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EEA-02: Análise de Circuitos ElétricosAula 3

1o Ten Eng Nicholas YUKIO Menezes Sugimoto

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Tópicos desta aula

LaçoLaço FundamentalCorteCorte FundamentalGrafoÁrvore e co-árvoreLei das Tensões com laçosLei das Correntes com cortesRepresentação Matricial

1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 2 / 41

DefiniçãoPercurso fechado ao longo dos bipolos de um circuito que não passa pornenhum nó mais de uma vez.

Lei das Tensões

EnunciadoA soma algébrica das tensões dos bipolos que constituem um laço é nula.Nessa soma atribui-se à tensão de cada bipolo o sinal + ou o sinal -,conforme a marca inicialmente encontrada para a tensão quando sepercorre o laço.

Laços fundamentais

ContextoA aplicação da Lei das Tensões a todos os laços existentes em um circuitogera equações linearmente dependentes.

Laços fundamentais

DefiniçãoConjunto mais abrangente de laços cujas equações correspondentes à Leidas Tensões são linearmente independentes.

Laços fundamentais

Como obter?Retiram-se bipolos do circuito até que, estando ainda ligados todos osnós, não reste nenhum laço. Os n− 1 bipolos que permanecem ligandoos n nós constituem uma árvore do circuito. Os b − n + 1 bipolosretirados constituem a co-árvore correspondente a essa árvore;A árvore, em conjunto com cada um dos ramos retirados, forma cadaum dos laços fundamentais.b bipolos e n nós: b − n + 1 laços fundamentais.

Tensões independentes

DefiniçãoPor não existir equação que relacione as n − 1 tensões de bipolo existentesem uma árvore, estas tensões são ditas independentes.Cada equação de tensão escrita para um laço fundamental permite escrevera tensão de um bipolo da co-árvore em função das tensões de bipolo daárvore.

DefiniçãoConjunto de bipolos de um circuito que satisfaz as condições:

a remoção de todos esses bipolos separa os nós do circuito em doisgrupos;a remoção desses bipolos, exceto um, não separa os nós do circuitoem dois grupos.

Lei das Correntes

EnunciadoA soma algébrica das correntes que atravessam um corte é nula. O sinal decada corrente é definido pelo sentido da corrente ao atravessar o corte.

Cortes fundamentais

ContextoAssim como ocorre com os laços, a aplicação da Lei das Correntes a todosos cortes de um circuito gera equações linearmente dependentes.

Cortes fundamentais

DefiniçãoConjunto mais abrangente de cortes cujas equações correspondentes à Leidas Correntes são independentes.

Grafos

As leis de correntes e tensões estabelecem, entre as variáveis de umcircuito, vínculos que não dependem da natureza dos bipolos. Desta forma,pode-se representar o circuito em análise na forma de um grafo.

Análise de Circuitos por Grafos

ProcedimentoCom a representação do circuito na forma de um grafo, a Lei das Correntese a Lei das Tensões podem ser escritas a partir de uma nova perspectiva.

1 Separação do grafo em árvore e co-árvore;2 Identificação dos cortes ou laços fundamentais: cada um gera uma

equação de Lei das Correntes ou Lei das Tensões.

Procedimento - Cortes (Lei das Correntes)O conceito de cortes permite escrever Lei das Correntes através do seguinteprocedimento:

1 Identificação dos cortes fundamentais: um ramo da árvore mais umcerto número de ramos da co-árvore;

2 Cada corte fundamental origina uma equação de Lei das Correntes;3 As correntes de bipolo da co-árvore são independentes;4 As correntes de bipolo da árvore são escritas em função das correntes

de bipolo da co-árvore;

Procedimento - Laços (Lei das Tensões)O conceito de laços permite escrever Lei das Tensões através do seguinteprocedimento:

1 Identificação dos laços fundamentais: um ramo da co-árvore mais umcerto número de ramos da árvore;

2 Cada laço fundamental origina uma equação de Lei das Tensões;3 As tensões de bipolo da árvore são independentes;4 As tensões de bipolo da co-árvore são escritas em função das tensões

de bipolo da árvore;

Análise de Circuitos por Grafos - Exemplo

Circuito → grafo

ObservaçãoO corte divide o grafo em duas partes e cada corte é identificado pelo ramoda árvore que o define. Para decidir o sentido do ramo, deve-se verificarde qual parte para qual parte do grafo a seta do ramo está orientada.

Grafo → árvore (cheia) e co-árvore (pontilhada)

Equação da Lei das Correntes:Mesmo sentido do ramo 1: entrana soma com sinal positivoSentido contrário ao do ramo 1:entra na soma com sinalnegativo

i1 + i5 + i6 + i7 = 0 (1)

Corte 1

i2 + i6 + i8 = 0 (2)

Corte 2

Equação da Lei das Correntes:Mesmo sentido do ramo 3: entrana soma com sinal positivoSentido contrário ao do ramo 3:entra na soma com sinalnegativoi3 − i5 − i7 + i8 + i9 = 0 (3)

Corte 3

i4 + i7 − i9 = 0 (4)

Corte 4

ObservaçãoO laço é identificado pelo ramo da co-árvore que o define. Para decidir osentido do ramo, deve-se verificar se a seta do ramo da co-árvore está nosentido horário ou anti-horário ao se percorrer o laço segundo suaorientação.

Equação da Lei das Tensões:Mesmo sentido do ramo 5: entrana soma com sinal positivoSentido contrário ao do ramo 5:entra na soma com sinalnegativo

v5 + v3 − v1 = 0 (5)

Laço 5

v6 − v2 − v1 = 0 (6)

Laço 6

v7 − v4 + v3 − v1 = 0 (7)

Laço 7

v8 − v2 − v3 = 0 (8)

Laço 8

v9 − v3 + v4 = 0 (9)

Laço 9

Representação Matricial

As equações de Lei de Correntes, obtidas através dos cortes fundamentais,e da Lei das Tensões, obtidas através dos laços fundamentais, podem serrepresentadas por meio de matrizes.

Representação Matricial - Lei das Correntes

Considerando as equações obtidas através dos cortes fundamentais,

i1 + i5 + i6 + i7 = 0 (10)i2 + i6 + i8 = 0 (11)

i3 − i5 − i7 + i8 + i9 = 0 (12)i4 + i7 − i9 = 0 (13)

pode-se escrever a equação matricial

Representação Matricial - Lei das Correntes

+1 0 0 0 +1 +1 +1 0 00 +1 0 0 0 +1 0 +1 00 0 +1 0 −1 0 −1 +1 +10 0 0 +1 0 0 +1 0 −1

i1i2i3i4i5i6i7i8i9

= 04×1

ouQi = 0 (14)

Representação Matricial - Lei das Tensões

Considerando as equações obtidas através dos laços fundamentais,

v5 + v3 − v1 = 0 (15)v6 − v2 − v1 = 0 (16)

v7 − v4 + v3 − v1 = 0 (17)v8 − v2 − v3 = 0 (18)v9 − v3 + v4 = 0 (19)

pode-se escrever a equação matricial

Representação Matricial - Lei das Tensões

−1 0 +1 0 +1 0 0 0 0−1 −1 0 0 0 +1 0 0 0−1 0 +1 −1 0 0 +1 0 00 −1 −1 0 0 0 0 +1 00 0 −1 +1 0 0 0 0 +1

v1v2v3v4v5v6v7v8v9

= 05×1

ouBv = 0 (20)

Representação Matricial - Observações

A matriz Q, denominada matriz de cortes fundamentais, quando senumera os ramos do grafo começando pelos ramos da árvore, pode serescrita como a justaposição

Q = [I |F ] (21)

Da mesma forma, a matriz B, denominada matriz de laçosfundamentais, quando se numera os ramos do grafo começando pelosramos da árvore, pode ser escrita como a justaposição

B = [−FT |I ] (22)

Representação Matricial - Observações

Como consequência das decomposições apresentadas, os postos dasmatrizes Q e B são n− 1 e b− n+ 1, respectivamente. (n: número de nóse b: número de bipolos)Ainda, também como consequência das decomposições apresentadas,tem-se

QBT = 0 (23)

eBQT = 0 (24)

Representação Matricial - Correntes e TensõesIndependentes

As equações Q = [I |F ] e B = [−FT |I ] permitem escrever todas ascorrentes do circuito em função das correntes de bipolo da co-árvore (quesão independentes), bem como escrever todas as tensões do circuito emfunção das tensões de bipolo da árvore (que são independentes).

Representação Matricial - Correntes Independentes

Como Qi = 0 e Q = [I |F ], com i = [i1 i2 . . . ib]T , tem-se

[I |F ]

in−1in...ib

= 0 (25)

ou seja,

in−1

in...ib

= 0 (26)

sendo j = [in . . . ib]T , pode-se escrever o vetor com todas as correntes do

circuito, i , através dei = BT j (27)

Representação Matricial - Tensões Independentes

Como Bv = 0 e B = [−FT |I ], com v = [v1 v2 . . . vb]T , tem-se

[−FT |I ]

vn−1vn...vb

= 0 (28)

ou seja,

vn−1

vn...vb

= 0 (29)

sendo e = [v1 . . . vn−1]T , pode-se escrever o vetor com todas as tensões

do circuito, v , através dev = QTe (30)

Conclusão

O uso dos conceitos de cortes e laços permite escrever a Lei das Correntese a Lei das Tensões sob uma nova perspectiva. Nesta nova abordagem, adivisão do grafo relativo ao circuito em árvore e co-árvore permitedeterminar os cortes e laços fundamentais, ou seja, aqueles que produzemum sistema de equações possível e determinado e estão diretamente ligadosàs correntes e tensões independentes do circuito.Esta formulação pode ser usada para escrever Análise Nodal, Análise dasMalhas e Análise Tableau, como feito anteriormente.

Bibliografia

Burian, Y. & Lyra, A.C.C., Circuitos elétricos, Prentice-Hall Brasil,2006 (Capítulo 8).

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