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ENG04030ENG04030ANANÁÁLISE DE CIRCUITOS ILISE DE CIRCUITOS I
Aulas 23 Aulas 23 –– Circuitos de 1Circuitos de 1ªª ordem: anordem: anáálise lise no domno domíínio do temponio do tempo
Resposta completa de circuitos RL e RC Resposta completa de circuitos RL e RC àà funfunçção ão de excitade excitaçção degrau unitão degrau unitááriorio
SSéérgio Haffnerrgio Haffner
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Circuito RL Circuito RL –– resposta completa ao degrauresposta completa ao degrausolusoluçção direta da equaão direta da equaçção diferencialão diferencial
Circuito com condiCircuito com condiçção inicial ão inicial
EquaEquaçção da malha para ão da malha para tt>0>0 (sentido hor(sentido horáário)rio)
( )( ) ( )
( ) SS
di t di t VRRi t L V i t
dt dt L R
− + = ⇒ = −
( )0 0i t I=
( ) ( )( )0
1
0
S S
t tLV V R
R Ri t I e
−−
= + −
( )
( )
( )
( )( )( ) [ ]
( )( ) ( ) ( )( )
( )
( )( ) ( ) ( )
00 0 0
0 00
0 0 0
0
ln
0
ln
ln ln ln
S
S
S
S S
S
VSR
SVSR
S
S
tt t tV
RV tt t tR
V
V V R
R R V
R
i tVR R
t t t tI RL LV
R
di t Rdt
V Li t
R
di x R Rdy i x y
L Li x
i tR Ri t I t t t t
L LI
i te e e
I
−− −
− −−
−=
−
− − = ⇒ − = −
−− −− − − = − ⇒ = −
−
−= ⇒ =
−
∫ ∫
LR
τ =
+
_( )Sv t
( )i t R
L
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Circuito RC Circuito RC –– resposta completa ao degrauresposta completa ao degrausolusoluçção direta da equaão direta da equaçção diferencialão diferencial
Circuito com condiCircuito com condiçção inicialão inicial
EquaEquaçção do não do nóó superior (corrente saindo positiva)superior (corrente saindo positiva)
( )( )
( )( )( )
1 1
s s
dv t dv tC v t I v t RI
dt R dt RC
−+ = ⇒ = −
( )0 0v t V=
( )
( )
( )
( )( )( ) [ ]
( )( ) ( ) ( )( )
( )
( )( ) ( ) ( )
000 0
0 00
0 0 0
0
1 1ln
0
1
1 1ln
1 1ln ln ln
s
s
s
t t t t
s ttt ts
s
s s
s
v t RIt t t t
V RI sRC RC
s
dv tdt
v t RI RC
dv xdy v x RI y
v x RI RC RC
v t RIv t RI V RI t t t t
RC V RI RC
v t RIe e e
V RI
− − −− −
−
−=
−
− − = ⇒ − = −
−− −− − − = − ⇒ = −
−
−= ⇒ =
−
∫ ∫
( ) ( )( )0
1
0
t tRC
S Sv t RI V RI e
−−
= + − RCτ =
( )Si t R C ( )v t
+
−
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ExercExercííciocio
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ExercExercíício cio –– resultado 1/2resultado 1/2
Resultado via Resultado via MicrocapMicrocap: : aula23a.aula23a.circir
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ExercExercíício cio –– resultado 2/2resultado 2/2
Resultado via Resultado via MicrocapMicrocap: : aula23a.aula23a.circir
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ExercExercííciocio
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ExercExercííciocio
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ExercExercíício cio –– resultado 1/3resultado 1/3Resultado via Resultado via MicrocapMicrocap: : aula23b.aula23b.circir
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ExercExercíício cio –– resultado 2/3resultado 2/3Resultado via Resultado via MicrocapMicrocap: : aula23b.aula23b.circir
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ExercExercíício cio –– resultado 3/3resultado 3/3Resultado via Resultado via MicrocapMicrocap: : aula23b.aula23b.circir
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ExercExercííciocio
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ExercExercíício (suposto paradoxo)cio (suposto paradoxo)
No circuito a seguir, considere que No circuito a seguir, considere que CC11==CC
22==CC e que antes de e que antes de
fechar a chave o capacitor fechar a chave o capacitor CC22
estestáá descarregado e a tensão em descarregado e a tensão em
CC11
éé de de VV. Determinar:. Determinar:
�� a tensão nos capacitores apa tensão nos capacitores apóós o fechamento da chaves o fechamento da chave
�� a carga armazenada em cada capacitor antes e apa carga armazenada em cada capacitor antes e apóós o fechamento s o fechamento
da chaveda chave
�� a energia armazenada nos capacitores antes e apa energia armazenada nos capacitores antes e apóós o fechamento s o fechamento
da chaveda chave
Incluir Incluir RR→→00 no circuitono circuito
( )1
v t
+
−
( )2
v t
+
−
0t =
1C
2C ( )
1v t
+
−
( )2
v t
+
−
0t =
1C
2C
0R →( )i t ( )i t
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ExercExercíício (suposto paradoxo)cio (suposto paradoxo)
Para Para tt≥≥00 (ap(apóós fechamento da chave) a corrente no circuito e s fechamento da chave) a corrente no circuito e equaequaçção de ão de
malhamalha são dadas porsão dadas por
Derivando com relaDerivando com relaçção ao tempo, temão ao tempo, tem--sese
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1 2 1 20 0
0v t v t v v V
i t iR R R
− −= ⇒ = =
( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )}
( ) ( ) ( )}
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
1 20 0
0 0
0
1 10 0 0
2 2
Vt t
t t
v t Ri t v t
i x dx v Ri t i x dx vC C
VRi t i x dx V i t i x dx
C RC R
= =
− + + =
− − + + + + =
+ = ⇒ + =
∫ ∫
∫ ∫
( ) ( )( )
( )0
2 20
td d V di ti t i x dx i t
dt RC dt R dt RC
+ = ⇒ + = ∫
( ) ( )2 2
0
t t
RC RCV
i t i e eR
− −
= =
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ExercExercíício (suposto paradoxo)cio (suposto paradoxo)
A A potência dissipada na resistência potência dissipada na resistência RR éé dada pordada por
A A energia dissipada na resistênciaenergia dissipada na resistência éé obtida pela integraobtida pela integraçção da potência dissipadaão da potência dissipada
Observar que a Observar que a energia dissipadaenergia dissipada não depende do valor de não depende do valor de RR. Em outras palavras, o . Em outras palavras, o
““custocusto”” de transferir de transferir instantaneamenteinstantaneamente carga de um capacitor para o outro carga de um capacitor para o outro éé constante constante
(não depende do valor de (não depende do valor de RR) e igual ) e igual àà metade da energia inicial.metade da energia inicial.
( ) ( )
22 42
2
t t
RC RCR
V Vp t Ri t R e e
R R
− − = = =
( ) ( )
[ ]
( )
42
0 0
4 42
2
0 0
4
2 2
0
2
4 1 4
4 4
1 10 1
4 4
1
4
t
RCR R
t t
RC RC
t
RC
R
VW p t dt e dt
R
V RCe dt CV e dt
R RC RC
CV e CV
W CV
−∞ ∞
− −∞ ∞
∞−
∞ = = =
− − − − = = =
− −= = −
∞ =
∫ ∫
∫ ∫
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ExercExercíício (suposto paradoxo)cio (suposto paradoxo)
A A tensão finaltensão final nos capacitores nos capacitores éé dada pordada por
A A energia inicial e finalenergia inicial e final nos capacitores nos capacitores éé dada pordada por
( ) ( )[ ] ( )}
( ) [ ]
( ) ( )[ ] ( )}
( ) [ ]
2
2
1 1 20 0
0
2
01
20
2
2 2 20 0
0
2
02
1 10
0 12 2 2
1 10 0
0 12 2 2
xV x RC
RC
RC
x
RC
xx RC
RC
RC
x
RC
V V ev i x dx v e dx V V
C C R RC
V V Vv e V V
V V ev i x dx v e dx
C C R RC
V V Vv e
∞−
= −∞ ∞
−
∞−
∞−
= −∞ ∞
−
∞−
− − ∞ = − + = + = +
∞ = + = − + =
∞ = + = + =
− −∞ = = − =
∫ ∫
∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
1 1
2
2
2 2
1 1 10
2 2 2 8
1 10 0
2 2 8
C C
C C
VW CV W C CV
VW W C CV
= ∞ = =
= ∞ =
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ExercExercíício (suposto paradoxo) cio (suposto paradoxo) –– resultado 1/2resultado 1/2
�� Resultado via Resultado via MicrocapMicrocap: : aula23c.aula23c.circir
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ExercExercíício (suposto paradoxo) cio (suposto paradoxo) –– resultado 2/2resultado 2/2
�� Resultado via Resultado via MicrocapMicrocap: : aula23c.aula23c.circir
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ExercExercíício proposto (suposto paradoxo)cio proposto (suposto paradoxo)
Verificar como fica a soluVerificar como fica a soluçção deste suposto ão deste suposto
paradoxo (em termos de energia) quando paradoxo (em termos de energia) quando
os capacitores possuem diferentes os capacitores possuem diferentes
capacidades e/ou carregamentos capacidades e/ou carregamentos
diferenciados:diferenciados:
�� capacitores diferentes (C e 2C, por exemplo);capacitores diferentes (C e 2C, por exemplo);
�� carregamento diferenciado (um carregado com carregamento diferenciado (um carregado com
V e outro com 2V);V e outro com 2V);
�� capacitores diferentes e carregamento capacitores diferentes e carregamento
diferenciado.diferenciado.