ESTIMACIÓN - ESTIMACIÓN PUNTUAL

Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.

ESTIMACIÓNESTIMACIÓN PUNTUAL

Ma Eugenia Cruces, Salvador J. Molina y Ma DoloresSarrión

UNIVERSIDAD DE MÁLAGADepartamento de Estadística y Econometría

Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA).

6 de julio de 2014

Cruces, Molina, Sarrión Estimación.

ESTIMACIÓN PUNTUAL

1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores

InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia

Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica

ESTIMACIÓN PUNTUAL

Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico

ESTIMACIÓN PUNTUAL

CONTEXTO

Una v.a. X con densidad f (x , θ), que identificamos con lapoblación

θ parámetro desconocido

X1, ...,Xn una m.a.s. de la población (X )

ProblemaExtraer información sobre θ a partir de la muestra

CONTEXTO

CONCEPTOS BÁSICOS

Un Estimador de un parámetro poblacionaldesconocido es:

Una variable aleatoria que resume lainformación contenida en la muestra.

Estimador ≡ Estadístico

En cada muestra observada el estimadortoma un valor numérico.

El valor numérico del estimador en unamuestra observada es una estimacióndel parámetro desconocido.

CONCEPTOS BÁSICOS

Para estimar un parámetro se pueden utilizardistintos estimadores.

¿Cuál es el mejor?¿Qué criterio seguimos para elegir a uno endetrimento de los demás?

No existe un criterio único que permitadecidir cuál es el mejor en todas lascircunstancias.

La elección se basa en el análisis de ciertaspropiedades que consideramos deseablespara los "buenos estimadores" .

CONCEPTOS BÁSICOS

¿Cuál es el mejor?

¿Qué criterio seguimos para elegir a uno endetrimento de los demás?

CONCEPTOS BÁSICOS

ESTIMACIÓN PUNTUAL

PROPIEDADES

Entre las propiedades que se considerandeseables destacamos:

INSESGADEZ

EFICIENCIA

CONSISTENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA

PROPIEDADES

INSESGADEZ

EFICIENCIA

PROPIEDADES

INSESGADEZ

EFICIENCIA

PROPIEDADES

INSESGADEZ

EFICIENCIA

ESTIMACIÓN PUNTUAL

INSESGADEZ

Insesgadez

Un estimador θ es insesgado para estimar elparámetro θ si

= θ, θ ∈ Ω.

Fijado el problema de estimación,Ω = Valores admisibles para el parámetro.

E[θ]− θ

INSESGADEZ

Insesgadez

= θ, θ ∈ Ω.

E[θ]− θ

INSESGADEZ

Insesgadez

= θ, θ ∈ Ω.

E[θ]− θ

INSESGADEZ

Insesgadez

= θ, θ ∈ Ω.

E[θ]− θ

INSESGADEZ

Insesgadez

= θ, θ ∈ Ω.

E[θ]− θ ≡ Sesgo

Estimación puntual:Propiedades

θ1 es insesgado para θ y θ2 es sesgado para θ

La media muestral es un estimadorinsesgado de la media poblacional

X ←→ Media muestralµ←→ Media poblacionalE[X]

La proporción muestral es un estimadorinsesgado de la proporción poblacional

P ←→ Proporción muestralp ←→ Proporción poblacionalE[P]

La varianza muestral es un estimadorsesgado de la varianza poblacional

S2 ←→ Varianza muestralσ2 ←→ Varianza poblacional

=n − 1

nσ2 6= σ2

La cuasivarianza muestral es un estimadorinsesgado de la varianza poblacional

S2 ←→ Cuasivarianza muestralσ2 ←→ Varianza poblacionalE[S2]

La varianza muestral es un estimadorsesgado de la varianza poblacional

S2 ←→ Varianza muestralσ2 ←→ Varianza poblacional

=n − 1

nσ2 6= σ2

La cuasivarianza muestral es un estimadorinsesgado de la varianza poblacional

S2 ←→ Cuasivarianza muestralσ2 ←→ Varianza poblacionalE[S2]

ESTIMACIÓN PUNTUAL

Entre varios estimadores insesgados es preferible el quetiene menor varianza.

Pero, no siempre hay uno!!!

Eficiencia relativa

θ1 y θ2 dos estimadores insesgados para θ, θ ∈ Ω.θ1 es más eficiente que θ2 si, para todo θ ∈ Ω,

Var(θ1

)≤ Var

siendoVar

)< Var

para algún θ0 ∈ Ω.

Entre varios estimadores insesgados es preferible el quetiene menor varianza. Pero, no siempre hay uno!!!

Eficiencia relativa

Var(θ1

)≤ Var

siendoVar

)< Var

Eficiencia relativa

θ1 y θ2 dos estimadores insesgados para θ, θ ∈ Ω.θ1 es más eficiente que θ2 si,

para todo θ ∈ Ω,

Var(θ1

)≤ Var

siendoVar

)< Var

Eficiencia relativa

Var(θ1

)≤ Var

siendoVar

)< Var

Eficiencia relativa

Var(θ1

)≤ Var

siendoVar

)< Var

E [θ1] = E [θ2] = θ, pero Var(θ1) < Var(θ2), luego θ1 esmejor que θ2

Eficiencia relativa

θ1 y θ2 dos estimadores insesgados para θ, θ ∈ Ω.

Eficiencia relativa de θ1 frente a θ2 =Var

ESTIMACIÓN PUNTUAL

Estimación puntual: Propiedades

θ estimador insesgado para el parámetro θ, θ ∈ Ω.

Eficiencia

θ es eficiente para θ si, para cualquier otro θi insesgadopara θ,

Var(θ)≤ Var

), para todo θ ∈ Ω.

El estimador eficiente es el óptimo, con elcriterio de mínima varianza, en la clase de losestimadores insesgados

Eficiencia

Var(θ)≤ Var

Eficiencia

Var(θ)≤ Var

Acotación de Frechet-Cramer-Rao

Si θ = θ(X1, ...,Xn) es un estimador insesgado para elparámetro θ, entonces, bajo ciertas condiciones de regularidad,

Var(θ)≥ 1

[(∂ ln f (X ; θ)

siendo f (x ; θ) la función de densidad de la variable aleatoria X .

Si la varianza de un estimador insesgado es igual a la cota,entonces el estimador es eficiente.

Acotación de Frechet-Cramer-Rao

Si θ = θ(X1, ...,Xn) es un estimador insesgado para elparámetro θ, entonces, bajo ciertas condiciones de regularidad,

Var(θ)≥ 1

[(∂ ln f (X ; θ)

siendo f (x ; θ) la función de densidad de la variable aleatoria X .

Si la varianza de un estimador insesgado es igual a la cota,entonces el estimador es eficiente.

ESTIMACIÓN PUNTUAL

En general, el criterio de óptimo análogo al de mínima varianzapara los insesgados es el de

MÍNIMO ECMPero, ¿cómo se define el ECM?

Definición

Para un estimador, θ, de un párámetro θ se define su errorcuadrático medio, ECM(θ), como

ECM(θ) = E[(θ − θ

MÍNIMO ECM

Pero, ¿cómo se define el ECM?

Definición

Cuantifica la dispersión de la distribución del estimador conrespecto al parámetro que se pretende estimar.

El estimador será tanto mejor cuanto menor sea esa dispersiónEso significa que las diferencias entre el parámetro y lasestimaciones que el estimador proporciona (los valores delestimador) son “pequeñas" .

El estimador ÓPTIMO con este criterio es el de menor ECM.

El error cuadrático medio de un estimador y su varianza estánrelacionados:

Si θ es un estimador del parámetro θ, entonces

ECM(θ)

= Var(θ)

E[θ]− θ)2.

Si el estimador es insesgado, su error cuadrático medio ysu varianza son iguales.Si un estimador insesgado tiene menor varianza que unosesgado, con el criterio del ECM es preferible el insesgado.El estimador eficiente es, para la clase de estimadoresinsesgados, ÓPTIMO con el criterio basado en el ECM.

ECM(θ)

= Var(θ)

E[θ]− θ)2.

ECM(θ)

= Var(θ)

E[θ]− θ)2.

Si el estimador es insesgado, su error cuadrático medio ysu varianza son iguales.

Si un estimador insesgado tiene menor varianza que unosesgado, con el criterio del ECM es preferible el insesgado.El estimador eficiente es, para la clase de estimadoresinsesgados, ÓPTIMO con el criterio basado en el ECM.

ECM(θ)

= Var(θ)

E[θ]− θ)2.

Si el estimador es insesgado, su error cuadrático medio ysu varianza son iguales.Si un estimador insesgado tiene menor varianza que unosesgado, con el criterio del ECM es preferible el insesgado.

El estimador eficiente es, para la clase de estimadoresinsesgados, ÓPTIMO con el criterio basado en el ECM.

ECM(θ)

= Var(θ)

E[θ]− θ)2.

ESTIMACIÓN PUNTUAL

SUFICIENCIA

Definición

Un estimador θ = θ(X1, ...,Xn) es suficiente para un parámetroθ si, y sólo si, la distribución de la muestra condicionada por elestimador no depende del parámetro.

EJEMPLO

Ejemplo

Si (X1, ...,Xn) es una m.a.s. de X ∼ B(p), el total muestral(T = X1 + · · ·+ Xn) es suficiente para p.

SUFICIENCIA

Definición

EJEMPLO

Ejemplo

SUFICIENCIA

Definición

EJEMPLO

Ejemplo

SUFICIENCIA

Definición

EJEMPLO

Ejemplo

Caracterización de la suficiencia (Neyman)

Teorema

θ = θ(X1, ...,Xn) es suficiente para un parámetro θ si, y sólo si,la función de densidad de la muestra, f (x1, ...xn; θ) se puedefactorizar del siguiente modo

f (x1, ...xn; θ) = g(θ(x1, ..., xn), θ) · h(x1, ..., xn),

donde h es independiente de θ.

EJEMPLO

Ejemplo

Si (X1, ...,Xn) es una m.a.s. de X ∼ N(µ,1), la media muestrales un estimador suficiente de la media poblacional.

Teorema

EJEMPLO

Ejemplo

Teorema

EJEMPLO

Ejemplo

Teorema

EJEMPLO

Ejemplo

ESTIMACIÓN PUNTUAL

Estimación puntual: Propiedades asintóticas

Entre las propiedades de tipo asintótico (muestras detamaño grande) destacamos:

Insesgadez asintótica

Consistencia en media cuadrática

ESTIMACIÓN PUNTUAL

θn = θ(X1,X2, · · · ,Xn) estimador.

Al hacer variar el tamaño de la muestra, elestimador puede verse como:

Una sucesión de estimadores ≡θn

Insesgadez asintóticaEl estimador θn es asintóticamente insesgado para θ si

Al aumentar el tamaño de muestra el sesgo tiende acero.

=n − 1

nσ2−→

n→∞σ2

=n − 1

nσ2−→

n→∞σ2

=n − 1

nσ2−→

n→∞σ2

=n − 1

nσ2−→

n→∞σ2

=n − 1

nσ2−→

n→∞σ2

ESTIMACIÓN PUNTUAL

CONSISTENCIA

El estimador θn es consistente para θ si converge enprobabilidad a θ. Es decir,

límn→∞

P(|θn − θ| < ε) = 1,para todoε > 0.

La consistencia del estimador garantiza que tomando unamuestra suficientemente grande con la estimación no nosdesviamos mucho del parámetro que se pretendeestimar.

La media muestral es un estimador consistente de lamedia poblacional

CONSISTENCIA

límn→∞

CONSISTENCIA

límn→∞

CONSISTENCIA

límn→∞

ESTIMACIÓN PUNTUAL

El estimador θn es consistente en media cuadrática para θsi

Es asintóticamente insesgado.Su varianza tiende a cero al aumentar el tamaño demuestra.

La consistencia en media cuadrática del estimadorgarantiza la consistencia.

Es asintóticamente insesgado.

Su varianza tiende a cero al aumentar el tamaño demuestra.

ESTIMACIÓN PUNTUAL

NORMALIDAD ASINTÓTICA

El estimador θn es asintóticamente normal para θ si convergeen distribución a la distribución normal.

Es decir,Si Φ es la función de distribución de la distribución N(0,1)y Fn es la función de distribución de

θn − E [θn]√Var(θn)

entonceslím

n→∞Fn(x) = Φ(x),para todo x .

El estimador θn es asintóticamente normal para θ si convergeen distribución a la distribución normal. Es decir,

Si Φ es la función de distribución de la distribución N(0,1)y Fn es la función de distribución de

entonceslím

entonces

límn→∞

Fn(x) = Φ(x),para todo x .

entonceslím

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Ortografía Puntual

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