Post on 11-Apr-2016
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Capítulo cinco: Cosmología.
25) El tiempo
Si nos agrandan las perogrulladas podemos decir que el tiempo es la duración de las
transformaciones energéticas. Así la unidad natural de tiempo sería la duración de
la transformación de la partícula de masa máxima y se definiría de la siguiente
forma:
Al otro extremo de este pequeñísimo intervalo de tiempo encontramos el tiempo que
dura la transformación de la masa mínima, transformación muy lenta a causa del
poco contenido energético de esa partícula.
Cuyo valor se puede determinar con la expresión:
Como este número no depende sino de constantes adimensionales, se puede
concluir que el tiempo en si no es una dimensión. Sin embargo, estamos tratando de
eludir toda cuestión filosófica, sobre todo las que puedan herir la susceptibilidad de
alguien.
Determinado este valor por las leyes naturales, nos permite llegar al valor exacto de
G, la constante de gravitación. Partimos de:
Y como
Entonces
6
2/3
22
*2*7
**
*
cme
Planckmasah
Y como
G
chPlanckmasa
**2
*
Llegamos a
6
2/3
22
*2*7
**2
**
**
G
ch
cme
h
12
32
44
2 *2*7
**2
**
**
G
ch
cme
h
2
311
344
113
*10*674271938.6
**196*
*
segkgs
mets
cme
hG
Examinando las unidades de encontramos:
Por esta conexión de G con las unidades de tiempo es que tratamos esta constante
en el presente numeral dedicado al tiempo. Ahora, cualquiera puede consultar en
internet que el famoso proyecto WMAP de la NASA estimó la edad del universo en
unos 13.7*10^9 años, lo que corresponde a 4.32*10^17 segundos; nosotros fieles a
descubrir claves secretas en la estructura y funcionamiento de nuestro Cosmos que
revelen una mano inteligente y providente, nos atrevemos a emplear la relación de
unidades para estimar esa edad así:
26) Algo sobre cosmología
Ya que encontramos el valor de G supuestamente “correcto”, entremos a un tema
íntimamente ligado al valor de esta constante. Es decir, la cosmología. La primera
observación al respecto es que con la masa del universo comúnmente aceptada el
radio calculado por la expresión
Sería mucho menor que el cuanto de longitud. Es decir, el Universo no se comporta
como una sola partícula t, por ende, debe ser un conglomerado de partículas.
Para no incurrir en la aceptación de “singularidades” no necesarias, abandonamos la
pretensión de simular el universo con una de nuestras partículas. En cambio, la idea
de que el universo primigenio era un conjunto de masas de Planck divididas por ,
de modo que la suma de todas sus masa se igualaba a la masa del universo (ver la
figura siguiente) se acomoda bien a un punto de partida del tipo Big Bang para el
universo. Antes de este conglomerado nada sabemos; literalmente solo Dios sabe
que ocurriría antes.
Al no tener formas de transformación, la energía de las masas iniciaría un
desdoblamiento de partículas, disminuyendo la masa de las partículas originales.
Tanto las partículas creadas como las anteriores aumentarían el volumen del
universo y empezaría el proceso de expansión.
Veamos los cálculos para el universo inicial. Si M es la masa del universo, el número
de partículas iníciales es:
/Planckmasa
MNo
Conocemos el radio de la masa de Planck: sobre
/
10* 72
Planckmasa
eRadio
Calculamos su volumen
Por lo tanto, el universo inicial tendrá un volumen
Y denominando Ro el radio inicial del universo
De donde se concluye que el radio inicial del Universo es:
Más tarde abordaremos el caso de la entropía y estudiaremos desde ese aspecto la
escogencia de la masa del universo. Por ahora dejemos sorprender por el hecho
maravilloso de que si tomamos , el radio inicial del universo como el radio del
electrón, la partícula más estable, obtenemos para la masa del universo el valor:
Valor muy cercano a las mejores estimaciones actuales. En realidad, valor situado
en el centro de las estimaciones más serias y calificadas.
Sin aportar ninguna prueba nos quedaremos con este valor y continuaremos
nuestros cálculos. El valor del radio inicial del universo, para esa masa, es:
El número de partículas individuales de ese universo primigenio es:
Este número de partículas resulta muy útil para determinar teóricamente el número
de Avogadro:
, el número de partículas en el universo primigenio resultó entonces igual al cubo
de cuantos en el electrón:
Por último el número de cuantos en el universo resultó:
Lo que nos permite desarrollar la siguiente escala usando en número D básico
2110*040986773.2D
cuantomasaDelectrónmasa *
** electrónmasaDplanckmasa
cuantomasaDmedioplanetamasa *5.1
planckmasaDpromediaestrellamasa *2
PlanckmasaDgalaciamasa *2/5
cuantomasaDuniversomasa *3
Esta escala nos da una idea de cómo evolucionan los conglomerados de masa en el
cosmos.
27) Evolución del número de partículas en el universo
Aceptamos como inherente a la naturaleza de las partículas la tendencia a ganar
masa y contraerse, o a perder masa y expandirse, de acuerdo a condiciones diversa
aun no estudiadas. La velocidad de estos procesos siempre es proporcional a la
masa instantánea de la partícula.
Luego es lógico que asumamos que el número de partículas en el cosmos crece
como función de la masa de la partícula mayoritaria en el universo. Ahora, como el
número de partículas existente también incide en el número de partículas producido,
unimos los dos factores de crecimiento y aventuramos una relación con el tiempo:
bmNadt
Nd**
La función anterior se lee así:
El crecimiento de partícula en el tiempo es igual a una constante (representada por
a) multiplicada por el número de partículas actual (N) y por la masa de la partícula
(m) mayoritaria elevada a un exponente b.
Pero sabemos que:
Integrando entre las condiciones iniciales y las condiciones en cualquier tiempo
Para evaluar el exponente b consideremos dos tiempos, t1 y t2, para los cuales el
número de partículas haya superado ampliamente el número de partículas inicial:
Tendremos
111 *** ttparatMabN bb
y
222 *** ttparatMabN bb
Entonces
2
1
2
1
t
t
N
Nb
Pero
2
2
1
1m
MN
m
MN
De modo que hayamos
bbb
m
m
mM
mM
t
t
N
N
1
2
2
1
2
1
2
1
/
/
Ahora, relacionamos las masas de las partículas con la temperatura, para lo cual
consideramos
Con K la constante de Boltzman, y conseguimos
Suponemos una rápida expansión inicial de modo que transcurrido el tiempo de
Planck ya se cumplía la condición de que el número de partículas superaba con
mucho al valor inicial de partículas, de forma que podemos tomar
Además, estimamos que para el tiempo de Planck la temperatura era la de Planck,
. Para , aceptamos la correspondencia con el tiempo actual y tomamos
para ese tiempo actual el valor que habíamos previsto y que coincide con las
estimaciones más actuales y aceptadas
, ,
y para la temperatura la conocida de del fondo de radiación.
Remplazando en las expresiones anteriores:
b
actual kelvin
kelvin
segundos
segundos
t
tplanck
3217
44
10*416785565.1
73.2
10*135233.4
10*39124.5
919739.1
10*416785565.1
73.2ln
10*135233.4
10*39124.5ln
32
17
44
b
Ahora, si escogemos los valore límites nuestros
Obtenemos
02018.2
10*416785565.1
*73.2ln
*10*791.3
10*39124.5ln
32
17
44
b
Estos resultados nos permiten escoger como más plausible el valor de 2 para b.
Máxime cuando se trata de procesos cuánticos.
Con nos queda:
2
0
22 ***2 NtMaN
taNNM **2/2
0
22
Pasando a dividir M al término de la derecha:
taMNMN **2///12
0
2
Y como
2
0
2//1**2 MNmta
2
2
0
2
0
2
**2**2
1
**2
1
Ma
Nta
m
M
Nta
m
Y
2
2
0
2
0
242
**2**2***2
/
Ma
NtaK
cT
M
Nta
KcT
Volvemos a utilizar las parejas de valores:
PlanckTT
Plancktt 11 ;
kelvinTsegt actualactual 73.2;10*1352.4 17 ,
para estimar los últimos parámetros, obteniendo:
2/37
2/37
*7/*2*
*7/*2*
Plancktt
PlancktPlanckmm
A propósito de la expresión anterior, recuérdese que
6
2/3*2*7max
imot
es un viejo conocido desde el numeral 25, donde nos permitió calcular el valor
“exacto” de G, de modo que no debe extrañarnos la forma de la ecuación. Por
último, la temperatura queda
2/37
2/37
*7/*2*
*7/*2*
Plancktt
PlancktPlanckTT
28) Primeras fórmulas del universo
Vemos en forma tabulada las expresiones que podemos obtener hasta el momento
sobre el universo:
Cantidad Expresión Valor sobre unidad
partículas
inicialN0
partículas
6310*5020043.8
M masa del
universo
kgs
5510*5807045.1
abundante
más
partículala
demasam ,
Planckminicialm
kgs
actualmasa
4010*1851365.4
N número
de
partículas
en un
tiempo t, en
t=0 y en el
tiempo
actual
partículas
N
N
actual
94
63
0
10*776948.3
10*50200.8
volumen
del universo
En un
tiempo t, en
t inicial y en
el t actual
2
7
72/3
**2
**2**7*
Planckt
PlanckttelectrónVV
3
7910*650587.3
mts
V
VV
actual
electroninicial
, Radio
del universo
En un
tiempo t, en
t inicial y en
t actual
mts
R
RR
actual
electroninicial
2610*05790.2
Velocidad
de
expansión
en un
tiempo t, en
t inicial y en
t actual
segmts
v
v
actual
inicial
/
10*35436.3
10*06476.9
8
28
Parámetro
de Hubble
en el tiempo
t y en t
actual.
Solo adelantaremos por ahora, algunas explicaciones sobre los valores anteriores.
En primer lugar, hacemos caer en cuenta que el crecimiento del radio en el tiempo
no es equiparable a una velocidad, pues el concepto de velocidad se refiere al
fenómeno de atravesar un espacio pre existente, y lleno de energía, en un intervalo
de tiempo, y el crecimiento del espacio en si es otro fenómeno completamente
diferente. Entre los muchos ejemplos que se nos ocurre de espacio que crecen a
velocidades mayores que la de la velocidad de la luz, el más, a nuestro entender,
fácil de asimilar, es el crecimiento del espacio entre dos puntos de unión, o
encuentro de dos tijeras abriéndose simultáneamente, pues es bien conocido que
este punto de encuentro de las hojas puede “viajar” a velocidades muy superiores a
la de la luz.
En segundo lugar para calcular el parámetro de Hubble es incorrecto situarnos en el
“centro” del universo, aunque se puede hacer esa suposición para otros cálculos.
Pero en el caso presente la otra galaxia cuya distancia medimos respecto a la
nuestra no puede asumirse en la periferia del universo pues rompería la simetría del
problema. Lo más cuerdo es asumir nuestra galaxia y la otra como puntos
promedios homólogos del universo. Haciendo los cálculos relativistas.
Pero como
Con
Y
Obtenemos:
Recordando que un megaparsec son 3.0856*10^19 metros.
Sin embargo, debemos aclarar que el método para calcular el parámetro de Hubble
depende mucho de la forma como se interprete la geometría del universo, y por
ende, de cómo se interpreten las medidas de tiempo, distancia y velocidad entre
galaxias. Por el momento, nos basta con imaginarnos un universo esférico,
expandiéndose en un “no espacio” al que no prestamos atención mental, pues
resulta imposible. De otro lado, aunque el valor del parámetro de Hubble que
obtenemos es sorprendente coincidente con los valores experimentales actuales,
nuestro Universo parece que está desacelerando en su expansión, en clara
contradicción con las más recientes estimaciones de un Universo en “expansión”.
Creemos que nuestro enfoque es correcto y lo que se puede corregir es la edad
actual del mismo Universo que, como recordarán, tomamos como base para calcular
nuestros coeficientes desconocidos. No ahondaremos más al respecto y pasaremos
a otros cálculos interesantísimos.
29) La densidad del universo
Siguiendo con la imagen mental sencillísima del numeral anterior podemos calcular
la densidad del universo:
Si calculamos la densidad inicial del universo obtenemos
398 /106864248.1 mtKgelectrón
Mi
La densidad en cualquier momento sería
Pero resulta que la constante de gravitación es:
2
3
2
3
3
Re*4
*4
3Re
tpM
lectrón
tpM
lectrónG
)/(10674238856.6*4
3 2311
2Kgssgm
tpG
i
Lo que nos lleva a
Gtpi
2*4
*3
Y reemplazando en la expresión de la densidad:
2
2/3
73
13
*7
**2*492
**3
tplancktG
272/332
274
)27(
)2(
planckttelectrónelectrónm
plancktplanckmM
272/3
214
272/3
27
)27(
)2(
)27(
)2(
tplanckt
tplanckinicial
tplanckt
tplanckinicial
272/3
214
2)27(
)2(
4
3
tplanckt
tplanck
Gtp
2
2/3
722
13
**7
**21*2*493
*8
3
*8
t
tplanckt
G
Y con la conocida aproximación:
1*1)1(
1
nn
mnxparaxmm
x
t
tplanck
t
G
**7
**2*21
*493
*4
3
*82/3
7
22
14
tt
G 44
2
101014.41
218176.13
3
*8
Con esta ecuación calculamos la densidad actual obteniendo el valor
325 /10*4132.1 metroKgramos
Valor también bastante cercano a los estimados más actuales de ese parámetro
Tomando el parámetro de Hubble simplemente como:
tdt
dR
RH u
u
a*3
21
Ht
3
2 ,
Llegamos a: 3422 101168.4741.293
*8HH
G
Esta ecuación tiene una contrapartida en las ecuaciones de Friedmann:
2
22
3
*8
R
CKH
G u
Ecuación en la que Ku representa la curvatura gaussiana. Cuando el universo es
plano, Ku = 0, y la ecuación de Friedmann queda muy parecida a la nuestra, pues el
término en H3 es pequeñísimo comparado con el término en H2. En definitiva,
podemos resaltar que la densidad calculada por nosotros es unas treinta veces
mayor que la del correspondiente modelo relativista.
30) La constante gravitacional de Einstein.
Einstein introdujo en sus ecuaciones de Campo una constante X que se vincula con
la constante newtoniana de gravitación G, por la relación:
*8
* 2CXG
Como ahora sabemos que G está relacionada con la densidad inicial del universo y
con el cuanto de tiempo por la ecuación:
tpcuantotuniversoinicialG
i **4
3
*4
32
*8
*
*4
3 2
2
CX
tpG
i
Y podemos interpretar la constante Einsteniana así:
222
*
6*6
Tiempode
Cuanto
UniversodelEnergíade
InicialDensidadCtpX
i
Es tal la importancia de este parámetro, que vemos su significado como más
profundo y nos atrevemos a escribir:
22
2
**8
*
8
16
C
G
Universo
Edad
CUniversodelMasade
DensidadX
De donde despejamos
UniversoMasadeDensidadGUniversodelEdad
**64
6
Que coincide plenamente con la expresión para la edad del universo deducida de la
Relatividad General en muchos textos de Astrofísica:
Gt
*32
3
Pero logramos esta coincidencia añadiendo el factor 1/8. En síntesis, para muchos
autores que siguen la Relatividad, tenemos:
2
2
**4
3
**32
3*
)( cXGt
tTiempoelenUniversodel
MasadeDensidad
Para nosotros:
2
2
*
6
**4
3*
)( cXGt
tTiempoelenUniversodel
MasaDensidadde
Y llegamos a
)(*
6
**4
3* 22
tTiempoelenUniversodelMasadeDensidadXGtc
Relación del tipo que ya habíamos previsto en el primer numeral de este capítulo.
31) Distancia al Big – Bang
Según la Relatividad entre dos puntos del espacio – tiempo se cumple el invariante:
22
22
)*(
0)*(
xtc
tcx
Con x como la distancia entre dos eventos y t el tiempo entre esos eventos. Si
hacemos x igual a la distancia al centro del Big Bang y t el tiempo desde el mismo
Big Bang, dado por la ecuación última
3
*4*66)*(
322
uMXsoMasaUniverdeDensidadXtcx
uuuu R
C
MG
C
MGMXx
22*8
*8
*8
*
De modo que, aceptando esta interpretación relativista, para nosotros el universo
sería una especie de agujero negro; el tiempo no transcurriría para los
observadores situados en la periferia y el radio no cambiaría, permanecería
constante, como es de esperar para observadores con el tiempo detenido.
Para la cosmología relativista ocurre más o menos lo mismo:
XM
x
XM
x
XC
Cctx
33
2
222
38
466
8
1)(
22
**8**8
C
MG
C
MGx
Radio de agujero negro
Es decir, el universo no es un agujero negro, y, por lo tanto, en la periferia el tiempo
transcurre; pero el radio se mantiene constante y no existe el Big – Bang…Una
inconsistencia enorme. Los relativistas, en cambio, no ven inconveniente ninguno.
Solo queremos hacer ver que este modelo que presentamos engloba una versión,
como se dedujo en los primeros numerales de la Relatividad, que no presenta en
absoluto esas inconsistencias.
Habiendo trabajado demasiado en cosas intangibles, como el radio del universo y la
edad del mismo, es bueno un regreso a terrenos más familiares. Por eso iniciaremos
un estudio de nuestro Sistema Solar.
32) Sistemas orbitantes
Partimos de un concepto: energía es tendencia a la contracción o a la expansión. En
cierta forma puede mirarse esta tendencia como una absorción o una emisión de
espacio. Por ejemplo, imaginemos un conjunto de partículas aisladas en la “nada”, y
ocupando un espacio que es creado por ellas mismas. Podemos colocar una rejilla
coordenada fija, centrada en la partícula que ocupa el centro del conjunto. Cuando
esa partícula absorbe materia, es decir otras partículas que la rodean, disminuye el
espacio a su alrededor de acuerdo a nuestro postulado de que a mayor masa
corresponde menor radio. Entonces, podemos considerar que el “espacio” es la
rejilla coordenada, considerarlo fijo e imaginar la materia fluyendo en él hacía la
partícula central; incluso podemos considerar ese espacio como curvo y relacionar
esa curvatura con el movimiento de la materia como una caída en el embudo hacía
la partícula central, y decir que el movimiento es producido por la curvatura misma.
En otra concepción asumimos el sistema coordenado fijo a la materia y ahora
pensamos que la partícula engulle al mismo espacio que la rodea, pues el sistema
coordenado parece ser, y en efecto lo es, tragado por la partícula. Para que la
imagen sea más ilustrativa dibujamos la rejilla en forma de embudo centrado en la
partícula. Nuestro punto de vista es que el sistema coordenado, la rejilla, que nos
sirve para las medidas geométricas, es libre, depende de la inventiva del
investigador.. En este trabajo se usa con preferencia los sistemas de coordenadas
fijos, sobre los cuales se “mueve” la materia.
Usaremos ese sistema de coordenadas fijo para estudiar otro movimiento muy
frecuente. Se trata de una contracción seguida por una expansión que crea un
traslado neto de una partícula alrededor de otra. Estos movimientos los llamamos
orbitantes.
Estos traslados tan frecuentes en la naturaleza se pueden describir como
movimientos ondulatorios, con un periodo, una longitud de onda, etc. Trataremos de
estudiar las leyes que rigen esos movimientos.
33) Fuerza centrífuga
Aunque sabemos que en nuestro sistema se aceptan las leyes de la física clásica
casi sin modificación, también asumimos que esas leyes pueden deducirse del
principio de cuantización y del principio de mínima acción. Nuestro primer paso,
entonces, es lograr una expresión cuántica para la fuerza centrífuga. Para ello nos
tenemos que separar algo de nuestro propósito de solo emplear las matemáticas
más sencillas, y empleamos la sofisticada figura mostrada a continuación.
Se hacen las consideraciones comunes: los ángulos son pequeños, la velocidad
tangencial cambia muy poco, etc. Entonces, argumentamos:
La energía transformada por la fuerza radial en el trayecto desde el punto “a” hasta
el punto “b”, multiplicada por el tiempo que dura la transformación, Δt, tiene que ser
igual a un número entero, NR de cuantos de acción, h.
En forma de ecuación: hNtsenSF RR
2
Este número de cuantos de acción debe corresponder al número de cuantos de
acción que cambia la energía cinética de la partícula en sentido radial:
hNtmvmv RaRbR **2
1
2
1 22
Igualando los cuantos de acción obtenemos:
tvmtsenSFhN bRRR
**
2
1*
2**
2
De donde: 2
2
1
2* bRR mvtsenSF
Pero resulta, y el diagrama lo pone de manifiesto, que: 'RS
Como los ángulos son pequeños:
22
sen
Por lo cual: 2222)(*)*( vsenvv bR
En definitiva: 2
)(**
2*'**
22
vmRFR
'
* 2
R
vmFR
Esta es la famosa fuerza centrífuga. Obsérvese que no es una fuerza centrífuga
“ficticia”; es una fuerza completamente real, correspondiente a una transformación
efectiva y calculable de energía. La equivocada idea de que es una fuerza ficticia
proviene de considerar que una transformación de coordenadas o de sistemas de
referencia puede hacerla desaparecer, y los observadores en movimiento circular no
la podrán “percibir”. Pero esto requiere que se acepte el vacío absoluto y los
cuerpos, al moverse lo hagan sobre un sistema coordenado sustentado en la nada.
34) La fuerza tangencial
Cuando el movimiento orbital no es completamente circular la fuerza central tiene
componente radial y tiene componente tangencial (ver figura siguiente). El cambio
de energía en el sentido tangencial también debe cumplir el principio de mínima
acción.
hNtSF tt ***
Esta ecuación la dejaremos así. Es decir, no procederemos como en el caso de la
fuerza centrífuga, a igualar los cambios en los cuantos de acción, para poder
mantener en evidencia los efectos cuánticos en el movimiento orbital, pues nos
parecen demasiado obvios.
Llamando al ángulo entre la tangente y la fuerza central o radial podemos
escribir:
'
**
2
R
vmsenFFR
tS
hNFF t
t
*
*cos*
Estudiaremos los casos donde la fuerza central se puede expresar así:
22)tan(
)tan(
R
A
MymentreciadisR
teconsAF
De donde obtenemos:
'
**
2
2 R
vmsen
R
AFR
tS
hN
R
AF t
t
*
*cos*
2
'*
** 22
RA
vmRsen
tSA
hNR t
**
**cos
2
Entonces:
222
224
22
42422
**
**
)'(*
**1cos
tSA
hNR
RA
vmRsen t
Ahora, la relación de la distancia entre los cuerpos y el radio de curvatura está
afectada tanto por la relación de las masas como por la velocidad finita de
propagación de los cambios energéticos. Solo consideraremos el efecto de masas.
Tomando en cuenta los dos cuerpos girando alrededor de un centro común:
''**'**** 22
2RwMRwm
R
mMG
M
RmR
'*''
M
mRRRRR '*''''
M
MmRR
)'*(
Reemplazando en la ecuación de la fuerza:
22
4
2
22
222
2424
*
*
**
)(***1
tA
R
S
hN
MRA
MmvmR t
Como el arco recorrido depende de la velocidad y el Δt, podemos escribir: ΔS = v Δt,
y llegamos a la expresión:
2
422
222
2422 **
*
)(***1
A
Rv
S
hN
MA
MmvmR t
Ahora, consideremos una órbita estable. En esa órbita los procesos cuánticos deben
ser repetitivos e idénticos. Tomamos, por lo tanto, el término 2
*
S
hN t
como un
parámetro de la órbita y escribimos:
bS
hN t 2
*
2
422
22
2422 **
*
)(***1
A
Rvb
MA
MmvmR
Despejando:
0**
)(***22
2
22
22224
vb
A
Mb
MmvmRR
Resolviendo la cuadrática y tomando solo la raíz real
22
2
44
444
22
2222
***4
)(**
**2
)(**
vb
A
Mb
Mmvm
Mb
MmvmR
Pero una órbita estable se debe diferenciar de las demás en algún máximo o
mínimo. Por lo tanto, derivando respecto a v2:
0
***4
)(**
***4
)(***2
*2
1
**2
)(*
)(
)(
22
2
44
444
42
2
44
424
22
22
2
2
vb
A
Mb
Mmvm
vb
A
Mb
Mmvm
Mb
Mmm
vd
Rd
2
42
2
44
424
22
2
44
444
44
44
***2
)(**
***4
)(***
*
)(*
vb
A
Mb
Mmvm
vb
A
Mb
Mmvm
Mb
Mmm
464
4242
84
4
88
848
2244
424
88
848
**
)(***
***4
)(**
***
)(**
**4
)(**
Mbv
MmvmA
vb
A
Mb
Mmvm
vbMb
MmAm
Mb
Mmvm
84
4
462
442
***
)(***2
vb
A
Mbv
MmmA
44
4226
)(**2
**
Mmm
MbAv
Reemplazando en la expresión de R2:
68
64
64
2
68
616
68
62
2
66
68
64
44
66
68
68
44
68
68
62
68
64
64
22
222
***
*2*)(*2*
*)(*2***4
***)(*
)(**2
***
**2
)(*
MbAb
mMmA
mMmMb
MbAMmm
Mmm
MbA
Mb
MmmR
6
18
68
616
616
68
68
68
64
68
68
64
64
64
2 21***2
*)(*
**2
)(**
Mb
mMmA
Mb
MmmAR
3
2
223
23
43
4
32
32
32
2
**2
)(**2181*
**2
)(**
Mb
MmAm
Mb
MmmAR
En definitiva, tendremos para las órbitas estables:
31
22
2
*)(*2
**
mMm
MbAv
31
2**2
)(**
bM
MmmAR
35) Orbitas estables y la Ley de Kepler
Encontramos la relación entre v y R con el parámetro cuántico b para las órbitas
estables; tratemos de anular este parámetro haciendo el producto:
31
244
4222
**2
)(**
*)(*2
**
bM
MmmA
mMm
MbARv
31
333
332
*)(*2
**
mMm
MARv
mMm
MARv
*)(*2
**2
Este resultado requiere una explicación pues el 2 del denominador no aparece en
la expresión conocida universalmente como la ley de Kepler. Es fácil caer en cuenta
que la presencia del 2 se debe a la forma de obtener la velocidad media y la
distancia media al centro de fuerza. Es decir, se entiende la expresión como una
relación entre valores medios ponderados. Veamos un ejemplo ilustrativo al
respecto. Para no enredarnos con integrales elípticas, nos imaginamos la elipse
dividida en n trozos.
Entonces proponemos dos formas de interpretar la ley de Kepler.
La forma usual:
2
mínimamáxima
o
vvv
2
mínimamáxima
o
RRR
oo RvMG **2
Y la forma ponderada:
22***1*
1
2
*máximamínimamínimamáxima vRVRn
n
MG
Llamando: o
máxima
mínimaooB
vvv *
o
máxima
mínimaooB
RRR *
22
2
2
*****1*1
2
*oo
o
o
o
o
oo BNRv
RBnn
MG
o
o
o
ooo BBn
n
vRMG
2
2
2
*1**
2
*
Teniendo en cuenta que oo RvMG **2
, se obtiene:
2
*1
2
2
nBBn
o
o
o
o
Lo que nos permite despejar n:
22
2
2
1*
o
o
o
o
o
o Bn
BB
oo
ooo
ooo
oOooo
B
BB
B
BBn
*2
1***2
*2*
*2***223
222
Con esta expresión obtenemos dos límites:
1* oo B y oo B*22
Ahora, como 1o y 1oB , por definición, la primera desigualdad no tiene interés;
pero la segunda resulta muy diciente cuando hacemos Bo ≈ 1, pues resulta
22 o y, por lo mismo 1892.1 o . Ahora debemos ver si los sistemas
físicos si cumplen esas relaciones que hemos deducido. Pero antes debemos
estimar estos parámetros. No pudimos vislumbrar ninguna pista teórica sobre su
valor y nos vimos precisados a calcularlos por datos experimentales supremamente
tediosos y sin interés. Los valores que conseguimos fueron:
1895.1o y 0088.1oB
Lo que sigue es poner a prueba los resultados obtenidos en nuestro majestuoso
sistema Solar.