8. a)

i) P. D. que ∫dx

√1+x ⁰es una combinación algebraica de funciones elementales.

Dem. Por un lado ∫dx

√1+x ⁰=∫

dx

√1+1=∫

1

√2dx . Definamos f (x)=

1

√2y consideremos la

función F( x)=1

√2x+C , donde C es un número real fijo y arbitrario. Ahora F '( x)=

1

√2,

entonces por el teorema fundamental del cálculo tenemos que F es primitiva de f (F'=f), lo quedemuestra que la primitiva de f puede escribirse en términos de funciones elementales ■

ii) P. D. que ∫dx

√1+xes una combinación algebraica de funciones elementales.

Dem. Definamos f (x)=1

√1+ xy consideremos la función F( x)=2√1+ x+C , donde C es un

número real fijo y arbitrario. Ahora F '( x)=212(1+x )

−12=

1

√1+x, entonces por el teorema

fundamental del cálculo tenemos que F es primitiva de f (F'=f), lo que demuestra que la primitiva de fpuede escribirse en términos de funciones elementales ■

iii) P. D. que ∫dx

√1+x ²es una combinación algebraica de funciones elementales.

Dem. Definamos f (x)=1

√1+ x ²y consideremos la función F( x)=ln(x+√x ²+1)+C , donde C es

un número real fijo y arbitrario. Ahora F '( x)=1+

x√x ²+1

x+√ x ²+1=

√x ²+1+x√x ²+1

x+√x ²+1=

√x ²+1+x(√ x ²+1)(x+√ x ²+1)

,

=1

√ x ²+1entonces por el teorema fundamental del cálculo tenemos que F es primitiva de f (F'=f),

lo que demuestra que la primitiva de f puede escribirse en términos de funciones elementales ■

b) P. D. Las integrales de la forma ∫dx

√1+xn, con n entero y n ≥ 3 no se pueden escribir en términos

de funciones elementales.

Dem. Aplicando el teorema de Chébishev, con m=0, p=1/2, basta con demostrar que i) 12

no es

entero, ii) 1n

no es entero ó iii) 1n+

12

no es entero para todo n natural y n ≥ 3.

Caso i) Al ser p = 12

, es un número racional irreducible, por lo que no es entero.

Caso ii) La expresión 1n

no resulta en un número entero para cualquier n ≠ 1.

Caso iii) La expresión1n+

12

no resulta en un número entero para cualquier n ≠ 2.

Por lo tanto, para todo n entero y n ≥ 3, la integral de la forma ∫dx

√1+xnno se puede expresar en

términos de funciones elementales (NOTA: se anexa una demostración del teorema de Chébishev) ■

g) ∫ √a+x√a−x

dx=∫ a+x√a ²−x ²

dx=∫ a√a ²−x ²

dx+∫ x√a ²−x ²

dx , donde:

- Mediante la sustitución x=a sin (θ) tenemos que

∫a

√a ²−x ²dx=a∫ sec(θ)cos(θ)d θ=a∫ dθ=aθ con θ=arcsin (

xa) .

- Mediante la sustitución u=a ²−x ² tenemos que

∫ x√a ²−x ²

dx=−12∫ du

√u=

−12

√u12

=−√u=−√a ²−x ² .

Por lo tanto:

∫ √a+x√a−x

dx=∫ a√a ²−x ²

dx+∫ x√a ²−x ²

dx=aarcsin(θ)−√ x ²−a ²+C .

l) ∫dx

a ² sin ²( x)+b ² cos ²(x ), mediante la sustitución t=tan (x) tenemos que dx=

dt1+t ²

,

a ² sin ² (x)=a ² t ²1+t ²

y b ² cos ²(x)=b ²

1+t ², por lo que

∫

11+t ²

dt

a ² t ²+b ²1+t ²

=∫1

a ² t ²+b ²dt=

1a ²∫

dt

t ²+(ba)²

=a

a ²barctan (

atb

)=1ab

arctan (a tan(x )

b)+C .