _� � � �ef
fhg"' � \� ^ � _ � � si existe � � + ,
t.q.� � � � � � \� ^ � _� � � � �^ji si no
el problema de diseño, se puede escribir como
(
V
) � ���� > ?L ] _ � 0� � � �
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 17/59
� kml � + ,� n � + , �� o �
un espacio de probabilidad.El problema de diseño con respecto a
o
�V � p � ���� > ?L q � ] _ �sr� � � � ; complacencia media.
Para cada �� � � � definimos! � � t � � � � � �
Se tiene que
q � ] _ � r� � � � � ? @ ] _ �� _� � �u o �� _ �
� vxw ] _ �� _� � �u o �� _ � ^ i o - ! y� 4
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 18/59
Ejemplo
Distribucion discreta
z|{b � o " � � - � "� � � �� �~} 4 �
�V � p�� � � �� > ?L �}
132 " � 1 � 1 � 1
��� �� � � � � � 1 � � 1� : � � � � �� �
�� �� �
� 1 � o � \� ^ � _ � � 1 � para
: � � � � �� � �
Este modelo se conoce como modelo multicarga.
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 19/59
Caso continuo
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 20/59
Caso continuo general
Consideremos � � � +�
v.a. continua de media 0 y matrizde varianza covarianza
� � � � J� sea� � +� � � �
Teorema 0.1. Consideremos
!
el espacio vectorial definido por laimagen de
�� Si se cumple que � _ � ! o-c.s. y � es cualquier
seleccion medible tal que
�� � � _ o-c.s. entonces
v �� _ � � u o � ��� A� A � � �� ��
donde
�
es cualquier matriz que satisfaga
�� � ��
Observacion: el valor
�� A� A � � � �
es independiente de�
tal que�� � ��
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 21/59
Idea...¿Problemas?
� � v.a. de media Y y matriz de var. cov.�
entonces
q �� J �� � � ��� A� A � � � � ^ Y J � Y�
� �
v.a. de media
0
y matriz de var. cov.
� � � � J �
� o � \� ^ � � � ! � � entonces
\� � !
y � � � ! o
-c.s.� o
-c.s. el valor
�� � � J� es independiente de la selecciónmedible � que satisfaga
�� � � � �
� o �� � � ! � � ssi las columnas de
� � !�
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 22/59
En Nuestro caso
q � ] _ � r� � � � � " ' \� \� ^ "' ��� A� A � � �� � �
De esta forma, el problema de diseño se formulacomo
�V � p � ���� > ?L
� \� \��� � �asociada a la media
^ � ��� A� A � � � �� � � �
asociada a la dispersión��� �� � � � � \� � \�� � � � � � �
�� � � �
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 23/59
Si denotamos por � 1� : � � � � �� �� las respectivascolumnas de
��
Definiendo �� � � \� � � "� � � �� � � � � + , c � � " d�� � 1 � � � A � � � 1� � 1� � � �� � 1 � � + , c � � " d 5 , c � � " d�
� � � � � � � 132 " � 1 � � 1�
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 24/59
El problema puede ser formulado de la maneraclásica como
�V � p � ���� > ?L � �� Z�
��� �� � � � � � � � ��
�� � �
su dual es
�Q � p � ��� > ? @ ��� �� � � AB"C 1C � - � � � � 1 � D �� �� 4 �
Observacion: Se pierde la estructura diádica.Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 25/59
Un esquema conservador
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 26/59
Un esquema conservador
Idea: introducir la varianza en la función objetivo.Consideremos
� � \� ^ � �
donde � � l � 0� � �y
� � � � J �
Estudiaremos � q � ] _ � r� � � � ^ �� A � � ] _ � r� � � � �
�V � v � ���� > ?L �� \� \� ^ ��� A� A � � � �
^ �� ��� A� A � � � � � ' � ^ � \� � � \�
��� �� � � � � \� � \�� � � � � � �
� � � � �
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 27/59
Experiencias numéricas
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 28/59
0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
0
0.5
1
1.5
1 2 3
4 5 6
0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
0
0.5
1
1.5
(a)
0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
0
0.5
1
1.5
(b)
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 29/59
Problema compl.media
compl.máxima
compl.mínima
FormulaciónTradicional
¡ ^ i ^ i
Formulación 0.025 0.053 0.013Aleatoria (a)
Formulación 0.023 0.051 0.012Aleatoria (b)
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 30/59
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
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−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12
0
5
10
15
−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12
0
5
10
15
−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12
0
5
10
15
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0
0.5
10 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
YX
Z
f
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Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 36/59
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6 −0.2
0
0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Y
X
Z
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Algoritmo de tipo proximal utilizandopenalización exponencial
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 39/59
Introducción
Problema de minimización convexo
(
Q
) � ��� > ?@ - �£¢ �� � . � 1 �� � [ 0� : � � � � �� ( 4 �
Problema penalizado
(
Q �) � � � > ?@ � � �� � � �£¢ �� � ^ � � 132 " ¤ Bb � � 1 �� �¥ � � �
Iteración Prox diagonal
� } � " D � }Y } � D ¦ � �§ �� } � " � ^j¨ } �(Prox)
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 40/59
(Prox) R ¦ � �§ �� } � " � ^ � } � " D � }Y } � ¨ }
Si
©¨ } © pequeño ª
� } � " « A � � � � � - � �§ �� � ^ � Y } © � D � } © ' 4
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 41/59
Resultados de convergencia
� Hipótesis� Convexidad,
� 1 es convexa para: � 0� � � �� (�� Compacidad,
¬ �Q �
compacto.� Regularidad,
� 1 � �� Teoremas� (Primal) suponiendo � } ® 0� Y } � i y©¨ } © Y } ¯ i entonces � } ® � ° � ¬ �Q �
� (Dual) caso lineal para
± } � ¤ Bb � � 1 �� } �¥ � } � secumple
± } ® ± ° � ¬ �V �
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 42/59
Algoritmo genérico
� Penalizar�Q � � ��� > ? @ - �£¢ �� � . � 1 �� � [ 0� : � � � � �� ( 4
� resolver iterativamente Prox:
(Prox)
� } � " D � }Y } � D ¦ � �§ �� } � " �
� finalizar cuando el par
�� } � sea una buenaaproximación de la solución de (
Q
).
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 43/59
identificación
Resolver (Prox) exacto equivale a
¦ �£¢ �� � ^ 1 > ²± 1 ¦ � 1 �� � ^ � D � }Y } � 0
± 1 D ¤ Bb � � 1 �� �¥ � } � � 0�
� � 1 �� � ¯ 0
restricción “inactiva”.� � 1 �� � « 0 restricción “activa”.
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 44/59
Consideramos la función de identificación
E �� � ± � �³´¶µ
¦ �~¢ �� � ^ 1 > ² ± 1 ¦ � 1 �� � ^ c ¸· § dX §� } ¹�� � ± 1 � D � 1 �� �si
: � º }¢± 1 D ¤ Bb � � 1 �� �¥ � } � si
: ¥� º }¢»
¼¶½
º }¢ ; estimación del conjunto activo en la iteración
� �
� Si
± } · "1 ¾ � � � } · " � 1 La restricción es activa,
: � º }¢
� Si
± } · "1 ¯ � � � } · " � 1 La restricción es inactiva,
: ¥� º }¢
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 45/59
Prox se satisface ssi encontramos un par�� � ± �
tal queE �� � ± � � 0�
Idea: linealizar
E
en torno a
�� }� ± } � �
E � �� }� ± } � ^ u } � « E �� }� ± } � ^ V E �� }� ± } �u } �
� } � " � � } ^ u } ± } � " � ± } ^ u } S
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 46/59
Experiencias numéricas
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0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
0
0.5
1
1.5
1 2 3
4 5 6
0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
0
0.5
1
1.5
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 48/59
� } Y } N. iter T. C.P.U.(s.)¥ � � �
200 0.430¥ � � �
200 0.410¥ � �
2791 5.780¥ � �2791 5.760¥ � ' �54 0.140¥ � ' �58 0.10
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0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6−0.2
0
0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
f
Iter. T. C.P.U.(hrs.)
© ±À¿ D ±� ©
Residuo
ÁÂÃ Ä � ÅÆ 0 Â� Å k 0 · Ç � à k 0 · " "
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 50/59
0 1 2 3 4 5 6−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
f
0 1 2 3 4 5 6−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
f
Iter. T. C.P.U.(hrs.)
© ±À¿ D ±� ©Residuo
à Áà 0 0� 0à  0� Å Ä� Á k 0 · " "
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 51/59
Conclusiones
È Parte IÈ Enfoque tradicional No es robusto.È Modelo aleatorio corrige este problema.È Equivalente a multicarga pero con otrainterpretación.È Es necesario conocer la influencia de cadaperturbación.È Parte IIÈ El número de iteraciones depende fuertementedel parámetro de penalización.È La tecnica de identificación no se comportabien para problemas de gran tamaño.
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Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 53/59
Estrategia alternativa
(Prox)
� } � " D � }Y } � D ¦ � �§ �� } � " �
linealizar
¦ � �§ �� �
Y } É ^ Ê � �§ �� } � " D � } � � D ¦ � �§
Los multiplicadores se obtiene por evaluación directa.
Diseno optimo de estructuras reticulares. Estudio teorico y numerico– p. 54/59
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
X
Y
f
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
X
Y
f
Iter T. C.P.U.(hrs.)
© ±� D ± ¿ ©
Á Æ Ë 0� 0Ã � Æ k 0 · Ì
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Peso propio
−1−0.5
00.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Peso propio
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Se cumple el siguiente resultado:Teorema 0.2. Sea
�� _� Y _ � solucion del problema
�W Q ��
entonces existen Í �� Í· � +� � tales que definiendo
± _ � Y _ � Í � ^ Í· �
se cumple que el par
�� _� ± _ �es solucion de
� � �� (el problema dediseno).
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�W Q �
es equivalente a
� NQ �
� NQ � � ��� > ? @ D � �
��� �� 9 1 � [ : � � � � �� (
D 9 1 � [ : � � � � �� (
Se cumple el siguiente resultadoTeorema 0.3. Sea
\� solucion del problema
� NQ �
con vectoresmultiplicadores Π�� η � +� �� entonces
� _ ; � Y _ \�± _1 ; � Y _ � Î �1 ^ η 1 � : � � � � �� (
con resuelven
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