Post on 10-Jul-2015
ELECTROSTÁTICA
Este capítulo constituye un pre-apunte (o sea, no llega a ser un apunte) cuya única función es facilitar la redacción
de los apuntes en clase por parte del alumno. Contiene gráficos, formulas y explicaciones muy elementales de
los contenidos que se dictan en la clase teórica a mi cargo, de forma que los participantes de la misma puedan
completar en los espacios en blanco lo que consideren necesario. De ninguna manera reemplazan la bibliografía
sugerida y se debe tener en cuenta que no han sido corregidos exhaustivamente
ELECTROSTÁTICA Interacciones eléctricas de cargas en reposo
Interacciones: acciones a distancia (Excluimos las de contacto)
Existen 4 interacciones (conocidas) en la naturaleza
gravitatoria (peso, cuerpos celestes; dominante a escala cosmos)
electromagnética (átomos y móleculas, uniones químicas)
nuclear fuerte (cohesión nuclear)
nuclear débil (emisión β radiactiva)
todas las demás son interacciones de contacto
La más conocida: Interacción gravitatoria: expresada por la existencia de fuerzas atractivas entre cuerpos
221
rmmF ∝
F depende solo de mi y r
F siempre atractiva
Interacciones eléctricas
Se observa que experimentalmente que
algunos cuerpos interactuan entre si con F≠ FG
esas interacciones son atractivas o repulsivas (≠ FG)
dependen de una propiedad llamada carga eléctrica (q)
decaen con r de acuerdo a 1/r2
O sea
2
1r
F ∝r
rqq
F (r2
21∝Ley de Coulomb
21 qqF ∝ qi: cargas puntuales
Fr
en dirección q1- q2, y → ← o ← →++ Repulsiva
- - Repulsiva
+ - Atractiva
Carga eléctrica (q)Masa: magnitud física, “medida
de la cantidad de materia” aFm =En realidad
Magnitudes físicas: características cuantificables mediante procesos de medición definidos (mediciones objetivas)
Ej.: longitud, masa, conductividad térmica, calor específico, emisividad, dureza, elasticidad, resistencia a la tracción, .........................
Ej. de características que no lo son: belleza, simpatía, actualidad, valor, interés, influencia,..................... Importancia!
Que es q? Magnitud física causante de F eléctrica
“Ubicación”de la carga eléctrica? A nivel atómico y nucleare
p quark
“nombre” de la carga define el sentido de la fuerza actuando como signo matemático en la
ley de Coulomb
Como medir q? Por su relación con magnitudes conocidas
F
mg
T Como F atractiva o repulsiva =>2 tipos de q (±)
Cuerpo cargado: por desbalance de cargas(carga electrostática)
Necesidad de unidades ?111 Nmu =
2292 /109 CmNKr
rqqKF == (r
1C a 1m de 1C =>F= 9 109 N
Otra + útil (C)
Carga electrón (e): -1,6 10-19 C = - carga protón Carga míni-ma medida
q+ +_
Frq ∝
r
!!!
Valores compartivos
Comparación entre F eléctrica y Fuerza gravitatoria
39
10
273111
10
2199
1038,1
10)1067,1.101,9(1067,6
10)106,1(109
==
−
−−−
−
−
G
E
FF
A escala cósmica domina la FG y a escala atómica, la FE; que pasa?A medida que se acumula masa para formar planetas, estrellas y galaxias se acumula fuerza gravitatoria pero se compensa fuerza eléctrica pues átomos son neutros
10-15 10-10 10-5 1 105 1010 1015 m
Fuer
zas
nucl
eare
s
Fzas
. Ele
ctro
-m
agné
ticas
Fuerzas gravitatorias
Rangos de dominio
1% de desbalance de q a 1 m => F suficiente para sostener peso = Tierra!
Principio de superposición
q0
q2
q1F2-0
F1-0
FT
∑= iT FFr
Cargas puntuales
Cargas distribuidas
rdVr
qKF
rdVr
qKFd
V
(v
(r
∫=
=
20
20
ρ
ρ
rdV
ρ (c/m3)
dFq0
Ejemplos
a q0
λ C/m
rdlr
qFrdVr
qKFdl
(v(r∫== 2
092
0 109 λρ
dl
dF
r
ra
=αcos
( )∫∞
∞− +=
2322
09109la
dlaqFN
λ
( ) 22322
2ala
dl=
+∫∞
∞−
aqFN
2109 09 λ=
aFN
1∝
dFN
αcosdFdFN =
α
Componentes // al hilo se anulan
Hilo infinitoλ C/m
Plano infinito uniformemente cargado plano yz con σ C/m2
∫∫=yz
rr
dzdyqF ''
109 209 (v
σ
drrSd π2=v
En cilíndricas
Ra
=αcos
∫∞
=0
209 2109
Ra
RdrrqFN
πσ
( )∫∞
+=
02/3220
9 2109radrraqFN πσ
( ) aradrr 1
02/322=
+∫∞
09 2109 qFN σπ= FN independiente de a
Componentes // plano se anulan
En cartesianas dS=dy.dz
Sustitución drrdxrax 222 =⇒+=
x
y
z
aq0
rR
dr
αdF
r´
x
y
z
R
Esfera uniformemente cargada (ρ C/m3)
a
q0
r
r’
ϕ
θ
ϕθθ dddrrdV 'sen'2=
∫∫∫= dVr
qF20
9109 ρ
∫∫∫ −= ϕθθρ dddrsenr
raqF ''
'1109 2
209
rr
( )arararr ,'cos'' 222 −+=
2
32
2 34''
'1
aRdddrsenr
raπϕθθ =
−∫∫∫ rra
aRqF (
2
3
09
34109 πρ=
Es la misma fuerza que ejercería toda la carga de la esfera (Q) concentrada en el origenQR =ρπ 3
34
dF2
9 0109r
dVqdF
ρ=
Campo eléctrico
Si cargas quietas, ley de fuerza de Coulomb es sencilla, pe-ro si cargas en en movimiento las relaciones son complica-das por el retardo de la interacción (“viaja” a velocidad fini-ta de ~300.000Km/s) y por la aceleración
Conviene expresar la electrodinámica a partir del concepto de Campo eléctrico (y magnético)
Descripción con fuerzas
Descripción con campo
q q0F
qiEEqF i
vr=
E: intermediario de la interacción eléctrica
q
0qFEr
v=
q0: carga de prueba
Definición de campo eléctrico
000 qFE lim
q
rr
→= Para que q0 no modifique dis-
tribución de carga generadora [ ]CNE =
Así, E producido por una carga o una distribución de car-gas, puede pensarse como una propiedad del espacio
En general, Campo es toda magnitud física que toma un valor definido en cada punto del espacio
Ejemplos de campos escalares: de temperatura, de alturas, de presiones,...
Ejemplos de campos vectoriales: gravitatorio, eléctrico, de velocidades, magnético,....
Ejemplos de cálculo de campo eléctrico
Cargas puntuales:
rrqKr
qrqqKE ((v
20
20 1
==
r
q
Líneas de campo: puntos geométricos tangentes al vector E
q+
q-
Hilo infinito con densidad lineal de carga λ (C/m)
αcosdEdEN =
rdlr
ErdVr
KEdV
(r(r∫== 2
92 109 λρ
ra
=αcos
( )∫∞
∞− +=
2322
9109ladlaEN
λ
( ) 22322
2ala
dl=
+∫∞
∞−
aEN
2109 9λ=a
EN
1∝
λ+λ-
dENa
dl
r
λ C/mdE
l
Plano infinito uniformemente cargado (plano yz con σ C/m2)
En cartesianas dS=dy.dz ∫∫=yz
rr
dzdyE ''
109 29 (r
σ
En cilíndricas
Ra
=αcos
∫∞
=0
29 2109
Ra
RdrrEN
πσx
y
z
aq0
( )∫∞
+=
02/322
9 2109radrraEN πσ
( ) aradrr 1
02/322=
+∫∞
σπ2109 9=NE EN independiente de a
Componentes // plano se anulandrrSd π2=
v
rR
dr
αdF
σ+σ-
Sustitución drrdxrax 222 =⇒+=
x
y
z
R
a
E en exterior de esfera uniformemente cargada (ρ C/m3)
ϕθθ dddrrdV 'sen'2=
∫∫∫= dVr
E2
9109 ρ
( )arararr ,'cos'' 222 −+=
2
39
34109
aRE πρ=
Es el mismo campo que crearía toda la carga de la esfera (Q) concentrada en el origenQR =ρπ 3
34
29109
rdVdERr ρ
=>
2
32
2 34''
'1
aRdddrsenr
raπϕθθ =
−∫∫∫ rr
ρ+
ρ-ϕ
θ
∫∫∫ −= ϕθθρ dddrsenr
raF ''
'1109 2
29
rr
r
r’
dE
Ley de Gauss E en r 29109
rqE =
221290 /1084,8
10941 NmC−==
πε
0
22
0
44
1ε
πεπ
qrErqE =⇒=
0εqSE esfera=
r
dS
q
E
En la forma mas general ∫∫ =0
.εqSdE
rr
Flujo de un vector ∫∫=Φ SdArr
.A
dSφ =A dS
dS
φ=A
dS
cosα
dSφ = 0
ε0: permitividad en vacío
0
9
41109επ
=si
r
dS
E
'.´'4
1'.' 20
SdrrqSdE
r(vv
επ=
SdrrqSdE
r(vv.
41. 2
0επ=
22
.'
'.́r
Sdrr
Sdrr(r(
= ∫∫∫∫ ==⇒0
.'.'εqSdESdE
rrrr Vale para cualquier superficie cerrada
El flujo del vector campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada por esa
superficie dividida por la permitividad en vacío
Es esta ley general?∫∫ =
0
.εqSdE
rr
Ley de GaussdS
r’dS’
E’q
r
Ley de Gauss: una de las cuatro ecuaciones de Maxwell
Asemás: útil para calcular E en situaciones de alta simetría
E
Hilo infinito cargado con λ C/m
∫∫ =0
.εqSdE
rr
0
2ελπ llrE =
rE
02 επλ
=
Plano infinito con σ C/m2
E
S
0
2εσ SSE =
02 εσ
=E
Se pueden excluir las cargas externas a la sup. gaussiana en el cálculo de E porque si el hilo o el plano son infinitos E solo
tiene componentes normales a ellos
R
Esfera cargada uniformente en volumen ρ (C/m3)
ρπ 3
34 RQ =
dS E
0
24ε
π QrERr => rrQE (r
204
1επ
=
0
3
2 34
4ε
ρππ
rrERr =<
03ερrE =
E
rR
Es esta una forma general de calcular E? NO
Por ejemplo en la esfera, por que se usan solo las cargas
interiores a la superficie de integración?
dS2
dS1
r1
r2
2rdSKdE σ
=
2
2
22
1
1
rdS
rdS
=
Las cargas “exteriores” a sup. de integración compensan efectos
Ej: E de 2 cargas puntuales en A
A
q2
q1
E total en A no lo puedo calcular solo usando Gauss
con alguna de las cargasE1
E2ET
Solo en caso de simetría se pude calcular el ET
usando parte de la distribución de cargas
Empleo de la ley de Gauss para cálculo de E total: caso de 2 cargas
r2
q2
E2E
0
12
11 4ε
π qrE =
2
1
1
01 4
1rqE
επ=
En el punto o el campo total es E y no E1
En casos de alta simetría, las cargas “exteriores” a la superficie gaussiana se compensan por lo que se
puede calcular el E total considerando solo las cargas encerradas en ella. Pero en caso de falta de simetría,
el campo total usando Gauss debe calcularse por superposición, o sea, en este caso calculando también
E2 por Gauss y componiendo
q
r1
1
E1
o
b
b-a
a
R
Cálculo de E por superposición en geometrías complicadas
0
2
2 εππρ
lblRE =
E
Ojo! `EEET
rrr−=
`EEET −=
ET
∫∫ =0
.εqSdE
rr
E`
0
2
)(2`
εππρ
lablrE
−−
=r
Esfera uniformente cargada en superficie σ (C/m2)
σπ 24 RQ =
R 0
24ε
π QrERr =>
0=< ERr
rrQERr (r
204
1επ
=>
Igual al producido por Q en el origen
0=< ERr
Rr
E
r
Significado de la dicontinuidad
Distinto tipo de comportamiento eléctrico de los materiales
Conductores:Son aquello que permiten el movimiento de las cargas eléctricas en su interior (electrones débilmente ligados de órbitas exteriores en metales o iones)
Metales +++
+ + +
Electrolitos + -
Polarización +q - +
Aislantes o dieléctricos: materiales que por el tipo de unio-nes químicas no presentan portadores libres (cargas con capacidad de desplazarse)
Semiconductores: materiales que en condiciones nor-males se comportan como aisladores pero que ante determinadas solicitudes (potencial eléctrico, radiación,..) se comportan como conductores
Superconductores: materiales que en determinadas condi-ciones permiten que los electrones se mueven sin ningún tipo de dificultad (no presentan resistencia eléctrica)
R
r
Comportamiento electrostático de los conductoresSi hay carga en r < R => hay E en r, y si el material es conductor (hay cargas libres) estas se deben mo-ver (alejándose) por acción de E
En situación electrostática, q en superficie en los conductores
Rr
E
E= 0 dentro de los conductores en
situación electrostática
E creado por carga superficial debe ser normal a S en la
superficie pues sino habría componente tangencial y cargas
se moverían
24 RQπ
σ =
∫∫ =⇒=00
.εσ
ε nEqSdErr
Ley de gauss en forma diferencial
∫∫ =0
.εqSdE
rrExpresión integral de la Ley de Gauss
S∫∫∫∫
∫∫∫∫ ∫∫
+−
+=
23
31
..
...
SS
SS
SdESdE
SdESdESdE
rvrv
rvrvvv
∫∫ ∑ ∫∫=i i
SdESdErrrr
..
EV
SdElim
iVi
vvr
..
0∇=∫∫
→
∫ ∫
∑ ∫∫∫∫
==∇=
=→
00
0
.
.lim.
ε
ρ
ε
dVqdVE
VV
SdESdE
ii
iVi
v
vrvv
0
.ερ
=∇ Er
S1S3 S3 S2
Teorema de la divergencia
i
i
VV
E
zE
yE
xE
V
SdElimEEDiv zyx
i
S
Vi ∂∂
+∂
∂+
∂∂
==∇= ∫∫→
rrrr .
.0
x
y
zΔy
Δx
Δz
zyEE xxxxxx ΔΔ− Δ−
Δ+
]))[22
yxEExzEEzyEESdE zzzzzzyyyyyyxxxxxx ΔΔ−+ΔΔ−+ΔΔ−= Δ−
Δ+
Δ−
Δ+
Δ−
Δ+∫∫ ]))[]))[]))[.
222222
rr
...........2!2
12
))2
2
2
2
±⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+Δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
±=Δ±
xxEx
xEEE
x
x
x
xxxxxx
yxzzEz
zE
xzyyE
yy
Ezyx
xEx
xE
z
z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x
ΔΔ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+ΔΔ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+ΔΔ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
....2!3
2
....2!3
2....2!3
2
3
3
3
3
3
33
3
3
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ΔΔΔ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂ 333 ,, zyxo
zE
yE
xE
z
z
y
y
x
x zE
yE
xE
VSdE
lim zyx
i
S
Vi ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∫∫→
rr.
0
Teorema de la Divergencia o de Gauss
En dirección x
Ejemplo: pared ∞ de ancho d y densidad de carga uniforme ρ
∫∫ =0
.εqSdE
rr
00 22
2 ερ
ερ dEdSSEdx =⇒=>
00
222 ε
ρε
ρ xExSSEdx =⇒=<
0
0
0
22
22
22
ερερε
ρ
dEdx
xEdxd
dEdx
−=−<
=<<−
=>d
E En x ±d/2 las soluciones convergen
0
.ερ
==∇dxEdEr
r
d
E
x
β
ερ
ερ
α
==−<
+==<<−
==>
EdxdEdx
ctexEdxdEdxd
EdxdEdx
02
22
02
00
Condiciones de borde
=± )2
( dE βα
βαβε
ραε
ρ−=⇒=−=
00 22dd
00)0( =⇒= cteE
0
0
0
22
22
22
ερ
ερε
ρ
dEdx
xEdxd
dEdx
−=−<
=<<−
=>
Energía electrostáticaEnergía potencial:
gravitatoria
elástica 2
21 xkE
hgmE
PE
PG
Δ=Δ
Δ=Δ
)()( propiasFzasWExtFzasWEP −==Δ
∫ ∫−== ldFldFW ext
rrrr.. int
Δhmg
-mgSi cae (acción espontánea que no requiere interven-ción externa) el sistema (masa-Tierra) pierde energía potencial. Si sube (solo posible por acción de un agente externo) el sistema gana energía potencial
Como medir EP?. Solo por el trabajo realizado para crear la situación concreta sin el agrado de ningún otro tipo de energía (EC), o sea con F= - F(propia) y en pasos infinitesimales para no acelerar
Energía electrostática de un sistema de dos cargasq(+) q1 ∫∫
∞∞
−==Δrr
extFext rdEqrdFW rrrr.. 1
EP
r
q1 +Fext
q1 - Fext
∫∞
−=Δr
Fext rdrqqW 21
041επ
rqqEW PFext
14 0
1
επ=Δ=Δ
++ o -- : (fuerzas repulsivas) la energía potencial aumenta cuando acerco las cargas (solo posible por acción de un agente exterior)
+ - : (fuerzas atractivas) la energía potencial disminuye cuando acer-co las cargas (espontáneo)
Si cargas van de r1 a r2
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−==Δ ∫
120
12
0
1 1144
2
1 rrqq
rdrqqE
r
rP επεπ
ΔE>0 si ++ o -- y acerco o si +- y alejo y <0 si ...
Fuerza de Coulomb es conservativa, o sea el W necesario para mover una carga entre dos puntos es independiente del camino recorrido (Idem fuerzas gravitatorias)
drrqqldr
rqqldFdW C 2
1
02
1
0 41.
41.
επεπ===
r(rr
Caso gravitatorio sin fr haααsenagmhgmW ==Δ
q q1
r
dl
ldrrdr(r .=
r(
Ejemplo: v necesaria para acercar a un núcleo de Tritio y otro de Deuterio a distancia de 10-15 m para producir fusión
En sistema CM
pn n
T
VT
pn
D
VD
D
TTDDDTT M
VMVVMVM =⇒=− 0
dqqVMVM DT
DDTT0
22
41
21
21
επ=+
Kgm
MMmm
Cqq
e
DTpe
DT
31
19
101,923
2000
106,1
−
−
=
=≈≈
==
smVsmV
D
T
/105,6/103,4
6
6
=
=
En un gas velocidad es proporcional al cuadrado de la temperatura; las
velocidades anteriores equivalen a temperaturas del orden de 107-108 °K
Energía electrostática de un sistema de cargasq1
q2
q3
00 =Δ⇒=Δ PEW
r1-2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=Δ
−−− 320
32
310
31
210
21 14
14
14 r
qqr
qqr
qqEP επεπεπ
r1-3
r2-3
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=Δ
−210
21 14 r
qqEP επ
EP de un sistema de cargas puntuales ∑≠ −
=Δji ji
jiP r
qqE
041επ
Energía electrostática de cargas distribuidas
∫∫∫ −=⇒=
'sen'
441 2
0
11
0 rRdddrrqE
rdVqdE PP rr
ϕθθεπρρ
επ
EP igual al de Q en origen rqqEP
0
1
4 επ=
Rr
r´
q1
ρ
Para traer q1 aislada desde ∞
Para traer ahora q2
Y para traer q3
Potencial eléctrico F=>E=F/qEP =>V=EP/q
Diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos: cambio de la energía potencial cuando una carga de prueba se mueve entre esos dos puntos dividido el valor de la carga
( )∫∫−
===Δ
=Δ −−
b
a
b
a
extabPba q
ldEqldq
Fq
WqEV
rrr
r.. ∫−=−=Δ −
b
aabba ldEVVV
rr.
EV1 V2
V1 > V2 E apunta en la dirección en que V decrece
A B
[V]=J/C=Volt (V)
De A a B el potencial decrece de B a A el potencial aumenta
E
Carga puntualr
EVVV P
00
)2(22 4 επ
=Δ
=−= −∞∞
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=−=Δ −
1201221
114 rr
qVVVεπ
0000
12
21
12
21
<Δ→>Δ→⇒−>Δ→<Δ→⇒+
VrrVrrqVrrVrrqa
b
0=−=Δ − abba VVV
Superficies equipotencialesSistema de cargas puntuales q1
q2
q3
r1
r2
r3
∑=−= ∞i i
i
rqVVV
041επ
r2
V2
r1
V1
q
r
Potencial de una linea infinita con carga λ C/m
r
Idem pared infinita con carga σ C/m2
∫−=−=Δ2
1
.12
r
r
rdEVVV rrr
rE (r
02 επλ
=
1
2
012 ln
2 rrV
επλ
=Δ − ?0 dondeV =
)(10 arbitrariorenV ==
∫−=−=Δ2
1
.12
r
r
rdEVVV rr
02 εσ
=Er
)(2 12
012 rrV −−=Δ − ε
σ?0 dondeV =
)(10 arbitrariorenV ==
r
equipotenciales
Potencial generado por esfera conductora
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=Δ>
1012
114
2rr
qVVVRrεπ
(Carga en superficie)
V
0)( =∞=rV
∫−=−=Δ2
1
.12
r
r
rdEVVV rr
RqRV
041)(επ
=
rqrV
041)(επ
=
04
12
0
=<
=>
ERr
rrqERr (r
επ
)(0 cteVVRr ==Δ<
r
R
Superficie equipotencial
Potencial de esfera cargada uniformemente en V
r
R∫−=−=Δ2
1
.12
r
r
rdEVVV rr rrqERr (r
204
1επ
=>
03ερ rERr =<
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=Δ>
1012
114
2rr
qVVVRrεπ 0)( =∞=rV
RqRV
041)(επ
=
rqrV
041)(επ
=
∫∫ <−>−=<∞
r
R
R
rdRrErdRrErVRr rrrr).().()(
)(64
1)( 22
00
RrRqrV −−=
ερ
επ
ρπ 3
34 Rq =
)(RVRr ⇒=
)]1(211[
4)(
2
2
0
−−=Rr
RqrVεπ 2
)(30 RVVr =⇒=
V
Potencial generado por una carga rodeado de una cáscara conductora
∫−=−=Δ2
1
.12
r
r
rdEVVV rrr
rqEbr (r2
041επ
=>
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=Δ>
1012
114
2rr
qVVVbrεπ
0)( =∞=rV rqrV
041)(επ
=
∫∫∫ −−−=<∞
r
a
a
b
b
ldEldEldEVbrrrrrrr
...
+q ab
-q+q
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
arq
bqV 11
441
00 επεπ
V
Influencia de V externa sobre la distribución de cargas en conductores
+q’ ab
-q’+q
V
V impone q’ en esfera interior, totalmente o modificando una
carga existente, y por inducción se generan –q’ y +q’ en la cáscara de
acuerdo a
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
arq
bqV
i
114
''4
1
00 επεπ
ri: radio esfera interior
V impone q’ en esfera interior de forma que
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
arqV
i
114
'
0επ
En cáscara conductora E= 0 por lo que en r= a la carga debe ser –q’. En
r= b la carga depende de la carga original en la cáscara
V+q’ a
b
-q’+q’
Relación entre E y VrdEdVrdEV
r
r
rrrr..
2
1
−=−=Δ ∫
0
.ερ
=∇ Er
0
2
ερ
−=∇ V Ec.Poisson
kzVj
yVi
xVV
(((
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
cartesianas
2
2
2
2
2
22
zV
yV
xVV
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
02 =∇ V Ec.LaplaceSi ρ=0
VE −∇=r
r
V
ΔV
Δr
drdV
E: campo electrostático generado por cargas. Es un campo derivado de fuerzas conservativas (~1/r2), que son aquellas de las cuales
pueden derivarse potenciales queson solo función de los estados
iniciales y finales
Ejemplo Pared ∞
Dentro pared Ec. Poisson y fuera Ec. Laplace
02
0
2 =∇−=∇ VVερ
0
.ερ
=∇ Er
cxbVxVaE
xEDx +=⇒=
∂∂
=⇒=∂∂
> 002 2
2
fxexVxV
dxExEDxD
++−=⇒−=∂∂
+=⇒=∂∂
<<−
2
002
2
00
2
22
ερ
ερ
ερ
ερ
ixhVxVgE
xEDx +=⇒=
∂∂
=⇒=∂∂
−< 002 2
2
Condiciones de borde para E
02)
2(00)0(
ερ DDEdE =⇒=⇒=
⇒=−−= )2
()2
()2
( DEDEDE inexex
xEin0ερ
=
02 ερ DEex ±=
ρ
D
00)0( =⇒= fV
ixhVDx
fxexVDxD
cxbVDx
+=−<
++−=<<−
+=>
2
222
22
0ερ
0242242
)2
()2
(
2
0
2
0
=⇒
+−=−−
⇒=−
e
DeDDeD
DVDV inin
ερ
ερ
2
02xVin ε
ρ−=
0
2
0
2
0 82242 ερ
ερ
ερ DccDDD
=⇒+−=−
0
2
0 82 ερ
ερ DxDVex += m
dxdVDEex −=±=
02ερ
ixDDxV
cxDDxV
+=<
+−=>
0
0
2)
2(
2)
2(
ερ
ερ
)2
()2
(intDVDV ext ±=± i=
E
V
Conductor en campo eléctrico
+
+
+
-
--
+
+
+
--
----
+++
En conductor cargas en superficie, sino repeliéndose y en movimiento
Superficie de un conductor nece-sariamente debe ser equipotencialsino las cargas se estarían mo-viendo
00 εσ
εσ
=⇒= ESSE
SE ⊥
Superficie interior es un equipotencial
Si dentro E ≠ 0
∫−=−B
AAB rdEVV rv
.
Si A-B se toma de forma que camino paralelo a E
BA VVrdE >⇒> 0. rr
contradiciendo hipótesisDentro de los conductores, sean macizos o huecos, E es nulo, independientemente de las car-gas externas y su distribución
Apantallamiento
Lugar más seguro?
A
Bmetal
Influencia de la forma del conductor
R1q’1σ’1
R2q’2 σ’2
Al conectar los 2 cuerpos todos los conductores
forman un equipotencial
20
2
22
10
2
11
44
44
RR
RR
επσπ
επσπ
=1
2
2
1
RR
=σσ
En los conductores las cargas se concentran en las zonas de menor radio de curvatura => pararrayos
20
2
10
121 44 R
qR
qVVεπεπ
=⇒=R1q1 σ1
R2q2 σ2
Capacitores
∫ =−=Δ0
0 εσ drdEV rr
0εσ dV =Δ
-q+q
E0
d
00 ε
σ=E
VqCΔ
=dSC 0ε=capacidad Capacitor
plano
00
1122ελ
εσππ llrlrE ==
r1r2
rr
rE
0
11
02 εσ
επλ
==
1
2
0
11
1
2
0
lnln2
.rrr
rrrdEV ∫ ==−=Δ
εσ
επλrr
1
2
0
1
2
0
ln
2
ln
2
rrl
rr
lC επεπ==[ ] )(FFaraday
VcC == Capacitor
cilíndrico
C depende solo de parámetros geométricos
Aproximación capacitor infinito
00 ε
σ SSE =
Significado de la capacidad dqCqdqVdEP ==
∫=q
P dqqC
E0
1
VqVCC
qEP 21
21
22
2
===
C mide la capacidad de almacenar energía de un
capacitor
Faraday: unidad muy grande
28
0
101,1 mdCS ==ε
C en μF (10-6) a pF (10-12)
FCymmd 11 ==en condensador plano si
q
V
c/dq que muevo entre placas requie-re otra energía pues V va variando
)( hgmnEP =distinto a
Energía del campo eléctrico
Sd
dEdS
Sd
VC
VolEu P
2202
212
1
.
ε
===
202
1 EuP ε=Densidad de energía potencial en vacío
Donde hay E hay energíaVacío absoluto? 2cmEnergía =
Deducida para condensador plano pero vale en general
Ej. Capacitor cilíndrico
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2
1
222
12
00
r
rP drrl
rE π
επλε
1
2
0
2
ln4 r
rlEP επλ
=
202
1 EdVoldEP ε= 2
21 VCEP =
2
1
2
0
1
2
0 ln2ln
221
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
rr
rr
lEP επλεπ
1
2
0
2
ln4 r
rlEP επλ
=
Energía por unidad de volumen
Energía de una esfera cargada en volumen: complejo!
202
1 EdVoldEu P ε==
∫ ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∞π π
επερϕθθε
0
2
0 0
2
2
20
2
2
00 43
sen21 R
RP drr
rqdrrrddE
( ) ∫∫∞
−+=R
R
P drrqdrrE 22
0
2
00
4
0
2
44
2122
18 εππεπ
ερ
Rq
RqREP
0
2
0
2
0
52
406
85.184
επεπερπ
=+=
∫= dVolEEP2
021 ε en todo el espacio
00
3
2
334
4ε
ρε
πρπ rE
rrE =⇒=Por Gauss, para r<R
E para r>R
ϕθθ ddrdsenrdV 2=
Conexión de capacitores
serie C1 C2
V1 V2
-q
V
+q -q+qisla
Cq
Cq
CqVVV =+=+=
2121
∑=iCC
11
paralelo
C2
C1
V
q1q2
C
q
)( 2121 CCVqqVCq +=+==
∑= iCC
Carga neta =0 si condensadoresinicialmente descargados
Capacitor originalmente cargado
cuando se conectan, la carga q0 se redis-tribuye en ambos condensadores
021 qqq =+q0
C2
C1
1
00 C
qV =
1
2
0000 2
121
CqVqEP ==
y conjunto equivale a tener un //: C=C1+C2
21
0
CCqV+
= VCqVCq 2211 ==
021
2
0021 2
121
21
21
PP ECC
qVqVqVqE <+
==+=
Una parte de la energía se disipa en los conductores cuando las cargas se distribuyen y otra se emite como radiación electromagnética
Dipolo eléctrico
Moléculas polares
Agua H2O OHH +
-
Amoníaco NH3
N
H
+
-
Moléculas no polares se polarizan en presencia de E
+- --
-+-
E
E
F=q E
α
+q
-q
2a αατ sen2sen2 aEqaF ==
definimos +−= aaqp 2r
p
dipolo tiende a rotar alineándose con E Eprr ×=τ
αdads =
dsdα
αα sen. daEqsdFdWdEP === rr
ds
)cos(cossen2 12
2
1
ααααα
α
−−==Δ ∫ EpdEaqEP
Si EP=0 cuando α = 90° αcosEpEP −=
I +
+
–
+ I
EP min
EP=0
EP max
E
EpEP
vr .−=
Dipolo en E
p: momento dipolar
+-+-+-
+q -q
E0
Dieléctricos
E
'0 EEE −=
00
)'(.εε
qqqsdE enc −==∫∫
rr
00
')'(εσσ
εσσ −
=⇒−
= ESSE
PDSirr
== 'σσ PEDrrr
+= 0ε
EPEPrr
χε 0=⇒∝ ( ) EEDrrr
εεχ =+= 01
D: Desplazamiento P: Polarización
χ : susceptibilidad, ε : permitividad en medio
rεεεχ =Κ==+
0
)1( constante dieléctrica
EDEP
rr
rr
ε
χε
=
= 0
( ) ( ) EKEEEEPE χεεεεσεσ
000000
1'''' =−=−===⇒=
E’
-q’ +q’
En sup. dieléctricocarga de polarización
qqqqSSPSE =+⇒−=== )11('''0
00 χχ
σεχε
ε
)11(')1('K
qqqq −=⇒=+ χχqqK
qK=⇒∞=∞=
=⇒==')(0')0(1
χχ
Ley de Gauss en dieléctricos∫∫ −= '.0 qqSdE
rrε
∫∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−= )11(1.0 K
qSdD rr
εε ∫∫ = qSdD
rr.
∫∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−= )11(1.
00 K
qSdP r
χεε
Kq
Kqq χ
=−= )11(' ∫∫ = '. qSdPrr
0CKC =
E
P
D D D
E0E0
+q -q
odieléctricconEDodieléctricsinED
εε
== 00
KVV
KEE
EE 00001 =⇒=⇒=
εε
KV
qVqC
0
==
La introducción de un dieléctrico en un condensador multiplica la capacidad por K
dS
dSKC εε == 0
ValoresMaterial K Campo
Ruptura V/m
Aire 3 106
Pilicarbonato 2,8 3 107
Poliéster 3,3 6 107
Vidrio pirex 4,7 1 107
P o li
Al introducir dieléctrico V cte en bornes de C
Hasta ahora C aislado (q cte); que pasa si conectado a V?
C
ε
KCCC 00 =→
Cargas de polarización en dieléctrico tienden a reducir el campo pero como este está fijado por ε, la batería termi-na reforzando las cargas en C
KCCKqq 00 =⇒→
Capacitor aislado Capacitor conectado a V2
000 21 VCEP =
KVVVKCCC 0
000 =→=→
KE
KVKCVCE P
P0
2
2
00
2
21
21
===
Introduciendo un dieléctrico
000 VVKCCC ==→
0
2
002
21
21
PP EKVKCVCE ===
Introduciendo un dieléctrico
ε2ε1
E1E2
Condiciones de borde en límite entre dieléctricos
h
∫ =0. ldErr
∫∫ =−⇒→ 0..0 21 ldEldEhrrrr
21 tt EE = siempre
∫∫ == 0. qSdDrr si no hay q en
superficie de separación
ε2
ε1
E2
E1
h
∫∫∫∫ =−⇒→ 0..0 21 SdDSdDhrrrr
21 NN DD =
Si no hay cargas libres en superficie
coaxil Cu
malla
ε1
ε2
Ejemplos DDD nn == 21
2022
1011 K
DDEK
DDEεεεε
====
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=+=+=
2
2
1
1
0221121 K
dKdDdEdEVVV
ε
K2K1
d2d1
K1
K2
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=+=
2
2
1
1
020
2
10
1 11Kd
Kd
SSKd
SKd
C εεε
2 condensadores en serie
SKd
KdD
qV
C σε
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
== 2
2
1
1
01
EEE tt == 21 EKDEKD 202101 εε ==σ1
σ2
dEV =
2 condensadores en paralelo⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠≠Δ=
Cq
V
0=→∞= Vr
Esfera cargada con q en volumen
Cáscara dieléctrica
aire Cáscara conductoraε
r2 r1r3r4
20
21 4;
rqErrrεπ
=<<
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
23240
11111114 rrrrrqV
εεπ
4043 4
;0;4
4 rqdrEdrEVErrr
r r
r επ∫ ∫∞
=−−==<<
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+==<<
3402
032
1114
;4
;rrr
qVr
qErrrεπεπ
( )22
102132400
1 61111111
4;
3; rr
rrrrrqVrErr −+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+==<
ερ
εεπερ
∫∞
=−==>r
rqdrEV
rqErr
02
04 44 επεπ
A t=0 q en exte-rior de cáscara
En interior de cáscara aparece -q1 y en exterior q+q1
Esfera conductora descargada
Cáscara dieléctrica
Cáscara conductora inicialmente con qε
r2 r1r3
Con V esfera interior se carga en sup.
V
101110
4)(4 11
rVqrrVr
qV ri
r επεπ
=⇒<==
20
132
1211 4
)(,0)(,4
)(,0)(r
qqrrEcascEr
qrrrErrEεπεπ+
=>==<<=<
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+=⇒−=−<< ∫
1
12
121
1144
;1
11 rr
qVVr
drqVVrrr rr
r
rrr επεπ
232 rVcteVrrr ==⇒<<
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−+=>
30
1
12
13
114
1141 rr
qqrr
qVVrr r επεπ