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Divergencia Matemática III
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Problema de divergencia
Calcule el flujo del campo a través de ,
con su normal apuntando hacia arriba.
Sol.
Del grafico:
Nos interesa calcular el flujo: ∬
Usando el teorema de la divergencia:
∬
∭
Entonces:
∬
∭
Lo cual significa que el flujo saliente por la superficie es nulo y por lo tanto:
∬
∬
∬
∬
∬
……….(1)
calculamos ∬
de la siguiente manera:
….vector normal unitario saliente a la superficie
∬
∬
∬
∫ ∫
√ √
√ √
√
√
En (1): ∬
∬
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∬
PROBLEMAS
1.Usando el teorema de Pappus halle el volumen del solido al rotar la región y=3x, y=
alrededor de y=4x
Sol.
Por Teorema de Pappus: ……(1)
Donde:
es la distancia del centroide al eje de rotación.
es el area de la región a rotar.
Determinaremos las coordenadas del centroide:
∬
∬ ,
∬
∬ …………..(*)
∬ ∫ ∫
∬ ∫ ∫
∬ ∫ ∫
Reemplazando en (*):
,
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Por lo tanto, el centroide es CG
Luego “R” será la distancia de este punto a la recta y=4x. Entonces:
R=
√
(
)
√
√
………….(2)
Además tenemos: ∬
………….(3)
(2)y (3) en (1):
( √
)(
)
√
√
2. Usando notación indicial, halle la función escalar si:
(
)
Sugerencia: demostrar previamente la identidad: ( )
Sol.
Demostraremos la identidad:
Usando notación indicial:
⏟
⏟
//esta identidad la usaremos para los problemas posteriores//
Con este resultado, evaluamos en:
(
)
Entonces:
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Usando notación indicial, tenemos:
Integrando:
∫ (
) ∫
Como: , entonces:
∫ (
)
∫
Integrando nuevamente:
∫
∫
∫
3.
a. demostrar: ∭ ( )
∬
Sol.
De: ∬
…….(1)
Sea:
multiplicamos escalarmente por el gradiente
Entonces:
…(2)
reemplazamos (1)y(2) en el teorema de la divergencia ∬
∭
, entonces:
∬
∭
∬
∭
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b. Demostrar: (
) ,
sol.
De la identidad:
Identificamos que n=-2, entonces:
(
)
(
)
c. Sea: ,
‖ ‖
‖ ‖
c.a. Halle
sol.
Como:
(
‖ ‖
‖ ‖ ) ‖ ‖ ‖ ‖ …..(1)
Por propiedad:
Entonces:
‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖ ‖ ‖
En (1):
b. evalue ∬
sol.
Por el teorema de la divergencia : ∬
∭
Y del resultado anterior , entonces:
∬
∭
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∬
4. Sea una curva simple cerrada que no pasa por (1,0), (2,0) calcule:
∮
Sol.
Tenemos:
Las derivadas parciales no son continuas en (1,0), (2,0)
Entonces analizamos dos posibilidades:
si los puntos (1,0), (2,0) no se encuentran dentro de la región encerrada por , entonces
resolvemos el problema usando el teorema de green:
∮
∬{
}
∬
, donde es el area encerrada por la curva
∮
∬
Ahora si (1,0), (2,0) se encuentran dentro de la región encerrada por , entonces no podemos
aplicar el Teorema de Green, por lo que resolveremos el problema por integral de línea.
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∮
∮
, donde: (
)
∮
∮
5.
5.1 Halle el valor numérico de E:
(
)
Sol.
Calcularemos separadamente cada termino:
i. usando notación indicial para (
), entonces:
⏟
(
)
⏟ ⏟
Dado que:
es antisimetrico en i y j
es simetrico en i y j
Entonces: (
)
………..(1)
ii. usamos notación indicial para , entonces:
como: , reemplazamos:
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( )
Aplicando la contracción:
{
Entonces:
Nuevamente por la contracción , tenemos:
…………………(2)
iii. usando la propiedad:
entonces con n=2 tenemos que:
……………………(3)
Finalmente:
(1), (2) y (3) en “E”
(
)
5.2 si ver que: ∮
∬
Sol.
como: ∮
∮
Sea:
Aplicamos el rotacional a F, entonces:
||
|| (
) (
) (
)
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(
(
)) (
(
))
(
(
))
Ordenando y agrupando términos:
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
Observamos que los últimos tres términos conforman el rotacional de A, y como
Entonces la expresión anterior se reduce a:
(
) (
) (
)
Le multiplicamos el vector normal unitario , entonces:
Ordenando y agrupando términos:
(
) (
) (
)
[ (
)]
….(1)
Luego de (1):
Por el teorema de Stokes: ∮
∬
∬
∮
∬
6. Demostrar que: [ ( )]
Sol.
Por la identidad:
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Entonces:
Luego:
[ ] [ ]
(
)
[ ( )] .
7. Sea la normal exterior unitaria del cascarón elíptico
y sea
32 2 4 2( , , ( ) ( ))
xyzF y x x y sen e
Calcule el valor de
.s
F ndS
SOLUCION:
Utilizando el teorema de Stokes: . .s
F ndS F dr
Parametrizando 0 2t
2 2 2: 4 9 36 36,0S x y z z
3cos
2sin
0
x t
y t
z
3sin
2cos
0
dx tdt
dy tdt
dz dt
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Reemplazando
8.-Sea n la normal ala superficie, del cascaron
parabólico
y sea :
Encuentre el valor de
SOLUCION
Utilizando el teorema de stokes: . .s
F ndS F dr
Parametrizando 0 2t
2
2
0
2sin ( 3sin ) 9cos (2cos ) 6t t dt t t dt
2 2: 4 ,0S x y z y y
11 1( , tan , )
2 4F z y x
x z
.s
F ndS
cos
0
2sin
x t
y
z t
sin
0
2cos
dx tdt
dy dt
dz tdt
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Evaluando en la integral:
16.-Use la integral de superficie en el teorema de Stokes para calcular el flujo
del rotacional del campo F a través de la superficie S en la dirección de la
normal unitaria n hacia afuera
SOLUCION
Tenemos que hallar:
Hallando la normal a la superficie:
(cos ,sin , 1)
( sin , cos ,0)
dR
dr
dRr r
d
2
0
1 1( 2sin )( sin ) (cos )(2cos ) 4
2 cos 4 2sint t dt t t dt
t t
( , , )F x y y z z x
( , ) ( cos , sin ,5 )R r r r r
.s
F ndS
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dR dR dR dRn
dr d dr d
dR dRdS dA
dr d
En donde:
12.-Sea F un campo vectorial diferenciable definido sobre una región que
contiene una superficie S suave cerrada orientada y sus interior .Sea n el
Campo vectorial normal unitario sobre S .Suponga que S une dos superficies 1S y
2S a lo largo de una curva C cerrada simple ¿ puede decirse algo acerca de
.s
F ndS ?
.R
dR dRF dA
dr d
( cos sin , sin 5,5 cos )F r r r r r r
( cos , sin , )dR dR
r r rdr d
5 2
0 0
. 125dR dR
F rd drdr d
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SOLUCION
1 2
. . .s s s
F ndS F ndS F ndS