Ejercicios Resueltos de Integrales Definidas

Lic. Jesús Rule Flores Cruz Matemática II-A

Como se verá más adelante, para definir el área de una región en el plano cartesiano,acotada por una curva, el ejex y las rectas x = a y x = b, se requiere hallar la suma de muchostérminos; para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria.

Sumatoria:

Propiedades de la sumatoria:

Área:Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un rectángulo(producto de la base por la altura), de aquí se deduce que el área de un triángulo rectángulo esigual a "un medio del producto de los catetos". La trigonometría facilita una fórmula parahallar la medida de cualquier clase de triángulo: "el área de un triángulo cualquiera es igual aun medio del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman dichos lados".Debido a que un polígono se puede descomponer en triángulos, la obtención de su área seconsigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se ha dividido. Esteprocedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos derectas. Para medir el área de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro método,que es el que vamos a estudiar a continuación.

(fig.1)

(fig.2)

(fig.3)

Definición:

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 3 halle la suma por medio de la definición de sumatoria. En los ejercicios 4 a7 evalúe la suma que se indica utilizando las propiedades de la sumatoria. En los ejercicios 8 a 11evalúe el área de la región dada; emplee rectángulos inscritos o circunscritos según se indique. Paracada ejercicio trace una figura que muetsre la región y el i-ésimo rectángulo.

S o l u c i o n e s

8. Solución:

9. Solución:

10. Solución:

11. Solución:

Integración numérica

La integral definida

Partición de un intervalo cerrado:

Suma de Riemann:

La integral definida:

Teorema:

Área:

S o l u c i o n e s

Propiedades de la integral definida

S o l u c i o n e s

Teorema del valor medio para la integral definida

La siguiente propiedad de la integral definida sirve de base para demostrar el Primer Teoremafundamental del cálculo.

En los ejercicios 3 a 6, utilice le Teorema del valor medio para la integral definida, PID11, para demostrarla desigualdad dada.

S o l u c i o n e s

Teoremas fundamentales del cálculo

Primer teorema fundamental del cálculo:

Segundo teorema fundamental del cálculo:

En los ejercicios 1 a 14, evalúe la integral definida.

En los ejercicios 15 a 21, calcule la derivada.

Nota: para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas técnicas de integración, por elmomento sólo es indispensable aprender la integración directa y la integración por sustitución.

S o l u c i o n e s

Integración numérica

Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, es precisoobtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen diversos métodos para hallarla integral indefinida de una cantidad considerable de funciones, existen funciones para lascuales estos métodos no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de laintegración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral definida de unafunción continua en un intervalo cerrado con la exactitud deseada. En este apartado vamos aestudiar dos métodos de integración numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson(debida a Thomas no a Homero).

En los ejercicios 1 a 3, use (a) la Regla del Trapecio y (b) la Regla de Simpson, con el valor de nindicado para estimar las integrales definidas. Aplique valores aproximados de f (xk) que tengan unaprecisión de cuatro decimales y redondee las respuestas a dos decimales.

Ninguna de las integrales definidas de los ejercicios 4 a 6 puede ser evaluada exactamente entérminos de funciones elementales. Utilice la Regla de Simpson, con el valor de n que se indica, paradeterminar un valor aproximado de la integral definida dada. Exprese el resultado con tres cifrasdecimales.

S o l u c i o n e s

Área de una región en el plano

En los ejercicios 1 a 14, encuentre el área de la región limitada por las curvas dadas. En cadaproblema haga lo siguiente: (a) trace una figura que muestre la región, así como un elementorectangular de área; (b) exprese el área de la región como el límite de una suma de Riemann; (c)determine el límite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teoremafundamental del cálculo:

S o l u c i o n e s

Longitud de arco de la gráfica de una función

Si la derivada de la función f, f ', es continua en el intervalo [a, b], se dice que f es alisada endicho intervalo.

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Tablas de integrales

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