ELEMENTS DE GEOMETRIA

MÈTRICA ELEMENTAL

Rectes, semirectes, segments, arcs i segments d'arc: Tots estan formats per punts corresponents

a nombres reals.

Si no fos així, el punt B de la figura no existiria o, millor dit, la recta AB no tallaria la recta BC sinó que passaria "per entremig" dels seus punts sense

tocar-la (malgrat que de nombres racionals ja n'hi ha infinits).

Instruments vàlids per a la construcció gràfica:

Exclusivament regle i compàs.

No es permet l’ús d’escaires, regles graduats, transportadors,

cordills flexibles, etc.

Però en la pràctica del dibuix lineal es pot acceptar l'ús de

regles i esquadres, perquè tot el que es pot fer amb regles i esquadres, també es pot fer només amb regle i compàs.

Hipòtesis que fem respecte a les eines i procediments de dibuixar:

a) Que els llapis fan línies sense gruix i que els nostres ulls són

tan potents que les poden arribar a veure. Tampoc no hi ha

limitacions en la mida del paper.

b) Que amb un regle i un llapis som capaços de fer passar

exactament una línia per un punt o dos punts.

c) Que amb un compàs som capaços de prendre exactament la

distància entre dos punts.

Les 7 operacions bàsiques amb regle i compàs són les següents:

1. Traçat d'una recta que passa per dos punts (determinació d'una recta).

2. Intersecció de dues rectes (determinació d'un punt).

3. Traçat d'una circumferència de centre i radi donats (determinació d'una

circumferència).

4. Intersecció d'una recta i una

circumferència.

5. Intersecció de dues

circumferències.

6. Transport d'un

segment.

7. Transport d'un angle.

Angles aguts, rectes, obtusos i angle pla.

Angles complementaris i suplementaris: Els complementaris sumen 90º i els suplementaris

180º.

Complementaris Suplementaris

Angles amb costats paral·lels:

són iguals o suplementaris.

Angles amb costats perpendiculars: són iguals o suplementaris.

Angles adjacents: són suplementaris.

Angles oposats pel vèrtex: són iguals

dos a dos.

Angles centrals en

una circum-ferència:

valen igual que l'arc

abastat pels seus costats.

Angles inscrits i semiinscrits en

una circumferència: valen la meitat de l'arc abastat

pels seus costats.

Angles interiors i exteriors a una circumferència: valen respectivament la semisuma i la semidiferència

dels arcs abastats pels seus costats.

Interior Exterior

Algunes construccions gràfiques elementals:

Trobar el centre d’una circumferència donada.

Coneixent el radi Sense conèixer el radi

Traçat de la perpendicular a una recta des d'un punt de la pròpia recta, segons dos procediments

diferents.

Traçat de la perpendicular a una recta des d'un punt exterior = Determinació de la distància d'un

punt a una recta.

Traçat de la recta paral·lela a una recta des d'un punt exterior (postulat d'Euclides).

Una altra construcció a base de traçar una perpendicular a la perpendicular.

Determinació de la distància entre dues rectes paral·leles.

Mediatriu i divisió d'un segment en

dues parts iguals.

Divisió d'un segment en n parts iguals.

Construcció gràfica de la

mitjana proporcional

de dos segments.

Una altra construcció de

la mitjana proporcional, i més endavant

encara en veurem una 3ª.

Traçat de la bisectriu d'un angle.

Traçat de la recta obliqua a una altra, amb un angle donat i des d'un punt donat.

Construcció gràfica de valors irracionals.

El triangle i les seves principals propietats:

Base i altura d’un triangle.Àrea del triangle = base*altura/2

(qualsevol base i qualsevol altura).

Triangles rectangles.

Teorema de

Pitàgores.

Triangles acutangles, rectangles i obtusangles.

Acutangle Rectangle Obtusangle

Triangles isòsceles (acutangles o obtusangles).

Isòsceles acutangle Isòsceles obtusangle

Triangles isòsceles i rectangles alhora.

Escaire i cartabó: Quin és quin?

Solució: Tots dos són escaires.

Però aquest també és un cartabó i l’altre no.

Conveni de denominació dels costats i angles d'un triangle: Tres lletres majúscules als tres angles i la

mateixa lletra en minúscula al costat oposat.

Suma dels angles (interiors) d'un triangle: La suma dels angles interiors d'un triangle sempre

és igual a dos rectes = 180º = π radiants.

Angle exterior d'un triangle (format per un costat i la prolongació del costat adjacent) = a la suma

dels dos angles interiors no adjacents.

Igualtat de triangles: Dos triangles iguals tenen els tres angles i els tres costats respectivament

iguals.

Criteris d'igualtat de triangles: Són les condicions suficients per assegurar que dos triangles són

iguals, o bé iguals i girats de mà:

a) Dos triangles són iguals si tenen iguals dos costats i l'angle que formen aquests costats.

b) Dos triangles són iguals si ténen iguals un costat i els dos angles adjacents.

c) Dos triangles són iguals si tenen els tres costats iguals.

i d) Dos triangles són iguals si tenen iguals dos costats desiguals entre si i l'angle oposat al més

gran dels dos.

Si es tracta de l'angle oposat al costat més petit dels dos, aleshores la igualtat ja no es pot assegurar. P.

ex. el triangle A’B’C’ sí que és igual a l’ABC, però el triangle A”B”D” és diferent.

Mètodes de construcció gràfica de triangles.

Construcció d'un triangle donats els seus tres costats.

El costat més gran no pot ser més gran que la suma dels altres dos.

Construcció d'un triangle donats dos costats i l'angle comprès entre ells.

Construcció d'un triangle donats dos costats i l'angle oposat a un d'ells.

Aquest problema pot tenir dues solucions, una, o cap.

Construcció d'un triangle donats un costat i els dos angles adjacents.

Construcció d'un triangle donats un costat, un angle adjacent i l'angle oposat.

Més propietats dels triangles:

En un triangle es pot considerar quatre centres: Circumcentre, incentre,

ortocentre i baricentre (cdg).

Les mediatrius dels tres costats d'un triangle es

troben en un punt anomenat

circumcentre. El circumcentre

equidista dels tres vèrtexs i, per tant,

és el centre de la circumferència

circumscrita.

Les tres altures d'un triangle es troben en un punt anomenat ortocentre.

Les bisectrius dels tres angles d'un triangle es troben en un punt anomenat incentre.

L'incentre equidista dels tres costats i , per tant, és el centre de la circumferència inscrita.

Les tres medianes d'un triangle es troben en un punt anomenat baricentre.

El baricentre és el centre de gravetat del triangle.

En les figures

anteriors hem vist

que en un triangle

acutangle aquests 4 punts són

tots interiors al

triangle.

En un triangle obtusangle el circumcentre i l'ortocentre són exteriors al triangle.

L'incentre i el baricentre sempre són interiors al triangle, encara que sigui obtusangle.

En un triangle rectangle el

circumcentre és el punt mitjà de la

hipotenusa.

I l'ortocentre és el mateix vèrtex de l'angle recte.

L'incentre i el baricentre en un

triangle rectangle no tenen res d'especial a

remarcar. El cas és semblant al dels triangles

acutangles.

Traçant pels vèrtexs rectes paral·leles al

costat oposat, resulta un

triangle de costats dobles

als del triangle original i de

superfície quàdruple.

L'ortocentre del triangle

original és el circumcentre

del triangle de costats dobles.

Triangle òrtic: En un triangle acutangle, és aquell que està format pels peus de les altures.

Fixem-nos que les altures del triangle original són les bisectrius del triangle òrtic.

Circumferència inscrita i circumferències exinscrites: A més de la circumferència inscrita a un triangle hi ha tres circumferències més, cada una tangent a un costat

i a les prolongacions dels altres dos.

Els costats del triangle format pels tres exincentres són

les bisectrius exteriors dels

angles del triangle original i les

bisectrius del triangle original

són les altures del triangle format pels

tres exincentres.

Circumferència de Feuerbach (o d'Euler): Passa pels peus de les

altures d'un triangle, pels punts mitjos dels

costats i pels punts mitjos dels segments

d'altura compresos entre el vèrtex i

l'ortocentre. Té la meitat del radi de la

circumferència circumscrita.

Recta d'Euler: En qualsevol triangle el baricentre, l'ortocentre i el circumcentre sempre estan alineats.

Sempre es verifica que la distància del baricentre a l’ortocentre és el doble de la distància del baricentre

al circumcentre.

Recta de Simson: Si des d'un punt qualsevol de la circumferència

circumscrita a un triangle tracem perpendiculars

als seus costats, els peus

d'aquestes perpendiculars

sempre estan alineats.

Semblança de triangles: Dos triangles semblants tenen els tres angles iguals i els tres costats proporcionals.

a) Dos triangles són semblants si A = A' i proporcionals els costats que el formen b/b' =

c/c'

b) Dos triangles són semblants si A = A' i B = B'. Aleshores ja resulta C = C'

c) Dos triangles són semblants si són proporcionals els costats a/a' = a/b' = c/c'

Algunes propietats dels polígons: La suma dels angles interiors d'un polígon val (nº de costats -

2)*180º.

La suma dels angles exteriors d'un polígon sempre val 360º.

Polígons regulars i irregulars: Són polígons regulars els que tenen tots els costats i tots els angles iguals.

Quadrilàters inscriptibles en una

circumferència: Tenen els angles oposats

suplementaris.

Quadrilàters circumscriptibles a una

circumferència: La suma de parells de

costats oposats és igual.

S’anomena lloc geomètric (respecte a una determinada propietat) a la figura formada per tots els punts que compleixen aquella propietat, p. ex: La circumferència és el lloc geomètric dels punts que estan a una distància donada (radi) d'un punt

donat (centre).

La mediatriu d'un segment és

el lloc geomètric dels

punts equidistants de

dos punts donats.

El lloc geomètric dels punts equidistants de dues rectes donades és la bisectriu de l’angle que

formen les dues rectes.

Arc capaç d'un angle sobre un segment: És el lloc geomètric dels punts que

veuen el segment amb un

angle donat.

La paràbola és el lloc

geomètric dels punts

equidistants d'un punt i una

recta donats, anomenats

respectivament focus i

directriu.

L’el·lipse és el lloc geomètric dels punts la suma de distàncies dels quals a dos punts donats

(focus) és constant (eix major).

Teorema de Thales: Si dues rectes (no paral·leles) es tallen per un sistema de rectes paral·leles, els segments determinats pels punts d’intersecció

sobre una d’elles són proporcionals als segments respectius determinats sobre l’altra recta.

Ja es veu que si les dues rectes són paral·leles, en ser tallades per un sistema de rectes paral·leles, els segments determinats en una i altra recta seran

respectivament iguals.

Construcció gràfica de la quarta proporcional a tres segments donats, a, b i c: a/b = c/x

Divisió d’un segment en parts proporcionals a diversos segments donats.

Determinació de punts d’una recta per la seva raó de distàncies a dos punts donats de la mateixa recta.

Quaterna harmònica: Donats dos punts A i B d’una recta, es diu que formen quaterna harmònica amb

altres dos punts X i X’, un interior al segment AB i un altre exterior, quan les raons de les distàncies dels punts X i X’ als punts A i B són iguals (i de signe contrari si es té en compte l’orientació dels

segments).

Això s’expressa mitjançant la relació

(XA:XB) / (X’A:X’B) = -1

Com que si (XA:XB) = - (X’A:X’B) també (XA:X’A) = - (XB:X’B), resulta que si els dos punts A i B separen harmònicament els punts X

i X’, també els punts X i X’ separen harmònicament els punts A i B. És a dir que la separació harmònica de dues parelles de punts

és recíproca.

Construcció gràfica de la

quaterna harmònica.

La qualitat de quaterna harmònica entre 4 punts d’una recta és una propietat invariant en qualsevol

sèrie de projeccions i seccions.

Una propietat de les quaternes

harmòniques: Si 4 punts AXBX'

formen una QH i des d'un punt O es

veu el segment AB sota un angle recte,

la recta OB és bisectriu de l'angle XOX' i la recta OA

n'és la bisectriu exterior.

Dit d'altra manera,

qualsevol recta talla dues rectes i

les bisectrius dels angles que

formen, formant una QA.

Per tant, per trobar X' també podem

traçar la circumferència de diàmetre AB, des

d'un punt qualsevol (O) tracem OX i

després OX' formant el mateix angle XOB però a

l'altra banda.

Circumferències que passen per 2 punts: Es diu que formen un feix de circumferències. Ja es veu que totes tenen el centre en la mediatriu del segment

format pels dos punts.

Traçat de la circumferència que passa per 3 punts. Ja es veu que es tracta de

traçar la circumferència circumscrita a

un triangle.

Concepte de recta (i línia)

secant o tangent a una corba. Tal

com mostra la figura, la

tangent, igual com la secant,

té dos punts de contacte amb la

corba.

Angle de dues corbes secants: Es

defineix com a l'angle que

formen les respectives

tangents en el punt

d'intersecció.

Circumferències ortogonals: Són les que es tallen en angle recte = que en els punts d'intersecció les

respectives tangents són perpendiculars.

Cada una d'aquestes tangents passa pel centre de l'altra circumferència, de manera que: d2 = r2 + r'2.

Una propietat de les circumferències ortogonals: Qualsevol recta que passi pel dentre d'una circumferència determina una quaterna

harmònica entre els punts d'intersecció amb ella mateixa i amb qualsevol altra circumferència ortogonal a la primera.

Traçat de la tangent a una circumferència en un punt de la pròpia circumferència.

Traçat de les tangents a una circumferència des d'un punt exterior.

Una altra construcció, una mica més complicada que l'anterior basada en el gir.

Traçat de les rectes tangents a dues circumferències.

Traçat d'una circumferència de radi donat i tangent a una altra en un punt.

Traçat d'una circumferència amb centre en un punt i tangent a una

altra circumferència.

Determinació d'una o diverses circumferències per condicions de pas o tangència.

Aquestes condicions de pas o tangència poden donar lloc a 10 problemes diferents, alguns dels

quals ja els hem vistos i resolts anteriorment:

3 punts // 3 rectes // 2 punts i 1 recta // 2 punts i 1 circumferència // 1 punt i 2 rectes // 1 punt, 1

circumferència i 1 recta // 1 punt i 2 circumferències // 2 rectes i 1 circumferència // 1

recta i 2 circumferències // 3 circumferències (problema d'Apol·loni).

El nombre de solucions possibles als problemes enunciats és aquest:

ppp (1) // rrr (4) // ppr (2) // ppc (2) // prr (2) // pcr (4) // pcc (4) // rrc (8) // rcc (8) // ccc (8).

No resoldrem pas ara tots aquests casos perquè només estem fent un repàs elemental a

la geometria mètrica, i perquè alguns requereixen l'ús de mètodes i propietats que

encara no hem estudiat.

Els dos primers casos ja els hem resolts fa temps, i corresponen a construir les circumferències

circumscrita i inscrita a un triangle.

A mesura que anem estudiant noves propietats de la circumferència i nous

mètodes emprats en geometria, veurem com a exemple la solució d'alguns d'aquests

casos pendents, p. ex. els casos prr (punt-recta-recta), ppc (punt-punt-circumferència),

ppr (punt-punt-recta) i prc (punt-recta-circumferència).

Potència d'un punt respecte a una circumferència. Aquest concepte parteix de

la següent propietat:

Si des d'un punt qualsevol es traça diferents secants a una circumferència, el producte

dels segments determinats pel punt i els dos punts d'intersecció amb la circumferència és

constant. Aquest producte s'anomena potència del punt respecte a la

circumferència.

Aquesta propietat permet trobar una altra manera de construir gràficament la mitjana proporcional a dos

segments donats.

De més a més, resulta que el lloc

geomètric dels punts de tangència

de les tangents traçades des d'un punt A a totes les

circumferències que passen per dos

punts B i C, alineats amb A, és

una circumferència amb centre a A i

radi AD.

Tornant a la potència i tenint en

compte l'orientació dels

segments resulta:

Si el punt és exterior, P > 0

Si el punt és interior, P < 0

Si el punt pertany a la

circumfèrència, P = 0

També resulta que P = d2 - r2 i queP = (segment de tangent del punt a la

circumferència)2.

En la construcció anterior hem vist que la circumferència de centre A i radi AD és ortogonal a totes les circumferències que passen pels punts

A i B.Si en lloc del punt A prenem un altre punt A' sobre la mateixa recta ABC, obtindrem com a lloc geomètric dels punts de tangència una

altra circumferència de radi A' D '.

Aquesta nova circumferència

també és ortogonal a totes

les circumferències que passen pels

punts A i B.

El punt A, A', etc. pot adoptar infinites posicions sobre la recta ABC, i per a cada una d'elles podrem obtenir una circumferència que serà

ortogonal a les infinites circumferències que passen pels dos punts B i C.

Per tant, es tracta de dos

feixos d'infinites circumferències

cada un, de manera que totes i cada una de les circumferències

d'un feix són ortogonals a

totes i cada una de les

circumferències de l'altre feix.

En un d'aquests dos feixos, totes les circumferències són secants entre si en els mateixos punts B i C, mentre que les

circumferències de l'altre feix no són secants entre si.

Ara ja podem resoldre el

problema de traçar una

circumferència que passi per

dos punts i que sigui tangent a

una recta.

I també resolem el

traçat de la circum-ferència

que passa per dos

punts i que és tangent a una altra

circum-ferència.

Eix radical de 2 circumferències: És el lloc geomètric dels punts amb igual potència respecte a les 2 circumferències.

Aquest lloc geomètric és una recta.Si les dues circumferències són exteriors, l'eix radical

passa pel punt mitjà de les tangents comunes.

Si les dues circumferències són

tangents, l'eix radical és la tangent comuna.

Si les dues circumferències

són secants, l'eix radical és

la recta que passa pels dos

punts d'intersecció.

Si una circumferència és interior a l'altra, cal construir l'eix radical mitjançant una circumferència auxiliar secant a totes

dues.

Una propietat dels feixos de circumferències: Totes les circumferències d'un feix tenen el mateix eix radical. Si les circumferències són secants, tenen com a eix radical la recta que passa pels dos punts d'intersecció (això ja ho havíem dit

abans). Si no són secants, tenen com a eix radical l'eix vertical de la figura. Així doncs, un feix de circumferències

es caracteritza per a/ tenir els seus centres sobre una mateixa línia recta, i b/ tenir el mateix eix radical.

Per tant, també es pot dir que un feix de circumferències pot

venir determinat, a/ per dos punts, o bé b/ per una

circumferència i una recta (eix radical).

Centre radical de 3 circumferències: És el punt d'intersecció dels 3 eixos radicals corresponents a cada parell de

circumferències.

Divisió àuria d'un segment: Un punt X divideix el segment AB segons la divisió àuria quan és mitjana

proporcional entre el segment menor XB i el segment total AB. Però primer

recordem (en dos exemples) una de

les tres construccions de la

mitjana proporcional de dos

segments que hem vist anteriorment i

vegem què passa segons la situació

del punt X.

Hem de trobar una situació del punt X, tal que la mitjana proporcional entre el segment total i el segment

petit sigui igual al segment gran.

També el segment menor XB és secció àuria del segment major XA (i així successivament).

El seu valor és (5 -1)/2 del segment total = 0,6180339.

Si ho calculem analíticament resulta l'equació de 2n grau,x2 + x - 1 = 0

Construcció gràfica del segment auri a partir del segment total com a valor (5-1)/2

Construcció gràfica del segment total a partir del segment auri.

A constinuació resoldrem alguns problemes amb circumferències i

estudiarem algunes de les seves propietats.

Un primer problema seria, com trobar el centre d'una circumferència, si aquest centre

se'ns ha esborrat i no sabem on és?

a/ sabent el seu radi.

b/ sense saber el seu radi.

(tot i que primer ens hauríem de preguntar si és possible tenir una circumferència sense saber on és

el seu centre). Què us sembla?

Circumferències que passen per 2 punts: Es diu que formen un feix de circumferències. Ja es veu

que totes tenen el centre en la mediatriu del segment format pels dos punts.

Traçat de la circumferència que passa per 3

punts.Ja es veu que es

tracta de la circumferència

circumscrita a un triangle.

Concepte de recta (i línia)

secant o tangent a una corba.

Tal com mostra la figura, la

tangent, igual com la secant, té

dos punts de contacte amb la

corba.

Angle de dues corbes secants: Es

defineix com a l'angle que

formen les respectives

tangents en el punt

d'intersecció.

Circumferències ortogonals: Són les que es tallen en angle recte = que en els punts d'intersecció les

respectives tangents són perpendiculars.

Cada una d'aquestes tangents passa pel centre de l'altra circumferència, de manera que: d2 = r2 + r'2.

Una propietat de les circumferències ortogonals: Qualsevol recta que passi pel dentre d'una circumferència determina una quaterna

harmònica entre els punts d'intersecció amb ella mateixa i amb qualsevol altra circumferència ortogonal a la primera.

Traçat de la tangent a una circumferència en un punt de la pròpia circumferència.

Traçat de les tangents a una circumferència des d'un punt exterior.

Una altra construcció, una mica més complicada que l'anterior basada en el gir.

Traçat de les rectes tangents a dues circumferències.

Traçat d'una circumferència de radi donat i tangent a una altra en un punt.

Traçat d'una circumferència amb centre en un punt i tangent a una

altra circumferència.

Determinació d'una o diverses circumferències per condicions de pas o tangència.

Aquestes condicions de pas o tangència poden donar lloc a 10 problemes diferents, alguns dels

quals ja els hem vistos i resolts ara fa un moment:

3 punts // 3 rectes // 2 punts i 1 recta // 2 punts i 1 circumferència // 1 punt i 2 rectes // 1 punt, 1

circumferència i 1 recta // 1 punt i 2 circumferències // 2 rectes i 1 circumferència // 1

recta i 2 circumferències // 3 circumferències (problema d'Apol·loni).

El nombre de solucions possibles als problemes enunciats és aquest:

ppp (1) // rrr (4) // ppr (2) // ppc (2) // prr (2) // pcr (4) // pcc (4) // rrc (8) // rcc (8) // ccc (8).

No resoldrem pas ara tots aquests casos perquè només estem fent un repàs elemental a

la geometria mètrica, i perquè alguns requereixen l'ús de mètodes i propietats que

encara no hem estudiat.

Els dos primers casos ja els hem resolts fa temps, i corresponen a construir les circumferències

circumscrita i inscrita a un triangle.

A mesura que anem estudiant noves propietats de la circumferència i nous

mètodes emprats en geometria, veurem com a exemple la solució d'alguns d'aquests

casos pendents, p. ex. els casos prr (punt-recta-recta), ppc (punt-punt-circumferència),

ppr (punt-punt-recta) i prc (punt-recta-circumferència).

Potència d'un punt respecte a una circumferència. Aquest concepte parteix de

la següent propietat:

Si des d'un punt qualsevol es traça diferents secants a una circumferència, el producte

dels segments determinats pel punt i els dos punts d'intersecció amb la circumferència és

constant. Aquest producte s'anomena potència del punt respecte a la

circumferència.

Aquesta propietat permet trobar una altra manera de construir gràficament la mitjana proporcional a dos

segments donats.

De més a més, resulta que el lloc

geomètric dels punts de tangència

de les tangents traçades des d'un punt A a totes les

circumferències que passen per dos

punts B i C, alineats amb A, és

una circumferència amb centre a A i

radi AD.

Tornant a la potència i tenint en

compte l'orientació dels

segments resulta:

Si el punt és exterior, P > 0

Si el punt és interior, P < 0

Si el punt pertany a la

circumfèrència, P = 0

També resulta que P = d2 - r2 i queP = (segment de tangent del punt a la

circumferència)2.

En la construcció anterior hem vist que la circumferència de centre A i radi AD és ortogonal a totes les circumferències que passen pels punts

A i B.Si en lloc del punt A prenem un altre punt A' sobre la mateixa recta ABC, obtindrem com a lloc geomètric dels punts de tangència una

altra circumferència de radi A' D '.

Aquesta nova circumferència

també és ortogonal a totes

les circumferències que passen pels

punts A i B.

El punt A, A', etc. pot adoptar infinites posicions sobre la recta ABC, i per a cada una d'elles podrem obtenir una circumferència que serà

ortogonal a les infinites circumferències que passen pels dos punts B i C.

Per tant, es tracta de dos

feixos d'infinites circumferències

cada un, de manera que totes i cada una de les circumferències

d'un feix són ortogonals a

totes i cada una de les

circumferències de l'altre feix.

En un d'aquests dos feixos, totes les circum-ferències són secants entre si en els mateixos punts B i C, mentre que les

circumferències de l'altre feix no són secants entre si.

Ara ja podem resoldre el

problema de traçar una

circumferència que passi per 2

punts i que sigui tangent a

una recta.

I també resolem el

traçat de la circum-ferència

que passa per dos

punts i que és tangent a una altra

circum-ferència.

Eix radical de 2 circumferències: És el lloc geomètric dels punts amb igual potència respecte a les 2 circumferències.

Aquest lloc geomètric és una recta.Si les dues circumferències són exteriors, l'eix radical

passa pel punt mitjà de les tangents comunes.

Si les dues circumferències són

tangents, l'eix radical és la tangent comuna.

Si les dues circumferències

són secants, l'eix radical és

la recta que passa pels dos

punts d'intersecció.

Si una circumferència és interior a l'altra, cal construir l'eix radical mitjançant una circumferència auxiliar secant a totes

dues.

Una propietat dels feixos de circumferències: Totes les circumferències d'un feix tenen el mateix eix radical. Si les circumferències són secants, tenen com a eix radical la recta que passa pels dos punts d'intersecció (això ja ho havíem dit

abans). Si no són secants, tenen com a eix radical l'eix vertical de la figura. Així doncs, un feix de circumferències

es caracteritza per a/ tenir els seus centres sobre una mateixa línia recta, i b/ tenir el mateix eix radical.

Per tant, també es pot dir que un feix de circumferències pot

venir determinat, a/ per dos punts, o bé b/ per una

circumferència i una recta (eix radical).

Centre radical de 3 circumferències: És el punt d'intersecció dels 3 eixos radicals corresponents a cada parell de

circumferències.

Divisió àuria d'un segment: Un punt X divideix el segment AB segons la divisió àuria quan és mitjana

proporcional entre el segment menor XB i el segment total AB.

Però primer recordem (en 2

exemples) una de les 3 construccions

de la mitjana proporcional de 2

segments que hem vist anteriorment i

vegem què passa segons la situació

del punt X.

Hem de trobar una situació del punt X, tal que la mitjana proporcional entre el segment total i el segment

petit sigui igual al segment gran.

També el segment menor XB és secció àuria del segment major XA (i així successivament).

El seu valor és (5 -1)/2 del segment total = 0,6180339.

Si ho calculem analíticament resulta l'equació de 2n grau,x2 + x - 1 = 0

Construcció gràfica del segment auri a partir del segment total com a valor (5-1)/2

Construcció gràfica del segment total a partir del segment auri.