Post on 29-Sep-2015
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Integrantes:
Caparachn Condori Junior
Cruz Ortega Omar
Jacinto Alexander Rodrguez
Lpez Snchez Lsaly
Dimensiones:
Es una medida de una cantidad fsica (sin valores numricos), mientras que una unidad es una manera de asignar un nmero a dicha dimensin.
Existen 7 dimensiones fundamentales las cuales mencionaremos en un cuadro, las dems dimensiones se forman en base de estas.
Figura 01: No se puede sumar
manzanas con
naranjas!
Dimensiones primarias y sus unidades (SI e inglesas )
Dimensin Smbolos Unidad SI Unidad Inglesa
Masa m Kg(kilogramo) lbm(libra-masa)
Longitud L m(metro) ft(pie)
Tiempo t s(segundo) s(segundo)
Temperatura T K(kelvin) R(rankine)
Corriente
elctrica I A(ampere) A(ampere)
Cantidad de luz C cd(candela) cd(candela)
Cantidad de
materia N mol(mole) mol(moles)
Ejemplo: Quiz usted este familiarizado con la Ley de Ohm para
circuitos elctricos, donde E es la diferencia de voltaje o potencial a travs del resistor, I es la corriente elctrica que pasa
a travs del resistor y R es la resistencia elctrica. Cules son las
dimensiones primarias de resistencia elctrica?
R =E
I=
masa longitud2
tiempo2 corriente
corriente
=mL2
t2I2= mL2t2I2
Homogeneidad:
Nos referimos a un principio de buena formacin de
las expresiones que relacionan magnitudes fsicas de manera
algebraica. Es decir, es un principio fsico que nos dice que slo
es posible sumar o restar entre s magnitudes fsicas de la misma
naturaleza.
En consecuencia, no podemos sumar longitud con tiempo, o masa
con longitud, etc.
Ejemplo: Cambio de energa total de un sistema:
E = U + EC + EP
Verificando que tanto el lado izquierdo y derecho cumplen con
las mismas dimensiones
U = m(u2 u1) EC =1
2m(V2
2 V12) EP = mg(z2 z1)
Usando las dimensiones fundamentales del cuadro de anterior:
E = Energia = Fuerza. Longitud E =mL2
t2
U = MasaEnergia
Masa= Energia U =
mL2
t2
EC = MasaLongitud2
Tiempo2 EC =
mL2
t2
EP = MasaLongitud
Tiempo2Longitud EP =
mL2
t2
Si en alguna etapa de algn anlisis de dimensin se encuentra
con una situacin en las que las dimensiones no concuerdan, es
posible que haya cometido algn error en el proceso.
Conceptos:
En muchos casos en la ingeniera de la vida real, las ecuaciones
que describen fenmenos o procesos o no se conocen o son
demasiado difciles de resolver.
La mayora de las veces la experimentacin es el nico mtodo
de obtener informacin confiable (anlisis dimensional).
En la mayora de los experimentos, para ahorrar tiempo y
dinero, las pruebas se realizan en un modelo a escala
geomtrica, en lugar de en un prototipo de tamao real
(similitud o semejanza).
Condiciones necesarias para similitud completa entre un modelo
y un prototipo.
Similitud geomtrica: Prototipo y modelo deben tener la misma
forma y se le puede escalar por algn factor de escala constante
Figura 02: La similitud
cinemtica se logra cuando,
la velocidad en el flujo del
modelo es proporcional a la
velocidad en el flujo del
prototipo, y apunta en la
misma direccin.
Similitud cinemtica: la velocidad en cualquier punto en el flujo
del modelo debe ser proporcional (por un factor de escala
constante) a la velocidad en el punto correspondiente en el flujo
del prototipo y apuntar en la misma direccin (Ver figura 02).
Similitud dinmica: todas las fuerzas en el flujo del modelo se
escalan por un factor constante a fuerzas correspondientes en el
flujo del prototipo (Ver figura 02).
Para garantizar similitud completa deben existir las tres condiciones
de similitud.
Parmetro adimensional :
En problemas que implican anlisis dimensional existen dependientes (denotados por 1) y independientes (denotados por 2, 3, , k)
Para garantizar similitud completa:
Modelo y prototipo deben ser geomtricamente similares.
Todos sus grupos independientes deben coincidir entre modelo y prototipo.
Nombre Definicin
Nmero de Froude =
Nmero de Euler =
2
Nmero de Weber = 2
Nmero de Mach =
Numero de Prandtl =
Nmero de Reynolds =
Parmetro adimensional mas conocidos:
Ejemplo: Se debe predecir la fuerza aerodinmica de arrastre
de un auto deportivo nuevo a una velocidad de 50.0 min/h a una
temperatura de aire de 25C.
Los ingenieros automotrices construyen un modelo a un quinto de
escala del auto para probarlo en un tnel de viento. Es invierno y
el tnel de viento se localiza en un edificio sin calefaccin; la
temperatura del aire del tnel de viento es de slo 5C. La
fuerza aerodinmica de arrastre sobre el auto modelo se mide
con una balanza de arrastre. Se registran varias lecturas de
fuerza de arrastre y resulta que la fuerza de arrastre promedio
sobre el modelo es 21.2 lbf
Determine qu tan rpido deben correr los ingenieros el aire
en el tnel de viento con la finalidad de lograr similitud entre el
modelo y el prototipo.
Determinamos las propiedades del aire: A Patm y a T=25C,
= 1.184 Kg/m3 y u = 1.849 105 Kg/(m s).
A Patm y a T=5C, = 1.269 Kg/m3 y u = 1.754 105 Kg/(m s).
Nos piden calcular la velocidad del viento con la finalidad de
lograr similitud completa entre modelo y prototipo. Para ello
debe cumplir una ultima condicin: grupos independientes deben coincidir entre modelo y prototipo,
Figura 03
Es decir:
2,m = 2,P m Vm Lm
um =P VP LP
uP
Para el caso de fuerza de arrastre sobre un automvil solo existen
dos parmetros
1 = FD V2 L2 (dependiente)
2 = VL
u (independiente)
Despejando para la velocidad desconocida del aire en el tnel de
viento para las pruebas del modelo (Vmodelo) tenemos:
Vm = VP um
up pm (
LpLm )
Vm = (50min
h )(1.754 105
1.849 105 )(1.184 1.269 )(5)
Vm = 221min
h
Ahora pasamos a determinar la fuerza de arrastre. Si
2,m = 2,P
Entonces:
1,m = 1,P FD,m
m Vm2 Lm
2 =
FD,PP VP
2 LP2
Que se puede resolver para la fuerza incgnita de arrastre sobre
el auto prototipo, FD,m
FD,p = FD,m Pm
VP2
Vm2
LP2
Lm2
FD,p = (21.2Lbf) (1.184/1.269) (50minh/221minh)2 (5)2
FD,p = 25.3 Lbf
EL teorema PI de Buckingham Prueba un problema fsico que
incluye n cantidades en las cuales a-m dimensiones, las
cantidades pueden reordenarse en n-m parmetros
adimensionales independientes.
Sean A1, A2, A 3, A 4. An , las cantidades involucradas , tales como presin , viscosidad , velocidad.
F (A1, A2, A 3, A 4. An) = 0
Si 1 , 2.. representan agrupaciones adimensionales de las cantidades A1, A2, A 3, A 4.
f ( 1 , 2n) = 0
Por ejemplo sean A1, A2, A 3 , que contienen M,L,T , no
necesariamente cada una de ellas , sino en forma colectiva.
Entonces el primer y segundo parmetro se define como:
El primero 1 y el segundo 2
Ejemplo: El caudal a travs de un tubo capilar horizontal
depende de la cada de presin por unidad de longitud, del
dimetro y de la viscosidad .Encontrar la forma de la ecuacin.
Las cantidades y sus dimensiones se enumeran a continuacin:
CANTIDAD SIMBOLO DIMENSIONES
Caudal Q L3T1
Cada de presin por
longitud p/l ML2T2
Dimetro D L
Viscosidad ML1T1
Entonces
Se utilizan tres dimensiones , y con cuatro cantidades solamente
existe un parmetro ;
Sustituyendo las dimensiones se llega a
Los exponentes de cada dimensin deben ser los mismos en ambos
lados de la ecuacin . con L primero
Y similarmente para M y T
Donde :
. Despus de resolver para Q ,
Deteccin de errores de clculo.
Resolucin de problemas cuya solucin directa conlleva
dificultades matemticas insalvables.
Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los
modelos, etc.
Creacin y estudio de modelos reducidos.
Una interesante aplicacin del anlisis dimensional se encuentra en el
estudio del vuelo de los insectos. El pequeo tamao y el movimiento rpido
de las alas de un insecto, como el de las diminutas moscas de la fruta,
hacen difcil medir las fuerzas o visualizar directamente el movimiento del
aire que crean sus alas. Sin embargo, con el uso de los principios de anlisis
dimensional, es posible estudiar la aerodinmica del insecto en un modelo
lento movimiento y una escala mayor: un robot mecnico. Las fuerzas que
crean una mosca que flota y el batir de las aletas de un robot
dinmicamente similares si el nmero de Reynolds es el mismo para cada
caso.
Figura 04:
Para un ala que bate Re, se calcula como 2RLC donde es la amplitud angular del golpe de ala, R es la longitud del ala, LC es el ancho promedio
del ala (longitud de la cuerda), es la frecuencia angular del golpe y V es la viscosidad cinemtica del flujo circundante. Una mosca de la fruta bate 200
veces por segundo sus alas de 2.5mm de largo y 0.7mm de ancho a lo largo
de un golpe de 2.8 rad en aire con una viscosidad cinemtica de 1.5x10-5
m2/s. el nmero de Reynolds resultante es casi 130. Cuando se elige aceite
mineral con una viscosidad cinemtica de 1.15x10-4m2/s, es posible igualar
este nmero de Reynolds en una mosca robtica que sea 100 veces ms
grande, que bata sus alas casi 1000 veces ms lentamente! Si la mosca no
est estacionaria, sino ms bien en movimiento a travs del aire, es
necesario equiparar otro parmetro adimensional para asegurar similitud
dinmica, la frecuencia reducida = 2 que mida la razn de la velocidad de batimiento de la punta del ala (2)con la velocidad hacia adelante del cuerpo (V).
GRACIAS