Post on 19-Oct-2018
410 Capitulo12:IntegraisMúltiplas
Fórmulas de Mudança de Coordenadas
x = r cos ()
y = r sen 8z=z
x = p sen cp cos ()
y = p sen cp sen ()
z = p cos cp
r = p sen cp
z = p cos cp8= 8
Elementos de volume cOITespondentes:
dV= dxdydz
= dz r dr dO
= p2 sen cpdp dcpdO
,EXERCICIOS 12.6
Calculando Integrais em Coordenadas CilíndricasCalcule as integrais em coordenadas cilíndricas nos exercícios 1-6.
f21T
fI
Jv'P
1. o o r dz r drde
f21T
f3
JVi8=?
2. dz r dr deo o ,2/3
f21T
f(J/2'Tr
f3+24,2
3. dz rdrdeo o o
f1T
f(Jl'Tr
f3~
4. . zdzrdrdeo o -~
f2'Tr
fl
fllv'P
5. 3 dz r dr deo o r
f21T
fI
I1/2
6. (fl sen2 () + z2)dz r dr deo o -1/2
Mudando a Ordem de Integração emCoordenadas Cilíndricas
As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens pre-ferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outrasordens em geral funcionam bem e são ocasionalmente mais fáceisde calcular. Calcule as integrais nos exercícios 7-10.
f2'Tr
f3
fz/3
7. o o o r3dr dz de
f1
f2'Tr
f1+cos6
8. 4r dr de dz-) o o
fI
fVi
f2'Tr
9. o o o (r2 cos2e + Z2)r de.dr dz
f2
J~
f21T
10. (r sen e + 1) rde dz dro r-2 o
11. Seja D a região limitada abaixo pelo plano z = O,acimapelaesfera x?-+ l + Z2 =4 e dos ladospelo cilindrox?-+ l = 1.Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas que dãoo volume de D usando as ordens de integração a seguir.
(a) dz dr de
(b) dr dz dO
(c) dedz dr
12. . Seja D a região limitada abaixo pelo cone z = VX2 + y2 eacimapelo parabolóidez = 2 - X2 - y2.Monteas integraistriplas em coordenadas cilíndricas que dão o volume de Dusando as ordens de integração a seguir.
(a) dz dr de
(b) drdz de
(c) de dz dr
13. Dê os limites de integração para calcular a integral
ff f f(r,O,z)dzrdrde
como uma integral iterada sobre a região que é limitada abaixopelo plano z = O, do lado pelo cilindro r = cos ee acima peloparabolóidez = 3r2.
14. Converta a integral
"
f I fY1=?fx
-1 o o (xl + r) dz dx dy
para uma .integral equivalente em coordenadas cilíndricas ecalcule o resultado.
Encontrando Integrais Iteradas em CoordenadasCilíndri"casNos exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcularf f Jvl(r, O,z) dz r dr de sobre a região D dada.
15. D é o cilindro circular reto cuja ôase é a circunferência r =2 sen (}no plano xy e cujo topo está no plano z = 4 - y.
z
L;(=4-Y
x
y.-/\ . 8r=2sm
16. D é o cilindro circular reto cuja base é a circunferência r =3 cos (}e cujo topo está no plano z = 5 - x.
z
;;z=5-x
x
17. D é o cilindro reto sólido cuja base é a região no plano xy queestá dentro da cardióide r = 1 + cos (Je fora da circunferência
r = 1 e cujo topo está no plano z = 4.
y
x
r = 1~r=1+cos8
18. D é Ocilindro reto sólido cuja base é a região entre as circun-ferências r = cos (} e r = 2 cos (}e cujo topo está no planoz = 3 - y.
z
x
r = 2 cos (}
12.6 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 411
19. D é oprismacujabase é o triângulono planoxy limitadopeloeixo x e pelas retas y = x e x = 1 e cujo topo está no planoz = 2 - y.
z
x
20. D é o prisma cuja base é o triângulo no plano xy limitado peloeixo y e pelas retas y = x e y = 1 e cujo topo está no planoz = 2 - x.
z
x
y
2
y=x
Calculando Integrais em Coordenadas Esfér~ca5Calcule as integrais em coordenadas esféricas nos exercícios21-26.
f7T
f7l"
f2senq,21. p2 sen c/Jdp dc/JdO
o o o
f27T
f7T/4
f2
22. (p cos c/J)p2 sen c/Jdp dc/Jdeo o o
f27T
f7T
f(l-cos q,)12
23. l sen c/Jdp dc/Jdeo o o
f37Tl2
f7T
fI
24. 5p3 sen3c/Jdp dc/Jdeo o o
f2'"
f7T/3
J2
25. '?Elsen <p dp dc/Jd(Jo o secq,.
f27T
f1r14
fsecq,
26. (p cos c/J)p2 sen c/Jdp dcpdOo o o
Mudando a Ordem de Integração emCoordenadas Esféricas
As integrais anteriores sugerem que existem ordens preferenciaisde integração para coordenadas esféricas, mas outras ordens sãopossíveis e ocasionalmente mais fáceis de calcular. Calcule as inte-grais nos exercícios 27-30.
412 Capítulo12:IntegraisMúltiplas
f
2
f
o
J
'11"/2
27. l sen 2cpdcpdOdpo -'11" '11"/4
f7f/3
f2 cosec<Pf2'11"
28. p2 sen cpdOdp dcp1T/6 cosec'" o
flf1Tf1T/4 .
29. 12p sen3cpdcpdOdpo o o
J'11"l2
f7f12
J2
30. 5p4 sen3 4> dp dOdcp'11"/6 -?T/2 cosec '"
31. SejaD a região no Exercício 11. Monte as integrais triplas emcoordenadas esféricas que dão o volume de D usando asordens de integração a seguir.
(a) dp dcpde (b) dcpdp de
32. Seja D a região limitada abaixo pelo cone z = V X2 + y2 e
acima pelo plano z = 1. Monte as integrais triplas em coorde-nadas esféricas que dão o volume de D usando as ordens deintegração a seguir.
(a) dp dcp dO (b) dcp dp dO
Encontrando Integrais Iteradas em CoordenadasEsféricasNos exercícios 33-38, (a) encontre os limites de integração emcoordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sóli-do dado e (b) depois calcule a integral.
33. O sólido entre a esfera p = cos 4> e o heTIÚsfério p = 2.z ~ O.
z
x y
34. O sólido limitado abaixo pelo hemisfério p = 1. z ~ Oe acimapela cardióide de revolução p = 1 + cos 4>.
z
p=l+coscJ>/'
p=l
yx
35. O sólido dentro da cardióide de revolução p = 1 - cos 4>.
36. A porção superior cortada do sólido no Exercício 35 peloplano X)'.
37. O sólido limitado abaixo pela esfera p = 2 cos 4>e acima pelocone z = VX2 + y2.
38. O sólido limitado abaixo pelo plano X)'. dos lados pela esferap = 2 e acima pelo cone 4>= 7T/3.
z
x y
Coordenadas Cartesianasr Cilíndricas e Esféricas39. Monte as integrais triplas para o volume da esfera p = 2 em
coordenadas (a) esféricas. (b) cilíndricas e (c) cartesianas.
40. SejaD a regiãono primeirooctantequeé linútadaabaixopelocone 4>= 1T/4e acima pela esfera p = 3. Expresseo volumede D como uma integral tripla iterada em coordenadas (a)cilíndricas e (b) esféricas. Depois (c) encontre V.
41. Seja D a calota menor cortada de uma esfera sólida de raio de.2 unidades por um plano a 1 unidade de distância do centro daesfera. Expresse o volume de D como uma integral tripla itera~da em coordenadas (a) esféricas, (b) cilíndricas e (c) cartesia-nas. Depois (d) encontreo volume calculandouma das trêsintegrais triplas.
42. Expresse o momento de inércia Iz do hemisfério sólido r + l+ i :s; 1, z ~ O, como uma integral iterada em coordenadas(a) cilíndricas e (b) esféricas. Depois (c) encontre Iz.
VolumesEncontre o volume dos sólidos nos exercícios 43-48.
43. 44. zz
x \ """yz = (x2 + y2)2 -1
/x /
r = sen (Jy
x
49. Esferae conesEncontre o volume da porção da esfera sólidap s; a que está entre os cones l/J= 'Tr13e l/J = 2 'Tr13.
50. Esfera e semiplanos Encontre o volume da região cortada daesfera sólida p s; a pelos semiplanos 8 = O e 8 = 'Tr16no pri-meiro octante.
51. Esferae plano Encontre o volume da região menor cortada daesfera sólida p s; 2 pelo plano z = 1.
52. Coneeplanos Encontre o volumedo sólido dentro do conez = y X2 + y2 entre os planos z = 1 e z = 2.
53. Cilindroe parabolóide Encontre o volume da região limitadaabaixo pelo plano z = O, lateralmente pelo cilindro x?-+ l = 1
e acima pélo parabolóide z = X2 + y2.
54. Cilindroe parabolóides Encontre o volume da região limitadaabaixo pelo parabolóide z = x?- + l, lateralmente pelo cilindrox?-+ l = I e acima pelo parabolóide z = x?- + l + 1.
55. Cilindroe conesEncontre o volume do sólido cortado do cilin-
dro espesso 1 s; x?-+ l s; 2 pelos cones z = :!:Y X2 + y2.
56. Esferae cilindroEncontreo volumeda regiãoque está dentroda esfera x?-+ l + r = 2 e fora do cilindro x?-+ l = 1.
57. Cilindroe planosEncontre o volume da região limitada pelocilindro x?-+ l = 4 e pelos planos z = Oe y + z = 4.
58. Cilindroe planosEncontre o volume da região limitada pelocilindro x?- + l = 4 e pelos planos z = Oe x + y + z = 4.
59. Regiãolimitadapor parabolóidesEncontre o volume da regiãolimitada acima pelo parabolóide z = 5 - x?- - l e abaixo peloparabolóide z = 4x?-+ 4l.
60. Parabolóidee cilindroEncontre o volume da região limitadaacima pelo parabolóide z = 9 - x?- - l e abaixo pelo plano xy
e que está fora do cilindro x?-+ l = 1.
61. Cilindroe esferaEncontre o volume da região cortada do cilin-dro sólido x?-+ l s; 1 pela esfera x?-+ l + Z2 =4.
12.6 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 413
62. Esferae parabolóideEncontre o volume da região limitadaacima pela esfera x?- + l + i = 2 e abaixo pelo parabolóideZ = X2 + y2.
Valores Médios
63. Encontre o valor médio da função f(r, 8, z) = r sobre a regiãolimitada pelo cilindro r = 1 entre os planos z = - I e z = 1.
64. Encontre o valor médio da função f(r, 8, z) = r sobre a bolasólida limitada pela esfera ?- + i = 1. (Esta é a esfera x?-+ l+ i = 1.)
65. Encontre o valor médio da função f(p, l/J,8) = p sobre a esferasólida p s; 1.
66. Encontre o valor médio da função f(p, l/J,8) = p cos l/Jsobre asemi-esfera sólida p s; 1, Os; l/Js; 'Tr12.
Massas. Momentos e Centróides67. Centrode massaUm sólido de densidade constante é limitado
abaixo pelo plano z = O, acima pelo cone z = r, r ~ O e doslados pelo cilindro r = 1. Encontre o centro de massa.
68. CentróideEncontre o centróide da região no primeiro octanteque é limitada acimapelo cone z = y X2 + y2, abaixopeloplano z = Oe dos lados pelo cilindro x?-+ l = 4 e pelos pla-nos x = Oe y = O
69. CentróideEncontre o centróide do sólido no Exercício 38.
70. CentróideEncontre o centróide do sólido limitado acima pelaesferap = a e abaixopeloconel/J= 'Tr14.
71. CentróideEncontre o centróide da região que é limitada acimapela superfíCie z = y;., dos lados pelo cilindro r = 4 e abaixopelo plano xy.
72. CentróideEncontreo centróideda regiãocortadada bolasóli-da r2 + Z2s; 1 pelos semiplanos 8 = - 'Tr13,r ;:::Oe 8 = 11"13,r ;:::O.
73. Inérciae raiode rotaçãoEncontre o momento de inércia e o raiode rotação em relação ao eixo z de um cilindro circular retoespesso limitado por dentro pelo cilindro r = 1, por fora pelocilindro r = 2 e acima e abaixo pelos planos z = 4 e z = O.(Tome 8 = 1.)
74. Momentosde inérciade um cilindrocircularsólido Encontreomomento de inércia de um cilindro circular sólido de raio 1 e
altura 2 (a) em relação ao eixo do cilindro e (b) em relação auma reta que passa pelo centróide e é perpendicular ao eixo docilindro. (Tome 8 = 1.)
75. Momentode inérciadeumconesólidoEncontreo momentodeinércia de um cone circular reto com raio da base 1 e altÜfa 1
em relação a um eixo que passa pelo vértice e é paralelo àbase.(Tome8 = 1.)
76. MomentodeinérciadeumaesferasólidaEncontreo momentodeinércia de uma esfera sólida de raio a em relação a um diâme-tro. (Tome 8 = 1.)
77. MomentodeinérciadeumconesólidoEncontreo momentodeinércia de um cone circular reto com raio da base a e altura h
em relação ao seu eixo. (Dica: Coloque o cone com seu vérticena origem e seu eixo ao longo do eixo z.)
45. z 46.
;ir =3 cos (J, y
xx
47. z 48. z
414 Capítulo12:IntegraisMúltiplas
78. Densidadevariável Um sólido é limitado acima pelo parabolói-de z = r, abaixo pelo plano z = O e dos lados pelo cilindro r= 1..Encontreo centrode massa,o momentode inérciae oraioderotaçãoemrelaçãoao eixoz se a densidadefor
(a) 8(r, 8, z) = z
(b) 8(r, O,z) = r.
79. Densidadevariável Um sólido é limitado abaixo pelo conez = V X2 + Y2e acima pelo plano z = 1.Encontreo centrodemassa, o momento de inércia e o raio de rotação em relação aoeixo z se a densidade for
(a) 8(r, 8, z) = z
(b) 8(r, 8, z) = r.80. Densidadevariável Uma bola sólida é limitada pela esfera
p = a. Encontre o momento de inércia e o raio de rotação emrelação ao eixo z se a densidade for
(a) 8(p, cP,O)= p2
(b) 8(p, cP,8) = r = p sen cP.
81. Centróidedeumsemi-elipsóidesólidoMostreque o centróidedosemi-elipsóide de revolução sólido (rla2) + (ilh2) :s; 1, z ;2:O,está no eixo z, três oitavos da distância da base ao topo. O casoespecial h = a dá um hemisfério sólido. Assim, o centróide deum hemisfério _sólidoestá no eixo de simetria, em três oitavosda distância da base ao topo.
82. CentróidedeumcõnesólidoMostreque o centróidede umconecircular reto sólido está em um quarto da distância da base aovértice. (Em geral, o centróide de um cone sólido ou pirâmideestá em um quarto da distância do centróide da base ao vértice.)
83. Densidadevariável Um cilindro circular reto sólido é limitadopelo cilindro r = a e pelos planos z = O e z = h, h > O.Encon-
tre o centro de massa, o momento de inércia e o raio de rotaçãoem relação ao eixo z se a densidade for ô (r, 8, z) = z + 1.
84. Massa da atmosfera do planeta Um planeta esférico de raio Rtem uma atmosfera cuja dens~dade é J.L= J-toe-ch,ondeh é aaltitude acima da superfície do planeta, J-toé a densidade aonível do mar e c é uma constante positiva. Encontre a massa daatmosfera do planeta.
85. DensidadenocentrodeumplanetaUmplanetatem o formatodeuma esfera de raio R e massa total M com distribuição de densi-dade esfericamente simétrica que aumenta linearmente à medi-da que nos aproximamos de seu centro. Qual é a densidade nocentro desse planeta se a densidade na sua superfície for zero?
Teoria e Exemplos86. Cilindros circulares verticais em coordenadasesféricas Encontre
uma equação da forma p = !( 8)parao cilindroX2 + l = a2.
87. Planosverticaisemcoordenadascilíndricas
(a) Mostre que planos perpendiculares ao eixo x têm "'equa-ções da forma r = a sec ()em coordenadas cilíndricas.
(b) Mostre que planos perpendiculares ao eixo y têm equa-ções da forma r = b cosec 8.
88. (Continuação do Exercício 87) Encontre uma equação daforma r = !( O)em coordenadas cilíndricas para o plano ax +by = c, c =teO.
89. Escrevendoparaaprender:simetriaQue simetriavocêencontraráem uma superfície com equação da forma r =fez) em coorde-nadas cilíndricas? Justifique sua resposta.
90. Escrevendoparaaprender:simetriaQuesimetriavocêencontraráem uma superfíciecomequaçãoda formap = .f(cP)emcoor-denadas esféricas? Justifique sua resposta.
Substituições em Integrais MúltiplasSubstituiçõesem IntegraisDuplasTriplas
. Substituições em Integrais
Esta seção mostra como calcular integrais múltiplas por meio de substituição.Como ocorre na integração simples, o objetivo da substituição é trocar integraiscomplicadas por integrais mais fáceis de calcular. A substituição realiza isso aosimplificar o integrando, os limites de integração ou ambos.
Substituições em Integrais Duplas ~
A substituição em coordenadas polares da Seção 12.3 é um caso especial de u11lmétodo de substituição mais geral para integrais duplas, um método que descre-ve mudanças de variáveis como transformações de regiões.
Suponha que uma região G no plano uv seja transformada biunivocamentena região R no plano xy por equações da forma