Enseñanza-aprendizajede las matemáticas en el aula:

una mirada desde la teoría de la objetivación

Rodolfo Vergelrodolfovergel@gmail.com

Profesor

Doctorado Interinstitucional en EducaciónUniversidad Distrital

Francisco José de CaldasBogotá, Colombia

19 de noviembre de 2018

Presentación

- Algunas cuestiones preliminares.

- Necesidad en la formación de profesores dematemáticas de asumir el estudio de conceptosteóricos: aportes de la Teoría de la Objetivación(TO).

- Necesidad de analizar semióticamente lasproducciones matemáticas de nuestrosestudiantes en el contexto de la actividad o laborconjunta.

- Reflexiones en términos de la formación deprofesores de matemáticas.

Algunas cuestiones preliminares

Análisis de soluciones a tareas degeneralización que los investigadoresadjudican al álgebra, pero parece queserían todavía del orden del pensamientoaritmético.

Análisis que se consideran y presentancomo aritméticos, parece que son yagenuinamente algebraicos.

Algunas cuestiones preliminares

¿El criterio de utilización de un simbolismoalfanumérico es garantía de que la forma depensamiento subyacente sea algebraica?

¿El simbolismo alfanumérico caracteriza alpensamiento algebraico?

¿Qué es pensar algebraicamente?

¿Qué es álgebra?

¿Cómo interpretan los maestros las produccionesmatemáticas de sus estudiantes?

Un caso de aula… y de la investigación

La producción matemática de un estudiante (en términos aproximados…)

5 = 17

10 = 32

13 = 41...

Una sensibilidad desde la TO

¿Cuál es la idea de semiótica que estáoperando?

¿Qué es lo que los estudiantes quierencomunicar?

¿Cuál es la interpretación del maestro sobrelas producciones de sus estudiantes y de loque quieren comunicar?

¿Qué implicaciones tiene la interpretación delmaestro en términos de la evaluación en elaula?

𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟐

x (gr) y (cm)

5 17

10 32

13 41

Desde la TO

Semiótica Vygotskyana (mediacional).

Una teoría de cómo los signos significan, es decir, unateoría de la significación y de la comunicación(Eco, 1978, 1988).

Una cierta sensibilidad por los aspectos asociados conla emergencia del pensamiento matemáticotemprano y, en particular, por la emergencia delpensamiento algebraico (Radford, 2010, 2013; Vergel,2015a).

Resuelva sin usar álgebra

Leonardo y Carolina participan en la rifa de boletaspara ingresar a las funciones de un festival de cine.Las boletas están guardadas en sobres, cada uno delos cuales contiene el mismo número de boletas.

Leonardo, quien ya tenía 7 boletas, ganó 1 sobre yCarolina, quien ya tenía 2 boletas, ganó 2 sobres. Siahora los dos quedan con el mismo número deboletas, ¿cuántas boletas contiene cada sobre?

Desde el método de ensayo-error

Leonardo Carolina

Una propuesta de solución desde lo icónico

Leonardo Carolina

+

Una categoría:Pensamiento algebraico

El pensamiento algebraico, como forma particular dereflexionar matemáticamente, puede caracterizarse mediantetres elementos interrelacionados:• El sentido de indeterminancia (objetos básicos como:

incógnitas, variables y parámetro; opuesto a ladeterminancia numérica).

• La analiticidad (como forma de trabajar los objetosindeterminados de manera analítica; reconocimiento delcarácter operatorio de los objetos básicos).

• La designación simbólica o expresión semiótica de susobjetos (manera específica de nombrar o referir losobjetos).

(Radford, 2010, 2018; Vergel, 2015a)

En consecuencia…

Las notaciones (algebraicas) NO son unacondición necesaria ni suficiente para eldesarrollo de pensamiento algebraico.

(Radford, 2013, 2018)

(Vergel, 2015a, 2015b, 2016a, 2016b, 2016c)

Analiticidad/Deducción

x + x = 30

2x = 30

O en nuestro ejemplo de Leonardo y Carolina:

x + 7 = 2x + 2

7 = x + 2

De 2+5 = 5+2 se puede deducir que

2+5+1 = 5+2+1

La deducción en ella misma no implicaun pensamiento algebraico.

Necesitamos las cantidades indeterminadas, pues la forma de predicación algebraica es general.

El término analítico era considerado por Pappus entérminos de movimiento.“El análisis es el movimiento desde lo que es dado

hacia lo que es buscado” (Rideout, 2008, p. 62) (Traducción propia)

Para Viète (1983/1591), en Radford (2018, p. 6):“Lo que era distintivamente algebraico […] era la

manera analítica en la cual pensamos cuando pensamos algebraicamente”.

Las cantidades indeterminadas y sus operaciones semanejan de manera analítica.

Aunque estas cantidades no son conocidas, se suman,restan, multiplican, dividen, etc., como si fueranconocidas.

“Sin hacer distinción entre números conocidos y desconocidos”

(Descartes, 1954, p. 8)

x + 7 = 2x + 2

Una solución a través del método de ensayo-errorno la consideramos como algebraica.

Incluso los estudiantes pueden movilizar signosalfanuméricos, pero esto no es lo que hace distintivoel pensamiento algebraico; esto, más bien, descansaen conceptos aritméticos.

Si el estudiante deduce de x + 7 = 2x + 2 que

7 = x + 2 (por la suma de -x a ambos lados de laecuación), podemos afirmar que el estudiante estápensando algebraicamente.

Los estudiantes están trabajando a través deconsecuencias de asumir que

x + 7 = 2x + 2He aquí la idea de movimiento que precisa Pappus.

Algunas caracterizaciones de álgebra y de la actividad algebraica

Álgebra es un método para operar sobre formasgenerales, mientras que la aritmética es unmétodo para operar sobre números concretos(Viète, 1591).

El simbolismo alfanumérico NO es una condiciónpara pensar algebraicamente (Mason, Graham, Pimm &Gowar, 1985).

Álgebra consiste en determinar cantidadesindeterminadas (Herscovics & Linchevski, 1994).

El punto de vista del álgebra como una actividadde razonamiento que involucra la noción deindeterminación (Kieran, 2006).

Algunas caracterizaciones de álgebra y de la actividad algebraica

El álgebra es inherente a la aritmética […] laaritmética tiene ya un carácter algebraico” (Carraher& Schliemann, 2007, p. 17).

La actividad simbólica es algebraica. Aquellasactividades en las cuales la generalización es expresada através de otros sistemas simbólicos no son consideradasgenuinamente algebraicas (son llamadas cuasi-algebraicas) (Kaput, Blanton & Moreno, 2008).

El álgebra se considera como un fundamento parala aritmética más que como una generalización dela misma (Subramaniam & Banerjee, 2011, p. 87).

Tira de papel

Primer doblez

Una marca

Segundo doblez

Tres marcas

3 = 2(1)+1, 7 = 2(3)+1, 15 = 2(7)+1, 31 = 2(15)+1 y, portanto, 2(31)+1 = 63 y 2(63)+1 = 127.

Frente a la pregunta sobre los dobleces que seobtendrían al realizar 100 veces la misma acción dedoblar…

Reconocimiento de que el proceso resulta pocopráctico en tanto se requeriría conocer el número dedobleces para la acción 99.

Posibilitar avances con respecto a la situaciónpropuesta, al plantear una nueva pregunta:

¿En cuántas partes queda dividida la tira de papel amedida que se realizan las acciones requeridas?

N° de dobleces N° de marcas N° de partes

1 1 2

2 3 4

3 7 8

4 15 16

5 31 32

6 63

7 127

La interacción en la actividad o labor conjunta en la TO¿Qué ven en la última columna?

Estudiante 1: [...] Números, profesor.Profesor: ¿Qué más ven?Estudiante 2: [...] Números pares.Profesor: ¿Quién ve algo más?Estudiante 3: [...] Cada número se obtiene multiplicandopor dos.Profesor: ¿Y qué más se ve al relacionar todos los númerosde la última columna?Estudiante 4: Profe, que cada número es el doble delanterior .

La interacción en la actividad o labor conjunta en la TO

Nadie más veía potencias de 2, excepto el profesor!

1, 10, 100, 1000, 10.000, …, varios reconocieron que se trataba de “potencias de 10”; y al

plantearles nuevamente la secuencia numérica 2, 4, 8, 16, …

La idea de labor conjunta en la TO…

Necesidad de acudir al trabajo con secuenciasnuméricas y reconocer patrones ... y posiblementeexpresiones asociadas:

2, 4, 6, 8, 10, ...

1, 3, 5, 7, 9, ...

1, 10, 100, 1000, 10000, ...

2, 4, 8, 16, 32, ...

La idea de labor conjunta en la TO…

En su sentido ontológico, la labor significa

alteridad

el encuentro de eso que no soy yo y que, al encontrarlo, me transforma.

El estudiante y la cultura se constituyenmutuamente en la labor. Espacio subversivo.

A través de la labor encontramos formasculturales de ser. Importancia de reconocermedios semióticos de subjetivación.

Estamos hechos de sangre y huesos, como dehistoria y relaciones sociales y culturales.

La idea de labor conjunta en la TO…

Debe ser vista como una fuente de vida, unalabor conjunta en la que llegamos a actuar,pensar y sentir juntos, en la realización de lo queHegel (2001) llamaba

“la obra (en) común”

Aquello que pone el saber (algebraico) en marchaes precisamente la labor conjunta de alumnos yprofesores. Es por medio de la labor conjuntaque el saber (algebraico) puede convertirse enobjeto de pensamiento y de conciencia.

Reflexiones en términos de la formación de profesores de matemáticas

Se sugiere un cambio sustancial en las formas deevaluación en el aula (Vergel y Rojas, en prensa).

Necesidad de conocer y asumir categoríasteóricas, provenientes de la investigación enEducación Matemática, para analizar la actividadmatemática de nuestros estudiantes.

Una idea de cambio en la formación de profesoresde matemáticas debe incluir una dimensiónepistemológica que permita distinguir formasde pensamiento matemático (aritmético,algebraico,…) y formas de cooperación humanaen la clase.

Reflexiones en términos de la formación de profesores de matemáticas

Nuestros estudiantes usan signos para expresarsu actividad matemática. Una idea de semióticaen tanto teoría de cómo los signos significan(Eco, 1978, 1988).

Pensar organizaciones de la sala de clase,procesos de acción conjunta, relaciónrespecto al otro.

El simple cálculo con lo indeterminado no essuficiente para caracterizar el pensamientoalgebraico. En la resolución de ecuaciones, porejemplo, se requiere la deducción.

Reflexiones en términos de la formación de profesores de matemáticas

El proceso de desarrollar un sentido de loindeterminado no se logra súbitamente. Esmás bien un lento y laborioso proceso que estáíntimamente ligado al tipo de tareaspropuestas en la sala de clase y a la actividaden tanto labor conjunta entre estudiantes yentre estudiantes y profesor (Vergel, 2016c, p. 511).

Implicaciones para pensar una propuesta decambio curricular en las matemáticasescolares (Vergel, 2010).

Reflexiones en términos de la formación de profesores de matemáticas

Un currículo de matemáticas escolares NOpuede ignorar la tendencia de cambiocurricular de álgebra temprana (Vergel, 2010,

2015b). Sería desconocer, en los programas deformación de profesores de matemáticas, elinterés en la investigación en EducaciónMatemática sobre la emergencia y desarrollo delpensamiento matemático temprano.

Reflexiones en términos de la formación de profesores de matemáticas

Premisa epistemológica dialéctico materialistaacerca de la cognición y los signos:

“La manera, profundidad e intensidad en que un objeto aparece como objeto de conciencia son consustanciales con el

material (contenido) semiótico que hace posible que tal objeto se convierta en un

objeto de conciencia y pensamiento”. (Radford, 2018, p. 17) (Traducción propia)

Una propuesta de solución desde lo icónico

Leonardo Carolina

Las matemáticas como actividad

Dimensión objetiva

Hay una normatividadhistórico-cultural queguía las formas de accióny reflexión matemáticaque trasciende al sujetoque practica y aprendelas matemáticas.

Dimensión subjetiva

Las matemáticasincluyen al sujetoque las practica.

Las formas de pensarmatemáticamentehablan del sujeto quepractica lasmatemáticas.

Por eso desde la TO…

Son aspectos problemáticos en laformación de profesores:

Identificar las formas de reflexiónmatemática que se materializan en elaula.

Identificar las formas de interacción ycooperación entre individuos.

Reflexiones en términos de la formación de profesores de matemáticas

Desde la TO:

Saber algebraico es una síntesis históricay culturalmente codificada de hacer y dereflexionar, en términos analíticos, sobrenúmeros indeterminados y conocidos.

ReferenciasCarraher, D. & Schliemann, A. (2007). Early algebra and algebraic reasoning. En:F. Lester (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching andLearning (Vol. 2, 669-705). Charlotte, N.C: Information Age Publishing, Inc. yNCTM.Descartes, R. (1954). The geometry. New York: Dover. Original work published1637.

Eco, U. (1978). Tratado de semiótica general. México: Nueva Imagen.Eco, U. (1988). Signo. Barcelona: Labor.Kaput, J.J., Blanton, M., & Moreno, L. (2008a). Algebra from asymbolization point of view. In J. J. Kaput, D.W. Carraher, & M.L.Blanton (Eds.), Algebra in the early grades (pp. 19–55). New York:Routledge.Mason, J., Graham, A., Pimm, D., & Gowar, N. (1985). Routes to/roots of algebra. Milton Keynes, UK: Open University Press.Radford, L. (2010). Layers of generality and types of generalization inpattern activities. PNA, 4(2), 37-62.Radford, L. (2013). En torno a tres problemas de la generalización. EnL. Rico, M. C. Cañadas, J. Gutiérrez, M. Molina e I. Segovia (Eds.),Investigación en Didáctica de la Matemática. Homenaje a EncarnaciónCastro, pp. 3-12. Granada, España: Comares.

Radford, L. (2018). The emergence of symbolic algebraic thinkingin primary school. In C. Kieran (Ed.), Teaching and learningalgebraic thinking with 5-to 12- year-olds: The global evolution of anemerging field of research and practice. New York: Springer.Rideout, B. (2008). Pappus reborn. Pappus of Alexandria and thechanging face of analysis and synthesis in late antiquity. Master ofArts in History and Philosophy of Science (Thesis). University ofCanterbury.Subramaniam, K. & Banerjee, R. (2011). The Arithmetic-AlgebraConnection: A Historical-Pedagogical Perspective. En J. Cai & E.Knuth (Eds.), Early algebraization. A global dialogue from multipleperspectives, pp. 87-107. Berlín: Springer-Verlag.Vergel, R. (2010). La perspectiva de cambio curricular Early-Algebra como posibilidad para desarrollar el pensamientoalgebraico en escolares de Educación Primaria: Una mirada alproceso matemático de generalización. Memoria 11° EncuentroColombiano de Matemática Educativa. Bogotá: Asocolme.Vergel, R. (2015a). Generalización de patrones y formas depensamiento algebraico temprano. PNA, 9(3), 193-215.

Vergel, R. (2015b). ¿Cómo emerge el pensamiento algebraico? Elcaso del pensamiento algebraico factual. UNO Revista de Didácticade las Matemáticas, 68, 9-17.

Vergel, R. (2016a). El gesto y el ritmo en la generalización depatrones. UNO Revista de Didáctica de las Matemáticas, 73, 23-31.

Vergel, R. (2016b). Sobre la emergencia del pensamiento algebraicotemprano y su desarrollo en la educación primaria: aspectos aconsiderar. Bogotá: Editorial UD.

Vergel, R. (2016c). Algunas notas acerca del desarrollo delpensamiento algebraico temprano. In M. Iori (Ed.), La Matematicae la sua Didattica/Mathematics and Mathematics Education. Inoccasion of the 70 years of Bruno D’Amore, pp. 509-512. Bologna:Pitagora Editrice.

Vergel, R. y Rojas, P. J. (en prensa). Álgebra escolar y pensamientoalgebraico: aportes para el trabajo en el aula. Bogotá: Editorial UD.

Viète, F. (1983). The analytic art. New York: Dover [work published1591].

Muchas gracias por su atención

y

hasta una próxima oportunidad