Post on 26-Jun-2015
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Índice
• Definiciones
• Resolución de ecuaciones de primer grado sencillas
• Resolución de ecuaciones con paréntesis
• Resolución de ecuaciones con denominadores
• Resolución de problemas
Identidades y ecuaciones
• Una identidad es una igualdad que se cumple siempre.
• Por ejemplo: 3a = a + a + a se cumple para cualquier valor de a.
• En cambio, una ecuación es una igualdad que sólo se cumple para algún o algunos valores.
• Por ejemplo: a + 4 = 6 sólo se cumple para a =2.
Ecuaciones de primer grado
segundo miembroprimer miembro
Una ecuación de primer grado es una igualdad formada por uno o más polinomios de primer grado y en la que la variable es una letra
llamada incógnita.
Términos de la
ecuación
Son ecuaciones de primer grado?
NO
SI
NO
Resolución de ecuaciones de primer grado
Ejemplo:• 2x +3 = 5 – x
• Pasamos cambiando de signo 2x + x = 5-3
• Hacemos las operaciones con números enteros 3x=2
• El 3 pasa dividiendo x=2/3
Mas ejemplos
3x – 1 = 2
3x = 2+1 => 3x = 3=> x = 3/3 => x=1
2x – 5 = x + 2
2x-x =2+5=> x =7
7x – 6 + 6 = 5x + 3 + 6
7x-5x=6+3+6-6
2x=6+3=>2x=9=>x=9/2
8 –x = 4 + 2
-x=4+2-8=>-x=6-8
=>-x=-2=>x=2
En definitiva...
5x + 2x – 3x + 4x – 6 + 8 – 3x + 1 = 2x – 5 + 4x – 6 + 2
5x+2x-3x+4x-3x-2x-4x = -5- 6+2+6-8-1
11x-12x = 8-20
-x = -12 => x = 12
No olvides cambiar de signo la x cuando ésta sea negativa, CAMBIANDO DE SIGNO EL NÚMERO DE LA DERECHA
Ecuaciones con paréntesis
• Quitamos los paréntesis con la regla del producto.
- 3 ( 2x + 1 ) + 5 ·( - x + 6 ) = 7
- 6x – 3 – 5x + 30 = 7
- 6x – 5x = 7 - 30 + 3
- 11x = -20 =>
EJERCITEMOS
• 1) x + 2 = 5 Despejar la incógnita• x = 5 – 2• x = 3• 2) - 4x + 3 - 3x + 2 = 5x + 6• 3) 6x – 5 = 7x + 4• 4) 2(6x + 1 ) = 3x – 5• 5) 6 + 3x = 3(2x + 1)• 6) 3(-2x - 3) = -6(3x - 2)• 7) x + 2(3x - 6) = 2(x + 3) - 6( x + 1)• 8) 2(x - 1) + 2(x + 1) = 6(x + 3) -5(2 - 7x)• 9) -3(3x+1+4x)=-9x-1• 10) 2(-x-1)-3(x-9)=2• 11) 2(x+1)+2(6x+5)+9(-3x-2)=4
• 2) - 4x + 3 - 3x + 2 = 5x + 6
• 3) 6x – 5 = 7x + 4
• 4) 2(6x + 1 ) = 3x – 5
• 5) 6 + 3x = 3(2x + 1)
• 6) 3(-2x - 3) = -6(3x - 2)
• 7) x + 2(3x - 6) = 2(x + 3) - 6( x + 1)
8) 2(x - 1) + 2(x + 1) = 6(x + 3) -5(2 - 7x)
9) -3(3x+1+4x)=-9x-1
10) 2(-x-1)-3(x-9)=2
11) 2(x+1)+2(6x+5)+9(-3x-2)=4
Ecuaciones con denominadores
• Caso: una fracción a la izquierda y otra a la derecha
3 ( x – 1 ) = 2 ( 4x – 5 )
3x - 3 = 8x - 10 =>
3x-8x = -10+3
-5x = -7 => x=7/5
•Podemos multiplicar en cruz de esta manera
• Y resolvemos como hasta ahora
Ecuaciones con denominadores
• Caso general:Más de una fracción a la izquierda y/o más de una fracción a la derecha
•Multiplicamos TODA la ecuación por el M.C.M. de los denominadores
•Primero dividimos y después multiplicamos
m.c.m. ( 6, 4 ) = 22 ● 3 = 12
6 = 2 ● 3 4 = 2 ● 2 = 22
¡Ejemplo importante!
• Si las fracciones contienen más de un número o incógnita,
Tendremos que colocar paréntesis y aplicar la regla del producto.
1 ● x – 2 ● (4x – 5) = 3 ● 3x
x – 8x + 10 = 9x
- 16x = -10 =>
-7x – 9x = -10
Y el ejemplo mas complicado...
• Si tenemos números que multiplican a paréntesis
12
2512
6
52012
2
5312
4
6312
xxx
Multiplica
Multiplica por el M.C.M.
Quita los denominadores
255202536633 xxx
9x + 18x – 40x = 10 + 25 – 18 – 30
1· x – 2· (4x – 5) = 3· 3x x – 8x + 10 = 9x
x – 8x –9x = -10
Un ejemplo mas y ejercicios
m.c.m. (6,3,2) = 6 ;
- 16x = -10
¡¡¡NO OLVIDES COLOCAR PARÉNTESIS!!!
Ejercicios:
Más ejercicios....
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SIGAMOS EJERCITANDO
1) 4x + 6 = 2x + 1 3
2) 6x + 6 = 3x - 232 3
3) 2 x+ 3( x - 5 ) = 2x3 2
4) - 3x + 2 + 5x = 2
4 2
5) 6x + -2(x – 3) - -2(x + 1)= 2 3x- 4x + 45 6 2 )
(
Un aspecto a recordar
• Podemos dejar la incógnita a la derecha de la ecuación. ¡Y sigue estando bien!.
Ejemplo:
x -5 = 6x => -5 = 6x-x => -5 = 5x => -1 = x
• Lo que pasa es que podemos dar la vuelta a la igualdad así: x = -1
• ¿Sabes por qué? -1 = x =>-x = 1=> x = -1
Ejercicio: 6 = x => x = 6 -3 = -x => -x = -3 => x=3
Traducción a lenguaje algebraico
• Sea el número pedido la letra X
• El doble de un número
• El triple de un número
• El quíntuplo de un número
• La mitad de un número
• La séptima parte de un número
2X
3X
5X
X/2
X/7
Traducción a lenguaje algebraico I
• El doble de un número más la cuarta parte del mismo número
• El cuádruplo de un número menos la mitad del triple de éste número es ocho
• La suma de dos números consecutivos
• Si yo tengo X años, dentro de tres años tendré, el doble de los que yo tuve hace 15 años
2x + 4
x
4x - = 82
3x
X + X+1
X+3 = 2( X – 15 )
Resolución de problemas
1. Identifica la incógnita
2. Plantea la ecuación.
3. Resuelve la ecuación.
4. Comprueba la solución.
5. Expresa con palabras la solución.
Primer ejemplo
1) Identifica X: El número pedido
2) Plantea
3) Resuelve
4) Comprueba 18-12 = 6 ; 18/3 =6=> 6 = 6
5) Expresa El número pedido es el 18
Si restamos 12 a un número, se obtiene la tercera parte. ¿Cuál es el número?
Segundo ejemplo
1) Identifica X: El número pedido
2) Plantea
3) Resuelve
4) Comprueba 8/2+20 =24 ; 3*8=24 =>24 = 24
5) Expresa El número pedido es el 24
x/2 20 3x
A) x/2+20=3x B) x/2=3x-20?
Calcular la mitad de un número que es 20 unidades menor que su triple.
Tercer ejemplo
1) Identifica:Precio helado :
Precio cómic:
Precio videojuego
2) Plantea:
3) Resuelve:
4) Comprueba: 11+2,2+1,1=14,3
5) Expresa:El videojuego costaba 11€, el cómic 2,20€, y el helado 1,10€
2x
5·2 x = 10x
x
Por un video juego, un comic y un helado, Andrés ha pagado 14,30 €. El video juego es cinco veces mas caro que el comic, y este cuesta el doble que el helado. ¿Cuál era el precio de cada artículo?