LISTADO DE EJERCICIOS LECCION 4.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

1. Exprese en lenguaje algebraico los siguientes enunciados expresados en lenguaje natural.

a) El permetro de un cuadrado si cada uno de sus lados mide tres veces una cantidadarbitraria incrementada diez unidades.

b) Si la longitud de uno de sus lados de un rectangulo es siete veces cierta cantidad y elotro lado es cinco unidades mas largo, exprese el area del rectangulo como funcion dela cantidad.

c) El primer da se inscribieron a un taller una cantidad de personas, al da siguiente 7 %mas y al tercer da dos veces mas que en el total del primero y el segundo. Cuantaspersonas se inscribieron al taller en esos tres das?.

d) Cinco veces un numero natural arbitrario mas la raz cuadrada del numero es igual aocho.

e) El producto de tres numeros impares consecutivos es igual a siete veces la suma de lostres numeros.

f ) Tenia 8500. Gaste cierta suma y lo que me queda es el cuadruplo de lo que gaste.

g) Suponga que un alambre de 20 metros de longitud se corta en dos pedazos. Con uno deellos se forma un triangulo equilatero y con el otro se debe formar una circunferencia.Exprese en terminologa algebraica la suma de las areas encerradas por las dos figurasen terminos de la longitud del pedazo de alambre con que se formo el triangulo.

h) En un evento en la Universidad Icesi, los alumnos se formaron en cuatro filas del siguientemodo: en la primera fila hay cierta cantidad de alumnos, en la segunda cuatro vecesmas que en la primera y diez alumnos mas que en la tercera. Tomando en cuenta queen la cuarta fila son trece alumnos menos que en la tercera, Cuantos alumnos hay enel evento?.

2. Encuentre en la columna de la derecha las expresiones que se corresponden con las de lacolumna de la izquierda:

a) 3x(2x + 5) 1) x(x 1)2b) (x 1)2 + (x 1)3 2) 2(x 1)c) 4(x + 1)(2x + 5) 3) 6x2 + 15xd) (2x 2) + (x 1) (5x 5) 4) 2(x 3)(2 + x)e) 4(x 3) + 2x(x 3) 5) 8x2 + 28x + 20f) (x + 1)(x2 + 1)(x 1) 5) x4 1

1

3. Escribe en los espacios asignados el Maximo comun Divisor (mcd), como Factor Comunde las siguientes expresiones:

a) 12x3y5, 4xy4, 8x5y3b) 15a4b10, 20a2b14, 125a15b8c) 15(a + b)4c5, 20(a + b)2c2, 25(a + b)15c8d2

d) 4(x y)1/2z2, 20 z2

(x y)1/2 , 16(x y)3/2(x + y)2z3/2

4. En cada uno de los siguientes casos encuentre el Mnimo Comun Multiplo del par dedenominadores de las fracciones dadas:

a) 14ab2

, 76a2b3

b) 32x2y

, a5xy

c) 7a3a+3b

, 5b2a+2b

d) 13a3b ,

2a2b2

e) 2xx2+5x+6

, 3xx2x6

f ) x+72x2+7x15 ,

x52x25x+3

5. Desarrolle los siguientes Productos Notables.

a) (3x + 5)2

b) (3

6 1)2c) (xn 3)(xn + 3)d) (2zb 1)(2zb + 1)e) (

2 + 5)(

2 5)f ) (y 3z)3g) (x 10)(x 6)h) (5x2y + 1

2)2

i) (x 1) . (x + 1)j ) (x + 1) . (x + 1)

k) (x 6) . (x 10)l) (x + 7) . (x 20)

m) (y + 35) . (y 23)n) x. (3x2 + 5x 12)n) 8x2. (2 + x + 5x3 x4)o)(5x4y + 1

2

)2

p) (x + y z) . (x y + z)q) (6xy2)

3(3x2y3)2

r) (x y) . (x2 + xy + y2)s) (x + y) . (x2 xy + y2)t)(x2) (x +2)

u) (x2 5)2v) (x2 + 5)

2

w) (x3 10)2

6. Simplifique tanto como sea posible.

a) 5x + 3xb) 5x (8x)c) x 0,15xd) x + 3 0,9xe) 3(2xy)

f ) 12(8wz)

g) 12(6 4x)

h) 14(8x 4)

i) 6x2y2

j ) 96x3

k) (34x)+(x9)

l) (9x3)+(46x)

m) x32

(x 1

x

)n)

1 +

(x1x2

)2

n)

2x2

3x3x2

2x

7. Realice las operaciones indicadas y simplifique su respuesta.

a) (4x + 8) 4b) (3xy x) xc) (2mn + m)m2d) x

2+xy x

y

e) (2x3 8x4)2xy

f ) (x2 + x3 x4) x1g) 5s2 (2rs 8rs2) 2rs3h) xx

1x3x

x1i) (xn + x2n x3n) xn

j )(x

12 + x

13 x25

) x

k) (xy + x2y3 x3y2) x 23l) (x + 3) (x 3)

m) (x + y)3 (x y)2n) (xt 2x2t x4t) xt

n) (et + 1) (et 1)[

1(e2t1)3

]2

8. Si x + y = 1 y x2 + y2 = 2, entonces el valor de x3 + y3 es:

9. Si x + y = 1/2 y x2 + y2 = 2/3, entonces el valor de x3 + y3 es:

10. Si t > 0 y (t + t1)2 = 5, determine t3 + t3 es:

11. En el proceso siguiente se ha cometido un error, que conduce al resultado absurdo 5 = -1.Indique en que ha consistido el error:

x2 + 6x + 5 = x2 1(x + 5)(x + 1) = (x + 1)(x 1)

x + 5 = x 15 = 1

12. A un estudiante se le pide simplificar y expresar solo con exponentes positivos la expresion:((ex + ex)2

(ex + ex)2 (ex ex)2) 1

2

El estudiante procede en la forma siguiente, y comete un error en el proceso:

i

((ex+ex)

2

(ex+ex)2(exex)2

) 12

=

ii ex+ex

ex+exex+ex =

iii ex+ex2ex =

ivex(ex+ex)

2=

v e2x+12

El error se cometio al pasar de:

a) i a ii b) ii a iii c) iii a iv d) iv a v

13. En cada uno de los siguientes casos escriba en el espacio en blanco la expresion algebraicaque completa el enunciado correctamente:

a) Una factorizacion completa de la expresion (x + 1)12 (x + 1) 32 + (x + 2) es:

(x + 2)[(x + 1)

12 ( ) + 1

]b) La expresion 2x2 + 3 puede factorizarse como 2 ( )

c) Si b 6= 0 entonces la expresion 2 + 3b puede factorizarse como 2b ( )d) Si b 6= 0 entonces la expresion 2 + 3b puede factorizarse como b1 ( )

14. Pruebe que los siguientes enunciados son correctos.

a) Si y = xx2 + 2 entonces

1 + y2 = x2 + 1

b) Si y = 2x(x2 + 1)1/2 entonces

1 + y2 = 2x2 + 1

c) Si x2 + y2 = 4, pruebe que y x

(xy

)y2

= 4y3

d) Si y =x2

8 2x2

, demuestre que

1 + y2 =x2

8+

2

x2

3

15. Factorice las siguientes expresiones:

a) 5x2 13x 6b) 4q5 25q3c) 4x3 + 8x2 4xd) (m 3)2 25e) x4 + 1

f ) (x 1) 72 (x 1) 32g) y3 y2 + y 1h) x2 y6i) 16x8 81y4

j ) 2x2 + x 3k) y x + 1 + xyl) 81x4 256y4t8

m) a816k b24tn) a3b 2a2b2 + ab3n) 12x2y + 22xy2 60y3o) 16x2 24x 8p) m2 n2 + x2 2mxq) x3 2x2 4x + 8

r) x3 y6s) (1 + x)

23 + (x + 1)

23

t) 6x5y 3x3y2 30xy3u) yxx2y+x3y3+xy2v) 64a6 125x12.w) x4 8x3 + 16x2.x ) a4 + a3 9a2 9a.y) x6 y6.z ) x3 2x2 3x + 6

16. Factorice las siguientes expresiones:

a) 2x2 5x + 12b) 6am 4ac 3bm + 2bcc) m4 + 14m2n2 + 25n4

d) a4 + 6a2b2 + 9b4

e) x2 + 6x + 8

f ) x2 16x + 11g) 4x6y8 + x2y4z6 4x4y6z3h) a2 + b2 c2 2abi) 2m6nb5 4m7c3 + 3n5b5 6mn4c3j ) 4xy3z 12xy3 20xy9 2x2y3z

k) 4a2c2 (c2 b2 + a2)2

l) 3x1/2 + 4x1/2 + x3/2

m) (x 1)7/2 (x 1)3/2

n) (x2 + 1)1/2 + 2(x2 + 1)1/2

n) x1/2(x + 1)1/2 + x1/2(x + 1)1/2

o) x5/2 x1/2

p) x3/2 + 2x1/2 + x1/2

q) a2 cos2 x + 2ab cos2 x + b2 cos2 x a2 sen2 x 2ab sen2 x b2 sen2 x

17. Factorice las siguientes expresiones:

a) x4 y16b) a2 4y9c) 16a3 2x3y6d) a2 a + abe) x100 x101f ) 3x 6y + 12xg) x2 + 15x + 56

h) w2 + 4w 5i) z3 + 2z2 63z

j ) n2 + 7n 30k) c2 + 31c + 30

l) y5 4y4 77y3m) x2 11x + 30n) r2 r 30n) 3x3 3x2 18xo) 2x2 5x 3p) 3x2 + 2x 5q) 5x2 + 7x 8

r) 20a2 + 48ab 5b2s) 12x2y 34xy2 + 14y3t) 7x2 13x + 2u) 8y2 18y 5v) 2k2 k 15w) 12z2 19z 18x ) 4 + 3y 7y2y) 4x8 y8z ) 2y2 18xy

18. Simplifique la expresion x1x2 +

1x2x

, si x =

mm242m

4

19. Marque la respuesta correcta.

a) Si abc 6= 0, entonces a2bc+ab2c+abc2abc

es igual a:

1) a3b3c3 2) 3abc 3) a + b + c 4) a+b+cabc

b) Al simplificar el producto de fracciones:(

2x23x21x2

)(2x2+5x+2x2+x2

)1, se obtiene:

1) x21+x 2)x+21x 3)

2x1+x

4) x21+x

c) Al efectuar las operaciones indicadas en la expresion:

a2+x2 x2a2

a2+x2

a2+x2, el resultado es:

1) 0 2) 2a2

a2+x23) 2x

2

(a2+x2)3/24) 2a

2

(a2+x2)3/2

d) Al simplificar la expresion (x1+y1x1y1 )

1 se obtiene:

1) x+yyx 2)

yxy+x

3) y + x 4) y x

e) Al efectuar las operaciones indicadas en la expresion x32

(x 1

x

), se obtiene:

1)x 2) x 3) x(x 1) 4) x1

x

f ) Al factorizar x4 2x2 + 1 se obtiene:1) (x + 1)2(x + 1)2 2) (x 1)2(x 1)2 3) (x 1)2(x + 1)2 4) (x 1)(x + 1)

g) Al efectuar las operaciones indicadas en la expresion:5

x+h 5

x

h, el resultado es:

1) 0 2) 5h2

3) 5 4) 5x(x+h)

h) Al simplificar la expresion algebraica a2+a+1a31 +

a+2a2+a2 +

2(a+1)a21 se obtiene:

1) 2(a2)(a+1) 2)

4a1 3)

1(a21)(a1) 4)

4a21

i) La expresion (a2 + b)2 (a2 b)2 es igual a:1) 4b2 2) 0 3) 2b2 4) 4a2b

20. Responda lo siguiente:

a) Que expresion hay que anadir a 3x2 5x + 6 para que la suma sea 3x?b) Que expresion hay que sumar a la suma de x + 4, x 6 y x2 + 2x + 8 para obtener

5x2 4x + 3?.c) Que expresion hay que sumar al producto de [x(x+y)x(xy)][2(x2+y2)3(x2y2)]

para obtener 2x3y + 3xy3?

d) Por cual expresion hay que dividir el cociente de x3 + 3x2 4x 12 entre x + 3 paraobtener x 2?.

e) De cual expresion hay que restar 18x3+14x2+84x45 para que la diferencia divididaentre x2 + 7x 5 de como cociente x2 9?.

5

21. Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

a)x3 x

x3 2x2 + x

b)x2 + 2x + xy + 2y

x2 + 4x + 4

c)a2 b2t

a2 6bt abt + 6ad)

2(x3 6x2)1/3(3x2 12x)3x5/3(x 6)1/3

22. Muestre que:

a) (a b)3 (b a)3 = 2(a b)3b) (a b)3 + (a b)3 = 2(a b)3

c) ab = 12[(a + b)2 (a2 + b2)]

d) (ac+bd)2+(adbc)2 = (c2+d2)(a2+b2)

23. Compruebe que las siguientes igualdades son correctas, mostrando el proceso de simplificacionen cada caso:

a)2x372xx2+7x+6

1x+1

+ xx2+2x+1

= 2x(6 x)(x + 1) b)13a1

12a13a2 =a

a+1

c) 2xx24 +

52x 1x+2 = 42x

24. Realice las operaciones indicadas y simplifique

a) (xy)1(x1 + y1)1

b)(1 (1 + (x 1)1)1)1

c)x2 + 3x

x2 + 4x + 3 x

2 2xx + 1

d)3y

1 + y+

2y

1 ye)

x + 3

5 x x 5x + 5

+2x2 + 30

x2 25f )

x3a + x2a 12xax2a 3xa

3x2 10x + 33x2 + 11x 4

g)

5

x2 410

x + 2

h)

1

4 1x2

x 2i)

x1 y11

x2 1y2

j ) 6x25x6x24 2x

23xx2+4x+4

k) 2x

+ 3x1 4x2x

l) (x+h)22(x+h)(x22x)

h

m)

(x6 y6x3 y3

1

x2 y2) 1x y

n)x + 3

5 x x 5x + 5

+2x2 + 30

x2 25n)

2a

2a2 + 9a 5 3

a2 + 10a + 25+

2

2a 1o)

z

z2 9 +3

z 3 1

z + 3

p)m + 1

3m2 m 10 m 13m + 5

mm2 4m + 4

q)3y

y + 1+

2y

y 1 y2

y2 1r) x

3 + 14x2 1

2 x 3x26x2 x 2

s)

2x2 3x 21 x2

2x2 + 5x + 2x2 + x 2

6