Post on 20-Sep-2018
Ejercicios Resueltos de Cálculo III.
1.- Considere y .
a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección.
Solución:
b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas.
Solución:
Como las rectas de cortan resulta que determinan un plano. Consideremos el punto de intersección que pertenecerá al plano buscado. Necesitamos el vector normal al plano.
Lo podemos hallar con:
2.- Demuestre, usando el producto triple escalar, que los cuatro puntos , son coplanarios.
Solución:
3.- Demuestre que la distancia entre planos paralelos y
viene dada por la fórmula:
Solución:
La distancia entre ambos planos y vendrá dada por la distancia de a , donde:
4.- Considere el plano dado por y la recta de ecuación
. Determine el valor de tal que el plano y la recta sean paralelas.
Solución:
5.- Determine un punto que equidista (es decir, que se encuentra a la misma distancia) del plano y el punto .
Solución:
6.- Calcule el volumen de la región limitada por el cono y el paraboloide
.
Solución:
7.- Determine el valor de , si y .
Solución:
8.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza , para mover una
partícula desde el punto al a lo largo de la curva .
Solución:
9.- Calcule la integral de línea , siendo el contorno de la
región rectangular cerrada, con vértices en los puntos y .
Solución:
10.- Demuestre que:
Solución:
11.- Encuentre un vector perpendicular al plano determinado por y . Encuentre el área del triangulo .
Solución:
12.- Considere los planos . Encuentre las ecuaciones paramétricas, si existen, para la intersección.
Solución:
13.- Sean y , las ecuaciones de una recta y un
plano respectivamente.
a) Encontrar
Solución:
b) Determinar la ecuación de la recta contenida en π, que pasa por , y es perpendicular a .
Solución:
14.- Encontrar sabiendo que: y .
Solución:
15.- Dados los planos Encuentre la ecuación vectorial de la recta determinada por la intersección de los planos y
Solución:
16.- Dada la curva y el punto . Hallar la ecuación de la
recta tangente en dicho punto.
Solución:
17.- Dados los vectores . Encuentre el volumen del paralelepípedo con lados adyacentes .
Solución:
18.- Si los vectores y forman entre si un ángulo de grados y . Calcule de
modo que sea perpendicular a .
Solución:
19.- Calcular la distancia entre los dos planos:
Solución:
Los planos son paralelos. Ahora bien, la distancia entre los dos planos paralelos será la distancia de un punto de uno de los planos al otro plano . Elegimos entonces un punto del plano :
Del plano sabemos que:
20.- Calcular la distancia entre el punto y la recta .
Solución:
21.- Hallar la curvatura de en e .
Solución:
Derivando implícitamente respecta a :
Derivando implícitamente respecto a x de nuevo:
Cuando e :
Así, reemplazando en la fórmula:
22.- La masa de un cuerpo laminar se describe por , donde se
muestra en la figura:
a) Usando el cambio de variables: , graficar el dominio del plano
Solución:
Haciendo el cambio de variable, tenemos:
Observe que la transformación dada es la inversa de .
b) Aplicando el teorema del cambio de variables, calcular usando las variables
Solución:
23.- Encontrar el volumen del sólido limitado por:
Solución:
24.- Sea . Demuestre que es independiente de
la trayectoria que pasa por dos puntos dados.
Solución:
25.- Use coordenadas cilíndricas para hallar el volumen de la región encima del plano y el
cilindro .
Solución:
26.- El área de una hoja es de . Se desea escribir un texto, el cuál debe estar centrado con márgenes de a ambos lados y arriba y abajo. Determine cuáles son el largo y el ancho que maximizan el área del texto.
Solución:
27.- Sea . Calcule .
Solución:
28.- Determine el volumen del sólido acotado por las curvas , ,
.
Solución:
29.- Si , donde ; y tiene derivadas parciales continuas de segundo
orden, pruebe que:
Solución:
30.- Calcule el máximo de la función sobre la curva de intersección
del plano con el cilindro .
Solución:
33.- Encuentre el valor de la derivada direccional de la función en el
punto en la dirección que va desde hasta el punto .
Solución:
34.- Si , determine el valor de la expresión:
Solución:
35.- Calcule el ángulo entre los gradientes de las funciones y en el punto .
Solución:
36.- Determine la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto .
Solución:
37.- Encuentre los valores extremos de la función si está en la elipse
.
Solución:
38.- Use integrales triples para calcular el volumen del sólido que está dentro del cilindro
y en el elipsoide .
Solución:
39.- Considere la función . Determine el o los máximos y mínimos si es que existen de la función dada.
Solución:
Puntos críticos:
Evaluando:
40.- Verifique el Teorema de Green para , donde es la
frontera, tomada con orientación positiva, de la región acotada por las gráficas y
.
Solución:
41.- La ecuación de estado de un Gas Ideal está dada por , donde y son constantes. Considere el volumen como una función de la tempratura y la presión .
a) Calcule
Solución:
b) Demuestre que
Solución:
42.- Sea . Calcule la integral usando el
cambio de variable .
Solución:
Así, el cambio de variable transformará la región del plano , encerrada por las rectas dadas en la región del plano encerrada por .
43.- Hallar el volumen de la región sólida formada por la intersección de la esfera
con el cilindro .
Solución:
46.- Si y entonces:
Solución:
47.- Hallar la máxima distancia al origen de la recta obtenida al interceptar los planos .
Solución:
48.- Determine el volumen del sólido limitado por las curvas .
Solución:
49.- Encuentre el volumen de la región limitada por el plano y el paraboloide
.
Solución:
50.- Calcular el área comprendida entre las curvas
Solución:
51.- Sea , donde y . Determinar
el valor de la integral.
Solución:
52.- Determinar el área de la superficie de la esfera interior a
.
Solución:
53.- Sea . Encuentre el plano tangente, si existe, a la
superficie en el punto .
Solución:
Como y son funciones diferenciables en , entonces es
diferenciable en (sus derivadas parciales existen y son continuas).
Luego es diferenciable en y:
Así, el plano tangente a en está dado por:
54.- Encontrar la derivada direccional de la divergencia de en el punto en la
dirección de la normal exterior a la esfera , donde
.
Solución:
55.- Permutar el orden de integración de:
Solución:
56.- Sea un campo escalar y un campo vectorial dado por
. Suponga que existen las derivadas parciales y que éstas son
continuas. Demuestre que:
Solución:
57.- Use coordenadas polares para combinar la suma dentro de una integral doble y resuelva:
Solución:
58.- Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva orientada de manera positiva:
Donde consiste del segmento de recta que va desde a y de la curva con .
Solución:
Se tiene, usando el Teorema de Green en el plano:
Aquí:
Se tiene:
59.- Determine el volumen del sólido que está encima del cono y debajo de la esfera
.
Solución:
60.- Demuestre que la integral de línea dada es independiente de la trayectoria y evalúe la integral.
Donde es cualquier trayectoria que va desde – hasta .
Solución:
Es decir, existe con . Así, la integral es independiente de la trayectoria se tiene:
Integrando con respecto a se tiene:
Se tiene:
61.- Dadas las funciones . Demostrar que las ecuaciones diferenciales
y se pueden escribir en coordenadas polares como:
Solución:
62.- Calcular la derivada direccional de en el en la máxima dirección.
Solución:
63.- Una caja rectangular descansa sobre el plano con un vértice en el origen. Determinar el volumen máximo de la caja si su vértice opuesto al origen pertenece al plano
.
Solución:
64.- Sea
a) Demuestre que es un campo conservativo
Solución:
b) Encuentran el potencial escalar
Solución:
c) Calcule donde está dada por:
Solución:
65.- Calcule , donde es la frontera de la región situada entre las
gráficas de y .
Solución:
66.- Un alambre de longitud se divide en dos trozos de modo que con el primer trozo se construye un cuadro y con el segundo una circunferencia. Determine la longitud de cada trozo de modo que la suma de las áreas de las figuras geométricas sea mínima.
Solución:
67.- Sea . Determine el valor de , si existen, de modo que:
Solución:
68.- Utilice el Teorema de Green para calcular la integral , donde
es la frontera de la región situada en el interior del rectángulo limitado por y en el exterior del cuadrado limitado por .
Solución:
71.- Dada una curva en el espacio por las ecuaciones paramétricas
hállese la ecuación del plano que pasa por el punto de la curva y que es
perpendicular a la tangente a la misma en dicho punto.
Solución:
72.- Una placa circular, cuyo contorno es , se calienta de tal modo que la
temperatura en el punto es . Determine los puntos más calientes y más fríos de la misma y hállese la temperatura en cada uno de ellos.
Solución:
73.- Determine el volumen del sólido cuya base es la región del plano que limitan la
parábola y la recta , mientras que su tejado es el plano .
Solución:
74.- Al expresar el volumen situado por debajo del plano en cierta región del plano se obtuvo la siguiente suma de integrales iteradas:
Dibuje la región y exprese mediante una integral iterada, en la cual se haya invertido el orden de integración.
Solución:
75.- Calcular , siendo y la superficie
del cono encima del plano .
Solución:
77.- Determinar el exponente constante λ, de modo que:
Sea independiente de la trayectoria, si la función está definida en una región simple convexa.
Solución:
Para que la integral sea independiente de su trayectoria es necesario que:
78.- Calcular , en que y es la frontera de la
región .
Solución:
Por teorema de la divergencia:
Pero:
Aplicando coordenadas esféricas:
79.- Sea en que y , demuestre que:
Solución:
Por teorema de Stokes:
Pero:
Análogamente:
80.- Dada la función byaxeyxuz += ),( y 02
=∂∂
∂yx
u, halle los valores de la constante a y b,
tales que 02
=+∂∂
−∂∂
−∂∂
∂ zyz
xz
yxz
.
Solución:
byaxbyaxbyaxbyax
byaxbyax
byaxbyax
eyuae
yxue
xubeyxabu
yxz
eyueyxub
yz
exueyxua
xz
++++
++
++
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
+=∂∂
∂
∂∂
+=∂∂
∂∂
+=∂∂
22
),(
),(*
),(*
Por lo tanto
]
∂∂
−+∂∂
−++−−=
+∂∂
−−∂∂
−−∂∂
+∂∂
+=
+∂∂
−−∂∂
−−∂∂
+∂∂
+=
+∂∂
−∂∂
−∂∂
∂
+
+
++++++++
yua
xububaabe
uyubu
xuau
yua
xubabue
ueeyubuee
xuauee
yuae
xubabue
zyz
xz
yxz
byax
byax
byaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyax
)1()1()1(
)(
2
Por lo tanto,
01)1()1()1)(1(111
=+−−=+−−==
baabba
81.- Determine los valores extremos de la función xzyzxyzyxf ++=),,( sobre la esfera
.3222 =++ zyx
Solución:
Sea )3( 222 −+++++= zyxxzyzxyF λ
(i.) 02 =++=∂∂ xzy
xF λ
(ii.) 02 =++=∂∂ yzx
yF λ
(iii.) 02 =++=∂∂ zxy
zF λ
(iv.) 03222 =−++=∂∂ zyxFλ
De (i.) –(ii.):
yxSixy
yxxy
=≠−=−−−
=−−+021;0)21()21(
022λλλ
λλ
De (i.)-(iii.)
xzSixz
zxxz
=≠−=−−−
=−−+021,0)21()21(
022λλλ
λλ
Reemplazando en (iv.): 03222 =−++ xxx
111
±=±=±=
zyx
Max: 3)1,1,1( =±±±F
Min: 2)1,1,1( −=±±±F
82.- Halle el valor de la integral ∫∫∫R
dzdydxzyx 22 con R definido por
10,122 ≤≤≤+ zyx .
Solución:
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫∫∫
∏
=
∏
= = =
∏
= = =
=
=
=
2
0
22
2
0
1
1
1
0
225
22
0
1
1
1
0
222
cos21*
61
cos
)()()()cos(
θ
θ ρ
θ ρ
θθθ
θρθθρ
θρρθρθρ
dsen
dddzzsen
dddzzsendzdyzdxyx
z
zR
De 22cos θθθ sensen =
Tenemos 4
2cos2
22 θθθ sensen =
De 2
2cos12 αα −=sen
Tenemos: 2
4cos122 θθ −=sen
Por lo tanto, θθθθ 222
cos8
4cos14
2 sensen=
−=
[ ]48
2961
84cos1
121 2
0
∏=∏=
−= ∫
∏
θθ d
83.- Calcule la integral ∫∫S
dSnF
* con )2,,( zyxF =
y S es la superficie externa del sólido
acotado por .0122 =−=+ zyzyx
Solución:
∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫=⋅∇=⋅
=++=⋅∂∂
∂∂
∂∂
=⋅∇
S R R
dvdvFdsnF
zyxzyx
F
4
4211)2,,(),,(
∏=
−∏=
−∏⋅=
=
∫
∫ ∫ ∫
=
∏
= =
−
=
241
218
)1()2(4
4
1
0
2
2
0
1
0
1
0
2
ρ
θ ρ
ρ
ρρρ
θρρ
d
dddzz
84.- Calcule la integral de línea ∫ +C
xyxy dyxedxye , donde C es la curva formada por los
siguientes segmentos de rectas:
Punto Inicial )1,2()2,1()2,1()1,2()1,2()2,1()2,1()1,2( −→−→−−→−−→−→−→→Punto Final
Solución:
Como el campo asociado al diferencial es conservador, ya que
),()( xyxyxyxy yey
xyeexex ∂
∂=+=
∂∂
se tiene que la integral de línea es independiente de la
trayectoria, y por lo tanto:
22
1
1
2 12e
edte
dyxedxyedyxedxye
t
xy
C
xy
C
xyxy
+−=−=
+=+
∫
∫∫
−
+
Donde 11),,2()(:* ≤≤−= tttC γ
85.- Qué puede decir de ∫∪
+*
,CC
xyxy dyxedxye donde .11,2)(:* ≤≤−+= tjtitrC
Solución:
La integral de línea es nula, ya que
0)(* rConservadoCampoDdeGreenTeorema
xy
CC
xy dAyP
xdyxedxye =
∂∂
−∂∂
=+ ∫∫∫∪
θ
Donde D es la región plana limitada por la curva cerrada *CC ∪ y xyxy xeyxQyeyxP == ),(,),(
86.- Calcular ∫ ⋅C
dsnF
donde kxyjxyixzF
32 ++= y C es la frontera de la parte del
plano 33 =++ zyx que está en el primer octante.
Solución:
Por Teorema de Stokes, se tiene que:
dARygQ
xgPdsnFrotdrF
C S D∫ ∫∫ ∫∫
+
∂∂
−∂∂
−=⋅=⋅
Donde ),(33: yxgyxzS =−−= orientada hacia arriba limitada por la curva C en el primer
octante. D es la proyección de S en el plano xy
RQPkyjyxixFrot
2)3(3 +−+=
)92339(21)9
369
278(
21
)96978(21)91896060(
21
)2
)9189(3030()2
)33()33(10(
)2
10()10(
)10(
3232
1
0
1
0
222
1
0
22
1
0
2
1
0
21
0
33
0
xxxxxx
dxxxdxxxxx
dxxxxxdxxxx
yxydxdyyx
dAyxdrF
xC D
−−=−−=
−−=−+−−=
+−−−=
−−−=
−=−=
−=⋅∴
∫ ∫
∫∫
∫∫ ∫
∫ ∫∫−
27)92339(
21
=−−=
87.- Determinar el valor de la integral , donde es la región limitada por el
cilindro y los planos , arriba del plano .
Solución:
88.- Evaluar, usando algún tipo de coordenadas, la integral:
Solución:
89.- Dado el campo vectorial . ¿Es posible
afirmar que es nula si , definida por es una curva simple cerrada?
Solución:
90.- Si calcule el trabajo realizado por al desplazar una particula a
lo largo del segmento de recta que va desde el punto al punto . Evalúe sin utilizar una función de potencial.
Solución:
91.- Si y , donde α es constante, mostrar que:
Solución:
92.- Dada la elipse con centro en el origen. Encuentre los puntos más alejados del origen, determinando así su eje mayor.
Solución:
93.- Calcular:
Solución:
94.- Determinar el volumen del sólido limitado superiormente por , lateralmente
por , y debajo por el plano .
Solución:
95.- Calcular la integral para y .
Solución:
Usando el teorema de la divergencia, se tiene:
96.- Hallar el plano tangente a la recta normal a la superficie en el punto .
Solución:
Sea . Entonces, el vector es normal a la superficie . En particular, el vector normal a la superficie dada en el punto
, es .
97.- Dada , hallar el valor de la expresión .
Solución:
98.- Resolver la integral doble .
Solución:
99.- Determinar el valor de la integral , donde es la frontera de
la región encerrada por .
Solución: