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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 01
Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica
En este curso, tomaremos:
• n, m ∈ N con n > 0 y m > 0;
• I = {1, 2, . . . , m} y J = {1, 2, . . . , n}; y
• K un cuerpo o campo (es decir, cualquier conjunto que cumpla con los axio-
mas de cuerpo), puede ser R o C.
1. SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones lineales
en las cuales figuran n incógnitas a las que notaremos por: x1, x2, . . . , xn. Así,
dados aij ∈ R y bi ∈ R con i ∈ I y j ∈ J, fijos, un sistema de ecuaciones es:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm.
DEFINICIÓN 1: Sistema de ecuacionesDEFINICIÓN 1: Sistema de ecuaciones
2. MATRICES
Una matriz sobre un cuerpo K es una función
A : I × J −→ K
(i, j) 7−→ A(i, j) = aij,
DEFINICIÓN 2: MatrizDEFINICIÓN 2: Matriz
1
Departamento de Formación Básica Resumen no. 01
la cual se representa por
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
.
Con esto, se dice que A es de orden m × n y que tiene m filas y n columnas.
Al conjunto de todas las matrices de orden m × n sobre el campo K se
denota por Km×n.
Dada una matriz A, esta se la representa también por A = (aij).
Otras notaciones usuales para el conjunto de la matrices, que se puede en-
contrar en la literatura, son Mm×n, Mm×n, Mmn o Mmn.
Sean A ∈ Km×n, i ∈ I y j ∈ J. A la matriz
a1j
a2j...
amj
se la llama la j-ésima columna de A y a la matriz
(
ai1 ai2 · · · ain
)
se la llama la i-ésima fila de A.
DEFINICIÓN 3: Filas y columnasDEFINICIÓN 3: Filas y columnas
PROPOSICIÓN 1 (Igualdad de matrices). Sean A ∈ Km×n y B ∈ Kp×q. Se dice
que las A y B son iguales, y se representa por A = B, si:
• m = p y n = q; y
• aij = bij para todo i ∈ I y j ∈ J.
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Resumen no. 01 Departamento de Formación Básica
El conjunto Kn es:
Kn = K × K × · · · × K
︸ ︷︷ ︸
n veces
,
es decir,
Kn = {(a1, a2, . . . , an) : ai ∈ K para todo i ∈ J}.
DEFINICIÓN 4: VectoresDEFINICIÓN 4: Vectores
Por notación, si a ∈ Rn, se asumirá a = (a1, a2, . . . , an).
Podemos identificar cada elemento de Kn con una matriz de Kn×1 de la
siguiente manera: si
a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Kn,
entonces, visto como matriz es
a =
a1
a2
...
an
∈ Kn×1.
Sean A, B ∈ Km×n. La suma de las matrices A y B es la matriz C ∈ Km×n tal
que:
cij = aij + bij
para todo i ∈ I y j ∈ J. A esta matriz se la denota por A + B.
DEFINICIÓN 5: Suma de matricesDEFINICIÓN 5: Suma de matrices
Con esto, tenemos que (aij) + (bij) = (aij + bij).
Sea A ∈ Km×n y α ∈ K. El producto del escalar α por la matriz A es la matriz
B ∈ Km×n tal que:
bij = αaij
para todo i ∈ I y j ∈ J. A esta matriz se la denota por αA.
DEFINICIÓN 6: Multiplicación por un escalarDEFINICIÓN 6: Multiplicación por un escalar
Con esto, tenemos que α(aij) = (αaij).
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Departamento de Formación Básica Resumen no. 01
Sea A ∈ Km×n. La matriz transpuesta de A es la matriz B ∈ Kn×m tal que:
(bij) = (aji)
para todo i ∈ I y j ∈ J. A esta matriz se la denota por A⊺.
DEFINICIÓN 7: Transpuesta de una matrizDEFINICIÓN 7: Transpuesta de una matriz
Con esto, tenemos que si A ∈ Km×n, entonces A⊺ ∈ Kn×m y (aij)⊺ = (aji).
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 02
Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica
1. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE MATRICES
Sean A, B, C ∈ Km×n. Se tiene que
• A + B = B + A.
• A + (B + C) = (A + B) + C.
• Existe una única matriz 0 de orden m × n tal que
A + 0 = A
para cualquier matriz A de orden m × n. La matriz 0 se denomina neu-
tro aditivo de orden m × n, también llamada la matriz nula.
• Para cada matriz A de orden m × n, existe una única matriz, denotada
por −A, de orden m × n tal que:
A + (−A) = 0.
A la matriz −A se la denomina el inverso aditivo A.
TEOREMA 1TEOREMA 1
Sean α, β ∈ K y A, B ∈ Km×n. Se tiene que
• α(βA) = (αβ)A;
• (α + β)A = αA + βA; y
• α(A + B) = αA + αB.
TEOREMA 2TEOREMA 2
2. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
En esta sección consideramos p, q ∈ N con p > 0 y q > 0.
1
Departamento de Formación Básica Resumen no. 02
Sean A ∈ Km×n y B ∈ Kn×p, el producto de las matrices A y B es la matriz
C ∈ Km×p tal que
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ a1pbpj
=p
∑k=1
aikbkj
para todo i ∈ I y j ∈ J. A esta matriz se la denota por AB.
DEFINICIÓN 1: Multiplicación de matricesDEFINICIÓN 1: Multiplicación de matrices
Sean A, B ∈ Km×n, C, D ∈ Kn×p, E ∈ Kp×q y α ∈ K. Se tiene que
• A(DE) = (AD)E;
• A(C + D) = AC + AD;
• (A + B)C = AC + BC;
• A(αC) = α(AC) = (αA)C.
TEOREMA 3TEOREMA 3
En general, AB 6= BA.
Si A es un elemento de Kn×n, se dice que A es una matriz cuadrada de orden
n.
DEFINICIÓN 2: Matriz cuadradaDEFINICIÓN 2: Matriz cuadrada
Se define la matriz identidad de orden n al elemento A de Kn×n tal que
aij =
1 si i = j,
0 si i 6= j,
para todo i, j ∈ I. A esta matriz se la denota por In.
DEFINICIÓN 3: Matriz identidad de orden nDEFINICIÓN 3: Matriz identidad de orden n
2
Resumen no. 02 Departamento de Formación Básica
PROPOSICIÓN 4. Sea A ∈ Km×n se tiene que
Im A = AIn = A.
Sean A ∈ Kn×n y r ∈ N. Se define A a la potencia r por
• A0 = In; y
• Ar+1 = Ar A.
DEFINICIÓN 4DEFINICIÓN 4
Sean A ∈ Kn×n y r, s ∈ N. Se tiene que
• Ar As = Ar+s; y
• (Ar)s = Ars.
TEOREMA 5TEOREMA 5
Note que en general (AB)r 6= ArBr.
Sean α ∈ K, A, B ∈ Km×n y C ∈ Kn×p. Se tiene que
• (A⊺)⊺ = A;
• (A + B)⊺ = A⊺ + B⊺;
• (AC)⊺ = C⊺A⊺;
• (αA)⊺ = αA⊺.
TEOREMA 6TEOREMA 6
3. TIPOS DE MATRICES
Sea A ∈ Kn×n. Se dice que A es una matriz diagonal si verifica que:
aij = 0
DEFINICIÓN 5: Matriz diagonalDEFINICIÓN 5: Matriz diagonal
3
Departamento de Formación Básica Resumen no. 02
para todo i ∈ I y j ∈ J con i 6= j.
Sea A ∈ Kn×n. Se dice que A es una matriz escalar si es una matriz diagonal
que verifica:
aii = α
para todo i ∈ I, con α ∈ K.
DEFINICIÓN 6: Matriz escalarDEFINICIÓN 6: Matriz escalar
Sea A ∈ Kn×n. Se dice que A es simétrica si A⊺ = A.
DEFINICIÓN 7: Matriz simétricaDEFINICIÓN 7: Matriz simétrica
Sea A ∈ Kn×n. Se dice que A es simétrica si A⊺ = −A.
DEFINICIÓN 8: Matriz antisimétricaDEFINICIÓN 8: Matriz antisimétrica
Sea A ∈ Kn×n. Se dice que A es
• una matriz triangular superior si aij = 0 para todo i > j con i, j ∈ J; y
• una matriz triangular inferior si aij = 0 para todo i < j con i, j ∈ J.
DEFINICIÓN 9: Matriz triangularDEFINICIÓN 9: Matriz triangular
Sea A ∈ Kn×n y r ∈ N. Se dice que A es nilpotente de orden r si r es el menor
entero positivo tal que
Ar = 0.
DEFINICIÓN 10: Matriz nilpotenteDEFINICIÓN 10: Matriz nilpotente
Sea A ∈ Kn×n. Se dice que A es una matriz idempotente si A2 = A.
DEFINICIÓN 11: Matriz idempotenteDEFINICIÓN 11: Matriz idempotente
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 03
Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica
1. TRANSFORMACIONES MATRICIALES
Dada A ∈ Km×n, una transformación matricial es una función
f : Kn −→ Km
u 7−→ Au.
DEFINICIÓN 1: Transformación matricialDEFINICIÓN 1: Transformación matricial
2. SOLUCIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Dado un sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones lineales en las cuales
figuran n incógnitas:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm.
donde aij ∈ R y bi ∈ R con i ∈ I y j ∈ J. A la matriz
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
DEFINICIÓN 2: Matriz aumentadaDEFINICIÓN 2: Matriz aumentada
1
Departamento de Formación Básica Resumen no. 03
se la llama matriz de coeficientes del sistema y a
b =
b1
b2
...
bm
y x =
x1
x2
...
xn
se las llama columnas de constantes y de incógnitas, respectivamente.
Bajo estas definiciones, dado un sistema de ecuaciones lineales, se dice que
Ax = b
es la representación matricial del sistema de ecuaciones.
Sean A ∈ Km×n y B ∈ Km×p, se define la matriz ampliada de A y B al
elemento de Km×(m+p) dado por:
a11 a12 · · · a1n | b11 b12 · · · b1p
a21 a22 · · · a2n | b21 b22 · · · b2p
......
. . ....
......
.... . .
...
am1 am2 · · · amn | bm1 bm2 · · · bmp
y se la denota por (A|B).
DEFINICIÓN 3: Matriz ampliadaDEFINICIÓN 3: Matriz ampliada
Dado el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial
Ax = b
con A ∈ Km×n y b ∈ Km, se dice que
(A|b)
es la matriz ampliada asociada al sistema.
DEFINICIÓN 4DEFINICIÓN 4
2
Resumen no. 03 Departamento de Formación Básica
Se dice que una matriz está en forma escalonada reducida por filas cuando
satisface las siguientes propiedades:
1. Todas las filas que constan de ceros, si las hay, están en la parte inferior
de la matriz.
2. La primera entrada distinta de cero de la fila, al leer de izquierda a
derecha, es un 1. Esta entrada se denomina entrada principal o uno
principal de su fila.
3. Para cada fila que no consta sólo de ceros, el uno principal aparece a la
derecha y abajo de cualquier uno principal en las filas que le preceden.
4. Si una columna contiene un uno principal, el resto de las entradas de
dicha columna son iguales a cero.
Se dice que una matriz está en forma escalonada por filas si satisface las pri-
meras tres propiedades .
DEFINICIÓN 5: Matriz escalonada reducida por filasDEFINICIÓN 5: Matriz escalonada reducida por filas
Dada una matriz A ∈ Km×n, una operación elemental por filas sobre A es
una de las siguientes:
• Intercambio de filas: dados i ∈ I y j ∈ J, intercambiar la fila i por la fila
j, denotado por
Fi ↔ Fj,
es reemplazar la fila (
ai1 ai2 . . . ain
)
por la fila (
aj1 aj2 . . . ajn
)
y viceversa.
• Multiplicar una fila por un escalar: dados i ∈ I y α ∈ K, con α 6= 0,
multiplicar la fila i por α, denotado por
αFi → Fi,
DEFINICIÓN 6: Operaciones elementales de filaDEFINICIÓN 6: Operaciones elementales de fila
3
Departamento de Formación Básica Resumen no. 03
es reemplazar la fila (
ai1 ai2 . . . ain
)
por (
αai1 αai2 . . . αain
)
.
• Sumar un múltiplo de una fila con otra: dados i, j ∈ I y α ∈ K, multi-
plicar la fila i por α y sumarlo a la fila j, denotado por
αFi + Fj → Fj,
es reemplazar la fila (
aj1 aj2 . . . ajn
)
por (
αai1 + aj1 αai2 + aj2 . . . αain + ajn
)
.
Dada una operación elemental por fila, se llama matriz elemental correspon-
diente a la operación al resultado de aplicar dicha operación a la matriz iden-
tidad.
DEFINICIÓN 7: Matriz elementalDEFINICIÓN 7: Matriz elemental
Sean E ∈ Kn×n una matriz elemental y A ∈ Kn×m, el resultado aplicar la
operación por filas correspondiente a E a la matriz A es EA.
TEOREMA 1TEOREMA 1
Sean A, B ∈ Km×n, se dice que la matriz A es equivalente por filas a una
matriz B, denotado por A ∼ B, si B se puede obtener al aplicar a la matriz A
una sucesión de operaciones elementales por fila.
DEFINICIÓN 8: Equivalente por filasDEFINICIÓN 8: Equivalente por filas
Toda matriz A ∈ Km×n es equivalente por filas a una matriz escalonada re-
ducida por filas.
TEOREMA 2TEOREMA 2
4
Resumen no. 03 Departamento de Formación Básica
Toda matriz A ∈ Km×n es equivalente por filas a una única matriz en forma
escalonada reducida por filas.
TEOREMA 3TEOREMA 3
El proceso para obtener una matriz escalonada reducida por filas a partir de
una matriz cualquiera se conoce como eliminación de Gauss-Jordan.
Sean A ∈ Km×n y B ∈ Km×n la única matriz escalonada reducida por filas
equivalente a A. El rango de A, denotado por rang(A), es el número de filas
no nulas que tiene la matriz B.
DEFINICIÓN 9DEFINICIÓN 9
PROPOSICIÓN 4. Sean A, B ∈ Km×n. Se tiene que si A ∼ B, entonces
rang(A) = rang(B).
PROPOSICIÓN 5. Sean A ∈ Km×n. Se tiene que si A es una matriz escalonada,
entonces rang(A) es el número de filas no nulas que tiene A.
2.1 Resolución de sistemas lineales
Sean A, C ∈ Km×n y b, d ∈ Km, se tiene que los sistemas de ecuaciones linea-
les
Ax = b y Cx = d
tienen las mismas soluciones si y solo si
(A|b) ∼ (C|d),
es decir, si las matrices aumentadas de los sistemas son equivalentes por filas.
TEOREMA 6TEOREMA 6
Sean A ∈ Km×n y b ∈ Km, dado el sistema de ecuaciones lineales
Ax = b,
DEFINICIÓN 10DEFINICIÓN 10
5
Departamento de Formación Básica Resumen no. 03
se dice que
• el sistema es inconsistente si no tiene solución;
• el sistema es consistente si tiene solución.
Sean A ∈ Km×n y b ∈ Km, dado el sistema de ecuaciones lineales
Ax = b,
se tiene una y solo una de las siguientes
• el sistema es inconsistente;
• el sistema es consistente y tiene una única solución; o
• el sistema es consistente y tiene infinitas soluciones.
TEOREMA 7TEOREMA 7
Sean A ∈ Km×n y b ∈ Km, dado el sistema de ecuaciones lineales
Ax = b,
se tiene que
• el sistema es consistente si y solo si rang(A) = rang(A|b);
• en caso de que el sistema sea consistente, la solución es única si y solo
si rang(A) = n.
TEOREMA 8: Teorema de Rouché–FrobeniusTEOREMA 8: Teorema de Rouché–Frobenius
2.2 Sistemas homogéneos
Sea A ∈ Km×n al sistema
Ax = 0
se lo denomina sistema de ecuaciones lineales homogéneo.
DEFINICIÓN 11: Sistema homogéneoDEFINICIÓN 11: Sistema homogéneo
6
Resumen no. 03 Departamento de Formación Básica
Sea A ∈ Km×n, dado el sistema homogéneo
Ax = 0,
entonces
• a x = 0 se la llama la solución trivial del sistema;
• a x 6= 0 tal que Ax = 0 se la llama una solución no trivial.
DEFINICIÓN 12DEFINICIÓN 12
Un sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas siempre tiene una
solución no trivial si m < n, es decir, si el número de incógnitas es mayor que
el número de ecuaciones.
TEOREMA 9TEOREMA 9
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 04
Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica
1. INVERSA DE UNA MATRIZ
Sea A ∈ Kn×n es no singular o invertible si existe una matriz B ∈ Kn×n tal
que
AB = BA = In
la matriz B se denomina inversa de A y se la denota por A−1. Si no existe tal
matriz, entonces se dice que A es singular o no invertible.
DEFINICIÓN 1DEFINICIÓN 1
PROPOSICIÓN 1. Si una matriz tiene inversa, la inversa es única.
Sea A ∈ Kn×n.
• Si A es una matriz no singular, entonces A−1 es no singular y
(A−1)−1 = A.
• Si A y B son matrices no singulares, entonces AB es no singular y
(AB)−1 = B−1 A−1.
• Si A es una matriz no singular, entonces
(A⊺)−1 = (A−1)⊺
.
TEOREMA 2TEOREMA 2
Sean p ∈ N∗ y A1, A2, . . . , Ap ∈ Kn×n matrices no singulares. Se tiene que
A1 A2 · · · Ap es no singular y
(A1 A2 · · · Ap)−1 = A−1
p A−1p−1 · · · A−1
1 .
TEOREMA 3TEOREMA 3
1
Departamento de Formación Básica Resumen no. 04
Sean A, B ∈ Kn×n. Se tiene que si AB = In, entonces BA = In.
TEOREMA 4TEOREMA 4
Sea A ∈ Kn×n, se tiene que A es no singular si y solo si es equivalente por
filas a In. Es más
(A|In) ∼ (In|A−1).
TEOREMA 5TEOREMA 5
Sea A ∈ Kn×n, el sistema homogéneo
Ax = 0
tiene una solución no trivial si y solo si A es singular.
TEOREMA 6TEOREMA 6
Sea A ∈ Kn×n. Se tiene que A es no singular si y solo si el sistema lineal
Ax = b tiene una solución única para cada vector b ∈ Kn.
TEOREMA 7TEOREMA 7
PROPOSICIÓN 8. Sea A ∈ Kn×n, se tienen que las siguientes son equivalen-
tes:
1. A es no singular;
2. el sistema Ax = 0 solamente tiene la solución trivial;
3. A es equivalente por filas a In; y
4. el sistema lineal Ax = b tiene una solución única para cada vector b ∈
Kn.
2. FACTORIZACIÓN LU
Sea A ∈ Kn×n. Suponga que A puede escribirse como el producto de una
matriz triangular inferior L, un una matriz triangular superior U, es decir,
A = LU
2
Resumen no. 04 Departamento de Formación Básica
entonces se dice que A tiene una factorización LU.
La factorización LU de una matriz A puede usarse de manera eficiente para
resolver un sistema lineal Ax = b, tomando Ux = z y Lz = b.
3. CIRCUITOS ELÉCTRICOS
En general, en el caso de circuitos eléctricos que constan de baterías, resisten-
cias, cables y que tienen n diferentes asignaciones de corriente, las leyes de voltaje
y corriente de Kirchoff siempre conducen a n ecuaciones lineales que tienen una
sola solución.
3
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 05
Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica
1. CADENAS DE MARKOV
Una cadena de Markov o proceso de Markov es aquel en el que la probabi-
lidad de que el sistema esté en un estado particular en un período de obser-
vación dado, depende solamente de su estado en el período de observación
inmediatamente anterior.
DEFINICIÓN 1DEFINICIÓN 1
Supongamos que el sistema de estudio tiene n estados posibles. Se llama pro-
babilidad de transición, notada tij es la probabilidad que el sistema se en-
cuentre en el estado j y en el siguiente período esté en el estado i, con i, j ∈ I.
Se representa con T ∈ Km×n a la matriz tal que T = (tij) a la matriz de
transición de la cadena de Markov.
DEFINICIÓN 2DEFINICIÓN 2
Al ser una probabilidad se cumple que:
0 ≤ tij ≤ 1 yn
∑i=1
tij = 1
para todo i, j ∈ I.
Podemos utilizar la matriz de transición del proceso de Markov para determi-
nar la probabilidad de que el sistema se encuentre en cualquiera de los n estados
en el futuro.
El vector de estado del proceso de Markov en el período de observación k,
notado por x(k), es el vector:
p(k)1
p(k)2...
p(k)n
para todo k ≥ 0, donde pkj es la probabilidad que el sistema se encuentre en
el estado j en el período de observación k.
DEFINICIÓN 3DEFINICIÓN 3
1
Departamento de Formación Básica Resumen no. 05
Al vector x(0), se lo llama vector de estado inicial que indica el estado del
sistema en el período 0.
Si T es una matriz de transición de un proceso de Markov, el vector de esta-
do x(k+1), en el (k + 1)-ésimo período de observación, puede determinarse a
partir del vector de estado x(k) en el k-ésimo período de observación, como:
x(k+1) = Tx(k).
TEOREMA 1TEOREMA 1
El vector
u1
u2
...
un
es un vector de probabilidad si
1. ui ≥ 0 para todo i ∈ I y
2. u1 + u2 + · · ·+ un = 1.
DEFINICIÓN 4DEFINICIÓN 4
Una matriz de transición T de un proceso de Markov es regular si todas las
entradas de alguna potencia de T son positivas. Un proceso de Markov es
regular si su matriz de transición es regular.
DEFINICIÓN 5DEFINICIÓN 5
Si T es la matriz de transición de un proceso de Markov regular, entonces:
1. A medida que n → ∞, Tn tiende a una matriz
A =
u1 u1 · · · u1
u2 u2 · · · u2
......
. . ....
un un · · · un
tal que todas sus columnas son idénticas.
TEOREMA 2TEOREMA 2
2
Resumen no. 05 Departamento de Formación Básica
2. Toda columna
u =
u1
u2
...
un
de A es un vector de probabilidad tal que todos sus componentes son
positivos.
Si T es una matriz de transición regular y A y u son como en el teorema
anterior, entonces:
1. Para cualquier vector de probabilidad x,
Tnx → u
conforme n → ∞, de modo que u es un vector de estado estacionario.
2. El vector de estado estacionario u es el único vector de probabilidad
que satisface la ecuación matricial Tu = u.
TEOREMA 3TEOREMA 3
2. MÍNIMOS CUADRADOS
En R2, dados n puntos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), se plantea encontrar la
ecuación de la recta que minimice la suma de los cuadrados de las distan-
cias verticales de los puntos a la recta, es decir, se busca la pendiente m y el
intercepto b de una recta que minimice la función definida por
L(m, b) =n
∑k=1
(yk − mxk − b)2.
A la recta de pendiente m e intercepto b que minimizan la función anterior se
la llama recta de mínimos cuadrados.
DEFINICIÓN 6: Problema de la recta de mínimos cuadradosDEFINICIÓN 6: Problema de la recta de mínimos cuadrados
3
Departamento de Formación Básica Resumen no. 05
PROPOSICIÓN 4. Dados los puntos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), definimos
y =
y1
y2
...
yn
, A =
1 x1
1 x2
......
1 xn
y u =
(
b
m
)
.
Se tiene que el problema de la recta de mínimos cuadrados es equivalente a
resolver el sistema
A⊺Au = A⊺y.
PROPOSICIÓN 5. Sea A ∈ Rm×n tal que rang(A) = n, entonces, A⊺A es no
singular.
En R2, dados n puntos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), se plantea encontrar
la ecuación de la parábola que minimice la suma de los cuadrados de las
distancias verticales de los puntos a la parábola, es decir, se busca a, b, c ∈ R
tales que minimicen la función definida por
L(a, b, c) =n
∑k=1
(yk − ax2k − bxk − c)2.
A la parábola de ecuación y = ax2 + bx + c, donde a, b, c ∈ R minimizan la
función anterior se la llama parábola de mínimos cuadrados.
DEFINICIÓN 7: Problema de la parábola de mínimos cuadradosDEFINICIÓN 7: Problema de la parábola de mínimos cuadrados
PROPOSICIÓN 6. Dados los puntos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), definimos
y =
y1
y2
...
yn
, A =
1 x1 x21
1 x2 x22
......
1 xn x2n
y u =
(
b
m
)
.
Se tiene que el problema de la parábola de mínimos cuadrados es equivalente
a resolver el sistema
A⊺Au = A⊺y.
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 06DETERMINANTES
Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica
1. DETERMINANTES
En esta sección tomaremos n ∈ N, con n > 0, e I = {1, 2, . . . , n}.
Sean A ∈ Kn×n e i, j ∈ I. A la matriz de K(n−1)×(n−1) que se obtiene eliminar
la fila i y la columna j de A se la llama el menor ij de A, denotado por Aij.
DEFINICIÓN 1: MenorDEFINICIÓN 1: Menor
En la literatura se puede encontrar la notación de Mij para el menor de ij de
A.
Sean A ∈ Kn×n y k ∈ I. A la matriz de Kk×k que se obtiene eliminar las
n − k últimas filas y columnas de A, se la llama el menor principal k de A,
denotado por Mk.
DEFINICIÓN 2: Menor principalDEFINICIÓN 2: Menor principal
En la literatura se puede encontrar la notación de Ak para el menor principal
k de A.
Sea A ∈ Kn×n se define el determinante de A, denotado por det(A) (o por
|A|), de manera inductiva, como sigue:
• Si n = 1 y A = (a11), entonces det(A) = a11.
• Si n > 1, entonces
det(A) =n
∑k=1
a1k(−1)1+k det(A1k)
= a11 det(A11)− a12 det(A12) + . . . + (−1)1+na1n det(A1n).
DEFINICIÓN 3: DeterminantesDEFINICIÓN 3: Determinantes
Ejemplos:
1
Departamento de Formación Básica Resumen no. 06
• Sea A una matriz de orden 2 × 2 de la forma
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
,
se tiene que
A11 = (a22) y A12 = (a21),
por lo tanto
det(A11) = a11 y det(A12) = a12,
de esta forma,
det(A) = a11 det(A11)− a12 det(A12) = a11a22 − a12a21,
es decir,
det(A) =
∣∣∣∣∣
a22 a23
a32 a33
∣∣∣∣∣= a11a22 − a12a21.
• Sea A una matriz de orden 3 × 3 de la forma
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
el determinante de la matriz A está dado por:
det(A) = a11
∣∣∣∣∣
a22 a23
a32 a33
∣∣∣∣∣− a12
∣∣∣∣∣
a21 a23
a31 a33
∣∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣∣
a21 a22
a31 a32
∣∣∣∣∣
.
Sean A ∈ Kn×n e i, j ∈ I. El cofactor ij de A, denotado Cij, está dado por
Cij = (−1)i+j det(Aij)
donde Aij es el menor ij de A.
DEFINICIÓN 4: CofactoresDEFINICIÓN 4: Cofactores
En la literatura, también se suele llamar menor al determinante de Aij en
lugar de a la matriz, como lo haremos en este texto. Además, al cofactor, se
lo suele denotar por Aij.
2
Resumen no. 06 Departamento de Formación Básica
Sea A ∈ Kn×n. Se tiene que para todo i ∈ I,
det(A) =n
∑k=1
aikCik = ai1Ci1 + ai2Ci2 + . . . + ainCin
y
det(A) =n
∑k=1
akiCki = a1iC1i + a2iC2i + . . . + aniCni.
El lado derecho de las igualdades toma el nombre de expansión por cofacto-
res del determinante de A.
TEOREMA 1TEOREMA 1
PROPOSICIÓN 2. Sea A ∈ Kn×n. Si una fila o columna de A contiene solo
ceros, entonces det(A) = 0.
Sea A ∈ Kn×n una matriz triangular superior o triangular inferior, entonces
det(A) = a11a22 · · · ann,
es decir, el determinante de una matriz triangular es el producto de los ele-
mentos de su diagonal principal.
TEOREMA 3TEOREMA 3
PROPOSICIÓN 4. Sea E ∈ Kn×n una matriz elemental, i, j ∈ I y α ∈ K, con
α 6= 0. Se tiene que
• si la operación es Fi ↔ Fj, entonces det(E) = −1;
• si la operación es αFi → Fi, entonces det(E) = α; y
• si la operación es αFi + Fj → Fj, entonces det(E) = 1.
2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
PROPOSICIÓN 5. Sea A ∈ Kn×n. El determinante de una matriz A y de su
3
Departamento de Formación Básica Resumen no. 06
transpuesta son iguales, es decir,
det(A⊺) = det(A).
Sean A, B ∈ Kn×n, se tiene que:
det(AB) = det(A)det(B).
TEOREMA 6TEOREMA 6
PROPOSICIÓN 7. Sean A, B ∈ Kn×n. Si la matriz B se obtiene intercambiando
dos filas o columnas de A entonces
det(B) = −det(A).
PROPOSICIÓN 8. Sea A ∈ Kn×n. Si dos filas o columnas de A son iguales,
entonces
det(A) = 0
PROPOSICIÓN 9. Sean A, B ∈ Kn×n. Si B se obtiene al multiplicar una fila o
columna de A por un escalar α ∈ K, entonces
det(B) = α det(A).
PROPOSICIÓN 10. Sean A ∈ Kn×n y α ∈ K. Se tiene que
det(αA) = αn det(A).
PROPOSICIÓN 11. Sean A, B ∈ Kn×n, α ∈ K e i, j ∈ I, con i 6= j. Si B se
obtiene al aplicar una operación de fila αFi + Fj → Fj, entonces
det(B) = det(A).
4
Resumen no. 06 Departamento de Formación Básica
Sea A ∈ Kn×n. Si A es no singular, entonces det(A) 6= 0 y
det(A−1) =1
det(A).
TEOREMA 12TEOREMA 12
PROPOSICIÓN 13. Sean A, B, C ∈ Kn×n y j ∈ I tales que A, B y C difieran
únicamente en la columna j. Si la columna j de C es el resultado de sumar las
columnas j de A y B, entonces
det(C) = det(A) + det(B).
3. INVERSA DE UNA MATRIZ
Sea A ∈ Kn×n. La matriz de cofactores de A, que se denota por cof(A), es la
matriz de Kn×n que está formada por los cofactores de A, es decir,
cof(A) = (Cij) =
C11 C12 · · · C1n
C21 C22 · · · C2n
......
. . ....
Cn1 Cn2 · · · Cnn
.
DEFINICIÓN 5: Matriz de cofactoresDEFINICIÓN 5: Matriz de cofactores
Sea A ∈ Kn×n. La matriz adjunta de A, que se denota por adj(A), es la matriz
de Kn×n que está formada por los cofactores de A, es decir,
adj(A) = cof(A)⊺.
DEFINICIÓN 6DEFINICIÓN 6
Sea A ∈ Kn×n, entonces
A(adj(A)) = (adj(A))A = det(A)In.
TEOREMA 14TEOREMA 14
5
Departamento de Formación Básica Resumen no. 06
COROLARIO 15. Sea A ∈ Kn×n. Si det(A) 6= 0, entonces A es invertible y
A−1 =1
det(A)adj(A).
PROPOSICIÓN 16. Sea A ∈ Kn×n. Una matriz A es no singular si y sólo si
det(A) 6= 0.
PROPOSICIÓN 17. Sea A ∈ Kn×n. El sistema homogéneo Ax = 0 tiene una
solución no trivial si y sólo si det(A) = 0.
PROPOSICIÓN 18. Sean A ∈ Kn×n y b ∈ Kn. El sistema Ax = b tiene una
solución única si y sólo si det(A) 6= 0 y su solución es
A−1b.
Sea A ∈ Kn×n, se tienen que las siguientes son equivalentes:
1. A es no singular;
2. el sistema Ax = 0 tiene solamente la solución trivial;
3. A es equivalente por filas a In;
4. rang(A) = n;
5. el sistema lineal Ax = b tiene una solución única para cada vector b ∈
Kn; y
6. det(A) 6= 0.
TEOREMA 19: Equivalencias no singularesTEOREMA 19: Equivalencias no singulares
4. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
6
Resumen no. 06 Departamento de Formación Básica
Sean A ∈ Kn×n y b ∈ Kn. Consideremos el sistema de ecuaciones
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2,...
......
...
an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn,
y denotemos por A a su matriz asociada y b a su vector de resultados. Si
det(A) 6= 0, el sistema tiene solución única y está dada por:
xj =det(Aj)
det(A),
para j ∈ I y donde Aj es la matriz que se obtiene reemplazando la j-ésima
columna de A por b.
TEOREMA 20: Regla de CramerTEOREMA 20: Regla de Cramer
7
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 07
Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica
1. EL ESPACIO Rn
En esta sección, consideramos n ∈ N con n ≥ 1.
El conjunto Rn es
Rn = R × R × · · · × R
︸ ︷︷ ︸
n veces
,
es decir
Rn = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R para todo i = 1, 2, . . . , n}.
DEFINICIÓN 1: El conjunto RnDEFINICIÓN 1: El conjunto Rn
Recordemos que, por notación, si y ∈ Rn, se asumirá y = (y1, y2, . . . , yn).
Recordemos que podemos identificar cada elemento de Rn con una matriz
de Rn×1 de la siguiente manera: si
a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn,
entonces, visto como matriz es
a =
a1
a2
...
an
∈ Rn×1.
En Rn se cumplen las siguientes propiedades:
1. asociativa de la suma: para todo x, y, z ∈ Rn se tiene que
(x + y) + z = x + (y + z);
2. conmutativa de la suma: para todo x, y ∈ Rn se tiene que
x + y = y + x;
TEOREMA 1TEOREMA 1
1
Departamento de Formación Básica Resumen no. 07
3. elemento neutro de la suma: existe un elemento de Rn, denotado por
0, tal que para todo x ∈ Rn se tiene que
x + 0 = 0 + x = x;
4. inverso de la suma: para todo x ∈ Rn, existe un elemento de Rn, deno-
tado por −x, tal que
x + (−x) = 0;
5. distributiva del producto I: para todo x, y ∈ Rn y todo α ∈ R se tiene
que
α(x + y) = αx + αy
6. distributiva del producto II: para todo x ∈ Rn y todo α, beta ∈ R se
tiene que
(α + β)x = αx + βx;
7. asociativa del producto: para todo x ∈ Rn y todo α, beta ∈ R se tiene
que
(αβ)x = α(βx);
8. elemento neutro del producto: para todo x ∈ Rn se tiene que
1x = x.
En Rn, el conjunto {e1, e2, . . . , en} ⊆ Rn, definidos por
eij =
0 si i 6= j,
1 si i = j,
para todo i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, se lo denomina base canónica de Rn.
DEFINICIÓN 2: Base canónicaDEFINICIÓN 2: Base canónica
Sea x ∈ Rn, se tiene que existen únicos
α1, α2, . . . , αn ∈ R
TEOREMA 2TEOREMA 2
2
Resumen no. 07 Departamento de Formación Básica
tales que
x = α1e1 + α2e2 + · · ·+ αnen.
La función· : Rn × Rn −→ R
(x, y) 7−→n
∑i=1
xiyi
se denomina producto punto de Rn o producto interno de Rn.
DEFINICIÓN 3: Producto puntoDEFINICIÓN 3: Producto punto
Sean x, y, z ∈ R y α ∈ R, se tiene que
• x · x ≥ 0;
• x · x = 0 si y solo si x = 0;
• x · y = y · z;
• (x + y) · z = (x · z) + (y · z); y
• (αx) · y = x · (αy) = α(x · y).
TEOREMA 3: Propiedades del producto puntoTEOREMA 3: Propiedades del producto punto
La función‖ · ‖ : Rn −→ R
x 7−→√
x · x
se la llama la norma de Rn. Para x ∈ Rn a ‖x‖ se le llama norma, módulo o
longitud de x.
DEFINICIÓN 4: NormaDEFINICIÓN 4: Norma
Para todo x, y ∈ Rn,
|x · y| ≤ ‖x‖ ‖y‖.
TEOREMA 4: Desigualdad de Cauchy-SchwarzTEOREMA 4: Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Sean x, y ∈ R y α ∈ R, se tiene que
• ‖x‖ ≥ 0;
TEOREMA 5: Propiedades de la normaTEOREMA 5: Propiedades de la norma
3
Departamento de Formación Básica Resumen no. 07
• ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0;
• ‖αx‖ = |α|‖x‖; y
• ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖
Dados x, y ∈ Rn, se define la distancia entre x y y por ‖x − y‖.
Dado x ∈ Rn, se dice que x es un vector unitario si ‖x‖ = 1.
DEFINICIÓN 5: Vector unitarioDEFINICIÓN 5: Vector unitario
Si x ∈ Rnr {0}, entonces al vector
u =1
‖x‖x
se le llama vector unitario en dirección de x.
DEFINICIÓN 6DEFINICIÓN 6
Sean x, y ∈ Rn, ambos diferentes de 0, se define el ángulo entre estos vectores
por
θ = arc cos
(x · y
‖x‖ ‖y‖
)
.
DEFINICIÓN 7: Ángulo entre vectoresDEFINICIÓN 7: Ángulo entre vectores
Sean x, y ∈ Rn, se dice que
• son ortogonales si x · y = 0;
• son paralelos si |x · y| = ‖x‖ ‖y‖; y
• tienen la misma dirección si x · y = ‖x‖ ‖y‖.
DEFINICIÓN 8DEFINICIÓN 8
PROPOSICIÓN 6. Sean x, y ∈ Rn tal que y 6= 0. Si x y y son paralelos, entonces
existe α ∈ R tal que x = αy.
4
Resumen no. 07 Departamento de Formación Básica
Sean x, y ∈ Rn, con y 6= 0, la proyección ortogonal de x sobre y es
proyy(x) =x · y
‖y‖2y
y la componente normal de x respecto a y es
normy(x) = x − proyy(x).
DEFINICIÓN 9: Proyección ortogonalDEFINICIÓN 9: Proyección ortogonal
2. PRODUCTO CRUZ
Dados x, y ∈ R3, se define el producto cruz de x y y por
x × y = (x2y3 − x3y2,−(x1y3 − x3y1), x1y2 − x2y1).
DEFINICIÓN 10DEFINICIÓN 10
En R3, notaremos
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1).
Así,
i × j = k, j × k = i y k × i = j.
Sean x, y, z ∈ Rn y α ∈ R, se tiene que
• x × y = −y × x;
• x × (y + z) = x × y + x × z;
• (x + y)× z = x × z + y × z;
• α(x × y) = (αx)× y = x × (αy);
• x × x = 0;
• 0 × x = x × 0 = 0;
• x × (y × z) = (x · z)y − (x · y)z; y
TEOREMA 7: Propiedades del producto cruzTEOREMA 7: Propiedades del producto cruz
5
Departamento de Formación Básica Resumen no. 07
• (x × y)× z = (z · x)y − (z · y)x.
PROPOSICIÓN 8. Sean x, y ∈ Rn. Si llamamos θ al ángulo entre los vectores
x y y, tenemos que
‖x × y‖ = ‖x‖ ‖y‖ sen(θ).
PROPOSICIÓN 9. Dados x, y, z ∈ R3, se tiene que:
• El volumen del paralelepípedo formado por x, y, z es |x · (y × z)|.
• El área del paralelogramo determinado por x, y es ‖x × y‖.
6
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 08
Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica
1. GEOMETRÍA DE Rn
En esta sección, a menos que se indique lo contrario, asumiremos n ∈ N con
n ≥ 2.
Dados a, b ∈ Rn, con b 6= 0, la recta que pasa por a con dirección b es el
conjunto
L(a; b) = {a + tb : t ∈ R}.
DEFINICIÓN 1: Recta de RnDEFINICIÓN 1: Recta de Rn
Ejemplo. En R2, tenemos la recta que pasa por (1,−2) con dirección (3, 2) es
L((1,−2); (3, 2)) = {(1,−2) + t(3, 2) : t ∈ R}
= {(1 + 3t,−2 + 2t) : t ∈ R}
= {(x, y) ∈ R2 : x = 1 + 3t, y = −2 + 2t, t ∈ R}
= {(x, y) ∈ R2 : 2x − 3y = 4}
Con esto, tenemos que la recta está definida por
x = 1 + 3t,
y = −2 + 2t,
con t ∈ R; a esta se la llama la ecuación paramétrica de la recta. Por otro lado,
también tenemos que la recta está definida por
2x − 3y = 4
con (x, y) ∈ R2; a esta se la llama la ecuación cartesiana de la recta.
Dados a, b, c ∈ Rn, con b y c no paralelos y diferentes de 0, el plano que pasa
por a con dirección b y c es el conjunto
P(a; b, c) = {a + ub + vc : u, v ∈ R}.
DEFINICIÓN 2: Plano de RnDEFINICIÓN 2: Plano de Rn
1
Departamento de Formación Básica Resumen no. 08
Ejemplo. En R3, tenemos la recta que pasa por (1,−2,−1) con direcciones (3, 2, 1)
y (1, 0, 2) es
L((1,−2,−1); (3, 2, 1), (1, 0, 2))
= {(1,−2,−1) + u(3, 2, 1) + v(1, 0, 2) : u, v ∈ R}
= {(1 + 3u + v,−2 + 2u,−1 + u + 2v) : u, v ∈ R}
= {(x, y, z) ∈ R3 : x = 1 + 3u + v, y = −2 + 2u, z = −1 + u + 2v, u, v ∈ R}
= {(x, y, z) ∈ R2 : 4x − 5y − 2z = 8}
Con esto, tenemos que la recta está definida por
x = 1 + 3u + v,
y = −2 + 2u,
z = −1 + u + 2v
con u, v ∈ R; a esta se la llama la ecuación paramétrica del plano. Por otro lado,
también tenemos que la recta está definida por
4x − 5y − 2z = 8
con (x, y, z) ∈ R3; a esta se la llama la ecuación cartesiana de la recta.
Podemos pasar de la ecuación paramétrica a la ecuación cartesiana si, al ver-
las como un sistema de ecuaciones en sus parámetros, analizamos cuándo
el sistema es consistente.
Además, podemos pasar de la ecuación cartesiana a la ecuación paramétrica
si, al verla como un sistema de ecuaciones, resolvemos el sistema.
PROPOSICIÓN 1. Dada una recta o un plano H, se tiene que si 0 ∈ H, enton-
ces para todo x, y ∈ H y todo λ ∈ R se tiene que
λx ∈ H y x + y ∈ H.
PROPOSICIÓN 2. Dados dos puntos a, b ∈ Rn distintos, existe una única recta
que pasa por a y b y esta es
L(a; b − a).
2
Resumen no. 08 Departamento de Formación Básica
En R2, dados dos puntos (x1, y1), (x2, y2) ∈ R2, la ecuación cartesiana de la
recta que pasa por estos dos puntos es
∣∣∣∣∣∣∣
x y 1
x1 y1 1
x2 y2 1
∣∣∣∣∣∣∣
= 0,
para (x, y) ∈ R2.
PROPOSICIÓN 3. Dados tres puntos a, b, c ∈ Rn que no pertenecen a la mis-
ma recta, existe un único plano que pasa por a, b y c y este es
P(a; b − a, c − a).
En R3, dados tres puntos (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) ∈ R3, la ecua-
ción cartesiana del plano que pasa por estos tres puntos es
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x y z 1
x1 y1 z1 1
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0,
para (x, y, z) ∈ R3.
En Rn, dadas una recta o plano H y r ∈ Rn, se dice que r es ortogonal a H si
para todo a, b ∈ H se cumple que r · (b − a) = 0.
DEFINICIÓN 3DEFINICIÓN 3
PROPOSICIÓN 4. En R3, dados los vectores a, r ∈ Rn, existe un único plano
H, que pasa por a, tal que r es ortogonal a H. Además,
H = {x ∈ Rn : r · x = r · a}.
PROPOSICIÓN 5. En R3, dado el plano P(a; b, c), un vector normal a este es
b × c.
3
Departamento de Formación Básica Resumen no. 08
2. ESPACIOS VECTORIALES
Dados un campo K, un conjunto no vacío E y dos operaciones
⊕ : E × E −→ E
(x, y) 7−→ x ⊕ y,y
⊙ : K × E −→ E
(α, x) 7−→ α ⊙ x
llamadas suma y producto, respectivamente; se dice que (E,⊕,⊙, K) es un
espacio vectorial si cumplen las siguientes propiedades
1. asociativa de la suma: para todo x, y, z ∈ E se tiene que
(x ⊕ y)⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z);
2. conmutativa de la suma: para todo x, y ∈ E se tiene que
x ⊕ y = y ⊕ x;
3. elemento neutro de la suma: existe un elemento de E, denotado por 0E
o simplemente 0, tal que para todo x ∈ E se tiene que
x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x;
4. inverso de la suma: para todo x ∈ E, existe un elemento de E, denotado
por −x, tal que
x ⊕ (−x) = 0;
5. distributiva del producto I: para todo x, y ∈ E y todo α ∈ K se tiene
que
α ⊙ (x ⊕ y) = α ⊙ x + α ⊙ y
6. distributiva del producto II: para todo x ∈ E y todo α, β ∈ K se tiene
que
(α + β)⊙ x = α ⊙ x ⊕ β ⊙ x;
7. asociativa del producto: para todo x ∈ E y todo α, β ∈ K se tiene que
(αβ)⊙ x = α ⊙ (β ⊙ x);
DEFINICIÓN 4: Espacio VectorialDEFINICIÓN 4: Espacio Vectorial
4
Resumen no. 08 Departamento de Formación Básica
8. elemento neutro del producto: para todo x ∈ E se tiene que
1 ⊙ x = x,
donde 1 ∈ K es el elemento neutro multiplicativo de K
Utilizamos los símbolos ⊕ y ⊙ para enfatizar el hecho de que, en general, las
operaciones definidas no son la suma y el producto estándar que utilizamos.
Si no existe riesgo de confusión, utilizaremos la notación
x ⊕ y = x + y y α ⊙ x = αx
y diremos que el espacio vectorial es (E,+, ·, K), es más, en caso de que no
exista ambigüedad en las operaciones utilizadas se dirá simplemente que E
es un espacio vectorial.
PROPOSICIÓN 6. Los siguientes conjuntos son espacios vectoriales en el cam-
po R:
• Rn, con n ∈ N∗;
• Rm×n, con m, n ∈ N∗;
• F (I) = { f : I → R : f es una función}, con I ⊆ R.
• C(I) = { f : I → R : f es continua en I}, con I ⊆ R.
• Ck(I) = { f : I → R : f es k veces derivable en I y f k ∈ Ck(I)}, con
I ⊆ R.
• Rn[x] el conjunto de todos los polinomio de grado menor igual que n
en la variable x, con n ∈ N;
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial, se tiene que para todo u ∈ E y todo
α ∈ K, se tiene que
1. 0u = 0;
2. α0 = 0;
3. si αu = 0 entonces α = 0 o u = 0;
TEOREMA 7TEOREMA 7
5
Departamento de Formación Básica Resumen no. 08
4. (−1)u = −u.
3. SUBESPACIOS
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial y W ⊆ E un conjunto no vacío de E. Si W
es un espacio vectorial con respecto a las operaciones de E, entonces se dice
que W es un subespacio de E.
DEFINICIÓN 5: Subespacio VectorialDEFINICIÓN 5: Subespacio Vectorial
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de E. En-
tonces W es un subespacio de E si y sólo si se cumplen las siguientes condi-
ciones:
• si u, v ∈ W, entonces u + v ∈ W; u
• si α ∈ K y u ∈ W, entonces αu ∈ W.
TEOREMA 8TEOREMA 8
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial, k ∈ N∗ y v1, v2, . . . , vk ∈ E. Se dice que
un vector v ∈ E es una combinación lineal de v1, v2, . . . , vk si
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk
para algunos α1, α2, . . . , αk ∈ K.
DEFINICIÓN 6: Combinación linealDEFINICIÓN 6: Combinación lineal
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S = {v1, v2, . . . , vk} ⊆ E. Al conjunto
conjunto de todos los vectores en E que son combinaciones lineales de los
vectores de S se lo llama cápsula de S y se denota por span(S), es decir
span(S) = {α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk : α1, α2, . . . , αk ∈ K}.
DEFINICIÓN 7DEFINICIÓN 7
A este conjunto también se lo conoce como clausura lineal y su notación viene
de su nombre en inglés, linear span. También se utiliza la notación 〈S〉.
6
Resumen no. 08 Departamento de Formación Básica
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S ⊆ E. Se tiene que span(S) es un
subespacio vectorial de E.
TEOREMA 9TEOREMA 9
7
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 09
Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica
1. CONJUNTO GENERADOR
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S ⊆ E. Al subespacio vectorial más
pequeño que contiene a S (es decir, la intersección de todos los subespacios
que contienen a S) se lo denomina espacio generado por S y se denota por
gen(S).
DEFINICIÓN 1DEFINICIÓN 1
PROPOSICIÓN 1. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S ⊆ E. Se tiene que
span(S) = gen(S).
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S = {v1, v2, . . . , vk} ⊆ E. Se dice que
S genera el espacio vectorial E si cada vector en E es una combinación lineal
de los elementos de S, es decir, si para todo v ∈ E, existen α1, α2, . . . , αk ∈ K
tales que
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk.
DEFINICIÓN 2DEFINICIÓN 2
PROPOSICIÓN 2. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S = {v1, v2, . . . , vk} ⊆
E. Se tiene que S genera el espacio vectorial E si y solo si
E = gen(S) = span(S).
2. INDEPENDENCIA LINEAL
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S = {v1, v2, . . . , vk} ⊆ E. Se dice que
S es un conjunto linealmente dependiente si existen α1, α2, . . . , αk ∈ K, no
DEFINICIÓN 3DEFINICIÓN 3
1
Departamento de Formación Básica Resumen no. 09
todos iguales a cero, tales que:
α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk = 0
en caso contrario, se dice que S es un conjunto linealmente independiente.
De esta definición, se tiene que {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente
si y solo si
α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk = 0
implica que
α1 = α2 = · · · = αk = 0.
Se puede extender esta definición para conjuntos infinitos diciendo que S
es linealmente independiente si todo subcojunto finito de S es linealmente
independiente.
PROPOSICIÓN 3. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S ⊆ E. Si 0 ∈ S,
entonces S es linealmente dependientes.
PROPOSICIÓN 4. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S = {v1, v2, . . . , vk} ⊆
E. Se tiene que S es un conjunto linealmente dependiente si y sólo si alguno
de los vectores vj ∈ S es una combinación lineal de otros elementos de S.
2
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 10
Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica
1. BASES
PROPOSICIÓN 1. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B ⊆ E. Se dice que
B es una base de E si
• B genera a E y
• B es linealmente independiente.
En Rn, el conjunto {e1, e2, . . . , en} ⊆ Rn, definidos por
eij =
0 si i 6= j,
1 si i = j,
para todo i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, es una base de Rn.
TEOREMA 2: Base canónica de RnTEOREMA 2: Base canónica de Rn
En Rn[x], el conjunto {1, x, . . . , xn−1, xn} es una base de Rn[x]. A esta base se
la denomina la base canónica de Rn[x].
TEOREMA 3: Base canónica de Rn[x]TEOREMA 3: Base canónica de Rn[x]
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B ⊆ E una base de E. Se tiene que
todo elemento de E se puede escribir, de manera única, como combinación
lineal de elementos de B.
TEOREMA 4TEOREMA 4
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B ⊆ E. Se tiene que si todo elemento
de E se puede escribir, de manera única, como combinación lineal de elemen-
tos de B, entonces B es una base de E.
TEOREMA 5TEOREMA 5
1
Departamento de Formación Básica Resumen no. 10
PROPOSICIÓN 6. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S ⊆ E un conjunto
que genera a E. Se tiene que algún subconjunto de S es base de E.
Todo espacio vectorial tiene una base.
TEOREMA 7TEOREMA 7
2. DIMENSIÓN
PROPOSICIÓN 8. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B ⊆ E una base de
E. Si S ⊆ E es un conjunto linealmente independiente, entonces
|S| ≤ |B|.
PROPOSICIÓN 9. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B ⊆ E una base de
E. Si S ⊆ E es un conjunto que genera a E, entonces
|B| ≤ |S|.
PROPOSICIÓN 10. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B, T ⊆ E bases de
E. Se tiene que
|B| = |T|.
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B ⊆ E una base de E. Se define la
dimensión de E, denotado por dim(E), por la cantidad de elementos de B.
DEFINICIÓN 1: DimensiónDEFINICIÓN 1: Dimensión
PROPOSICIÓN 11. Se tiene que
• dim(Rn) = n, con n ∈ N∗;
• dim(Rm×n) = mn, con m, n ∈ N∗;
• dim(Rn[x]) = n + 1, con n ∈ N;
2
Resumen no. 10 Departamento de Formación Básica
• dim({0}) = 0.
PROPOSICIÓN 12. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y S ⊆ E un conjunto
linealmente independiente. Se tiene que existe una base B de E que contiene
a S.
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial, B ⊆ E y n ∈ N∗ tal que dim(E) = n y
|B| = n. Se tiene que
• si B es linealmente independiente, entonces B es una base de E.
• si B genera a E, entonces B es una base de E.
TEOREMA 13TEOREMA 13
3. RANGO DE UNA MATRIZ
Consideraremos n, m ∈ N∗.
Sean A ∈ Km×n, v1, . . . , vm las filas de A y u1, . . . , un las columnas de A. Al
espacio
span({v1, . . . , vm}) ⊆ Rn
se lo llama espacio filas de A y al espacio
span({u1, . . . , un}) ⊆ Rm
se lo llama espacio columnas de A.
DEFINICIÓN 2: Espacio filas y espacio columnasDEFINICIÓN 2: Espacio filas y espacio columnas
PROPOSICIÓN 14. Sean A, B ∈ Km×n. Si A y B son equivalentes por filas,
entonces los espacios filas de A y B son iguales.
PROPOSICIÓN 15. Sea A ∈ Km×n. Se tiene que las dimensiones de los espa-
cios filas y columnas de A son iguales, es más, estas dimensiones son iguales
a rang(A).
3
Departamento de Formación Básica Resumen no. 10
4. COMPONENTES Y CAMBIO DE BASE
En esta sección, asumiremos n ∈ N∗.
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y B ⊆ E una base de E. Si numeramos
los vectores de B, obteniendo
B = {v1, v2, . . . , vn},
se la llama una base ordenada.
DEFINICIÓN 3: Base ordenadaDEFINICIÓN 3: Base ordenada
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y
B = {v1, v2, . . . , vn} ⊆ E
una base ordenada. Para u ∈ E, se define el vector de componentes de u por
[u]B =
α1
α2
...
αn
donde α1, α2, . . . , αn ∈ K son tales que
u = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn.
DEFINICIÓN 4: Vector de componentesDEFINICIÓN 4: Vector de componentes
En la literatura, también se puede encontrar la definición anterior bajo el
nombre de vector de coordenadas.
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial tal que dim(E) = n y S, T ⊆ E bases
ordenadas de E. Se llama matriz de cambio de base T a S a la única matriz de
Kn×n, denotada por PS←T , que cumple que
[v]S = PS←T [v]T
para todo v ∈ E.
DEFINICIÓN 5: Matriz de cambio de baseDEFINICIÓN 5: Matriz de cambio de base
4
Resumen no. 10 Departamento de Formación Básica
En la literatura, también se puede encontrar la definición anterior bajo el
nombre de matriz de transición.
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial tal que dim(E) = n, S, T ⊆ E bases
ordenadas de E y PS←T la matriz de cambio de base T a S. Se tiene que PS←T
es no singular y
(PS←T)−1 = PT←S.
TEOREMA 16TEOREMA 16
5
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 11
Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica
Sea A ∈ Km×n. El espacio nulo de A, que notaremos por nul(A), se define
como
nul(A) = {x ∈ Rn : Ax = 0}
y la nulidad es la dimensión del espacio nulo.
DEFINICIÓN 1: Espacio nulo y nulidadDEFINICIÓN 1: Espacio nulo y nulidad
Sea A ∈ Kn×n, se tienen que las siguientes son equivalentes:
1. A es no singular;
2. el sistema Ax = 0 tiene solamente la solución trivial;
3. A es equivalente por filas a In;
4. el sistema lineal Ax = b tiene una solución única para cada vector b ∈
Kn;
5. det(A) 6= 0;
6. las filas de A forman un conjunto linealmente de vectores;
7. las columnas de A forman un conjunto linealmente;
8. rang(A) = n; y
9. la nulidad de A es 0.
TEOREMA 1: Equivalencias no singularesTEOREMA 1: Equivalencias no singulares
1. SUMA DE ESPACIOS
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y W1, W2 ⊆ E, entonces la suma de W1
DEFINICIÓN 2: SumaDEFINICIÓN 2: Suma
1
Departamento de Formación Básica Resumen no. 11
y W2 se define como:
W1 + W2 = {w1 + w2 ∈ E : w1 ∈ W1 y w2 ∈ W2}.
EJEMPLO 1. Sea
U = {(x, 0, 0) ∈ R3 : x ∈ R} y W = {(0, y, 0) ∈ R
3 : y ∈ R}
entonces
U + W = {u + v ∈ R3 : u ∈ U y v ∈ V}
= {u + v ∈ R3 : u = (x, 0, 0) y v = (0, y, 0), con x, y ∈ R}
= {(x, 0, 0) + (0, y, 0) ∈ R3 : x, y ∈ R}
= {(x, y, 0) ∈ R3 : x, y ∈ R}.
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y W1, . . . , Wm ⊆ E, entonces la suma de
W1, . . . , Wm se define como:
W1 + · · ·+ Wm = {w1 + · · ·+ wm ∈ E : w1 ∈ W1, . . . , wm ∈ Wm}
DEFINICIÓN 3: Suma generalizadaDEFINICIÓN 3: Suma generalizada
PROPOSICIÓN 2. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y W1, W2 ⊆ E dos
subespacios vectoriales de E, entonces W1 + W2 es un subespacio vectorial
de E.
PROPOSICIÓN 3. Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y W1, W2 ⊆ E dos
subespacios vectoriales de E. Si tomemos B1 y B2 bases de W1 y W2, respecti-
vamente, se tiene que
W1 + W2 = span(B1 ∪ B2).
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y W1, W2 ⊆ E dos subespacios vectoria-
les de E de dimensión finita. Se tiene que
dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2)− dim(W1 ∩ W2).
TEOREMA 4TEOREMA 4
2
Resumen no. 11 Departamento de Formación Básica
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y V, W1, W2 ⊆ E subespacios vectoriales
de E, se dice que V es la suma directa de W1 y W2 si
V = W1 + W2
y cada elemento de V se puede escribir de manera única como la suma de
elementos de W1 y W2. Esto se lo denota por
V = W1 ⊕ W2.
DEFINICIÓN 4: Suma directaDEFINICIÓN 4: Suma directa
EJEMPLO 2. Sea
U = {(x, y, 0) ∈ R3 : x, y ∈ R} y W = {(0, 0, z) ∈ R
3 : z ∈ R}
entonces se tiene que
R3 = U ⊕ W.
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y V, W1, . . . , Wm ⊆ E subespacios vec-
toriales de E, se dice que V es la suma directa de W1, . . . , Wm si
V = W1 + · · ·+ Wm
y cada elemento de V se puede escribir de manera única como la suma de
elementos de W1, . . . , Wm. Esto se lo denota por
V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wm.
DEFINICIÓN 5: Suma directa generalizadaDEFINICIÓN 5: Suma directa generalizada
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial, V, W1, W2 ⊆ E subespacios vectoriales
de E, se tiene que
E = W1 ⊕ W2
si y sólo si
E = W1 + W2 y W1 ∩ W2 = {0}.
TEOREMA 5TEOREMA 5
3
Departamento de Formación Básica Resumen no. 11
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial de dimensión finita. Para todo S subes-
pacio vectorial de E, existe un subespacio vectorial T de E tal que
E = S ⊕ T.
Se dice que T es el subespacio complementario de S en E.
TEOREMA 6TEOREMA 6
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial de dimensión finita y S, T ⊆ E subespa-
cios vectoriales de E. Se tiene que si E es la suma directa de S y T, entonces
E
dim(E) = dim(S) + dim(T).
TEOREMA 7TEOREMA 7
4
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 12
Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica
1. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial. Un producto interno sobre E es una fun-
ción〈·, ·〉 : E × E −→ K
(u, v) 7−→ 〈u, v〉
tales que cumple:
1. 〈v, v〉 ≥ 0 para todo v ∈ E;
2. 〈v, v〉 = 0 si y solo si v = 0;
3. 〈u + v, w〉 = 〈u, w〉+ 〈v, w〉 para todo u, v, w ∈ E;
4. 〈αv, w〉 = α〈v, w〉 para todo v, w ∈ E y α ∈ K.
5. 〈v, w〉 = 〈w, v〉 para todo v, w ∈ E.
DEFINICIÓN 1: Producto internoDEFINICIÓN 1: Producto interno
Otra notación para el producto interno es
〈u, v〉 = (u|v).
En caso de tratarse de un espacio vectorial sobre el campo de los números
reales, la propiedad 5 se transforma en
5. 〈v, w〉 = 〈w, v〉 para todo v, w ∈ E.
Se puede demostrar utilizando la propiedad 4 que
• si v = 0, entonces 〈v, v〉 = 0;
por lo cual, podríamos cambiar la propiedad 2 por
2. si 〈v, v〉 = 0, entonces v = 0
1
Departamento de Formación Básica Resumen no. 12
Si se define un producto interno sobre un espacio vectorial E, a este se lo de-
nomina espacio con producto interno o pre-Hilbertiano.
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno 〈·, ·〉, enton-
ces:
1. Para todo u, v, w ∈ E
〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u, w〉.
2. Para todo u, v ∈ E y α ∈ K
〈u, αv〉 = α〈u, v〉.
3. Para todo u ∈ E
〈u, 0〉 = 〈0, u〉 = 0.
TEOREMA 1TEOREMA 1
En caso de tratarse de un espacio vectorial sobre el campo de los números
reales, la propiedad 2 se transforma en
2. Para todo u, v ∈ E y α ∈ K
〈u, αv〉 = α〈u, v〉
1.1 Productos internos usuales
1. En (Rn,+, ·, R), para x, y ∈ Rn:
〈x, y〉 =n
∑k=1
xkyk.
2. En (Cn,+, ·, C), para x, y ∈ Cn:
〈x, y〉 =n
∑k=1
xkyk.
3. En (Rn[x],+, ·, R), para p(x), q(x) ∈ Rn[x], si
p(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn y q(x) = b0 + b1x + · · ·+ bnxn
2
Resumen no. 12 Departamento de Formación Básica
entonces
〈p(x), q(x)〉 =n
∑k=0
akbk.
4. En (Kn×n,+, ·, R), para A, B ∈ Kn×n:
〈A, B〉 = tr(AB⊺).
5. En (C([a, b]),+, ·, R), para f , g ∈ C([a, b]):
〈 f , g〉 =∫ b
af (x)g(x)dx.
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno y suponga
que u, v ∈ E. Entonces:
1. u y v don ortogonales si 〈u, v〉 = 0.
2. La norma de u, denotada por ‖u‖, está dada por
‖u‖ =√
〈u, u〉
DEFINICIÓN 2DEFINICIÓN 2
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno. La distan-
cia en el espacio se define por
d : E × E −→ R
(u, v) 7−→ ‖u − v‖.
DEFINICIÓN 3DEFINICIÓN 3
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno. Para u, v ∈
E, se dice que son ortogonales si
〈u, v〉 = 0.
TEOREMA 2: Vectores ortogonalesTEOREMA 2: Vectores ortogonales
3
Departamento de Formación Básica Resumen no. 12
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno. Si u, v son
vectores ortogonales de E, entonces
‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2.
TEOREMA 3: Teorema de pitágorasTEOREMA 3: Teorema de pitágoras
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno. Para todo
u, v ∈ E se cumple que
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖‖v‖.
TEOREMA 4: Desigualdad de Cauchy-SchwartzTEOREMA 4: Desigualdad de Cauchy-Schwartz
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno. Para todo
u, v ∈ E se cumple que
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖.
TEOREMA 5: Desigualdad triangularTEOREMA 5: Desigualdad triangular
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno y
C = {v1, v2, . . . , vn} ⊆ E.
Se dice que C es un conjunto ortogonal en E si
〈vi, vj〉 = 0
para todo i 6= j.
DEFINICIÓN 4: Conjunto ortogonalDEFINICIÓN 4: Conjunto ortogonal
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno y
C = {v1, v2, . . . , vn} ⊆ E.
Se dice que C es un conjunto ortonormal en E si es ortogonal y
‖vk‖ = 1
para todo k ∈ {1, . . . , n}.
DEFINICIÓN 5: Conjunto ortonormalDEFINICIÓN 5: Conjunto ortonormal
4
Resumen no. 12 Departamento de Formación Básica
PROPOSICIÓN 6. Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto
interno. Si C ⊆ E es un conjunto ortogonal de vectores no nulos, entonces es
linealmente independiente.
A partir de aquí, siempre consideraremos espacios vectoriales provistos con
un producto interno.
2. BASES ORTOGONALES
En un espacio vectorial, una base ortogonal (ortonormal) es una base cuyos
vectores forman un conjunto ortogonal (ortonormal).
DEFINICIÓN 6: Base ortogonal (ortonormal)DEFINICIÓN 6: Base ortogonal (ortonormal)
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y {u1, u2, . . . , un} una base ortogonal
para E. Se tiene que, para v ∈ E,
v = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun
donde
ck =〈v, uk〉
〈uk, uk〉
para todo k ∈ {1, 2, . . . , n}.
TEOREMA 7TEOREMA 7
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y {u1, u2, . . . , un} una base ortonormal
para E. Se tiene que, para v ∈ E,
v = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun
donde
ck = 〈v, uk〉
para todo k ∈ {1, 2, . . . , n}.
TEOREMA 8TEOREMA 8
5
Departamento de Formación Básica Resumen no. 12
Sean (E,+, ·, K) un espacio vectorial y {u1, u2, . . . , un} un conjunto lineal-
mente independiente de E. Definamos
1. v1 = u1 y
2. vk = uk −k−1
∑i=1
〈uk, vi〉
〈vi, vi〉vi, para k = 2, . . . , n.
Se tiene que el conjunto
{v1, v2, . . . , vn}
es un conjunto ortogonal. Además, si definimos
wk =vk
‖vk‖
para k = 1, . . . , n, se tiene que el conjunto
{w1, w2, . . . , wn}
es un conjunto ortonormal.
TEOREMA 9: Proceso de Gram-SchmidtTEOREMA 9: Proceso de Gram-Schmidt
Todo espacio vectorial de dimensión finita tiene una base ortogonal y una
base ortonormal.
TEOREMA 10TEOREMA 10
EJEMPLO 1. Considere la base S = {u1, u2, u3} de R3, donde
u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1)
mediante el proceso de Gram-schmidt, se obtiene la base ortonormal T = {w1, w2, w2}
para R3 donde
w1 =
(1√
2,
1√
2, 0
)
, w2 =
(
−1√
6,
1√
6,
2√
6
)
, w3 =
(1√
3,−
1√
3,
1√
3
)
6
Resumen no. 12 Departamento de Formación Básica
3. COMPLEMENTO ORTOGONAL
A partir de aquí, siempre consideraremos espacios vectoriales provistos con
un producto interno.
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial y H ⊆ E. El complemento ortogonal de
H denotado por H⊥, está dado por:
H⊥ = {x ∈ E : 〈x, h〉 = 0, para todo h ∈ H}
DEFINICIÓN 7: Complemeto ortogonalDEFINICIÓN 7: Complemeto ortogonal
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial provisto de producto interno y H subes-
pacio vectorial de H, entonces:
1. H⊥ es un subespacio vectorial de E.
2. H ∩ H⊥ = {0}
3. Si dim(E) = n, entonces dim(H⊥) = n − dim(H)
TEOREMA 11TEOREMA 11
Sea A ∈ Km×n, entonces:
1. El espacio nulo de A es el complemento ortogonal del espacio fila de A.
2. El espacio nulo de A⊺ es el complemento ortogonal del espacio columna
de A.
TEOREMA 12TEOREMA 12
Una matriz Q ∈ Kn×n, se llama ortonormal si Q es invertible y
Q−1 = Q⊺
DEFINICIÓN 8: Matrix ortonormalDEFINICIÓN 8: Matrix ortonormal
La matriz Q ∈ Kn×n es una matriz ortonormal si y sólo si las columnas de Q
forman una base ortonormal de Rn.
TEOREMA 13TEOREMA 13
7
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 13
Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica
1. COMPLEMENTO ORTOGONAL
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial de dimensión finita, W un subespacio
vectorial de E, entonces
E = W ⊕ W⊥.
TEOREMA 1TEOREMA 1
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial de dimensión finita, W un subespacio
vectorial de E, entonces(
W⊥)⊥
= W.
TEOREMA 2TEOREMA 2
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial y H un subespacio vectorial de E, con ba-
se ortogonal {u1, u2, . . . , un}. Para v ∈ E, la proyección ortogonal de v sobre
H, denotado por proyH v, se define por:
proyH(v) =〈v, u1〉
〈u1, u1〉u1 +
〈v, u2〉
〈u2, u2〉u2 + · · ·+
〈v, un〉
〈un, un〉un,
donde proyH(v) ∈ H.
DEFINICIÓN 1: Proyección ortogonalDEFINICIÓN 1: Proyección ortogonal
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial de dimensión finita, H un subespacio
vectorial de E y v ∈ E. Se tiene que
v = proyH(v) + proyH⊥ (v).
TEOREMA 3: Teorema de la proyecciónTEOREMA 3: Teorema de la proyección
1
Departamento de Formación Básica Resumen no. 13
Sea (E,+, ·, K) un espacio vectorial de dimensión finita, H un subespacio vec-
torial de E y v ∈ E. Se tiene que el vector en H más cercano a v es proyH(v),
es decir,
‖v − w‖ es mínima cuando w = proyW(v).
TEOREMA 4TEOREMA 4
2. APLICACIONES LINEALES
Sean (E,+1, ·1, K) y (F,+2, ·2, K) espacios vectoriales. A una función T : E →
F se la llama una aplicación lineal (transformación lineal) si satisface que para
todo α ∈ K, y todo u, v ∈ E se cumple
1. T(u +1 v) = T(u) +2 T(v) y
2. T(α ·1 v) = α ·2 T(v).
DEFINICIÓN 2: Aplicación linealDEFINICIÓN 2: Aplicación lineal
En adelante, consideraremos (E,+1, ·1, K) y (F,+2, ·2, K) espacios vectoriales.
Notaremos por L(E, F) el espacio de las aplicaciones lineales de E en F.
En caso de que no exista riesgo de ambigüedad, dado T ∈ L(E, F), se deno-
tará
1. T(u + v) = T(u) + T(v) y
2. T(αv) = αT(v),
para α ∈ K y u, v ∈ E.
Sea T ∈ L(E, F). Para todo u, v, v1, v2, . . . , vn ∈ E y α1, α2, . . . , αn ∈ K
1. T(0E) = 0F;
2. T(u − v) = T(u)− T(v): y
3. T
(n
∑k=1
αkvk
)
=n
∑k=1
αkT (vk).
TEOREMA 5TEOREMA 5
2
Resumen no. 13 Departamento de Formación Básica
2.1 Ejemplos de transformaciones lineales
1. Transformación nula,
T : F −→ F
v 7−→ 0.
2. Transformación identidad,
T : F −→ F
v 7−→ v.
3.T : R3 −→ R2
(x, y, z) 7−→ (x, y).
4.T : R2 −→ R3
(x, y) 7−→ (x, y, 0).
5.T : R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (x + y, y + z, x).
6.T : R2 −→ R2×2
(x, y) 7−→
(
x 0
0 y
)
.
7.T : R3 −→ R2[t]
(x, y, z) 7−→ x + (x − y)t + zt2.
8.D : C1([0, 1]) −→ C([0, 1])
f 7−→ D f .
9.I : C([0, 1]) −→ R
f 7−→∫ 1
0f (x) dx.
Toda transformación matricial es una aplicación lineal.
3
Departamento de Formación Básica Resumen no. 13
PROPOSICIÓN 6. Sea T ∈ L(E, F). Si {u1, u2, . . . , un} es una base de E, enton-
ces T está completamente determinada por
{T(u1), T(u2), . . . , T(un)}.
Es decir, si se conoce el valor de {T(u1), T(u2), . . . , T(un)}, entonces se conoce
T(u) para todo u ∈ E.
3. NÚCLEO E IMAGEN
Sea T ∈ L(E, F).
1. El núcleo de T, denotado por ker(T), está definida por:
ker(T) = {v ∈ E : T(v) = 0}.
2. La imagen de T, denotada por img(T), está definida por:
img(T) = {w ∈ F : w = T(v) para algún v ∈ E}.
DEFINICIÓN 3: Núcleo e imagen de una aplicación linealDEFINICIÓN 3: Núcleo e imagen de una aplicación lineal
PROPOSICIÓN 7. Sea T ∈ L(E, F), entonces
1. ker(T) es un subespacio vectorial de E.
2. img(T) es un subespacio vectorial de F.
PROPOSICIÓN 8. Sea T ∈ L(E, F). Se tiene que T es inyectiva si y solo si
ker(T) = {0}.
Sea T ∈ L(E, F).
1. Se llama nulidad de T a dim(ker(T)).
2. Se llama rango de T a dim(img(T)).
DEFINICIÓN 4: Nulidad y rango de una aplicación linealDEFINICIÓN 4: Nulidad y rango de una aplicación lineal
4
Resumen no. 13 Departamento de Formación Básica
Sea T ∈ L(E, F) con E un espacio de dimensión finita. Se tiene que
dim(E) = dim(ker(T)) + dim(img(T)).
TEOREMA 9TEOREMA 9
PROPOSICIÓN 10. Sea T ∈ L(E, F) con E un espacio de dimensión finita. Si
dim(E) = dim(F), entonces se tiene que la siguientes son equivalentes
• T es inyectiva,
• T es sobreyectiva.
5
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 14
Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica
1. PROPIEDADES DE APLICACIONES LINEALES
Se tiene que L(E, F) es un espacio vectorial.
TEOREMA 1TEOREMA 1
PROPOSICIÓN 2. Sean T1, T2 ∈ L(E, F) y B = {v1, v2, . . . , vn} una base para
E. Si
T1(vi) = T2(vi)
para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}, entonces se tiene que T1(v) = T2(v), para todo
v ∈ E, es decir,
T1 = T2.
PROPOSICIÓN 3. Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base para E y w1, w2, . . . , wn ∈
F. Se tiene que existe una única transformación lineal T ∈ L(E, F) tal que
T(vi) = wi
para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Sea T ∈ L(E, F). Supongamos que dim(E) = n y dim(F) = m, se tiene que:
1. si n > m, entonces T no es inyectiva; y
2. si m > n, entonces T no es sobreyectiva.
TEOREMA 4TEOREMA 4
Sea T ∈ L(E, F). Se dice que T es un isomorfismo de E en F si T es biyectiva.
DEFINICIÓN 1: IsomorfismoDEFINICIÓN 1: Isomorfismo
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Departamento de Formación Básica Resumen no. 14
Sean (E,+, ·, K) y (F,+, ·, K). Se dice que E y F son isomorfos si existe un
isomorfismo T de E en F, se lo denonta por E ∼= F.
DEFINICIÓN 2: Espacios isomorfosDEFINICIÓN 2: Espacios isomorfos
Sea T ∈ L(E, F) un isomorfismo, se tiene que
1. si {v1, v2, . . . , vn} genera a E, entonces
{T(v1), T(v2), . . . , T(vn)}
genera a F;
2. si {v1, v2, . . . , vn} son linealmente independientes en E, entonces
{T(v1), T(v2), . . . , T(vn)}
es linealmente independientes en F;
3. si {v1, v2, . . . , vn} es base de E, entonces
{T(v1), T(v2), . . . , T(vn)}
es base de F;
4. si E es de dimensión finita, entonces F es de dimensión finita y
dim(E) = dim(F).
TEOREMA 5TEOREMA 5
Sean (E,+, ·, R) y (F,+, ·, R) espacios de dimensión finita tales que dim(E) =
dim(F), entonces E ∼= F.
TEOREMA 6TEOREMA 6
2. MATRIZ ASOCIADA
Sean T ∈ L(E, F), tales que dim(E) = n y dim(F) = m, y B, D bases para E y
F, respectivamente. Se tiene que existe una única matriz de Km×n, denotada
DEFINICIÓN 3DEFINICIÓN 3
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Resumen no. 14 Departamento de Formación Básica
por [T], tal que
[T(v)]D = [T][v]B
para todo v ∈ E. A esta matriz se la llama matriz asociada a la aplicación
lineal T.
PROPOSICIÓN 7. Sean T ∈ L(E, F) y
B = {v1, v2, . . . , vn} y D = {u1, u2, . . . , um}
bases para E y F, respectivamente. Se tiene que las columnas de la matriz [T]
son los vectores de coordenadas de T(vj) en la base D, para j ∈ {1, 2, . . . , n},
es decir
[T] =(
T(v1) T(v2) · · · T(vn).)
Se pueden ver ejemplos del procedimiento para encontrar una matriz asociada
a una aplicación lineal entre las páginas 522 y 527 del libro de Kolman.
PROPOSICIÓN 8. Sea T ∈ L(E, F). Se tiene que T es biyectiva si y solo si [T]
es invertible.
PROPOSICIÓN 9. Sean I ∈ L(E, E) la aplicación identidad y B, D dos bases
para E, considerando B para el conjunto de salida y D para el conjunto de
llegada. Se tiene que
[I] = PD←B.
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