Post on 05-Feb-2018
7/21/2019 Ejercicios Resueltos Arturo
1/6
Universidad FidelitasCurso Ecuaciones Diferenciales
Algunos ejercicios resueltos
1. Pruebe que y(x) = Aex +Bxex (A y B constantes arbitrarias) es solucion de la ecuaciondiferencial y 2y +y = 0. Encuentre el valor de Ay un valor de B, tales que
y(0) =y (0) = 1.
Solucion
Para que la funcion dada sea solucion de la ecuacion diferencial debe satisfacerla, es decir alsustituirla debe provocar una identidad, entonces si
y(x) =Aex +Bxex
y(x) =Aex +B(ex +xex) =Aex +Bex +Bxex
y(x) =Aex +Bex +B(ex +xex) =Aex +Bex +Bex +Bxex =Aex + 2Bex +Bxex
ahora sustituyendo en la ecuacion diferencial dada
Aex + 2Bex +Bxex 2(Aex +Bex +Bxex) +Aex +Bxex
=Aex + 2Bex +Bxex 2Aex 2Bex 2Bxex +Aex +Bxex = 0
Como se comprueba la identidad se concluye que la funcion es solucion de la ecuaciondiferencial.
Por otra parte se necesitan los valores de Ay B de tal manera que y(0) =y (0) = 1. Bastacon calcular la imagen de 0 tanto en la funcion como en su primera derivada y que estas dencomo resultado 1 as
Paray obtenemos Ae0 +B0e0 = 1 =A = 1
Ae0 +Be0 +B0e0 = 1 =A +B = 1 =B = 1A =B = 11 = 0 as y = ex es lafuncion que es solucion de la ecuacion y que cumple que y(0) =y (0) = 1
2. Considere la ecuacion C y2 =xy+ Cque define a y como funcion implcita de x. Determine
si la ecuacion dada es solucion de la ecuacion diferencial y = y3 y
xy2 +x
Solucion
Primero despejamos la constante arbitraria C
Cy2 =xy +C=C y2 C=xy =C(y2 1) =xy =C= xy
y2 1.
Si derivamos a ambos lados tenemos
0 =(xy)(y2 1)(xy)(y2 1)
(y2 1)2 =0 =
(y+xy )(y2 1)xy2yy
(y2 1)2
=0 =y3 y+xy2y xy 2xy2y
(y2 1)2 =0 =y3 yxyxy2y
=xy +xy2y =y3 y =y (x+xy2) =y3 y =y = y3 y
x+xy2
Es claro que si sustituimos en la ecuaci on diferencial obtenemos y3 y
x+xy2 =
y3 y
x+xy2 y
concluimos que la ecuacion dada es solucion implcita de la ecuacion diferencial.
7/21/2019 Ejercicios Resueltos Arturo
2/6
3. Encuentre una ecuacion diferencial cuya solucion general es y= A cos(2x) +Bsen(2x)
Solucion
Como la solucion dada tiene dos constantes arbitrarias, derivamos dos veces dicha funcion
y=A cos(2x) +Bsen(2x) (1)
y =2A sen(2x) + 2Bcos(2x) (2)
y =4A cos(2x)4Bsen(2x) (3)
Ahora se debe a partir de esas ecuaciones desaparecer las constantes arbitrarias A y B
Primero multiplicamos por 4 la ecuacion (1) 4y = 4A cos(2x) + 4Bsen(2x) (4)
Ahora sumamos las ecuaciones (3) y (4)
y =4A cos(2x)4Bsen(2x)
+4y = 4A cos(2x) + 4Bsen(2x)
y + 4y= 0
As la ecuacion diferencial cuya solucion general esy = A cos(2x) + Bsen(2x) esy + 4y = 0
4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
(a) y = x2yy
y+ 1Solucion
Esta ecuacion se puede reescribir comody
dx=
y(x2 1)
y+ 1 =
y+ 1
y dy= (x2 1)dxahora
integramos a ambos lados de esta ecuacion y+ 1
y dy=
(x2 1)dx=
1 +
1
y
dy =
(x2 1)dx=y + ln | y |=
x3
3 x+C
(b) ex+y
sen xdx+ (2y+ 1)ey2
dy = 0Solucion
Esta ecuacion la podemos reescribir como ex ey sen xdx+ (2y+ 1)ey2
dy = 0
=ex sen xdx=(2y+ 1)ey
2
ey dy =ex sen xdx= (2y+ 1)ey
2ydy
=
ex sen xdx=
(2y+ 1)ey
2ydy (*)
Ahora calculamos cada una de las integrales ex sen xdx= ex sen x
ex cos xdx
=ex
sen x
ex
cos x
ex
sen xdx
=ex sen xex cos x
ex sen xdx
As ex sen xdx= ex sen xex cos x
ex sen xdx
2
ex sen xdx= ex sen xex cos x
ex sen xdx
ex sen xdx=ex sen xex cos x
2 +C
u= sen x du= cos xdv= ex v= ex
u= cos x du= sen xdv= ex v= ex
Por otra parte (2y+ 1)ey
2ydy
=
eudu= eu +C=ey
2y +C
u= y2 ydu= (2y1)dx= (2y+ 1)dx= du= (2y+ 1)dx
7/21/2019 Ejercicios Resueltos Arturo
3/6
Por ultimo y regresando a (*)ex sen xex cos x
2 =ey
2y +Ces la solucion de la ecuacion diferencial.
(c) (5x+ 4y)dx+ (4x8y3)dy= 0
Solucion
Considere M(x, y) = 5x+ 4y y N(x, y) = 4x8y3; ademas
M
y = 4 y
N
x= 4 por lo que se concluye que la ecuaci on diferencial es exacta.
As existe una funcion U(x, y) tal que U(x, y)
x = 5x+ 4y, y
U(x, y)
y = 4x8y3.
Ahora integramos ambas derivadas parciales, es decir U(x, y)
x dx=
(5x+ 4y)dx=U(x, y) =
5x2
2 + 4xy+f(y)
U(x, y)
y dy=
(4x8y3)dy =U(x, y) = 4xy2y4 +g(x)
De lo anterior deducimos que U(x, y) = 4xy+5x2
2 2y4.
Por lo tanto la solucion general de la ecuacion diferencial es 4xy+5x2
2 2y4 =C
(d) (xe2x + 3xy2)dy+ [(1 + 2x)y3 +ye2x]dx= 0
Solucion
Considere M(x, y) = (1 + 2x)y3 +ye2x y N(x, y) =xe2x + 3xy2
M
y = 3(1 + 2x)y2 +e2x
N
x =e2x 2xe2x + 3y2 es claro que la ecuacion no es
exacta.
Busquemos un factor integranteSea h(x) =
My
Nx
N(x, y) =
3(1 + 2x)y2 +e2x (e2x 2xe2x + 3y2)
xe2x + 3xy2
=3y2 + 6xy2 +e2x e2x + 2xe2x 3y2
xe2x + 3xy2 =
6xy2 + 2xe2x
xe2x + 3xy2
=2
(3xy2 +xe2x)
xe2x + 3xy2
= 2; entonces
(x) =e2dx =e2x es el factor integrante buscado.
Multiplicamos ahora la ecuacion original por dicho factor
e2x[(xe2x + 3xy2)dy+ [(1 + 2x)y3 +ye2x]dx] =e2x 0
=(x+ 3xy2e2x)dy+ [(1 + 2x)e2xy3 +y]dx= 0
Ahora considere M1(x, y) = (1 + 2x)e2xy3 +y y N1(x, y) =x+ 3xy
2e2x, ademasM1
y = 3(1 + 2x)e2xy2 + 1 = 3y2e2x + 6xy2ex + 1
N1
x = 1 + y2(3e2x + 3x2e2x) = 1 + 3y2e2x + 6xy2e2x por lo que se concluye que la
ecuacion es exacta.
Para resolverla se debe encontrar U(x, y) tal que U(x, y)
x = (1 + 2x)e2xy3 +y, y
U(x, y)
y =x
+ 3xy2e2x
.Ahora integremos con respecto a y la derivada parcial con respecto a y
U(x, y) =
U(x, y)
y dy =
(x+ 3xy2e2x)dy= xy +xy3e2x +p(x)
7/21/2019 Ejercicios Resueltos Arturo
4/6
=U(x, y) =xy +xy3e2x +p(x) (*)
Ahora derivamos (*) con respecto x
U(x, y)
x =y +y3(e2x + 2xe2x) +p(x) =y + (1 + 2x)y3e2x +p(x)
=y + (1 + 2x)y3e2x +p(x) = (1 + 2x)e2xy3 +y ==p(x) = 0 =p(x) =C
Por lo tanto xy+xy3e2x =Ces la solucion general de la ecuacion diferencial.
(e) (x2 + 4)y + 3xy = x
Solucion
La ecuacion se puede reescribir como y + 3x
x2 + 4y =
x
x2 + 4.
La ecuacion es claramente lineal de primer orden, se debe buscar un factor integrante
que en este caso particular viene dado por: e
3x
x2+4dx
Ahora resolvemos
3x
x2 + 4dx,
hacemos la sustitucion u= x2 + 4 =du = 2xdx= du
2
=xdx, entonces 3x
x2 + 4dx=
3
2
du
u =
3
2ln(x2 + 4) +C.
As e
3x
x2+4dx
=e3
2ln(x2+4) =eln(x
2+4)32 = (x2 + 4)
3
2 es el factor integrante buscado.
Ahora multiplicamos la ecuacion por el factor integrante
(x2 + 4)3
2 y + 3x(x2 + 4)1
2 y=x(x2 + 4)1
2
=
(x2 + 4)3
2 y
=x(x2 + 4)1
2
=
(x2 + 4)
3
2 y
dx=
x(x2 + 4)
1
2 dx
=(x2 + 4)3
2 y=
x(x2 + 4)12 dx
Ahora resolvemos
x(x2 + 4)
1
2 dx,
hacemos la sustitucion u= x2 + 4 =du = 2xdx= du
2 =xdx, entonces
x(x2 + 4)
1
2 =1
2
u
1
2 du=1
2
u3
2
32
=(x2 + 4)
3
2
3 +C
As (x2 + 4)3
2 y=(x2 + 4)
3
2
3
+C=y =1
3
+ C
(x2
+ 4)
3
2
(f) (ey 2xy)y =y2
Solucion
Primero reescribimos la ecuacion (ey 2xy)dy
dx = y2. Vamos a resolver la ecuacion
intercambiandox con y como si x fuera funcion de y; entonces
(ey 2xy)dy
dx=y2
= dx
dy =
ey
y2
2
y x
= dx
dy +2y x= ey
y2
Buscamos un factor integrante
e 2
ydy =e2 ln|y| =eln y
2
=y2
7/21/2019 Ejercicios Resueltos Arturo
5/6
Multiplicando la ecuacion por el factor integrate
y2 dx
dy+y2
2
y x= y2
ey
y2
=y2dx
dy+ 2yx = ey =(y2x) =ey =
(y2x)dy =
eydy =y2x= ey +C
(g)
dy
dx =
x+ 3y
3x+ySolucion
dy
dx=
x+ 3y
3x+y
= dy
dx=x
1 + 3 y
x
x
3 +y
x
= dydx
=1 + 3
y
x
3 +y
xLa ecuacion es una ecuacion diferencial homogenea; hacemos la sustitucion
u= y
x=y =ux, ademas y =ux+u. Sustituyendo en la ecuacion se tiene
ux+u=1 + 3u
3 +u =x
du
dx=
1 + 3u3 +u
u =xdu
dx=
1 + 3uu(3 +u)3 +u
=xdu
dx=
1 + 3u3uu2
3 +u =x
du
dx=
1u2
3 +u =
u+ 3
1u2du=
dx
x
=
u+ 3
1u2du=
dx
x
Calculemos usando fracciones parciales
u+ 3
1u2du
u+ 3
1u2 =
u+ 3
(1u)(1 +u)=
A
1u+
B
1 +u=
A(1 +u) +B(1u)
(1u)(1 +u) entonces
u+ 3 =A(1 +u) +B(1u)
Si u= 1 entonces 1 + 3 =B(11) =2 =2B ==B =1
Si u= 1 entonces 1 + 3 =A(1 + 1) =4 = 2A=A = 2
Entonces
u+ 3
1u2du=
2
1u
1
1 +u
du= 2 ln| 1u | ln| 1 +u | +C
Por ultimo 2 ln| 1u| ln| 1 +u |= ln| x | +C
= 2 ln1 y
x
ln 1 + yx
= ln| x | +C(h) ydx+x(ln xln y1)dy = 0, y(1) =e
Solucion
ydx+x(ln xln y1)dy= 0 =x(ln xln y1)dy=ydx = dy
dx=
y
x(ln xln y1)
= dy
dx=
y
x(ln yln x+ 1)=
dy
dx=
y
x
1
lny
x
+ 1
La ecuacion es una ecuacion diferencial homogenea; hacemos la sustitucion
u= y
x=y =ux, ademas y =ux+u. Sustituyendo en la ecuacion se tiene
ux+u= u
ln u+ 1=ux=
u
ln u+ 1u=
du
dx=
uu(ln u+ 1)
1 + ln u
=x dudx
= uu ln uu1 + ln u
=x dudx
= u ln u1 + ln u
=(1 + ln u)u ln u
du= dxx
=
(1 + ln u)
u ln u du=
dx
x
7/21/2019 Ejercicios Resueltos Arturo
6/6
Ahora se calcula
(1 + ln u)
u ln u du. Hacemos la sustitucion
z= ln u=dz= 1
udu,entonces
(1 + ln u)
u ln u du=
1 +z
z dz=
1
z+ 1
dz= ln |z| z+C
= ln | ln u| ln u+C. Por ultimo se tiene que ln | ln u| ln u= ln |x| + C= ln
ln yx
ln yx
= ln |x| + Ces la solucion generalde la ecuacion diferencial.
Ahora se debe encontrar la solucion particular que cumpla que y(1) = e para estosustituimos en la solucion general antes encontrada
lnln e
1
ln e1
= ln |1|+C=01 = 0 +C=C=1As ln
ln yx
ln yx
= ln |x| 1 es la solucion buscada.(i) x+y2 +
1
x dx(2xy)dy = 0
Solucion
La solucion se reescribe como
x+y2 +
1
x
dx+ (x+y2)dy = 0
Hacemos el cambio de variable u= x+y =u = 1 +y = du
dx 1 =
dy
dx=dudx = dy
Ahora sustituyendo
(u 2 +1
x)dx + (u 2)(du dx) = 0 =(u 2)dx +
dx
x + (u 2)du (u 2)dx= 0
=
dx
x + (u
2)du
= 0 =(u
2)du
=
dx
x =
(u
2)du
= dx
x
= u2
2 2u= ln |x|=
(x+y)2
2 2(x+y) = ln |x|
(j) 2xyy = 4x2 + 3y2
Solucion
La ecuacion se reescribe como
2xyy = 4x2 + 3y2 =y = 4x2
2xy+
3y2
2xy =y = 2xy1 +
3
2xy
=y 3
2xy= 2xy1. Es claro que la ecuacion es de Bernoulli.
Multiplicamos la ecuacion por yyy
3
2xy2 = 2x, haciendo el cambio de variable z=y2 =z = 2yy =
z
2 =yy
Sustituyendo se tiene quez
2
3
2xz= 2x. Multiplicando por 2 se tiene que z
3
xz= 4x.
La ecuacion resultante es una ecuacion lineal de primer orden. Buscamos un factorintegrante
e 3
xdx =e3 lnx =eln x
3
=x3
Multiplicamos la ecuacion por el factor integrante
x3z 3x4z= 4x2 =(x3z) = 4x2 = (x3z)dx= 4x
2dx
=x3z=4
x +C=z=4x2 +C x3 =y2 =4x2 +C x3
Realizado por Prof: Arturo Vega Vasquez