Equivalencia de Autómatas Finitos y Expresiones

Regulares. Autómatas de Pila no determinísticos.

Juan Carlos Sosa 15-0861Yamilee Valerio 15-0736

• Los Lenguajes aceptados por un AF son fácilmente descritos por una expresión llamada Expresión Regular.

Prof. Gloria Inés Alvarez. (2008). Equivalencia entre Expresiones Regulares y Atómatas Finitos. En Computabilidad y Lenguajes Formales(""). Colombia: N/A.

Inmaculada Luengo Merino. (2008). AUTÓMATA FINITO EQUIVALENTE A UNA EXPRESIÓN REGULAR DADA. En Tema 2 Autómatas(52). España: Universidad de Las Palmas de Gran Canaria.

Feliu´ Sagols Troncoso. (2010). Aut´omatas finitos y expresiones regulares. 2016, de Matem´aticas-Cinvestav Sitio web: http://acme.math.cinvestav.mx/~basico/apache/automata1.pdf

Expresiones Regulares

• Sea ∑ un conjunto finito de símbolos y sean L, L1 y L2 conjunto de cadenas de ∑*, la concatenación de L1 y L2, denotada por L1L2, es el conjunto {xy| donde x está en L1 e y está en L2}. Definimos L0 = {є} y Li = Li-1 Para toda i mayor o igual que 1. La cerradura de Kleene de L denotada por L* es el conjunto

Feliu´ Sagols Troncoso. (2010). Aut´omatas finitos y expresiones regulares. 2016, de Matem´aticas-Cinvestav Sitio web: http://acme.math.cinvestav.mx/~basico/apache/automata1.pdf

• La cerradura Positiva de L denotada por L+ es el conjunto

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EQUIVALENCIA DE EXPRESIONES REGULARES Y AUTÓMATAS FINITOS

• Lo que vamos a demostrar a continuación es que los Lenguajes que pueden ser expresados mediante una expresión regular, son todos y los únicos lenguajes que son abarcables por los Autómatas Finitos.

Inmaculada Luengo Merino. (2008). AUTÓMATA FINITO EQUIVALENTE A UNA EXPRESIÓN REGULAR DADA. En Tema 2 Autómatas(52). España: Universidad de Las Palmas de Gran Canaria.

• Dada una expresión regular cualquiera siempre existe un AF, con sólo un estado final, cuyo lenguaje es el dado por la expresión regular.

Inmaculada Luengo Merino. (2008). AUTÓMATA FINITO EQUIVALENTE A UNA EXPRESIÓN REGULAR DADA. En Tema 2 Autómatas(52). España: Universidad de Las Palmas de Gran Canaria.

• Si el último operador es la concatenación entonces podemos escribir r = r1r2 donde r1 y r2 tienen menos de k+1 operadores. Entonces, por hipótesis de inducción, existen dos AF, M1y M2 tales que L(M1) = r1 y L(M2) = r2.

Un autómata que acepta L(r) sería

• Si el último operador de r es una unión r = r1+r2, un autómata que acepta L(r) será

Si el último operador de r es un cierre de Kleene r = (r1)* un autómata que acepta L(r) será:

• Si el último operador de r es una clausura positiva r=(r1) + un autómata que acepta L(r) será:

Inmaculada Luengo Merino. (2008). AUTÓMATA FINITO EQUIVALENTE A UNA EXPRESIÓN REGULAR DADA. En Tema 2 Autómatas(52). España: Universidad de Las Palmas de Gran Canaria.

Ejemplo:

Sea Σ={0,1} y sea r = 0*+1+ 0 y queremos construir un autómata cuyo lenguaje sea exactamente el definido por la expresión regular r. El último operador que interviene es la suma

• Ejemplo: Realice un Autómata Finito para la Expresión anterior, de manera sencilla.

• Ejemplo: Realice un Autómata Finito para la Expresión 0*1+1*0, de manera sencilla.

• Ejercicio: Encuentre una Expression Regular para el siguiente AF

0 1 1, 0

q0 q1 q2

• Ejercicio: Encuentre una Expression Regular para el siguiente AF.

Autómata de Pila no DeterministasLos autómatas finitos son objetos equivalentes a las gramáticas regulares, es decir que

un lenguaje regular se corresponde, bien con una gramática regular, bien con un

autómata finito, aunque no de manera biunívoca.

Un autómata de pila es una séptupla M=(Q,Σ,∆,q0,δ,F) donde:

• Q= conjunto finito de estados

• Σ= alfabeto de entrada

• ∆= alfabeto de pila

• q0 Q estado inicial∈• F Q, F≠ , conjunto de estados finales ⊆ ∅• δ es la función de transición.

Autómata de Pila no Deterministas

• Para visualizar un autómata de pila podemos imaginar los estados y

la cinta de entrada como en los autómatas finitos, pero ahora está la

pila que podemos imaginar como una cinta interna (que siempre

representamos como una columna) donde se van insertando o

extrayendo los símbolos de pila según lo vayan mandando las

transiciones.

• La pila hace el papel de una memoria rudimentaria: sobre ella se escriben

palabras y se van extrayendo símbolo a símbolo. Debe quedar claro el

modo en que entendemos que se insertan las palabras en la pila: Si ω =

a1….ak es una palabra de longitud k y queremos insertarla en la pila de un

AP, entendemos que el símbolo que queda en la cima de la pila es a1.

Es decir, el comportamiento del autómata depende en cada transición • Del estado actual

• Posiblemente del siguiente símbolo de la entrada • Del símbolo en la cima de la pila Y se modifica el autómata en el sentido

• Se cambia (posiblemente) del estado • Se consume (posiblemente) el siguiente símbolo de la entrada •Se modifica (posiblemente) el contenido de la cima de la pila.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN AP

• Dibujamos un círculo por cada estado no final y un doble círculo por cada estado final.• Marcamos el estado inicial con una flecha de entrada, sin

etiquetar. • Por cada (r,ω) δ(q,a,Z) dibujamos una flecha de q a r ∈

etiquetada a,Z;ω

Es similar a la de un autómata finito:

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Bibliografía

Prof. Gloria Inés Alvarez. (2008). Equivalencia entre Expresiones Regulares y Atómatas Finitos. En Computabilidad y Lenguajes Formales(""). Colombia: N/A.

Inmaculada Luengo Merino. (2008). AUTÓMATA FINITO EQUIVALENTE A UNA EXPRESIÓN REGULAR DADA. En Tema 2 Autómatas(52). España: Universidad de Las Palmas de Gran Canaria.

Feliu´ Sagols Troncoso. (2010). Aut´omatas finitos y expresiones regulares. 2016, de Matem´aticas-Cinvestav Sitio web:http://acme.math.cinvestav.mx/~basico/apache/automata1.pdf