Post on 07-Feb-2018
Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de MatematicasMAT1640 - Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones DiferencialesProblemas Resueltos
Rodrigo Henrquez AubaNicolas Morales MacayaSebastian Urrutia QuirogaRoberto Zuniga Valladares
2
El siguiente apunte tiene una serie de problemas resueltos para el curso de ecuaciones diferenciales or-dinarias. A pesar de que los tipos de problemas y el orden en que se presentan es para el curso dictadoen la PUC, se espera que los problemas sea una buena coleccion para cualquier curso de ecuacionesdiferenciales dictado en cualquier universidad, y que por supuesto no todo esta aqu, por lo que el es-tudiante que utiliza esta coleccion de problemas no crea que con solo esto se cubre la completitud delcurso. No deje de estudiar, y si puede intente hacer los problemas por su cuenta antes de ver la solucion.
Se agradece a la facultad de matematicas de la PUC y a los profesores por las pruebas resueltas y losproblemas utilizados en este apunte. Se agradece ademas a todas las personas que colaboraron conproblemas, como Fabian Cadiz, Diego Kaulen, Pablo Marchant y muchos mas que colaboraron, ya seadirectamente o con sus problemas.
Los autores
3
4
Indice general
1. Ecuaciones diferenciales de primer orden 7
1.1. Metodos de Solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Resolucion de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Teorema de Picard-Lindelof (o de existencia y unicidad) . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4. Analisis Cualitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2. Ecuaciones de Orden Superior 41
2.1. Ecuacion Homogenea de Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2. Coeficientes Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3. Variacion de Parametros y Reduccion de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5. Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.6. Modelos y problemas fsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales 89
3.1. Sistemas de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2. Variacion de Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3. Analisis Cualitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4. Anexos 119
4.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2. Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5
4.2.1. Valores y Vectores Propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.2. Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.3. Solucion al sistema ~x = A~x para matrices diagonalizables . . . . . . . . . . . . 122
4.2.4. Solucion al sistema ~x = A~x para matrices no diagonalizables . . . . . . . . . . 123
4.2.5. Calculo de vectores propios generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2.6. Matriz Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2.7. Matriz Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.8. Sistemas de ecuaciones no homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.9. Matrices defectuosas o no diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.3. Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.1. Sistema Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.2. Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.3. Teorema de Hartman-Grobman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.3.4. Clasificacion de puntos de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6
1Ecuaciones diferenciales de primer orden
1.1. Metodos de Solucion
Problema 1.1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) (t2 xt2)x + x2 + tx2 = 0
(b) x = x x2
(c) x2dy
dx=
x2 + 1
3y2 + 1
Solucion:
(a) Arreglando la ecuacion llegamos:
t2(1 x)x + x2(1 + t) = 0 dxdt
=x2
x 11 + t
t2
que es de variables separables:
x 1x2
dx =1 + t
t2dt
x 1x2
dx =
1 + t
t2dt
As podemos dejar x(t) expresada de forma implcita :
ln |x|+ 1x
= 1t
+ ln |t|+ C
Comentario: Es necesario notar que luego de normalizar la ecuacion diferencial, la funcionf(x, t) = x
2
x11+tt2
no es continua para x por lo que no podemos asegurar existencia de solucionsegun el valor inicial. Esto se vera mas adelante en el curso.
(b) Evidentemente es de variables separables:dx
x x2=
dt
1
x+
1
1 xdx = t+ C ln |x| ln |1 x| = t+ C
7
Aqu inmediatamente descartamos las soluciones x(t) = 0 y x(t) = 1. As:
ln
x1 x = t+ C x1 x = A
eCet x(t) = Ae
t
1 +Aet
Aqu si ponemos A = 0 recuperamos la solucion x(t) = 0. As la solucion para este problemaes:
x(t) =Aet
1 +Aet, x(t) = 1
Por otro lado si dividimos arriba y abajo por Aet y llamamos A1 = B tenemos:
x(t) =1
Bet + 1
De esta forma con B = 0 recuperamos la solucion x(t) = 1 por lo que la solucion en estecaso es:
x(t) =1
Bet + 1, x(t) = 0
Comentario: Cuando analicemos el campo de direcciones entenderemos que estas solucionesparticulares estan fuertemente relacionadas con la familia de soluciones que obtuvimos (esen general a como tiende el campo de direcciones para parametros que tienden a infinito).
(c) Separando variables:3y2 + 1dy =
x2 + 1
x2dx y3 + y = x 1
x+ C
Problema 1.2. Encuentre las funciones y(x) que satisfacen la ecuacion: 10y(sx)ds = 2y(x)
Solucion: Haciendo un cambio de variable u = sx se obtiene:
1
x
x0y(u)du = 2y
x0y(u)du = 2yx
derivando respecto a x:
y(x) = 2y + 2yx yx
= 2dy
dx
As separando variables e integrando:
dx
2x=
dy
y 1
2ln |x|+ C = ln |y| y2 = A
x
Problema 1.3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales y encuentre el intervalo de solucion(si es posible):
8
(a) y 3y = ex con y(0) = y0
(b) x 2t+ 1
x = (t+ 1)2 con x(0) = 0
(c) y + 2xy = y2y
Solucion: Recordemos que toda ecuacion lineal de la forma: y + P (x)y = Q(x) se resuelvemultiplicando por el factor integrante: (x) = e
P (x)dx con esto obtenemos:
yeP (x)dx + P (x)e
P (x)dxy = Q(x)e
P (x)dx
(y e
P (x)dx
)= Q(x)(x)
As podemos integrar:
y (x) =Q(x)(x)dx+ C y(x) = C e
P (x)dx + e
P (x)dx
Q(x)(x)dx
(a) En este caso P (x) = 3 y Q(x) = ex, por lo que el factor integrante esta dado por: (x) =e3dx = e3x. As:
y =ex e3xdx =
e2xdx = 1
2e2x + C
Por lo que:
y(x) = Ce3x yh
12exyp
As yh corresponde a la solucion homogenea (Q(x) = 0) y yp corresponde a una solucionparticular del problema. Ahora usando el dato inicial: y(0) = y0 tenemos:
y0 = C 1
2 C = y0 +
1
2
As la respuesta es:
y(x) =
(y0 +
1
2
)e3x 1
2ex
Es claro que el intervalo de solucion es todo R.
(b) En este caso P (t) = 2t+1 y Q(t) = (t+1)2. Luego (t) = e
2/(t+1)dt = e2 ln(t+1) = (t+1)2.
As:
x =
(t+ 1)2(t+ 1)2dt =
dt = t+ C x = (t+ C)(t+ 1)2
Usando la condicion inicial: 0 = C As:
x(t) = t(t+ 1)2
Evidentemente el intervalo de solucion es (1,).
9
(c) Recordemos que y =dy
dx=
1dxdy
=1
x. As reemplazando por esto:
y + 2x1
x= y2
1
x
Multiplicando porx
ynos queda:
x +2
yx = y
una ecuacion lineal para x. Multiplicamos por = e2/ydy = e2 ln |y| = y2, as:
x =y y2dy x(y) = y
2
4+C
y2
Problema 1.4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) x+ tx = t3x3
(b) y(x) + 6y(x) = 30y2/3(x)
Solucion: Recordemos que una ecuacion de Bernoulli de la forma y+P (x)y = Q(x)y se resuelvehaciendo el cambio u = y1 .
(a) Es una ecuacion de Bernoulli con = 3, luego el cambio es:
u = x13 = x2 u = 2x3x x = 12x3u = 1
2u3/2u
Reemplazando en la ecuacion tenemos:
12u3/2u+ tu1/2 = t3u3/2
Multiplicando por 2u3/2 tenemos:
u 2tu = 2t3
Esta ecuacion se resuelve multiplicando por el factor integrante: (t) = e2tdt = et
2, as:
u =2t3et2dt
As:
u(t) = Cet2 2et2
t3et
2dt x(t) =
(Cet
2 2et2t3et
2dt
)1/2Resolviendo la integral (hacer z = t2 y luego integrar por partes):
x(t) =
[Cet
2 2et2(1
2et
2(t2 + 1)
)]1/2=[Cet
2+ (t2 + 1)
]1/2
10
(b) En este caso = 2/3 entonces el cambio:
z = y12/3 = y1/3 z = 13y2/3y 3y2/3z = 3z2z = y
reemplazando en la ecuacion tenemos:
3z2z + 6z3 = 30z2
si multiplicamos por 13z2 tenemos
z + 2z = 10