Post on 18-Jul-2020
Dictado por: Profesor Aldo Valcarce
2do semestre 2014
Física: Repaso Matemático, Vectores y
Sistemas de Referencia
FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014
Fechas de pruebas C1: Miércoles 13 de agosto (8:30 hrs cátedra)
C2: Viernes 29 de agosto (14:00 hrs)
I1: Lunes 8 septiembre (18:30 hrs)
C3: Viernes 26 de septiembre (14:00 hrs)
C4: Viernes 3 de octubre (14:00 hrs)
I2: Lunes 13 octubre (18:30 hrs)
C5: Viernes 24 de octubre (14:00 hrs)
I3: Lunes 10 noviembre (18:30 hrs)
C6: Viernes 14 de noviembre (14:00 hrs)
Ex: Martes 2 diciembre (8:30 hrs)
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Repaso Matemático Notación científica: es un modo conciso de representar números
mediante la técnica llamada coma flotante aplicada al sistema decimal.
100 = 1; 101 = 10; 102 = 100; 103 = 1000; 104 = 10000
El resultado de la potencia 𝟏𝟎𝒏 es igual a la unidad (𝟏) seguida de 𝒏 ceros.
En el caso de una potencia entera negativa 𝟏𝟎−𝒏 es igual a 𝟏/𝟏𝟎𝒏, o
equivalentemente ‘0, 𝑛 − 1 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 1’:
10−1 = 1/10 = 0,1; 10−3 = 1/1000 = 0,001; 10−5 = 1/100000 = 0,00001
Utilidad: Números grandes y pequeños pueden escribirse en menos
espacio y es más difícil equivocarse:
15557462000000 = 1,557462 × 1013
0,00000000007415 = 7,415 × 10−11
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Repaso Matemático Notación científica – Operaciones Matemáticas
Adición: se suman los coeficientes y se mantiene el exponente, por lo que
siempre se debe tener el mismo exponente.
Multiplicación: se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes
División: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes
Potenciación: se potencia el coeficiente y se multiplican los exponentes
Radicación: se obtiene la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el
índice de la raíz
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5 × 105 + 4 × 105 = 9 × 105
−8 × 103 + 3 × 104 = −8 × 103 + 30 × 103 = 22 × 103 = 2,2 × 104
(3 × 105) × (4 × 102) = 12 × 107 = 1,2 × 108
(6 × 103)/(8 × 107) = 0,75 × 10−4 = 7,5 × 10−5
(5 × 103)3= 53 × 103×3 = 125 × 109 = 1,25 × 1011
8 × 1093
= 2 × 103
Repaso Matemático Despejar variables de una ecuación
Muchas de las ecuaciones típicas que se verán en clases tienen las siguientes
formas:
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𝐸𝑝 = 𝑚𝑔
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡
𝑎𝑐 =𝑣2
𝑟
se quiere despejar Nos damos cuenta que tanto 𝑚 y 𝑔 están multiplicando
, por lo cual pasan dividiendo al otro lado:
Solución:
=𝐸𝑝𝑚𝑔
se quiere despejar 𝑎 Sabemos que 𝑣𝑖 que está sumando pasa al otro lado
restando 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 = 𝑎𝑡 ; y ahora 𝑡 que está
multiplicando pasa al otro lado dividiendo:
se quiere despejar 𝑣
𝑎 =𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡
Como 𝑟 está dividiendo pasa al otro lado multiplicando
𝑎𝑐 𝑟 = 𝑣2 ; ahora sacando la raíz cuadrada a ambos
lados:
𝑣 = 𝑎𝑐 𝑟
Problema:
Repaso Matemático Despejar variables de una ecuación
Muchas de las ecuaciones típicas que se verán en clases tienen las siguientes
formas:
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2𝑎 𝑥 = 𝑣𝑓2 − 𝑣𝑖
2 se quiere despejar 𝑣𝑓 Como el término 𝑣𝑖2 está restando pasa al otro lado
sumando 2𝑎 𝑥 + 𝑣𝑖2 = 𝑣𝑓
2 ; ahora se saca la raíz
cuadrada a ambos lados quedando:
Solución:
𝑣𝑓 = 2𝑎𝑥 + 𝑣𝑖2
𝑦 = 𝑣𝑡 −𝑔
2𝑡2 se quiere encontrar 𝑡 En este caso, como 𝑡 no se puede despejar
directamente, se deberá recurrir a la ‘solución de la
ecuación cuadrática’, la cual indica que si se tiene una
ecuación de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, los posibles
valores de 𝑥 serán:
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Hay que reescribir adecuadamente esta
ecuación:
𝑔
2𝑡2 − 𝑣𝑡 + 𝑦 = 0
𝑡 =𝑣 ± 𝑣2 − 2𝑔𝑦
𝑔
Problema:
𝑎 =𝑔
2; 𝑏 = −𝑣; 𝑐 = 𝑦
Repaso Matemático Transformación de unidades
Muchas veces en física se necesitará cambiar de unidades para lo cual se utiliza el
‘factor de conversión’, donde
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎 × 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 = 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎
Por ejemplo, se quiere cambiar 2 horas a minutos
Se quiere cambiar 30 cm a metros
O cambiar 120 km/hr a m/s
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Repaso Matemático Transformación de unidades
Un poco más complicado es cuando se deben cambiar unidades que se encuentran
elevadas a alguna potencia.
Por ejemplo, cambiar un volumen de 0,4 𝑚3 a 𝑐𝑐 (1 𝑐𝑐 = 1 𝑐𝑚3)
También se puede querer cambiar 500 𝑙𝑏2 𝑝𝑖𝑒𝑠−3 𝑟−1 al sistema MKS
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0,4 (𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜)3= 0,4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ×100 𝑐𝑚
1 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
3
= 0,4 × 1003 × 𝑐𝑚3 = 4 × 105𝑐𝑐
500𝑙𝑏2
𝑝𝑖𝑒3𝑟= 500
𝑙𝑏 ×0,4536 𝑘𝑔
1 𝑙𝑏
2
𝑝𝑖𝑒 ×0,305 𝑚1 𝑝𝑖𝑒
3
× 𝑟 ×3600 𝑠1 𝑟
= 500 ×0,2057𝑘𝑔2
0,02837𝑚3 × 3600 𝑠
= 1,007𝑘𝑔2
𝑚3 𝑠
Ejercicio Propuesto ¿Cuántas botellas de coca-cola de 200 cc se necesitan para
tener un metro cúbico (1 𝑚3) de coca-cola?
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Vectores y Sistemas de Referencia
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Magnitudes Físicas
Escalares: definidos por un número
Ej.: masa, tiempo, presión, temperatura, energía, voltaje,…
Vectoriales: definidas por magnitud, dirección y
sentido
Ej.: fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento, campo
eléctrico, campo magnético, …
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Sistemas de Referencias
Un sistema de referencia (o marco de referencia) es un conjunto de
convenciones usadas por un observador para poder medir la posición y otras
magnitudes físicas de un sistema físico y de mecánica.
¿Cómo informarle a otra
persona la posición de un
punto en una hoja?
El punto B se encuentra en:
(6 en x , 5 en y) ó (6, 5).
Coordenadas Cartesianas o
rectangular (x, y).
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Sistemas de Referencias 2
En ocasiones es más conveniente representar un punto de acuerdo a sus
coordenadas polares (r,θ).
La estrella se encuentra en:
(13 en r , 23° en θ) ó (13, 23°).
Coordenadas Polares (r,θ).
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Sistemas de Referencias 3
Las transformaciones de las coordenadas cartesianas a las polares (y
viceversa) se pueden realizar usando las siguientes relaciones trigonométricas.
y
x
r
θ
sen θ = 𝑦
𝑟 cos θ =
𝑥
𝑟
tan θ = 𝑦
𝑥 r = 𝑥2 + 𝑦2
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Vector Geométrico
Magnitud: largo del vector
Dirección
Sentido
A
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Propiedades de vectores: Igualdad
Tienen igual magnitud, dirección y sentido
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Propiedades de vectores: Suma
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Ejemplo: suma de dos vectores
Si una persona camina
3 metros al este y
luego 4 metros al norte
¿Cuál es la distancia
desde el punto inicial?
¿Cuál es la dirección?
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Suma de vectores: regla del
paralelogramo
La suma de dos vectores que parten desde el mismo origen es la diagonal del
paralelogramo que forman sus proyecciones.
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Suma de 4 vectores
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La suma es conmutativa
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La suma es asociativa
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Ejemplo 1
Pasos:
1.- Hacer figura.
2.- ¿Qué se busca?
3.- ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector AC ?
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Vectores: Neutro, Inverso y Resta
inverso neutro
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Ponderación: Multiplicación por un
escalar
λ A
2 A A
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Componentes de un vector
Se definen los vectores
unitarios i y j que indican
la dirección en los ejes x
e y, respectivamente.
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Signos de las componentes
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Componentes de un vector
Se definen los vectores
unitarios i y j que indican
la dirección en los ejes x
e y, respectivamente.
Representación de los vectores
que conectan los puntos:
D y B:
D y A:
D y C:
6 𝑖 + 5 𝑗
−5 𝑖 + 3 𝑗
4,5 𝑖 − 3,5 𝑗
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Se conocen las componentes: ¿cuáles
son las magnitud y dirección?
Magnitud
θ
Dirección:
x
y
A
Atan
Φ
y
x
A
Atan
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Se conocen la magnitud y dirección: ¿cuáles son las
componentes?
θ
En esta figura:
ϕ
cosAAx
sinAAy
0,0 yx AAy
Entonces, usando el ángulo θ Tenemos:
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Base de vectores en cartesianas
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Suma de Vectores por componentes
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Suma de Vectores por componentes
R = A + B
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Ponderación: Multiplicación por un
escalar
λ A
2 A A
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Ejemplo 1: continuación
Pasos:
1.- Hacer figura.
2.- ¿Qué se busca?
3.- ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector AC ?
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Ejemplo 2
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Resumen
Repaso matemático.
Las magnitudes físicas pueden ser escalares o vectoriales.
La posición en un plano se puede representar en el sistemas de coordenadas i) cartesianas o ii) polares.
Repaso de vectores:
Se pueden sumar y restar entre si.
Se pueden ponderar (multiplicar por un escalar).
Se pueden descomponer dependiendo del sistema de referencia.
sen θ = 𝒚
𝒓 cos θ =
𝒙
𝒓 tan θ =
𝒚
𝒙 r = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
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