Post on 02-Jul-2015
Def in ic ión de vector
Un vec tor f i j o es un segmento or ientado que va de l
punto A (or igen ) a l punto B (extremo ) .
Módu lo de l vec to r , -Es la long itud del segmento
AB(módulo de ) , se rep resenta po r .
D i r ecc ión de l vec tor , .Es la direcc ión de la recta que cont iene a l vector o de
cua lqu ie r recta para lela a e l l a .
Sent ido de l vec to r . - El que va del or igen A a l ext remo B.
Dos puntos A y B de te rminan dos vec to res f i j os y , con sent ido d i s t into , que
se l l aman vectores opuestos . -Un vec to r f i j o es nulo cuando el or igen y su
extremo co inc iden.
Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas
E l vector que une e l or igen de coordenadas O
con un puntoP se l l ama vector de pos ic ión de l punto P .
Coordenadas o componentes de un vector en el plano
S i l as coo rdenadas de A y B son:
Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas de l
ext remo menos las coordenadas del or igen.
E jemp los : Ha l la r l as componentes de un vector cuyos ex t remos son:
3 : pr imera componente
5 : segunda componente
Un vec tor t i ene de componentes (5 , −2) . Ha l la r l as coordenadas de A s i se
conoce e l ex t remo B(12, −3) .
Vectores equipolentes
Dos vec tores son equipolentes cuando t ienen igua l
módulo , d i recc ión y sent ido .
S i y son vectores equ ipolentes , e l cuadr i l á te ro ABCD es un
para le logramo .
Ejemplo : Ca lcu la las coordenadas de C para que e l cuadr i lá tero de vért ices:
A(-3 , -4) , B(2 , -3) , D(3 , 0) y C; sea un para le logramo.
Vector l ibre
E l con junto de todos lo s vec tores
equ ipo lentes entre s í se l l ama vector l ibre . Cada vector f i jo es un
representante de l vector l ibre .
Módulo de un vector
E l módulo de un vector es l a long itud de l segmento o r ientado que lo
de f ine .
E l módulo de un vector es un número s i empre pos it ivo y so lamente e l
vector nu lo t i ene módu lo cero .
Cálcu lo del módulo conociendo sus componentes
Ejemplo
Cálcu lo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
Ejemplo
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igua l a l módulo del vector que t i ene de
ex t remos d i chos puntos.
Ejemplo
Vector unitario
Los vectores un i tar ios t i enen de módulo la un idad.
Normal izar un vector
Normal izar un vector cons i s te en ob tener o t ro v ector un itar io , de la
misma d i recc ión y sent ido que e l vec to r dado .
Para normal izar un vector se div ide és te por su módulo .
Ejemplo
S i es un vec tor de componentes (3 , 4 ) , ha l l a r un vector un itar io de su
misma d i recc ión y sent ido .
Suma de vectores
Para sumar dos vectores l ibres y se escogen como
representantes dos vecto res ta les que e l extremo de uno co inc ida con e l or igen de l
o t ro vec tor .
Regla del parale logramo
Se toman como representantes dos vectores con e l origen en común , se t r azan
rectas parale las a l os vectores ob ten iéndose un para le logramo cuya d iagona l
co inc ide con la suma de lo s vec tores .
Para sumar dos vectores se suman sus respect ivas
componentes .
Propiedades de la suma de vectores
Asociat iva
+ ( + ) = ( + ) +
Conmutat iva
+ = +
Elemento neutro
+ =
Elemento opuesto
+ (− ) =
Resta de vectores
Para restar dos vectores l ibres y se suma con e l
opuesto de .
Las componentes del vector resta se obt ienen restando las componentes
de los vectores .
Ejemplo
Coordenadas del punto medio de un segmento
S i l as coo rdenadas de lo s puntos ex tremos , A y B , son:
Las coordenadas del punto medio de un segmento co inc iden con la
semisuma de las coordenadas de de lo s puntos extremos .
Ejemplo
Ha l la r l as coordenadas de l punto medio del segmento AB .
Tres puntos estén alineados
Condición para qué tres puntos estén al ineados
Los puntos A (x 1 , y 1 ) , B (x 2 , y 2 ) y C(x 3 , y 3 ) están al ineados s i empre
que los vectores tengan la misma di recc ión . Es to ocur re cuando sus
coordenadas son proporc iona les .
Ejemplo
Ca lcu la r e l va lor de a para que los puntos estén a l ineados .
Simétrico de un punto respecto de otro
S i A' es e l s imétr ico de A r espec to de M , entonces M es e l punto
medio de l segmento AA' . Po r lo que se ve r i f i ca rá igua ldad:
Ha l la r e l simétr ico del puntoA(7 , 4 ) r espec to de M(3 , −11) .
Ejemplo
Ejercicios de vectores.1
1Un vec to r t i enen de componentes (5 , −2) . Ha l la r l as coordenadas de
A s i se conoce e l ex tremo B(12 , −3) .
2Dado e l vec tor = (2 , -1 ) , de te rminar dos vec to res equ ipo lentes a ,
, sab iendo que A(1 , -3 ) y D(2 , 0 ) .
3Ca lcu la r l a d i s tanc ia ent re los puntos :
4S i es un vec to r de componentes (3 , 4 ) , ha l l a r un vec tor un i ta r io de su
misma d i recc ión y sent ido .
5Ha l la r un vec to r un i ta r io de la misma d i recc ión que e l vec to r =(8 , -6 ) .
6Ca lcu la las coordenadas de D para que e l cuadr i l á te ro de vér t i ces : A ( -1 ,
-2 ) , B (4 , -1 ) , C (5 , 2 ) y D; sea un para le logramo.
7Ha l la r l as coordenadas de l punto med io de l segmento AB , de ex t remos
A(3 , 9 ) y B( -1 , 5 ) .
8Ha l la r l as coordenadas de l punto C , sab iendo que B(2 , - 2 ) es e l punto
med io de AC , A( - 3 , 1 ) .
9Aver iguar s i es tán a l ineados lo s puntos : A ( - 2 , - 3 ) , B (1 , 0 ) y C(6 , 5 ) .
10Ca lcu la r e l va lo r de a para que los puntos es tén a l ineados .
Ejercicios resueltos de vectores
1
Un vec tor t i enen de componentes (5 , −2) . Ha l la r l as coo rdenadas de A
s i se conoce e l ex tremo B(12 , −3) .
Ejercicios resueltos de vectores
2
Dado e l vec tor = (2 , - 1 ) , de terminar dos vecto res equ ipo lentes a
, , sab iendo que A(1 , -3 ) y D(2 , 0 ) .
Ejercicios resueltos de vectores
3
Ca lcu la r l a d i s tanc ia ent re los puntos :
Ejercicios resueltos de vectores
4
S i es un vec tor de componentes (3 , 4 ) , ha l l a r un vec tor un i ta r io de su
misma d i recc ión y sent ido .
Ejercicios resueltos de vectores
5
Ha l la r un vec to r un i ta r io de la misma d i r ecc ión que e l vec tor =(8 , -6) .
Ejercicios resueltos de vectores
6
Ca lcu la las coo rdenadas de D para que e l cuadr i l á te ro de vé r t i ces : A ( -1 , -
2 ) , B (4 , -1 ) , C (5 , 2 ) y D; sea un para le log ramo.
Ejercicios resueltos de vectores
7
Ha l la r l as coo rdenadas de l punto med io de l segmento AB , de ex t remos A(3 ,
9 ) y B( -1 , 5 ) .
Ejercicios resueltos de vectores
8
Ha l la r l as coo rdenadas de l punto C , sab iendo que B(2 , - 2 ) es e l punto
med io de AC , A( - 3 , 1 ) .
Ejercicios resueltos de vectores
9
Aver iguar s i es tán a l ineados los puntos : A ( - 2 , - 3 ) , B (1 , 0 ) y C(6 , 5 ) .
Ejercicios resueltos de vectores
10
Ca lcu la r e l va lor de a para que los puntos es tén a l ineados .
Vectores. Ejercicios . 2
1Ha l la r un vec to r un i ta r io de la misma d i recc ión que e l vec to r
=(8 , -6 ) .
2Ca lcu la e l ex t remo de l vec tor sab iendo que sus componentes son (3 ,
-1 ) y su o r igen A( -2 , 4) .
3Dados lo s puntos A (3 , 2 ) y B(5 , 4 ) ha l l a un punto C , a l ineado con A y B ,
de manera que se ob tenga
4Ha l la r e l s imét r i co de l punto A(3 , -2 ) respecto de M( -2 , 5 ) .
5C las i f i car e l t r i ángu lo de t e rminado por lo s puntos : A(6 , 0 ) , B (3, 0 ) y
C(6 , 3 ) .
7Determinar a con la cond ic ión de que lo s puntos A(0 , a ) y B(1 , 2 ) d i s ten
una un idad .
8S i M 1 (2 , 1 ) , M 2 (3 , 3 ) y M 3 (6 , 2 ) son lo s puntos med ios de lo s l ados de un
t r i ángu lo , ¿ cuá les son las coordenadas de lo s vé r t i ces de l t r i ángu lo?
9Probar que lo s puntos : A(1 , 7 ) , B (4 ,6 ) y C(1 , -3 ) pe r tenecen a una
c i r cun ferenc ia de cent ro (1 , 2 ) .
10Norma l i za r l o s s igu ientes vec to res : = (1 , ) , = ( -4 , 3 ) y = (8 .
-8 ) .
Vectores. Ejercicios resueltos
1
Ha l la r un vec to r un i ta r io de la misma d i r ecc ión que e l vec tor =(8 , -6) .
Vectores. Ejercicios resueltos
2
Ca lcu la e l ex t remo de l vec to r sab iendo que sus componentes son (3 , -
1 ) y su or igen A( -2 , 4 ).
3 = x B − (−2 )x B = 1
-1 = y B − 4y B = 3
B(1, 3)
Vectores. Ejercicios resueltos
3
Dados lo s puntos A (3 , 2 ) y B(5 , 4 ) ha l l a un punto C , a l ineado con A y B ,
de manera que se ob tenga
Vectores. Ejercicios resueltos
4
Ha l la r e l s imétr i co de l punto A(3 , -2 ) r espec to de M( -2 , 5 ) .
Vectores. Ejercicios resueltos
5
C las i f i ca r e l t r i ángu lo de te rminado po r lo s puntos : A(6 , 0 ) , B (3 , 0 ) y C(6 ,
3 ) .
S i :
Vectores. Ejercicios resueltos
7
Determinar a con la cond ic ión de que lo s puntos A(0 , a ) y B(1 , 2 ) d i s ten
una un idad .
Vectores. Ejercicios resueltos
8
S i M 1 (2 , 1 ) , M 2 (3 , 3 ) y M 3 (6 , 2 ) son lo s puntos med ios de lo s l ados de un
t r i ángu lo , ¿ cuá les son las coordenadas de lo s vé r t i ces de l t r i ángu lo?
x 1 = 7 x 5 = 7 x 3 = −1
y 1 = 4 y 5 = 0 y 3 = 3
A(7 , 4 )B(5 , 0 ) C (−1 , 2)
Vectores. Ejercicios resueltos
9
Probar que lo s puntos : A(1 , 7 ) , B (4 ,6 ) y C(1 , -3 ) pe r tenecen a una
c i r cun ferenc ia de cent ro (1 , 2 ) .
S i O es e l cent ro de la c i r cun fe renc ia l as d i s tanc ias de O a A , B , C y D
deben ser igua les
Vectores. Ejercicios resueltos
10
Norma l i za r l o s s igu ientes vec tores : = (1 , ) , = ( -4 , 3 ) y = (8 . -8 ) .