ECONOMETRÍA APLICADA A

LA TOMA DE DECISIONES

EMPRESARIALES EMPRESARIALES

Lección 3: Heteroscedasticidad.

Sjm1

Diapositiva 1

jm1 Se agradece la contribución de los profesores Arranz, Suárez y Zamora, cuyos materiales de clase se han utilizado en la elaboración de esta presentación.juan muro; 28/09/2007

Heteroscedasticidad.

1. ¿ Qué es un modelo heteroscedástico? Ej. Gasto de un consumidor como función de

renta (curva de Engel). Fichero: Heteros_Greene.wf1.

2. ¿ Con qué tipo de datos económicos se

11/29/2012 Juan Muro

2. ¿ Con qué tipo de datos económicos se suelen presentar modelos heteroscedásticos? Corte transversal; serie temporal; datos de

panel.

S

Heteroscedasticidad.

3. ¿ Qué problemas plantea a la estimación por MCO?

3.1. ¿ En qué consiste el cálculo de la matriz

11/29/2012 Juan Muro

3.1. ¿ En qué consiste el cálculo de la matriz

de varianzas y covarianzas de los

estimadores MCO corregida por el efecto

de la heteroscedasticidad, White(1980)?

S

Heteroscedasticidad.

4. ¿ Cómo se detecta la heteroscedasticidad?

11/29/2012 Juan Muro

S

Heteroscedasticidad.

5. ¿ Cómo se estima un modelo heteroscedásticomediante estimadores que tengan buenas propiedades estadísticas?

¿ Qué se entiende por mínimos cuadrados

11/29/2012 Juan Muro

¿ Qué se entiende por mínimos cuadrados ponderados?

¿ Qué problemas plantea la utilización de un "deflactor" como método para resolver la heteroscedasticidad?

¿ Cómo podemos decidir entre la utilización de una especificación lineal logarítmica y una lineal en un modelo con heteroscedasticidad?

S

3.1. Consecuencias de la heteroscedasticidad.

Yi=X’iβ+ui; i=1,2,……N. Corte transversal; tserie temporal.

11/29/2012 Juan Muro

X’i, β, vectores fila 1xk y columna kx1,respectivamente; Yi, ui, escalares.

Var(ui|X)= σi2.

S

3.1. Consecuencias de la heteroscedasticidad.

Estimador MCO: b= (ΣXiX’i)-1ΣXiYi.

E(b|X)= β. Var(b|X)= (ΣXiX’i)-1 ΣXi σi

2 X’i

11/29/2012 Juan Muro

E(b|X)= β. Var(b|X)= (ΣXiX’i) ΣXi σi X’i(ΣXiX’i)

-1.

Como Var(ui|X)= σi2 es desconocida, la

matriz lo es.

S

3.1. Consecuencias de la heteroscedasticidad.

Variable de interés de carácter cualitativo(modelos logit y probit): inconsistencia.

Variable de interés de carácter cuantitativo

11/29/2012 Juan Muro

Variable de interés de carácter cuantitativo(MRLG): ineficiencia y cálculo erróneo dematriz de varianzas y covarianzas.

En general, la matriz por MCO, s2(ΣXiX’i)-1,

subestima la matriz anterior.A

Matriz de White (1980).

La matriz (ΣXiX’i)-1 ΣXi ei

2 X’i (ΣXiX’i)-1 es un

estimador consistente de la matriz

Var(b|X)= (ΣXiX’i)-1ΣXi σi

2 X’i (ΣXiX’i)-1.

11/29/2012 Juan Muro

Var(b|X)= (ΣXiX’i)-1ΣXi σi

2 X’i (ΣXiX’i)-1.

La sugerencia de White es estimar por MCO(lineal e insesgado) y calcularconsistentemente los errores por mediode su matriz (estimadores no eficientes).

A

3.2. Contrastes de heteroscedasticidad.

Carácter

Hipótesis nula

Exactos Asintóticos

Generales Goldfeld-Quandt(1965) Breusch-Pagan(1979)

11/29/2012 Juan Muro S

Generales (robustos)

Goldfeld-Quandt(1965)

Harvey-Phillips(1974)

CUSUMSQ

Breusch-Pagan(1979)

White(1980)

Específicos (potentes)

Glejser(1969)

Harvey(1976)

Engle(1982).

Goldfeld-Quandt(1965). Contraste exacto.

H0 : HOMOSCEDASTICIDAD: la varianza es constante en toda la muestra.H1 : HETEROSCEDASTICIDAD: la varianza no es constante en toda la muestra.

Operativa:

1. Ordenar las observaciones, en orden creciente de varianzas, según la variable presuntamente culpable de ocasionar la desigualdad en las varianzas.

11/29/2012 Juan Muro S

culpable de ocasionar la desigualdad en las varianzas.2. Desechar c observaciones centrales.3. Ajustar por MCO el modelo con las (T-c)/2 primeras y (T-c)/2 últimas observaciones.4. Forma del contraste: bajo la hipótesis nula el estadístico

Donde T es el tamaño de la muestra y k el número de parámetros explícitos; SCR1 y SCR2: suma de los cuadrados de los residuos MCO de las regresiones con las primeras y con las últimas observaciones, respectivamente.

,2

2k-c-T,

2

2k-c-TF

SCR

SCR

1

2

~

Harvey-Phillips(1974). Contraste exacto.

H0 : HOMOSCEDASTICIDAD: la varianza es constante en toda la muestra.

H1 : HETEROSCEDASTICIDAD: la varianza no es constante en toda la muestra.

Operativa:

1. Ordenar las observaciones, en orden creciente de varianzas, según la variable presuntamente

11/29/2012 Juan Muro S

1. Ordenar las observaciones, en orden creciente de varianzas, según la variable presuntamente culpable de ocasionar la desigualdad en las varianzas.2. Ajustar el modelo por MCO. Obtener los T-k residuos recursivos.3. Forma del contraste: bajo la hipótesis nula el estadístico

Donde T es el tamaño de la muestra y k el número de parámetros explícitos; SCR1 y SCR2: suma de los cuadrados de los residuos de los primeros y últimos residuos recursivos, respectivamente.

,2

k-T,

2

kTF

SCR

SCR

1

2

−−−−~

White(1980). Contraste asintótico.

H0 : HOMOSCEDASTICIDAD: la varianza es constante en toda la muestra.

H1 : HETEROSCEDASTICIDAD: la varianza es una función cualquiera de las variables causantes de la heteroscedasticidad.

Operativa:

11/29/2012 Juan Muro S

Operativa:

1.Ajustar por MCO el modelo y obtener los residuos MCO e.

2.Efectuar la regresión de los residuos al cuadrado sobre las variables

explicativas, sus productos cruzados y las variables explicativas elevadas al cuadrado.

3. Forma del contraste: contrastar la significatividad de la o las regresiones anteriores.

Breusch-Pagan(1979). Contraste asintótico.

H0 : HOMOSCEDASTICIDAD: la varianza es constante en toda la muestra.H1 : HETEROSCEDASTICIDAD: la varianza es una función cualquiera de

una combinación lineal de las variables que producen la heteroscedasticidad. σi

2= h(Ziα). Zi es 1xp de variables explicativas (con

cte).

11/29/2012 Juan MuroS

Operativa:

1. Ajustar el modelo por MCO. Obtener los residuos MCO e.2. Calcular

3. Estimar la regresión gi= Ziα+ui.

4. Forma del contraste: bajo la hipótesis nula el estadístico se distribuye asintóticamente

Donde SCE es la suma de cuadrados explicada de la regresión estimada en (3).

.e

=g ;eT

1=

2

2

i

i

2

i

2

σσ

ˆˆ ∑∑∑∑

, 1)-(p 2

SCE 2

ΧΧΧΧ~

Glejser(1969). Contraste asintótico.

H0 : HOMOSCEDASTICIDAD: la varianza es constante en toda la muestra.

H1 : HETEROSCEDASTICIDAD: la varianza es una función cualquiera de la variable que produce la heteroscedasticidad.

Operativa:

11/29/2012 Juan Muro S

1. Ajustar el modelo por MCO. Obtener los residuos MCO e.

2. Estimar por MCO la o las regresiones

donde z es la variable causante de la heteroscedasticidad y h es un número que

Glejser sugiere que tome los valores de prueba: 1, -1, 1/2, -1/2.

3. Forma del contraste: bajo la hipótesis nula el parámetro de la variable Z no será

significativo en las regresiones anteriores.

,u+z+=e

,u+z+|=e|

tht10

2t

tht10t

δδ

δδ

Harvey(1976). Contraste asintótico.

H0 : HOMOSCEDASTICIDAD: la varianza es constante en toda la muestra.

H1 : HETEROSCEDASTICIDAD: la varianza es una función exponencial de una combinación lineal de las variables que producen la

heteroscedasticidad. σi2= exp(Ziα). Zi es 1xp de variables explicativas (con

cte).

11/29/2012 Juan Muro S

Operativa:

1. Ajustar el modelo por MCO. Obtener los residuos MCO e.

2. Estimar por MCO la regresión lnei2= Ziα.

3. Forma del contraste: bajo la hipótesis nula la regresión anterior no es significativa.

En concreto el estadístico siguiente puede utilizarse

.~

9348.4 1)-(p

SCEg 2

ΧΧΧΧ====

Contraste para modelos ARCH: Engel(1982). Contraste

asintótico.

H0 : HOMOSCEDASTICIDAD: la varianza es constante en toda la muestra.

H1 : HETEROSCEDASTICIDAD: la varianza condicional es autorregresiva. Es decir, en el caso de un ARCH(1) var(ut|ut-1)= α0+ α1 ut-1

2.

Operativa:

11/29/2012 Juan Muro A

Operativa:

1. Ajustar el modelo por MCO. Obtener los residuos MCO e.

2. Estimar por MCO la regresión entre los residuos al cuadrado del modelo anterior y

los residuos al cuadrado de dicho modelo retardados. En el caso de un ARCH(1) la

regresión sería et2= α0+ α1 et-1

2.3. Forma del contraste: contrastar la significatividad de los parámetros del modelo

anterior. El contraste de multiplicadores de Lagrange, TR2, se distribuye como una

Chi-2 con un grado de libertad y es equivalente asintóticamente al F habitual.

3.3. Solución a la heteroscedasticidad.

Yi=X’iβ+ui; i=1,2,……N. Corte transversal; tserie temporal.

X’i, β, vectores fila 1xk y columna kx1,

11/29/2012 Juan Muro

X’i, β, vectores fila 1xk y columna kx1,respectivamente; Yi, ui, escalares.

Var(ui|X)= σi2.

S

3.3. Solución a la heteroscedasticidad.

MCO: estimación lineal, insesgada y no óptima; matriz deWhite(1980).

MCG: exige el conocimiento de la matriz Ω. Estimaciónlineal, insesgada y óptima; heteroscedasticidad teórica.

11/29/2012 Juan Muro

MCGF: Estimación en dos etapas o iterativa, consistente.

MV: exige una parametrización de la matriz Ω. Estimaciónconsistente, asintóticamente eficiente y con distribuciónasintótica normal.

A

Estimación por MCO en presencia de heteroscedasticidad.

Estimador MCO: b= (ΣXiX’i)-1ΣXiYi.

Matriz de White: (ΣXiX’i)-1ΣXi ei

2 X’i (ΣXiX’i)-1.

11/29/2012 Juan Muro

Matriz de White: (ΣXiX’i) ΣXi ei X’i (ΣXiX’i) .

El estimador no es óptimo pero permiterealizar inferencia por los procedimientoshabituales ya que la matriz de varianzasestá estimada consistentemente.

A

Estimación por MCG en presencia de heteroscedasticidad.

Estimador MCG: bMCG= (ΣX*iX*’i)-1ΣX*iY*i.

Donde X*i=X*i/σi; Y*i=Y*i/σi.

Matriz de varianzas. Var(bMCG)= (ΣX*iX*’i)-1.

11/29/2012 Juan Muro

Matriz de varianzas. Var(bMCG)= (ΣX*iX*’i) .

La aparición o no de un término σ2 en la matriz devarianzas es una cuestión de mera notación.

Ej. La heteroscedasticidad derivada del uso demagnitudes medias en un modeloeconométrico. En este caso σi=(Ni)

1/2.A

Estimación por MCGF en presencia de heteroscedasticidad.

Estimador MCGF:

Donde

[[[[ ]]]] .***'*ˆ 1

iiiiMCGFYXXX ΣΣΣΣΣΣΣΣ====

−−−−β

i

i

i

i

i

i

YY

XX

σσ ˆ*;

ˆ* ========

11/29/2012 Juan Muro

Matriz de varianzas.

Método en dos etapas (o iterativo): primera etapa MCO paraestimar σi ; segunda etapa aplicar MCG (MCO delmodelo transformado).

S

[[[[ ]]]] .*'*)ˆvar(1−−−−

ΣΣΣΣ====iiMCGF

XXβ

Estimación por MCGF en presencia de heteroscedasticidad.

Estimador MCGF por el procedimiento iterativo:

1ª etapa: estimación por MCO. Estimación de σi por mediode residuos MCO al cuadrado y supuestos establecidos(sobre heteroscedasticidad).

2ª etapa: estimación por MCG. A continuación se estima σ

11/29/2012 Juan Muro

2ª etapa: estimación por MCG. A continuación se estima σipor medio de los residuos MCO al cuadrado ysupuestos establecidos (sobre heteroscedasticidad).

3ª etapa y sus siguientes. Reiterar el procedimiento de lasegunda etapa hasta alcanzar la convergencia, porejemplo, en SCR.

La eficiencia asintótica depende de su similitud con elestimador MV.

A

Estimación por MV en presencia de heteroscedasticidad.

Función de verosimilitud en logaritmos

.1

2

1-

2

1-)(2

2

T-=X)Y,|,L(

iiXX

2

ii

2

ii

2

i 'lnlnσ

σσβ ΣΣΣΣΣΣΣΣΠΠΠΠ

11/29/2012 Juan Muro

Bajo supuestos sobre el comportamiento de la

heteroscedasticidad (paramétricos) la

maximización de esa función proporciona los

estimadores MV.

A

222 iii σ

Mínimos cuadrados ponderados.

La denominación de método de mínimoscuadrados ponderados que se usa para elmétodo de corrección de la heteroscedasticidadse deriva de la forma que adopta en este casoel método de mínimos cuadrados

11/29/2012 Juan Muro

el método de mínimos cuadradosgeneralizados.

MCG en este caso es aplicar MCO a un modelo enel que las variables “se ponderan”, es decir, seobtienen dividiendo cada variable por la raízcuadrada de la varianza estimada.

A

Utilización de un deflactor.

Se suele decir que para eliminar la heteroscedasticidad de un modelo(especialmente con datos temporales) hay que deflactar.

El método anterior es correcto siempre que la heteroscedasticidad seauna función lineal del cuadrado de la variable que se use paradeflactar. En otros casos el método es incorrecto.

11/29/2012 Juan Muro

Ej. En un modelo de Consumo frente a renta, si la heteroscedasticidades función de la renta al cuadrado, deflactar el modelo mediante larenta elimina la heteroscedasticidad. Precaución: en modelosdeflactados la pendiente se convierte en el término independiente yel término independiente en el parámetro del recíproco de lavariable usada para deflactar.

A

Contrastes para decidir entre la forma lineal y logarítmico lineal de

un modelo.Para eliminar la heteroscedasticidad de un modelo

se suelen adoptar formas lineales en los

logaritmos en el modelo. La decisión sobre qué

especificación utilizar debe fundarse en algún

contraste apropiado. Entre ellos están los de

11/29/2012 Juan Muro

contraste apropiado. Entre ellos están los de

Box-Cox(1962); Bera-McAleer(1982) y

McKinnon, White y Davidson(1983).

El de Bera-McAleer(1982) consiste en lo siguiente:

S

Contraste de Bera-McAleer(1982).1. Estimar las regresiones

2. Obtener los valores ajustados de y, log y en las regresiones contrarias. Es decir, obtener el logaritmo en la regresión sin

.u+x+=y

,u+x+=y

2tt10t

1tt10t

ββ

ββlog

11/29/2012 Juan Muro

contrarias. Es decir, obtener el logaritmo en la regresión sin logaritmos y la variable y en la regresión con logaritmos.

3. Estimar las regresiones auxiliares siguientes

.

S

v+x+=y

v+x+=)y(

2tt10t

1tt10t

ββ

ββ~log

ˆlogexp

Contraste de Bera-McAleer(1982).

4. El contraste se fundamenta en las regresiones auxiliares

εθββ

εθββ

t2t1t10t

t1t0t10t

+v+x+=y

+v+x+=y

ˆ

ˆlog

11/29/2012 Juan Muro

Si el parámetro de los residuos estimados en la regresión en logaritmos no es significativo elegimos la especificación logarítmica. Lo mismo cabe decir para la especificación lineal y el parámetro de los residuos estimados de su ecuación.

A

Referencias

• Wooldridge (2006). Cap. 8, 11 y 12.

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