Post on 14-Jul-2015
UNIVERSIDAD
PEDAGOGICA NACIONAL
ESTRUCTURAS
DISCRETAS
P R E U F O D
L O G I C A
INTRODUCCION
El ser humano, a través de su vida diaria, se comunica con
sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral,
escrito, etc.) por medio de las denominadas frases u
oraciones. Estas pueden tener diferentes significados pero
siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o
falsas, siendo éste el precedente fundamental para el
desarrollo humano.
Lo importante en el presente estudio es el hecho de que, a
partir de los enunciados y de acuerdo a su significado es
posible establecer una proposición y a partir de un conjunto
de éstas podemos llegar a una conclusión o inferencia,
siendo la lógica la ciencia encargada del estudio de éstas.
Hoy en día, la lógica proposicional tiene una importancia
singular dada su aplicación en la informática.
QUE ES LA LOGICA?
Disciplina que estudia los principios formales del
conocimiento humano, es decir, las formas y las
leyes más generales del pensamiento humano
considerado puramente en sı mismo, sin referencia
a los objetos.
PROPOSICIONES Y ENUNCIADOS
LOGICOS
Es el significado de cualquier frase declarativa que
puede ser verdadero o falso.
A las proposiciones o enunciados se les puede
asignar uno de dos valores “1” si es verdadero o
“0” si es falso, por ese motivo se le denomina
logica bivalente
Algunos ejemplos de enunciados y propocisiones
• La frase “1=1” es un enunciado, puesto que puede ser
verdadero o falso
• “Llovera manana” es una proposicion, para conocer su
valo de verdad tenemos que esperar hasta manana.
• “Las rosas son rojas y la violetas azules” es un
enunciado compuesto por los subenunciados “Las
rosas son rojas” y “Las violetas azules”
• X+2=5 es una ecuacion que adquiere un valor de verdad
o falsedad cuando a X se le asignen diferentes valores,
por tal razon se denomina una proposicion condicional
TABLAS DE VERDAD
Es una herramienta desarrollada por Charles
Peirce en los años 1880, siendo sin embargo
más popular el formato que Ludwig Wittgenstein
desarrolló en su Tractatus logico-philosophicus,
publicado en 1918 por Bertrand Russell.
Se emplean en lógica para determinar los
posibles valores de verdad de una expresión o
proposición. O si un esquema de inferencia,
como argumento, es formalmente válido
mostrando que, efectivamente, es una
tautología.
LA NEGACION (NOT ~ )
Para negar una proposicion se emplea el simbolo
( ~ ) de tal rorma que ~p ( que se lee “ no p”)
Ejemplo:
p q1 11 00 10 0
~ p0011
~ q0101
LEY DE DOBLE NEGACION (NOT ~ )
Cuando el número de negaciones de un enunciado
es par, el valor de verdad de dicho enunciado es el
original de la proposición, y cuando es impar es la
negación del enunciado original.
Ejemplo.
~ ~ p = p
~ ~ ~ p = ~ p
~ ~ ~ ~ p = p
~ ~ ~ ~ ~ p = ~ p
PROPOSICIONES COMPUESTASUna proposición compuesta es una proposicion que se puede
descomponer en 2 o mas proposiciones atomicas.
Una proposicion atomica es una propocion que no se puede
descomponer en mas proposiciones.
una proposicion atomica: P = es de noche
otra proposicion atomica: Q = esta lloviendo
Una PROPOSICION COMPUESTA: P^Q= (P y Q) = Es de noche y
esta lloviendo.
Las proposiciones compuestas básicas son:
1. La conjunción
2. La disyunción
3. La disyunción exclusiva
4. La implicación
5. La equivalencia
1.- Conjunción (AND ^) significa Y.
Da verdadero (1) si ambos valores son 1, en todo los demás
casos da 0 Ejemplo:p: Aquiles corre velos q: La tortuga no corre velozmente
1.- p ^ q Alquiles corre velos y la tortuga no corre velozmente
2.- ~ p ^ q Ni Aquiles ni la tortuga corren velozmente
3.- ~ p ^ ~ q Aquiles no corre velozmente y la tortuga corre velozmente
p q ~ p ~ q p ^ q ~ p ^ q ~ p ^ ~ q
1 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 1
LA CONJUNCION
Para que la expresión p ^ q sea verdadera tanto p como q
deben ser verdaderas
Disyuncion (OR v) signifiva ” o “ en español.
Da falso cuando todas son falsas (0), en todo los demás casos
da verdadero (1).
LA DISYUNCION (OR)
Para que la expresión p v q sea verdadera basta que una
proposición sea verdadera
p q ~ p ~ q p v q ~ p v q ~ p v ~ q
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1
1 0
1 1
0 1
0 0
Ejercicio:
Es verdadera solo en el caso en el que las dos proposiciones
tengan diferente valor de verdad.
LA DISYUNCION EXCLUSIVA (XOR)
La palabra “o” tiene dos significados diferentes: En la oración
“ El estudiara en la Pedagógica o en la Católica” la presunción
es que puede estar en una pero no en ambas. De modo que
“o” se utiliza en el sentido llamado disyunción exclusiva
p q p q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
p q0 00 11 01 1
p q1101
Es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. La
implicación es una conectiva que se notara con una flecha ejemplo p q (p implica q).
LA IMPLICACION O CONDICIONAL ( )
La implicaciones también reciben el nombre de teoremas, pueden ser de
cuatro formas.
1.- Implicación directa. p → q
2.- Implicación contraria. q → p
3.- Implicación reciproca. ~ p → ~ q
4.- Implicación contra reciproca. ~ q→ ~ p
Ejemplo:
1.- Sea p: -1=1 q: (-1)² = (1)²
p es un antecedente falso
q es un consecuente verdadero
p → q -1=1 → (-2)² = (-2)² es una implicacion
veradera.
q
0
1
0
1
p
0
0
1
1
~ p → ~ q
1
0
1
1
q → p
1
0
1
1
~ q → ~ p
1
1
0
1
p → q
1
1
0
1
~ q
1
0
1
0
~ p
1
1
0
0
Ejemplo implicación
Las tablas de verdad de la implicaciones directa y contra reciproca, y de la
contraria y reciproca son iguales, por tanto estas implicaciones son
equivalentes ( ↔ ) es decir.
1.- (p → q) ↔ (~ q → ~ p)
2.- (q → p) ↔ (~ p → ~ q)
Cuando una implicación directa es verdadera y lo es además la
implicación contraria las proposiciones son equivalentes ( ↔ ) .
(p → q) ↔ (~ q → ~ p)
(q → p) ↔ (~ p → ~ q)
Contraria y Reciproca
Directa y Contra reciproca
LA EQUIVALENCIALa equivalencia es una conectiva logica , p ↔ q que se dice:
p entonces q , p si y solo q , p es necesario y suficiente para q
La equivalencia es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas o si
ambas son falsas, es decir:
q
0
1
0
1
p
0
0
1
1
p ↔ q
1
0
0
1
Si la tabla de verdad de las proposiciones es siempre verdadera
independientemente de la verdad o falsedad de las proposiciones simples,
entonces la expresión es tautológica. Si la tabla de verdad es siempre
falsa será una contradicción; si es verdadera y falsa, la proposición es
una contingencia.
Contingencia
El siguiente ejemplo es una tautología usada para trasformar una
implicación en una expresión equivalente (p → q ) ↔ ~(p ^ ~q), cuya
tabla de verdad es:
p q ~ q p → q p ^ ~q ~( ) ↔
1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1 1
0 0 1 1 0 1 1
Determinar que tipo de expresión es la siguiente: (p → q ) ↔ ~(~p v q)
p q ~ p p → q ~p v q ~( ) ↔
1 0 0 0 0 1 0
1 1 0 1 1 0 0
0 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 0 0
La expresión lógica anterior es una contradicción
Para realizar las tablas de verdad de proposiciones compuestas, de tres
simples se deben construir ocho renglones para cada una de las
combinaciones de verdad y falsedad
Ejemplo:
[ p ^ ~ (q v r ) ] → [ ( p ^ ~ q ) v ( p ^ ~ r ) ]
haciendo : s = p ^ ~ q
t = p ^ ~ r
p q r ~ q ~ r q v r ~( ) [ ^ ] s t [ v ] →0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1
0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1
0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
p q r ~ p ~ q ~r ~q v ~r [→ ] s t ~ s ~ t [ v ] →
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1
0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1
0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1
0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1
Para realizar las tablas de verdad de proposiciones compuestas, de tres
simples se deben construir ocho renglones para cada una de las
combinaciones de verdad y falsedad
Ejemplo:
[ ~ p → ( ~ q v ~ r ) ] → [ ~ ( p → q ) v ~ ( p → r ) ]
haciendo : s = p → q
t = p → r
LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
1.- Idempotencia
2.- Asociativa
3.- Conmutativa
4.- Distributiva
5.- Identidad
6.- Complemento
7.- D Morgan
1.- LEYES IDEMPOTENCIA
a. p v p ↔ p b. p ^ p ↔ p
p p v p
0 0
1 1
p p ^ p
0 0
1 1
2.- LEYES ASOCIATIVA de la disyunción
a. (p v q) v r ↔ p v (q v r)
p q r p v q (p v q) v r q v r p v (q v r)
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 0 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
Disyunción Conjunción
2.- LEYES ASOCIATIVA de la conjunción
b. (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r)
p q r p ^ q (p ^ q) ^ r q ^ r p ^ (q ^ r)
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
p q p v q q v r
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1 1 1 1
3.- LEYES CONMUTATIVAS
a. p v q ↔ q v p b. p ^ q ↔ q ^ p
p q p ^ q q ^ r
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1 1 1 1
Disyunción Conjunción
4.- LEYES DISTRIBUTIVAS
a. p v (q ^ r) ↔ (p v q) ^ (p v r)
p q r q ^ r p v (q ^ r) (p v q) (p v r) (p v q) ^ (p v r)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
4.- LEYES DISTRIBUTIVAS
b. p ^ (q v r) ↔ (p ^ q) v (p ^ r)
p q r q v r p ^ (q v r) (p ^ q) (p ^ r) (p ^ q) v (p ^ r)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
5.- LEYES IDENTIDAD
a. p v 0 ↔ p p ^ 1 ↔ p b. p v 0 ↔ p p ^ 1 ↔ p
p p v 0
0 0
1 1
p p ^ 1
0 0
1 1
Disyunción Conjunción
p p v 0
0 0
1 1
p p ^ 1
0 0
1 1
Disyunción Conjunción
6.- LEYES COMPLEMENTO
a. p v ~ p ↔ 1 p ^ ~ p ↔ 0 b. ~ ( ~ p) ↔ p -1 = 0, -0 =1
p p v ~p
0 1
1 1
p p ^ ~ p
0 0
1 0
Disyunción Conjunción
p ~ p ~(~p)
0 1 0
1 0 1
Ley doble negación
7.- LEYES D´ MORGAN
a. ~(p v q) ↔ ~ p ^ ~ q
p q p v q ~(p v q) ~ p ~q ~ p ^ ~q
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1 0
7.- LEYES D´ MORGAN
b. ~(p ^ q) ↔ ~ p v ~ q
p q p ^ q ~(p ^ q) ~ p ~q ~ p v ~q
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0
Argumentos y
Reglas de inferencia
* ¿Qué es una implicación lógica?
* ¿Qué es un argumento?
* ¿Qué es un argumento válido?
* ¿Cómo usar las reglas de inferencia para establecer y demostrar la validez de un argumento?
Recuerda…Equivalencia significa igualdad
Las leyes lógicas nos muestran algunas proposiciones equivalentes a otras. Eso equivale a conocer “atajos proposicionales”.
¿Puedes dar un ejemplo de dos proposiciones compuestas que sean lógicamente equivalentes?
…. Pasemos a un concepto nuevo
¿Qué es una implicación lógica?
Sean r y s dos proposiciones compuestas. Decimos que r implica lógicamente a scuando r s es una tautología y lo denotamos por r s.
Esto significa que s es verdadera siempre que r sea verdadera.
Ejemplo: Comprueba que [(p q) p] q.En este caso, r es [(p q) p] y s es q
Piénsalo unos minutos ...!
¿Qué es una implicación lógica?Para comprobar [(p q) p] q usamos la
definición.
p q p q [(pq) p] [(p q) p] q.
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Esta es una implicación lógica llamada: Modus Ponens o
Modo Positivo.
Está relacionada con un modo de razonamiento: “Si tengo
dinero, voy al cine. Y tengo dinero. Por lo tanto, … voy al
cine!”
... implicación lógica
Observa que:
• Una implicación lógica NO es lo mismo que una equivalencia lógica.
• En una equivalencia lógica podemos sustituir una proposición por otra.
• En la implicación lógica no podemos sustituir una proposición por otra. ¿Puedes dar una razón?
• Que r s sea una tautología equivale a decir que
s es cierta cada vez que r sea cierta.
... implicación lógica
Ejercicio 1:Decide si es o no es cierto que :
a) q (p q) p
b) q (p q) p
c) [ (p q) p ] q
Toma unos minutos para decidir ...
a) No es cierto; es falsa si p y q son falsas.
b) Es cierto; a esta implicación se le llama Modus Tollens.
c) Es cierto; a esta implicación se le llama Silogismo disyuntivo.
¿Qué es un argumento?Un argumento es una proposición compuesta del tipo
Si (p1 p2 p3 ..... pk) entonces q
Premisas Conclusión
EjemploSi Juan se gana la beca, viaja a París. Y Juan se ganó la beca.Por lo tanto, viajará a París.
Este argumento tiene dos premisas.
Las premisas son: “Si Juan gana la beca entonces viaja a París” y “
Juan se ganó la beca”.
La conclusión es: “Juan viaja a París”.
“Si Juan se gana la beca, viaja a París. Y Juan se ganó la beca. Por lo tanto, viajará a París”.
Este argumento puede representarse como una tabla ocomo una implicación.
Sean las proposiciones: p: “Juan gana la beca”q: “Juan viaja a París”.
Tabla: p q
p
q
Implicación:
[(p q) p] q
¿Qué es un argumento?
Ejercicio
“Fue Elisa o fue Carlos quien cometió el fraude. Pero
Elisa estaba fuera de la ciudad cuando el crimen fue
cometido. Si ella estuvo fuera de la ciudad, no pudo
cometer el crimen. Eso nos conduce, lógicamente, a
Carlos. Él es el culpable.”
a) ¿Cuáles son las premisas en este argumento?
b) ¿Cuál es la conclusión?
Proposiciones simples
p : “Elisa cometió el fraude”.
q : “Carlos cometió el fraude”.
r : “Elisa estaba fuera de la ciudad cuando el crimen fue cometido”.
Hay varias premisas y la conclusión es una proposición simple.Premisa 1: p q Premisa 2: r Premisa 3: r p
Conclusión: q
…Argumento
Ejemplo: Expresa simbólicamente
“Si el hijo de Leonidas está vivo, éste se casará
con Ivette. Pero el hijo de Leonidas murió, por lo
tanto, él no podrá casarse con Ivette.”
Tabla: p q
p
q
Implicación:
{(p q) p} q
¿Es ésta una implicación
lógica?
Proposiciones simples:
p: “El hijo de Leonidas está vivo”
q: “El hijo de Leonidas se casa con Ivette”
… Argumento
Se dice que:
Un argumento es válido si cada vez que las
premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera.
Es decir, si las premisas son ciertas, está garantizada
la veracidad de la conclusión. De modo que un
argumento es válido si la implicación:
(Premisas) (Conclusión)
es una implicación lógica.
Un argumento es válido debido a su forma, no a su
contenido.
Argumento válido
[(p q) p] q Este ES un
argumento válido
[(p q) p] q Este NO ES un
argumento válido.
Para comprobar la segunda afirmación,
supón que las premisas son verdaderas… y
verifica que no puedes asegurar que la
conclusión es verdadera
Argumento válido
Un argumento puede ser válido (debido a su forma) aunque el contenido de la conclusión pueda ser falso.
EjemploSi Ud. invierte en la Bolsa, se hará rico.Si Ud. se hace rico, será feliz___________________________Si Ud. invierte en la Bolsa, será feliz.
Comprueba que este es un argumento válido.
Argumento válido
• Son reglas que permiten establecer la veracidad de unargumento sin tener que realizar una gran tabla de verdad.
• Las reglas están asociadas a formas de razonamiento.
• Las reglas de inferencia tienen asociadas implicaciones lógicas.
• Algunas de las más usadas son: el Modus Ponens y el ModusTollens que ya vimos. Otras son: Silogismo, Silogismodisyuntivo, Simplificación, Amplificación, Demostración porcasos.
Reglas de Inferencia
Reglas de Inferencia
Silogismo hipotético
[(p q) (q r)] (p r)
Silogismo disyuntivo
[( p q) p)] q
Nombre de la Regla Implicación lógica
Simplificación ( p q ) p
Amplificación p ( p q )
Modus Ponens [ p ( p q)] q
Modus Tollens [( p q) q ] p
Con estas reglas podemos ir de un lado a otro, pero
no podemos regresarnos una vez que usamos la
garrocha.
Ejemplo: Dado el argumento
(p q) (r s)] (r t) (t ) q
a) Decida si es o no válido.
b) En caso de ser válido, demuéstrelo. Si no es válido, dé uncontraejemplo.
a) Análisis sobre la validez:
Debemos suponer que todas las premisas son
ciertas y trataremos de comprobar que la
conclusión también lo es.
Es conveniente empezar de la premisa más sencilla.
Validez de argumentos
Hay tres premisas:
(p q) (r s) (r t) (t )
P1 P2 P3
Comencemos por P3: t es falsa.
Por P2: r debe ser falsa.
Al ver P1: si r es falsa, r s es falsa, de modo que
el antecedente p q es falso.
Pero (p q) (p q),
por lo tanto, (p q) es verdadera. Esto ocurre,
cuando tanto p como q son verdaderas. De modo
que q es verdadera.
Validez de argumentos
Por lo tanto, el argumento es
válido !!!
Demostración de la validez
b) Demostremos que es válido.
Los pasos de la demostración están sugeridos por laparte anterior. Partimos del antecedente y utilizandolas leyes lógicas y las reglas de inferencia tratamos detender los puentes para llegar a la conclusión. …
En cada línea justificaremos el paso dado, mencionando el nombrede la ley o de la regla de inferencia que usamos …
- Ley usada -
[(p q) (r s)] (r t) (t )
[(p q) (r s)] [(r t) (t )] Asociativa
[(p q) (r s)] r Modus Tollens
[(p q) (r s)] (r s) Amplificación
[(p q) (r s)] ( r s) De Morgan
(p q) Modus Tollens
p q De Morgan
p q Doble negación
q Reducción
Demostración de la validez
Ejemplo 2: Dado el argumento
(p q) (r s) ( p s) (q s)
a) Decida si es o no válido.
b) En caso de ser válido, demuéstrelo.
Si no es válido, dé un contraejemplo.
a) Sobre la validez:
Supongamos que todas las premisas son ciertas y
trataremos de demostrar que la conclusión lo es.
P1: (p q) es cierta.
P2: (r s) es cierta.
P3: ( p s) es cierta.
C: q s ¿será cierta?
…Validez de argumentos
P1: (p q) es cierta.
P2: (r s) es cierta.
P3: ( p s) es cierta.
C: q s
Por P3: p y s no pueden ser ambas falsas.
Caso 1: Supongamos que s es cierta, pero no lo es p.
Por P1: q puede ser verdadera o falsa. En cuyo caso, la conclusión escierta.
Caso 2: Supongamos que p es cierta, pero no lo es s.
Por P1: q es cierta. En cuyo caso, (q s) es cierta.
Caso 3: Supongamos que p y s son ambas ciertas.
Entonces q es cierta. En cuyo caso, (q s) es cierta. Por lotanto, el argumento es válido !
Decidir sobre la validez
b) Sobre la demostración:
Partiendo de las premisas, debemos arribar a la conclusión.
Completa las reglas o leyes que faltan. - Ley o Regla usada -
(p q) (r s) ( p s)
(p q) (r s) ( p s) sustitución 1
(p q) (p s) (r s) conm. y asoc.
(p q) p (p q) s (r s) distribut.
q [(p q) s (r s) silog. disyuntivo
q (p s) (q s) (r s) ________
q (p s) (r s) ________
(q p) (q s) ] (r s) _________
(q p) (q s) _________
(q s) __________
q s __________
Demostrar la validez
Se tiene el siguiente argumento, parecido al ejemplo 1
(p q) (r s)] (r t) (t) qP1 P2 P3
Decidamos si es, ó no, válido.Comencemos por P3: t es falsa.
Por P2: r debe ser falsa.
Al ver P1: como r es falsa, r s es falsa; de modoque p q es falsa, lo cual ocurre cuando p y qson falsas …
¿ Y si no es válido?
En el argumento:
[(p q) (r s)] (r t) (t)] q
P1 P2 P3
La conclusión puede ser falsa aún cuando las premisas
son verdaderas !!! … Esto indica que el argumento
NO es válido.
De hecho, si p, r, s y q son V, F, V y V respectivamente, las premisasson ciertas y la conclusión es falsa. Este es el contraejemplo.
¿Cómo comprobar que no es válido?
Ejercicio
Decida si el argumento es válido y si lo es, proporcione una demostración.
Denote a las proposiciones por p, q, r, s, ..
“Si hay cierta probabilidad de lluvia o pierde su lazo rojo, Lucy no cortará la grama. Siempre que la temperatura supere los 80° F, no hay probabilidad de lluvia. Hoy la temperatura es de 85° F y Lucy está usando su lazo rojo. Por lo tanto, Lucy cortará la grama.”