Post on 07-Apr-2018
8/4/2019 dominio y contradomino
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2.1.1. Definicin de Funcin, Dominio y Contradominio.
Relacin
Ejemplos:
1.- A cada persona se le asocia:
Una edad,
Una estatura,
Un peso, etc.
2.- A cada automvil se le asocia:
Un modelo
Un nmero de motor,
Un nmero de placas (matrcula), etc.
3.- En un almacn a cada artculo se le asocia:
Un precio,
Un nmero de inventario,
Un volumen, etc.
4.- A cada pas se le asocia:
Un rgimen socioeconmico,
Una superficie,
Una altura sobre el nivel del mar,
Un clima, etc.
Una relacin es una regla de correspondencia que se establece
entre los elementos de un primer conjunto que se llama dominio con
los elementos de un segundo conjunto que se llama contradominio, de
tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde uno o ms
elementos en el contradominio.
Una relacin establece la correspondencia o asociacin entre loselementos de dos con untos de ob etos.
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Funcin
En consecuencia toda funcin es una relacin, pero algunas relaciones no son
funciones.
Criterio de la Vertical
Al definir una funcin como un conjunto de pares ordenados, se ha establecido que
dos pares diferentes no tienen el mismo primer componente. Esto significa que alrepresentar geomtricamente la grfica de una funcin a cada punto le corresponde
diferente abscisa, de manera que al trazar rectas paralelas al eje de lasy por cualquier valor
del dominio, cada una corta a la representacin geomtrica en un punto.
Si slo se da la representacin geomtrica de una grfica para determinar si
representa o no a una funcin, por su dominio se trazan rectas paralelas al eje de las y, y si
una de ellas la corta en ms de un punto entonces no corresponde a una funcin, pues existe
al menos un elemento del dominio que tiene ms de una imagen.
Teorema: Una ecuacin define a una funcin si cada recta vertical en elsistema de coordenadas cartesianas pasa a lo ms por un punto de la grficade la ecuacin. Si una recta vertical pasa por dos o ms puntos de la grficade una ecuacin, entonces la ecuacin no define una funcin.
Ejemplo 1.- Determinar si la grfica representa una funcin o unarelacin.
-6
-4
-2
0
2
4
6
-6 -4 -2 0 2
Una funcin es una relacin en la que a cada elemento del dominio le
corresponde uno y slo un elemento del Contradominio.
Las rectas verticales intersecan esta grfica
en exactamente un punto. Por lo tanto, esta
grfica representa la grfica de una funcin.
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Ejemplo 2.- Determinar si la grfica representa una funcin o unarelacin.
y
x
Ejemplo 3.- Determinar si la grfica representa una funcin o unarelacin.
y
x
Ejemplo 4.- Determinar si la grfica representa una funcin o unarelacin.
y
3
x
-5 5
Representa a una funcin
porque cualquier paralela al eje
y corta a la curva en un solo
punto. Su dominio es el
conjunto de los nmeros reales
y su imagen son los reales no
negativos, es decir,
Df= R, Cf = R+ U {0}.
El dominio de la
funcin es el conjunto de
todos los valores que puede
tomar la x, y el conjunto
imagen est formado por
todos los valores que puede
tomarybajo la funcin.
No representa una funcin
porque al trazar paralelas al eje de las
y se observa que cada una de ellas
corta a la curva en dos puntos, es decir,
cada elemento del dominio tiene dos
imgenes, excepto el cero.
Representa unafuncin porque los puntos
(- 5, 0) y (0, -3) no
pertenecen a la grfica.
El dominio e imagen
de la funcin son,respectivamente, los
conjuntos:
Df = {x R|-5 < x 5}
Cf = {y R|-3 < x 3}
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-3
A manera de conclusin diremos lo siguiente:
Una funcin involucra siempre la relacin entre dos conjuntos.
Los conjuntos relacionados no necesariamente son numricos.
No cualquier relacin entre dos conjuntos es una funcin.
A veces existen ecuaciones que nos permiten expresar la relacin entre dos
conjuntos numricos. Sin embargo, no siempre que existan stas, la relacin ser una
funcin. Adems, la ecuacin en s misma no es la funcin, slo la regla de correspondencia
que permite explicitar la relacin de dos conjuntos numricos.
El concepto de funcin, de acuerdo con su definicin, puede descomponerse en
diferentes constituyentes. stos son:
A nivel conjunto Dominio y Contradominio
A nivel elemento Argumento e imagen
Dominio
Se llamaDominio de una funcin al conjunto de valores que puede tomar la
variable independiente. El dominio de una funcin del tipoy = f(x) suele representarsecon alguna de estas expresiones: Df, Dom (f).
Definicin:
En una funcin f: A B, el dominio corresponde al primer conjunto. Para el caso
que nos ocupa, el dominio es el conjunto A.
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Contradominio
Se llama Contradominio, Rango o Imagen de una funcin al conjunto devalores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores quepuede alcanzar la funcin. El Contradominio de una funcin del tipo y = f(x) suelerepresentarse con alguna de estas expresiones: Cf, Rango (f), Im (f).
Definicin:
Imagen de una Funcin
La asociacin a travs de una funcin f, de los conjuntos A y B, de A hacia B (o
simplemente f: A B) conlleva a la asociacin individualizada de cada uno de los
elementos del conjunto A (primer conjunto o dominio) con un nico elemento del conjunto
B (segundo conjunto o Contradominio).
Definicin:
Obsrvese la Figura.
f
A B
-2
-1
0
1
-8
-5
-2
1
El Contradominio, tambin llamado rango de la funcin, es el nombre que se le
da al segundo conjunto. Esto es, aquel en donde se encuentran los valores relacionados
con los elementos del primer conjunto o dominio. Si la funcin es f: A B, el
Contradominio es B.
Cada elemento del primer conjunto recibe el nombre de argumento de la
funcin; y a su correspondiente asociado, elemento del segundo conjunto, se le
denomina imagen del argumento bajo la funcin dada.
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de un nmero negativo, y en consecuencia, no se obtendr un nmero real y. Por tanto, sedebe restringir x de manera que .
De este modo, el dominio de f es el intervalo , y su Contradominio es .
Ejemplo para discusin: Halla el dominio para cada una de las siguientes funciones:
f xx
g x x x h x x p x x( ) , ( ) , ( ) , ( )=
= + + = = 15
33 16 25 3
2 2
Ejercicio de prctica: Halla el dominio para cada una de las siguientes funciones:
f x x x g xx
h x x( ) , ( ) , ( )= + =+
= 2
3 11
52
[ ),2 [ )+,0