Post on 14-Jan-2022
FACULTADDEMÚSICA
MAESTRÍAENMÚSICA
ALGUNOSASPECTOSTRANSFORMACIONALESEN:MOVIMIENTOSPARAPIANOY
ORQUESTADEIGORSTRAVINSKY
TesisqueparaobtenerelgradodeMaestraenMúsica:TeoríadelaMúsica
presenta:
AliciaEsterMenesesHernández
Directordetesis:Mtro.ArturoCuervasGuillaumin
Codirector:Dr.EmilAwadAbed
XALAPA,VERACRUZ;2016
ii
Agradecimientos
A mi asesor Arturo Cuevas Guillaumin por haber compartido su experiencia, su
tiempoysuperspectivacomocompositor.AlDr.EmilAwadAbedmicodirectorcuya
intervención aportó elementos indispensables para el análisis de la obra. A mi
hermanoLuisporcompartirconmigosusabiduría.AmispadresDavidyEunicepor
dejarmeviajara laazul inmensidad.Este trabajo fueterminadograciasalapoyodel
ConsejoNacionaldeCienciayTecnología.
iii
TabladeContenidos
INTRODUCCIÓN 1
CAPÍTULO1:CONTEXTOHISTÓRICO 3
ElserialismododecafónicoysuinfluenciaenStravinsky 3
LaRelaciónStravinsky-Webern 7
AnálisisPrevios 10PietervandenToorn 10MiltonBabbitt 15JosephN.Straus 16
CAPÍTULO2:CONCEPTOSTEÓRICOSYAPARATOCRÍTICO 22
Conceptos 22SerieDodecafónica 22IntervaloDirigido(I.D.) 23NúmerodeOrden(H) 23AgregadoCromático 25ParCombinatorio62 26PropiedadCombinatoriadelHexacorde. 28ÁreaEstructural 29Matriz12x12 32Rotación 36
MatricesdeRotaciónTranspuesta 361.RelaciónCanónica 392.Multiplicidaddelostonos-clasedentrodelasmatrices 433.Lasinversiones 434.Lainclusióndetodaslasdistintasáreasdelhexacordedentrodelamatriz 445.Lamaneraespecíficaenlaquesecompletanlosagregados 46
TricordesdelaMatrizdeRotaciónTranspuesta 48
iv
CAPÍTULO3:ANÁLISISDELOSMOVIMIENTOS 57
AnálisisMovimientoI 57Laformaysurelaciónconlaserie. 57Observacionessobrelapresentación. 72Observacionessobrelainstrumentación. 73
MovimientoII 75Laformaysurelaciónconlaserie. 75Observacionessobrelainstrumentación. 82
MovimientoIII 84Laformaysurelaciónconlaserie. 84Observacionessobrelapresentacióndelaidea 89Observacionessobrelainstrumentación 91
MovimientoIV 92Laformaysurelaciónconlaserie. 92Observacionessobrelapresentacióndelaidea. 97Observacionessobrelainstrumentación 99
MovimientoV 100Laformaysurelaciónconlaserie. 100
CAPÍTULO4:ANÁLISISDELOSINTERLUDIOS 110
CONSIDERACIONESFINALES 121
MovimientoIII 124
MovimientoIV 125
RelacióndelMovimientoIIconlosMovimientosIyIII. 127
RelacióndelMovimientoIVconelI. 131
RelacióndelMovimientoIVyVconelMovimientoI. 133
FormaGeneral 134
v
BIBLIOGRAFÍA 137
1
Introducción
Es,pues,mercedallibrejuegodesusfuncionescomoserevela
laobraysejustifica.Tenemoslalibertaddeadherirnosonoaese
librejuego;peronadiepuedediscutirelhechodesuexistencia.
IgorStravinsky.
Eltrabajocreativonoterminaenelmomentoenqueelcompositorvepublicada
supartitura,esentoncescuandocomienzalacooperacióninterpretativaporpartede
quienes la leen.Entre los lectoresseencuentran,ademásde los instrumentistas, los
teóricosquienesacudena laobraparaanalizarlayasídilucidar las reglasdel juego
propuestasporelcompositor.
Enestetrabajoseplanteaunanálisisdelastransformacionespresentesenlaobra
Movimientosparapianoyorquestaconelfindedarunainterpretacióndellibrejuego
desusfunciones.
Al realizar el análisis el investigador tiene que reducir al mínimo las
interpretaciones subjetivas y basarse en los datos demanera que el resultado final
respondaalarealidadobjetivaqueeslaobra.Luegodeprobarmuchoscaminospara
dar cuentade las reglasdel juegoestablecidaspor Stravisnky, la compresiónde las
relaciones de los intervalos contenidos dentro de la serie, las relaciones de los
intervalos dentro de las matrices de rotación transpuesta y las áreas estructurales
contenidasdentroellasdictóelcaminoaseguirenelanálisisdelaobra.
La reflexión comenzó con las siguientes preguntas: ¿Será cierto que ningún
teórico podrá descifrar la ortografía del orden de los tono-clases solamente
conociendo el ordende la serie? ¿Si los interludios son todos introduccionesde los
movimientos,cómosearticula la formageneraldeobra?¿EraStravinskysensibleal
concepto de área estructural en sus composiciones basadas en el sistema
dodecafónico?Labúsquedadelasrespuestasfueguiandoelcursodelainvestigación.
2
Luegodeunarduoprocesodereflexiónyanálisis,laorganizacióndeestetrabajo
sepresentadelasiguientemanera:
El capítulo I, Contexto histórico, proporciona referencias y antecedentes
puntuales del sistema dodecafónico, así como un breve recuento del desarrollo del
mismo, el cual fue adoptado y explorado por Igor Stravinsky a partir de los años
cincuenta en sus últimas composiciones. Además se mencionan tres teóricos que
abordan la obra de Stravinsky de manera analítica y cuyos análisis son punto de
partidaparaestainvestigación:PietervandenToorn,MiltonBabbittyJosephStraus.
El capítulo II, Conceptos teóricos y aparato crítico, presenta la nomenclatura
empleada en éste análisis así como la descripción de la terminología que lo
fundamenta.Estecapítuloauncumpleotrafunción,queesladedarconoceralgunos
delosconceptosteóricosqueseutilizanenelsistemadodecafónicoaloslectoresque
seencuentresinteresadosenestetipodecomposición.
El capítulo IIIAnálisis, presenta el análisis elaboradode la obra en cuestión. Se
presentan losmovimientos individualmentey, enunapartado, todos los interludios
agrupados.
El capítulo IV Consideraciones finales, propone a partir del análisis una visión
general de la obra. En él se presentan algunas conclusiones, que destacan los
resultadosdelanálisis,yfuturasvetasdeinvestigación.
3
Capítulo1:Contextohistórico
IgorStravinskyesunode losgrandescompositoresdelsigloXX,reconocidopor
su carácter innovador. Su producción de obras está catalogada en tres periodos de
desarrolloestilísticoquecorrespondenalordencronológicodecreacióndelasobras.
Elprimerodeellosessuperiodorusoendondeseencuentranubicadossusgrandes
ballets. Su segundoperiodo es el neoclásicoque comienza conPulcinella en1920 y
terminaconTheRake’sProgressen1951.Ysuúltimoperiodo,elserial,quecomienza
conCantataen1951yconcluyeconTheOwlandthePussycaten1966.
Estetercerperiodoincluyeuntotaldeveinteobrasendondeexplorayadaptaa
suspropiasideasmusicaleselsistemadecomposiciónquedesarrollaroninicialmente
Arnold Schoenberg y sus discípulos, que son conocidos como la Segunda Escuela
Vienesa. Ya que se puede trazar una influencia directa de algunos de ellos sobre la
obra de Stravinsky de su tercer periodo, en este capítulo se les presenta como
precursoresdesuformadecomponerusandoestesistema.
También en este capítulo se presentan tres teóricos sobresalientes que han
analizadolaobraserialdeStravinsky,queson:PietervandenToorn,MiltonBabbitty
Joseph Straus. Su trabajo precede y fundamenta el análisis que se presenta en esta
investigación.
ElserialismododecafónicoysuinfluenciaenStravinsky
Schoenberginicióeldesarrollodeunnuevosistemadecomposiciónenladécada
de1910.Buscabaunsistemaanálogoaltonalparalamúsicacromática1,endondese
pudieran explicar y entender las relaciones cromáticas bajo un orden determinado.
En 1921 le confió a uno de sus discípulos el haber hecho “un descubrimiento que
1El término cromático se refiere las relaciones entre los 12 tonos, las cuales se pueden dar sin serreferidosnecesariamenteauncentrotonal.Por lotantoenesta investigación ‘cromático’esutilizadoenunsentidopostonal.
4
garantizaríalasupremacíadeAlemaniaenlamúsicaalmenosporlospróximoscien
años”2.
Schoenberghablódelnacimientodelsistemadodecafónicocomounanecesidad,
comoresultadodeunprocesoenlaevolucióndelconceptodearmonía:
En los últimos cien años, el concepto de armonía cambió enormemente
medianteeldesarrollodelcromatismo…muyprontoresultódudosoelquelatónica
constituyeseel centropermanentealquehabríaquecorresponder todaarmoníao
sucesiónarmónica.Asimismo,resultódudososilatónicaqueapareciesealprincipio,
al final, o en cualquier otro lugar, tendría realmente un sentido constructivo. La
armoníadeRichardWagnerhubodepromoverelcambioenlalógicayenlafacultad
constructiva de la armonía. Una de sus consecuencias fue el llamado empleo
impresionistadearmoníaspracticadoespecialmenteporDebussy…deestamanera,
si no en la teoría, la tonalidadya fuedestronadaen lapráctica. Esto soloquizáno
hubiese causado un cambio radical en la técnica de composición, sin embargo, fue
preciso tal cambio al sumársele al desarrollo que terminó con lo que se llamó la
emancipacióndeladisonancia.3
ConesteúltimotérminoSchoenbergserefirióalmododecomprensiónconelcual
una disonancia es presentada y aceptada. En el sistemadodecafónico los intervalos
considerados tradicionalmente como disonancias y consonancias transitan con un
mismogradode independencia, locualprovocaunarenunciaal centro tonalya las
relaciones estructurales anteriormente determinadas por las armonías tonales. El
nuevoprocesodeconstrucciónmusicaldeSchoenbergconsistía,principalmente,
…en el empleo exclusivo y constante de una serie de doce sonidos
diferentes.Estosignificaporsupuesto,queningúnsonidohaderepetirse
dentro de la serie, en la que estarán comprendidos todos los
correspondientesalaescalacromática,aunqueendistintadisposición.4
2Morgan,RobertP.1991.Twentieth-CenturyMusic.W.W.Norton&Company.USA.p.1883Schoenberg,Arnold.2007.Elestiloylaidea.Madrid.MundimúsicaEdiciones,S.L.pp.102-103.4Ibidem.p.105
5
LadisposiciónoriginaldelaserieolaformaprimadelaseriesedenominaP;de
esta se derivan otras tres formas que son el retrógrado (R), la inversión (I) y el
retrógradoinvertido(RI).Cadaunadeestasformasdelaseriepuedetransportarsey
comenzarencualquierotrotono-clase.Elejemplo1muestrolaserieylasformasdela
seriedelaSuiteparapianoOp.25.
Ejemplo1
Schoenberg:Suiteparapiano,Op.25:Formasbásicasdelaserie.5
Dentrodelprimerpentagramadelejemplo1sepresentalaseriedelaSuitepara
PianoOp. 25. En los pentagramas 2 al 4 se despliegan el retrógrado de la serie, la
inversiónyelretrógradoinvertido.
LaSuiteOp.25 fueunade lasprimerasobrasen lasqueSchoenbergexplorael
sistemadodecafónico.Entre1920y1923trabajósimultáneamenteencuatropiezas,
losOpp.23al26,en lascualesexploróydesarrollóelusodesusistemademanera
másevidente.Estonosignificaquelasobrasquelesprecedieronnocontenganrasgos
delsistemadodecafónico.
5 Las alteraciones cromáticas en este y todos los ejemplos afectan únicamente a la nota queinmediatamentepreceden.
6
EnelpasajeinicialdelprimermovimientodelaSuiteparapianoOp.23cadatono
dentrodelosprimerostrescompasespuedeserderivadodeunmismoorden,locual
distinguenotablementeaestaobradelasprecedentes.Aunqueestemovimientoesla
primera composición completa en donde el orden de la serie es un principio
fundamental de la organización, ésta aun no es omnipresente6, dejando entrever la
búsquedadeSchoenbergensuetapatempranadelacomposiciónserial.
La evolución y refinamiento en el uso del sistema serial fue gradual en las
composiciones de Schoenberg. Tras terminar de componer losOpp. 23, 24 y 25, en
1923Schoenbergcomenzóaescribirsuprimeraobradodecafónicaagranescala,el
QuintetoparaalientosOp.26.7
ElQuintetoparaalientosOp.26,fuelaprimeraencontarconunaformamusical
extendida; cada uno de sus cuatromovimientos se desarrolla en un tipo de forma
Clásica: forma sonata, Scherzo con trío, forma canción y rondó. Las composiciones
instrumentales que siguieron al Quinteto son más extensas: la Suite para siete
instrumentos (1926), el Tercer cuarteto de cuerdas (1927) y las Variaciones para
orquesta (1928). Tras estas composiciones se ubica un periodo de composición
operística:laóperaenunactoDehoyamañanade1929,ylosdosprimerosactosde
laóperabíblicainconclusaMoisésyAarón(1930-1932).8
AestascomposicionesdodecafónicasescritasporSchoenbergsiguieronlasdesus
alumnosAntonWebernyAlbanBerg.EltrabajodeWebernyBergfuesimultáneoal
delmaestroytambiénconsistióenexperimentarconelnuevosistema,aunquecada
unodeelloslohizobajosupropioenfoque.
Webernabandonósusminiaturas instrumentalesenbuscadeunprocedimiento
más estricto para el manejo del cromatismo. Entre los años 1915-1926 compuso
6Haimo, Ethan. 1990. Schoenberg´s Serial Odyssey: The evolution of his twelve-tone method. OxfordUniversityPress.p.717Ibidem.p.938Morgan, Robert P. 1991. Twentieth-Century Music. W. W. Norton & Company. USA. p.189. Estatraducciónylassiguientesqueaparecenenestetrabajosonmías.
7
grupos de dos o más canciones, todas para voz sola con acompañamiento de
ensamblesdecámara,exceptuandolosLiederOp.12queesparavozypianoyelOp.
19paracoro.Enestascomposicionesexperimentóconelnuevosistema,sinembargo,
suretornoa lacomposición instrumentalysuevoluciónenel sistemadodecafónico
llegóconsuTríoOp.20.9
LadiferenciaentrelascomposicionesdeSchoenberg,WebernyBergradicaenla
maneradeentenderlaserie.Schoenberglaconcibióentérminostemáticos,seapoyó
en el proceso de su exposición temática y en el desarrollo de sus motivos para
construirestructurasagranescala.Webern,porsuparte,tomólaserieenunsentido
abstracto:paraélsuestructuraylaformaeranprácticamenteidénticas.Elconcepto
de serie para Berg fuemuchomás flexible; mientras que Schoenberg yWebern se
limitabanausarunaseriedentrodeunacomposición,Bergentendíalaseriecomoun
sujetoque,dentrodeunproceso,podíasometerseadiversastransformaciones.Solía
alterarla entre movimientos cambiando algunos de los tonos, sostenía que estos
cambiosnoalterabanlaseriesolotransformabansucarácter.10
LaRelaciónStravinsky-Webern
Enlosañoscincuenta,lasobrasdeWebernacapararonlaatenciónyelestudiode
Stravinsky.FueelCuartetoOp.22unadelasprimeraspiezasqueStravinskyestudió.
También profundizó también en el conocimiento de las Cantatas y las canciones
instrumentales.LamúsicadeWebern loatrajogradualmentea lacreenciadeque la
técnicadodecafónicaeraunmedioposibleparalacomposiciónmusical.11Stravinsky
expresósuadmiraciónduranteentrevistasyconversaciones: “Webernesparamíel
justedelamusique,ynodudoenresguardarmeenlabenevolenciaylaprotecciónde
su arte aun no canonizado”. 12 Algunas de las características que la música de
StravinskyadoptódeWeberneslaidentificacióndelaseriecomounsujetocanónico,
y la de sus transformaciones seriales (transposición, inversión, retrógrado y
9Morgan,RobertP.1991.Twentieth-CenturyMusic.W.W.Norton&Company.USA.p.20010Ibidem.pp.206-214.11Straus,JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic.Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress.p.22.12Idem.
8
retrógrado-invertido) como imitaciones canónicas. Las primeras composiciones
seriales de Stravinsky están basadas en una textura de contrapunto imitativo. Más
tarde los cánones se volvieron parte de la estructura, absorbidos por una clase
especial de matriz en la cual Stravinsky basó sus composiciones a partir de
Movimientosparapianoyorquesta.13
Los años en torno a la Segunda Guerra Mundial marcaron un nuevomomento
paralavidadeSchoenbergyStravinsky.Ambos,pordistintasrazonesmudansulugar
deresidenciaalosEstadosUnidosdeAmérica;Schoenbergen1933perdiósupuesto
como maestro de composición en la Academia Prusiana de Artes, en Berlín y,
sintiendo que la situación en Alemania se complicaba para él, decidió partir,
estableciéndoseenLosÁngelesen1934,dondeadoptóunaposturaactivaenlavida
musical de su nueva ciudad enseñando a jóvenes compositores. Stravinsky, por su
parte, llegó a E.U.A. en 1939 para atender compromisos de conciertos y dar las
ConferenciasCharlesEliotNortonenlaUniversidaddeHarvard.Trasesteperiodo-y
exceptuando los viajes que realizó después de la Guerra- decidió permanecer en
E.U.A., instalándose en Los Ángeles a tan sólo 16 kilómetros de distancia de
Schoenberg.
A pesar de la cercanía física con Schoenberg, el trabajo de la Segunda Escuela
VienesapermanecióajenoaStravinskyquienconfesóenConversacioneshabertenido
únicamentedoscontactos,antesde1952,conlamúsicadeSchoenberg:elprimeroen
1912conPierrotLunaireOp.21,yelsegundoen1945conPreludetoGenesisOp.44.
Estos encuentros fueron previos a su periodo serial y no dejan huella de una
influencia inmediata. Sin embargo, Stravinsky reconoció el poderoso efecto que
Schoenbergejerciósobreél.14
LosañosenE.U.A.provocaron,enciertosentido,reaccionescontrariasenlosdos
compositores:Schoenbergrenovósu interéspor lacomposición tonal,mientrasque
Stravinskydioungirohacialododecafónico.Entrelosaños1933a1943Schoenberg
creó las siguientes obras basándose en el sistema tonal: Suite para Orquesta de13Straus,JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic.Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress.p.2214Van den Toorn, Pieter C. 1983. The Music of Igor Stravinsky. New Haven and London: Yale
UniversityPress.p.373
9
Cuerdas (1934),SegundaSinfoníadeCámaraOp.38(unaobraqueteníasinterminar
desde1906y concluyeen1939),VariacionessobreunRecitativoparaÓrganoOp.40
(1941) y elTemayVariacionesparaOrquestadealientosOp.43 (1943). Schoenberg
consideraba las composiciones tonales de su último periodo como un aporte a la
armonía que transita en el intervalo comprendido entre la música tonal y la post-
tonal,unareflexiónsobrealgunasdelasposibilidadesarmónicasqueexisteneneste
espacio.
LosañosenE.U.A.lepermitieronaStravinskyacercarsealsistemadodecafónico
de composición. A un año de la muerte de Schoenberg, Stravinsky se inició en la
composiciónserial,dandoinicioconestoasutercerperiododedesarrolloestilísticoy
redirigiendosumaneradecomponer.
En1952, cuandoStravinskycomenzóa componerbajoel sistemadodecafónico,
hacíatreintaañosqueSchoenberghabíadesarrolladolasbasesdelmismo,conelcual
compuso hasta sumuerte en 1951; para entonces Babbitt ya había compuesto sus
Three Compositions for piano (1947), Composition for four instruments (1948) y
Composition for Viola and Piano (1950); Pierre Boulez ya era un reconocido
compositorconsuspropiosdiscípulos.
Mientras el sistema dodecafónico tomaba forma, Stravinsky transitaba en su
periodo neoclásico, entendido como unamanera de preservar un cierto sentido de
tonalidad,elcualfuevistopormuchosmúsicoscomolaantítesisdelamúsicaserialde
Schoenberg,BergyWebern.Sinembargolasdoscorrientesproveníandeunamisma
tradición;ambasmirabanalpasadocomopuntodepartida:laneoclásicatratandode
retomaraspectosde lamúsicaclásicacomoelbalanceyproporciónmientrasque la
segunda escuela vienesa tenía la meta de generar un desarrollo en la técnica de
composiciónimpulsadoporlosavancesdelcromatismoenelsigloXIX.
Finalmente,conlaincursióndeStravinskyalsistemadodecafónicosedesvanece
el conflicto de inicio de siglo con respecto a dos de las principales escuelas de
composición. Uno de los personajes que se consideran clave para este cambio de
técnicaenelcompositorrusoesRobertCraft.
Desde1948,RobertCraftseconvirtióenunpersonajecercanoaStravinskytanto
personal comoprofesionalmente. Comodirector de orquesta, Craft dio a conocer la
10
música de su tiempo y, en particular, se encargó de que la música de Schoenberg
tomara un fuerte impulso en las salas de conciertos. La cercanía de Stravinsky con
Craft lepermitió conocerunnuevo repertorio,provenientede la culturamusicalde
aquellos años en los Estados Unidos, el cual, se especula, le impulsó a dar un paso
haciaelserialismododecafónico.
ParaStravinsky,unafuenteimportantedeinformaciónteóricafueErnstKrenek.
El primer texto que leyó sobre la composición dodecafónica fue Studies in
CounterpointBasedontheTwelve-ToneTechnique. En el veranode1959, Stravinsky
asistió a las conferencias impartidas por el autor en el Seminario de Estudios
MusicalesAvanzadosenPrinceton, estas conferencias sepublicaronposteriormente
bajoeltítulodeTheextentsandLimitsofSerialTechnique15.
Entre las obras estudiadas por Stravinsky se encontraban las composiciones
dodecafónicas de Krenek: Parvula corona musicalis, Sestina y Lamentatio Jeremiae
Prophetae. En Lamentatio Jeremiae Prophetae, Krenek utiliza por primera vez el
sistema de la rotación transpuesta de los hexacordes de la serie el cual Stravinsky
adopta como herramienta de composición a partir de Movimientos para piano y
orquesta(1958-1959).16
AnálisisPrevios
Debidoalosobjetivosdeestainvestigaciónsehaoptadoporenfocarlasiguiente
partedelarevisiónbibliográficaentresautoresquerealizanelanálisisdelasobras
delperiodo serialdeStravinsky. Los tres autores son:Pieter vandenToorn,Milton
BabbittyJosephStraus.
PietervandenToorn
15Straus,JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic.Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress..pp.
26-33.16Ibidem.pp.26-29
11
PietervandenToornrealizóunextensoanálisisdelamúsicadeStravinsky.Ensu
libro The music of Igor Stravinsky 17se pueden encontrar los análisis de veinte
diferentes obras. Para Van den Toorn la cualidad octatónica y la interacción
octatónica-diatónica provocan la yuxtaposición de bloques dentro del discurso
musicaldeStravinsky.Sedesvaneceasíunadelasdivisionesentrelostresperiodos
decomposiciónyaque,porsupermanenciaatravésdeellos,secreanrasgosquese
entienden como distintivos en la voz del compositor. Dichos rasgos hacen
reconocibles las obras inclusodespuésde su incursión a la técnicadodecafónicade
composición. Otros rasgos distintivos del compositor que Van den Toornmenciona
sonelritmoylainstrumentación.
Para su análisis, Pieter van den Toorn desarrolla dos modelos que hacen
referenciaa lasdos formasdeconstrucciónde laescalaoctatónica:elmodeloAyel
modeloB.Elprimeroincluyelastresformasdeescalaoctatónicaconlasucesiónde
intervalodirigido(I.D.)1-2-1-2-1-2-1.ElmodeloBincluyelastresformasdelaescala
octatónicacon lasucesiónde intervalos2-1-2-1-2-1-2.Cadaunade las formasde la
escalarecibeelnombredecolección,por loqueelmodeloAestá integradoportres
colecciones diferentes (Colección I, Colección II y Colección III) y de igual manera
ocurreconelModeloB.AcontinuaciónsepresentanlosmodelosAyBendostablas.
Ejemplo2
Modelo A
Colección I E f G ab Bb b Db d (E) Colección II F f# Ab a B c D eb (F) Colección III F# g A bb C db Eb e (F#)
Número de Tono 0 1 3 4 6 7 9 10 (0) I.D. 1 2 1 2 1 2 1 (2)
17Van den Toorn, Pieter C. 1983. The Music of Igor Stravinsky. New Haven and London: Yale
UniversityPress
12
Modelo B
Colección I E d C# b Bb ab G f (E) Colección II F eb D c B a G# f# (F) Colección III F# e Eb db C bb A g (F#)
Número de Tono 0 2 3 5 6 8 9 11 (1) I.D. 2 1 2 1 2 1 2 (1)
Enlaprimeratabladelejemplo2semuestraelModeloA, lafiladoscontienela
Colección I, la fila tres la Colección II y la fila 4 la Colección III. En la fila cinco se
representanlostono-clasesdelascoleccionesquedanlalecturadelaformaprimadel
conjunto. En la fila 6 se muestran los intervalos dirigidos entre los tonos de las
ColeccionesI,IIyIII.LatabladelModeloBseleedelamismamanera.
Apartirdeestosdosmodelos,VandenToorngenerasuanálisisapoyándoseen
lasparticionesdelaescala[0,3,6,9]18comopasosoenlacesalosbloquesdiatónicos.
Dicho análisis separa los bloques o pasajes de la música de Stravinsky en dos
categorías, provocando la creación de dos listados. El primero de ellos contiene los
pasajesobloquesdeunaduración sustanciosaquehacen referencia explícita auna
colección;dichosbloquesopasajespresentanlacoleccióncompletaocasicompleta.
El segundo ubica secciones de más corta duración que parcialmente se pueden
relacionar con una colección octatónica. Estos pasajes son analizados por Van den
Toorncomomomentosquereflejanlainteracciónoctatónica-diatónicaqueconllevaa
layuxtaposicióndebloques.
Las obras del tercer periodo de Stravinsky, posteriores aCantata (1951-1952),
queseencuentrandentrodelestudiodePietervandenToornson:CanticumSacrum
(1955), Agon (1953-57), Epitaphium (1959), The Flood (1961-1962) Abraham and
Isaac (1963). A continuaciónmuestro cómo funciona el análisis de Van den Toorn
utilizando sus notas acerca de la obra deEpitaphium. Un aspecto que se necesario
notaresqueEpitaphiumyMovimientossondelmismoañodecomposición.
EnEpitaphiumobraparaflauta,clarineteyarpa,VandenToornhallaabundantes
implicacionesoctatónicas.Analizaenprimerlugarlaserie,lacualinterpretacomoun
encadenamientodelasColeccionesIIyIIIdelModeloA.Losprimeroscincotonosde
18Lanomenclaturaaquíutilizadaesexplicadaenelsegundocapítulo
13
laserielosasociaconlosnúmerosdetonos<4,6,7,9,t>delaColecciónIIIdelModelo
A;DoelúltimodeestoscincotonosdentrodelaserieeselenlaceconlaColecciónII.
LosnúmerosdetonosquetomadelaColecciónIIsonloscorrespondientesa<0,1,3,
4,6,7,9>.
En el siguiente ejemplo muestro la serie de Epitaphium y su relación con las
ColeccionesdelModeloA.
Ejemplo3 Stravinsky: Epitaphium, Serie
ElejemplomuestraaltonoG(Sol)entreparéntesis juntoalosnúmerosdetono
delaColecciónIIdebidoaqueéstenoperteneceadichaColección.Sinembargo,para
Van den Toorn la serie muestra la influencia de las sucesiones octatónicas en su
concepción.
Enel tercer compásdeEpitaphium haceunanálisis similar al de la serie: ubica
cadaunode los tono-clasede lapartituraen lasColecciones IdelModeloBy IIdel
Modelo A. Al igual que en el análisis de la serie las Colecciones se presentan
encadenadas.
Ejemplo4 Stravinsky: Epitaphium, compás 3.
14
Enelejemplo4semuestraelcompásnúmerotresdeEpitaphium.LasColecciones
hansidomarcadasconcorchetes.Talcomosepuedeobservar,enlamúsicaestasdos
Coleccionessedividenporunsilenciodecorchea.
Elejemplo5expresalosnúmerosdetonoscontenidosenelcompástresconlas
referenciaspertinentesalasdosColecciones.
Ejemplo5 Ejemplo. Análisis del Compás 3
LaColecciónIdelModeloBapareceincompletaenlaprimerapartedelcompás,
yaqueúnicamentecincodesusochomiembrosseencuentranpresentes.LaColección
IIdelModeloA,aparececasiensutotalidadfaltandosolamenteelSi.
Van den Toorn analiza los compases del 4 al 7 de la misma manera. Sobre la
armoníacomenta: “Es tambiénpertinenteel tratamientoverticalo “armónico”de la
seriealolargodelaobra,elcualescontrarioalestilousualdeStravinskydeexponer
15
las formas de la serie como “melodías” o “construcciones lineales”19. Pormedio del
análisis de los compases y la serie Van den Toorn establece que Epitaphium está
construidaporelementosdelaescalaoctatónica.
MiltonBabbitt
Se presenta a continuación un segundo análisis de la obra serial de Stravinsky
ahorabajolamiradadeMiltonBabbitt.Deentresubibliografíasehanescogidotres
artículosparalapresentacióndesumodelodeanálisis:OrderSymmetryandCentricity
in Late Satravinsky,20Stravinsky´s Verticals and Schoenberg´s Diagonals: A twist of
fate.21yRemarksontheRecentStravinsky.22
En los dos primeros artículos, Babbitt hace referencia directa a Movimientos
compartiendoentreelloslainformaciónconrespectoalanálisisquepropone.Dentro
de estos artículos describe las rotaciones transpuestas como un procedimiento que
combina dos condiciones necesarias en el serialismo: orden de los tono-clases y el
intervalodeltono-clase.23
AcontinuaciónsepresentanlascaracterísticasqueBabbittseñalaconrespectoa
lasmatricesderotacióntranspuesta.
Porprincipiodecuentas,habladecómoelordendelaserieafectaalasmatrices:
LasmatricesdeStravinskyestánsupersaturadasconlainfluenciadelosintervalosdela
serie y sus hexacordes; cada intervalo en la serie, no solo los intervalos adyacentes,
determinaelcontenidoexactodelasverticales,porloquelosintervalosenlasverticalesson
losintervalosdelosintervalosdelaserieoriginal.24
19Van den Toorn, Pieter C. 1983. The Music of Igor Stravinsky. New Haven and London: Yale
UniversityPress.p.43520Babbitt, Milton. 1986. “Order, Simmetry and Centricity”,en Pasler,Jann (Ede.) Confrontring
Stravinsky:Man,MusicianandModernist.LosÁngeles,California.UniversityofCaliforniaPress..pp.247-261.
21Babbitt,Milton.2003.ThecollectedessaysofMiltonBabbitt.PrincetonUniversityPress.pp.404-427.
22Ibidem.145-171.23Babbitt, Milton. 1986. “Order, Simmetry and Centricity”,en Pasler,Jann (Ede.) Confrontring
Stravinsky:Man,MusicianandModernist.LosÁngeles,California.UniversityofCaliforniaPress.p.249.24Ibidem.p.251.
16
Por otra parte, se puede inferir del texto de Babbitt la importancia de los
diferentesnivelesde transposicióndentrodelas líneasdelasmatrices.Cadafilade
lasmatricesrefiereaunodelosnivelesdetransposiciónycadatransposiciónocurre
enunáreadiferente,provocandoasílainclusióndetodaslasáreasdelhexacordetipo
Ddentrodelasmatricesderotacióntranspuesta.
Babbitt enfatizaelhechodequedentrode lasmatricesde loshexacordesde la
serie existe un balance en la frecuencia de aparición de los tono-clases: cada tono-
claseocurreexactamenteseisveces.Enelprimerhexacordeestánausenteslostono-
clases 3 y 9 por lo que el segundo hexacorde de la serie inicia con el tono-clase 9.
Además, notable e independientemente, Stravinsky selecciona el tono-clase final de
cadahexacorde(ey2respectivamente)paraquelasderivaciones“rotacionales”deR
yRIdesplieguenelmismobalanceenlamultiplicidaddelostono-clases.25
Además de esta multiplicidad en los tono-clases de la serie, Babbitt señala
también el hecho de que los hexacordes de esta pieza estén relacionados por
transposicióncomounacualidadúnicadentrodelasobrastardíasdeStravinskyesto
provoca que los números de transposición se identifiquen con las seis
transformacionesdelosdoshexacordes,asegurandouncierreentrelosparesde6x6
asociadosconS,I,RyRI.26
Babbittanaliza loscompases13al17delprimerode losMovimientosrefiriendo
los tonos de las líneas melódicas a las filas de las matrices de Stravinsky. En el
presentetrabajoseadoptóysedesarrollóestaformadeanálisisyseaplicóalrestode
losmovimientos.Tambiénseadoptó la referenciade la inclusiónde todas lasáreas
delhexacordeDdentrodelamatrizparaanalizar laobrabajo laperspectivade las
distintasáreas.
JosephN.Straus
25Babbitt, Milton. 1986. “Order, Simmetry and Centricity”,en Pasler,Jann (Ede.) Confrontring
Stravinsky:Man,MusicianandModernist.LosÁngeles,California.UniversityofCaliforniaPress.p.25526Ibidem.p.255
17
ElterceranálisisqueprecedeaestetrabajoperteneceaStraus,quienseenfocaa
lassolucionesqueStravinskypropusoparaeldesarrollodelaarmoníadentrodesus
obras.Desdeestaperspectiva,Stravinskyestabainteresadotantoenlacombinación
linealdelosintervaloscomoenla“lógicadelacombinaciónvertical”delosmismos.
La primera solución que Straus señala en Stravinsky es la verticalización de
segmentos de la serie, esta ocasiona que las mismas ideas se proyecten
simultáneamentecomomelodíayarmonía.Lasegundaeselusode lasverticalesde
lasmatricesrotacionalesparacreararmonía(loquenoocurrenenMovimientos).La
tercera solución de acuerdo con el teórico es la estratificación de las formas de la
serie.
Cuando Straus habla de la estratificación de formas de la serie se refiere a la
colecciónestándardelascuatroformasdelaserieconsussubdivisionesdedospares
ysuelaboraciónenocholíneas.Lasverticalesqueresultandelasestratificacionesse
tomancomosegmentosarmónicosdentrode lacomposición.DeacuerdoconStraus
este procedimiento para generar armonía aparece en lugares importantes con
respectoalaestructuradelaobra,particularmenteenconclusionesdeseccionesode
movimientosyprovocaunatexturadeacordestipocoral.
La estratificación estándar de las cuatro formas de la serie enMovimientos se
construiríaconlaformaprima;suinversión(comenzandoconlamismanota,Mib),su
retrógrado y la inversión del retrógrado (comenzando con la misma nota del
retrógrado,Fa)
Ejemplo6
Enelejemplo6,losnúmerosqueaparecenenlaprimerafilacorrespondenalas
doceverticalesqueproduce laestratificación.Cadaverticalestá formadaporcuatro
18
tono-clases; cuandoun tono-clase se duplica, Stravinsky lomuestra en la partitura
comoduplicacionesdeoctavas.27
Lasverticalidadesdelaestratificaciónestándardelascuatroformasdelaseriese
presentanenelejemplo7ysonlassiguientes:
Ejemplo7
Clase Verticales
0 2 1,5 0 1 2 5 2,4 0 2 4 6 3,6,8,12 0 2 6 8 7 0 1 4 7 9 0 2 6 10
0 2 3 7 11
Enlatabladelejemplo7secataloganlas12verticalidadesdeacuerdoalconjunto
clasealcualpertenecen.Lasverticalidades1y5sonclase[0,2];lasverticalidades2y
4 son clase [0, 1, 2, 5], las verticalidades 3, 6, 8 y 12 son clase [0, 2, 4, 6]. Las
verticalidades7,9,10y11pertenecencadaunadeellasaunaclasedistinta.
La estratificación estándar de las cuatro formas de la serie puede entenderse o
subdividirse en dos pares tipo I, dos pares tipo R o dos tipo RI. Los dos pares de
formasdelaserierelacionadosporIsemuestranenelejemplo8.
Ejemplo8
27Straus, JosephN.1999.Stravinsky´s“ConstructionofTwelveVerticals”:AnAspectofHarmonyin
theSerialMusic.MusicTheorySpectrum.Vol.21.No.1.p.50.
19
Laprimerafiguradelejemplo8muestraelparP+I;cadaunadelasdíadasquese
forman demanera vertical corresponden a las díadas del índice de inversión 6. La
segunda tabla muestra el par R + IR, cada una de las díadas verticales del par
correspondenalasdíadasdelíndicedeinversiónt.Losdosparesdeformasdelaserie
relacionadosporRIseencuentranenelejemplo9.
Ejemplo9
Enelejemplo9semuestranlosparestipoRformadosporlacombinacióndelas
formas P + RI y R + I. El par combinatorio tipo RI se caracteriza por una relación
simétricaentrelosintervalosverticaleseI.D.queseformanencadadíadaverticaly
lineal;laasociacióndelasdíadassedacomosigue:1-12,2-11,3-10,4-9,4-8,6-7.
Las díadas verticales e I.D. del par tipo R se relacionan simétricamente por la
operacióndeinversión.Enelejemplo10semuestradichopar.
20
Ejemplo10
En el ejemplo 10muestra la simetría por inversión entre las díadas verticales. Las
díadasseasociandelasiguientemanera:1-12,2-11,3-10,4-9,4-8,6-7.
En Movimientos la estratificación, según Straus, se puede ubicar en todo el
segundomovimientoelcualiniciacondosparesdeseries,elprimerotipoI(R+IR)y
elsegundotipoR(I+RI).Enelinterludioqueseencuentraentreelcuartoyelquinto
movimiento aparece una estratificación de ocho formas de la serie. En el quinto
movimiento,en loscompases141-150,167-171,184-186,ocurreunaestratificación
estándardecuatroformasdelaserieocupadadetalmaneraqueprovocalasiguiente
combinacióndeverticales:1+7,2+8,3+9,4+10,5+11y6+12.Larelacióndelas
verticalessemuestraenelejemplo11.
Ejemplo11
21
Elanálisisquesepresentaenestetrabajoseconcentraráenalgunosaspectosque
presentanBabbittyStraus.ElacercamientodePietervandenToornnoserátomado
encuentadebidoaqueelenfoquedeestetrabajobuscaresaltarlascontribucionesde
Stravinsky a la tradición dodecafónica y no buscar similitudes con sus periodos
anteriores.
22
Capítulo2:ConceptosTeóricosyAparatoCrítico
En este capítulo se presentan algunas definiciones y nomenclatura que serán
importanteseneldesarrollodelanálisis.
Lanomenclaturaqueseutilizaparalostonosestantolaconvencional(Do,Re,Mi,
etc.), como la representada por números enteros módulo 12. Cuando se utiliza la
nomenclatura numérica, el módulo 12 proyecta a todos los tonos cromáticos del
espectroauditivoytemperadoporintervalosigualesendoceclasesdetonosdel0al
11.Las12clasesdetonos(tono-clases)seabreviancomotcsingularytccpluralylos
números10y11serepresentanporlasletrastyerespectivamente.28
Paradenominarconjuntosdetonosenelanálisis,seemplealostérminostricorde,
tetracorde, pentacorde, hexacorde, etc. Dado que estos términos comparten el
significadodelconceptoacorde,elmismosehatomadocomoraízalacualseañaden
losprefijosnumeralescorrespondientes.29
Conceptos
SerieDodecafónica
Conjunto ordenadode las doce clases de tonos30, donde el orden se representa
por H que toma valores de numeración ascendente del 0 al 11. En este trabajo, el
término serie se utilizará como sinónimo de seriedodecafónica y será representada
porS.Elejemplo12contieneunaseriedodecafónica.
28El uso de la letra t para representar 10 y e para representar 11 es común en la literaturaespecializada. La t representa ten y e representa eleven para evitar posibles confusiones con dosintervalos o los tono-clases 1 y 0. No se utilizan los términos en español debido a que diez y oncepodríanserconfundidosporrelaDylaOconfundirseconcero.29La terminologíaenEspañolde tono-clase(pitch-class)ytricorde, tetracorde,etc. fue implementadaporEmilAwad en1994para suprogramade teoría post-tonal impartido en el Conservatoriode lasRosas,Michoacán,México.30Babbitt, Milton. 2003. D.“Remarcks on the Recent Stravinsky” en: The collected essays of MiltonBabbitt.NewJersey.PrincetonUniversityPress.152.
23
Ejemplo12
SeriedeMovimientosparaPianoyOrquesta
Los números arriba del pentagrama en el ejemplo 1 representan los tonos e
intervalosde laserieapartirdeunpuntocero.Elprimer tonode laserieesMib al
cual se leasignaelnúmero0.Laasignacióndelnúmero0al tonoclase inicialde la
serieesútilalrepresentarlaestructuramarcadaporlosintervalosenlossegmentos
delaserie.Mi-naturalesrepresentadopor1,ySib,queseencuentrasietesemitonos
arribadeMib, tomaelvalor7.Yaque ladiferenciaentre1y7esde6,que son los
semitonos correspondientes al intervalo entreMi-natural y Sib, se dice que 6 es el
intervalodirigido(I.D.)entreMiySib.
IntervaloDirigido(I.D.)
Por cada dos tono-clases a y b el intervalo ordenado entre a y b es equivalente al
productob-aenmódulo12.31
NúmerodeOrden(H)
Enelsistemadodecafónicolaserieestásubordinadaalordenlinealyesestasujeción
laquerigelasrelacionesentrelostonos;conestoSchoenbergestableceunprincipio
básicodondeelnúmerodeordenempleadoenunaseriedentrodeunaobrasepuede
31Rahn,John.1980.BasicatonalTheory.Simon&SchusleMacmillan.NewYork.p.26
24
inferir de todas o de la mayoría de las presentaciones de la serie y sus
transformaciones.32
Pararepresentarlarelaciónquemantienelaserieconsuordenlinealseutilizan
parejasdenúmeros.Cadaelementodelaseriemantieneunarelaciónunoaunodelos
elementosdelnúmerodeorden.Elprimermiembrodelaparejadesignaelnúmerode
orden lineal en el que se encuentra cada elemento de la serie; el segundo indica el
tono-clasedentrodeunaserie.
Dichasparejasseconformanconlaserie(S)yelnúmerodeorden(H)delejemplo
2.Elprimertono-clasedelaseriesetomacomoorigenysedenotaconlapareja(0,0).
Elrestodelasparejasdelaseriesonlassiguientes:(1,1);(2,7);(3,5);(4,6);(5,e);
(6,9);(7,8);(8,t);(9,3);(10,4);(11,2).Enelejemplo13semuestranlasparejasen
disposiciónverticaldentrodeunatabla.SeslaseriedodecafónicayHelnúmerode
orden.
Ejemplo13
S 0 1 7 5 6 e 9 8 t 3 4 2 H 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t e
Formasdelaserie33
Existen cuatro formas de la serie, la forma Original o forma Prima34(P), su
Retrógrado (R) su Inversión (I) y su Retrógrado Invertido. Las formas de la serie
provienendelassiguientescuatrooperacionesdeorden:
Peslaidentidad,preservaelordendelosintervalos.LasoperacionesTnnoafectanel
intervalodirigidodeunsegmento.Comosemuestraenelejemplo14.
Ejemplo14
S:<0,1,7,5,6,e,9,8,t,3,4,2>I.D.<1,6,t,1,5,t,e,2,5,1,t>
32Babbitt,Milton.2003.B.“TwelveTone InvariantsasCompositionalDeterminants”en:ThecollectedessaysofMiltonBabbitt.NewJersey.PrincetonUniversityPress.p.5633Definiciones tomadas de Notas de Clase: Fundamentos Post-tonales, Emil Awad. Los ejemploscorrespondenaestetrabajo.34ElusodeSyPesarbitrarioporquesignificanlomismo.SeutilizaPporqueeslasigladeprima,queesunaformadeenunciarladisposiciónoriginaldelaserie.
25
T3(S):<3,4,t,8,9,2,0,e,1,6,7,5>I.D.<1,6,t,1,5,t,e,2,5,1,t>
.
I (inversión)presentalainversióndecadaintervalodelaserieoriginalcomenzando
porelprimeroyterminandoconelúltimo.Comosemuestraenelejemplo15.
Ejemplo15
I5(S):<5,4,t,0,e,6,8,9,7,2,1,3>I.D.<e,6,2,e,7,2,1,t,7,e,2>
R (retrógrado) presenta la inversión de cada intervalo comenzandopor el último y
terminandoporelprimero.Comosemuestraenelejemplo16.
Ejemplo16
R(S):<2,4,3,t,8,9,e,6,5,7,1,0>I.D.<2,e,7,t,1,2,7,e,2,6,e>
RI(inversiónretrógrada)presentacióndelosintervalos(idénticos)comenzandopor
elúltimoyterminandoporelprimero.Comosemuestraenelejemplo17.
Ejemplo17
RI2(S):<0,t,e,4,6,5,3,8,9,7,1,2>I.D.<t,1,5,2,e,t,5,1,t,6,1>
AgregadoCromático
El agregado cromático es la colección de los doce tono-clases. El agregado
cromático y su partición en dos partes distintas pueden ser representada por la
relacióndecomplemento:X+Y=Agregadocromático(A).Enestetrabajoeltérmino
agregadoseusarácomosinónimodeagregadocromático.
El término agregado hace referencia a los doce tono-clases dentro de una
colecciónuorden.Estrictamentetodaseriedodecafónicaesunagregado.Sinembargo
los términos no son en su totalidad intercambiables. El término serie se usa para
referirseaunaserieordenadasobrelacualestácompuestaunaobraopasaje,deesta
26
manera el usodel término agregado será reservadopara colecciones de doce tono-
clasesdistintasalasestablecidasalasordenacionesdedichopasajeuobra.35
ParCombinatorio62
Existen cuatro tipos de pares combinatorios: P, I, R y RI. Los tipos de pares
denotanlarelaciónquetienenentresídosformasdelaserie.Eltérminocombinatorio
hacereferenciaalhechodequeunhexacordededeterminadaformadelaserieyun
hexacordedeotraformadelaseriesecombinanparaformaragregadoscromáticosde
manera vertical y horizontal. Los pares combinatorios revelan la propiedad
combinatoria de los hexacordes ordenados. El ejemplo 18 contiene una figura en
dondeserepresentanlosdoshexacordesdeunaserieconlasvariablesXyY.
Ejemplo18
Elejemplo18representalaserieysusdoshexacordesX,Y.Lossignos“+”enla
figurarepresentanlaunióndeloshexacordesordenados.Laformadelaseriequese
encuentraexpresadaenlafila4construyeelparcombinatorio(PC).Losagregadosse
representanconlaletraAyseformandemaneraverticalydemanerahorizontal.Es
decir, en un par combinatorio hay cuatro maneras en las que se completan los
agregados:SX+SY=A;PCY+PCX=A;SX+PCY=A;SY+PCX=A.
A continuación se presentan los cuatro Tipos de Pares Combinatorios. Para los
ejemplosseutilizará laserie<0,1,2,6,7,8,3,4,5,9,t,e>,donde Xseráelprimer
hexacordedelaserie<0,1,2,6,7,8>yYseráelsegundohexacorde<3,4,5,9,t,e>.
35Lester, Joel. 1989. Analytic approaches to twentieth-century music. W.W. Norton & Company.
P.178
27
Enelejemplo19seocupalaserieoriginalylaserietranspuestaaT3paragenerar
elprimerparcombinatoriotipoPquepresentalaserieyTnSparageneraragregados.
Ejemplo19
En el ejemplo 19 las variables X e Y de la primera fila se sustituyeron por los
hexacordes de las serie y también las de la segunda fila se sustituyeron por los
hexacordesdelaformaT(3)delaserie.Lossignosdesumasignificanlaunióndelos
hexacordes.Losagregadossecompletandemanerahorizontalenlasfilasydemanera
verticalenlascolumnasquecontienenloshexacordes.
Enelejemplo20sepresentalaserieysuInversióneníndicecincoparagenerar
unsegundopar.
Ejemplo20
Talcomoenelejemplo19lasvariablesXeYsehansustituidoporloshexacordesde
laserieoriginalysuinversióneníndicecinco.Losagregadosigualmenteseexhiben
demanerahorizontalyvertical.Enlosejemplos21y22lalecturadelasfigurasesla
misma,únicamentelasformasdelaseriecambian.
28
Todaslasformasdelaseriequeseanemparejadasconsuretrógradotendránla
propiedad combinatoria tipo R. En el ejemplo 21 se presenta un par combinatorio
TipoR.
Ejemplo21
ElParcombinatoriotipoRIpresentalaserieyaRI(S)parageneraragregados.Enel
ejemplo22semuestraunparcombinatoriotipoIR.
Ejemplo22
PropiedadCombinatoriadelHexacorde.
La propiedad combinatoria del hexacorde se manifiesta de dos maneras,
presentándolo como totalmente combinatorio o como semi-combinatorio. Los
hexacordestotalmentecombinatoriossonaquellosquecompletansusagregadospor
mediodeparescombinatoriosqueprovienendecualquierformadelaserieenunoo
varios niveles de transposición o índices de inversión. Los hexacordes semi-
combinatoriossonaquellosquecompletansusagregadosa travésde tiposdepares
combinatoriosespecíficos.36Laformaenlaquesecompletaunagregadodeterminael
tipodepropiedadcombinatoriaalcualperteneceunhexacorde.
36Babbitt,Milton.2003.A.“SomeAspectsofTwelve-ToneComposition”en:Thecollectedessaysof
MiltonBabbitt.NewJersey.PrincetonUniversityPress.p.42-43.
29
Con respecto a las propiedades combinatorias, los diferentes hexacordes que
existen se clasifican en cinco grupos: hexacordes totalmente combinatorios,
hexacordestipoP,tipoI,tipoRytipoRI.
En el ejemplo23 se presentan los hexacordes totalmente combinatorios que se
ordenandeacuerdoasuniveldesimetría:hexacordeA(012345),hexacordeB(02
3457),hexacordeC(024579),hexacordeD(012678),hexacordeE(014589)
yhexacordeF(02468t)37.
Ejemplo23
Simetría Hexacorde Áreas
Primer Orden A, B, C 6 Segundo Orden D 3
Tercer Orden E 2 Sexto Orden F 1
Loshexacordes totalmente combinatorios se clasificande acuerdoa sunivelde
simetría: hexacordes de Primer Orden, (A, B, C); de Segundo Orden (D); de tercer
orden(E)ydeSextoOrden(F).Existeunarelacióninversamenteproporcionalentre
lasimetríayelnúmerodeáreasestructuralesenunhexacorde.
ÁreaEstructural
Lasáreasestructuralesdecadahexacordesondeterminadasporsuspropiedades
combinatorias.Enelejemplo24semuestraunatablaquedescribeelnúmerodeáreas
quepuedetenercadatipodehexacorde.
Ejemplo24 38
37Babbitt,Milton.2003.A.“SomeAspectsofTwelve-ToneComposition”en:Thecollectedessaysof
MiltonBabbitt.NewJersey.PrincetonUniversityPress.p.42.38TablatomadadeNotasdeClase:FundamentosPost-tonales,EmilAwad.
30
En la tabla del ejemplo 24 se muestra en la primera columna los tipos de
hexacorde39;enlascolumnasdela2ala5seespecificaconmarcasdeverificaciónel
número de niveles de transposición o de inversión en los cuales se combina el
hexacordeconsucomplementoparaformarunagregado.Lascrucesseñalanlostipos
de combinaciones en los cuales el hexacorde no puede generar un agregado de
ningunamanera.Laúltimacolumnaseñalaelnúmerodeáreasestructuralesposibles
paracadahexacorde.
Los hexacordes totalmente combinatorios por ser más simétricos poseen un
menornúmerodeáreasqueloshexacordessemi-combinatorios.ElhexacordetipoD
posee3áreasestructurales.
En el hexacorde tipo D las cuatro operaciones que preservan el contenido del
conjuntosondosnivelesdeTransposiciónydosíndicesdeInversión.Enelejemplo
25semuestranlascuatrooperaciones.
Ejemplo25
Hexacorde D 012678
T0 012678
T6 678012
T8I 876210
T2I 210876
Enelejemplo25semuestraenlaprimerafilaelhexacordetipoD.Enlaprimera
columnasemuestralasoperacionesquemantienenelcontenidodelhexacordeyenla39LanomenclaturaP3 e I34 corresponden al listadodeMartino,Donald. 1961. “The Source Set
anditsAggregateFormations”.JMT,Vol.5No.2.p.224.
31
segunda columna semuestra el hexacordedespuésde la aplicaciónde la operación
correspondiente.
Latransposiciónporunintervaloquenoestácontenidoenelhexacordegenerael
complementodelmismo.EnelcasodelhexacordetipoDelcomplementoesgenerado
por lastransposicionesa3y9,asícomotambiénlas inversionesdesde5ye.Por lo
tanto,lasformasdelaserieenT0yT6,enT8IyT2Iquedanunidasalasformasquelas
complementan: T3 y T9; y T5I junto con TeI. Estas ocho formas, junto con sus
retrógrados,constituyenelárea0ysemuestranenelejemplo26.
Ejemplo26
Transformaciones del Hexacorde tipo D dentro de un Área en T=012678
T0 T6 T8I T2I R0 R6 RI8 RI2 T3 T9 T5I TeI R3 R9 RI5 RIe
LasformasdelaseriedecadaunadelastresáreasdelhexacordeD,enelnivelde
transposición 012678, se generan transportando el ejemplo 26 por T0, T1 y T2. El
ejemplo27presentalastresáreasabreviandolasformasR.
Ejemplo27
La serie deMovimientos está basada en un hexacorde tipo D y el contenido de sus
áreassemuestraenelejemplo28.
32
Ejemplo28
Matriz12x12
En una matriz 12 x 12 se despliegan en 12 filas y 12 columnas todas las
operaciones de orden de la serie para revelar su estructura o la estructura de
segmentos específicos de la serie. En el ejemplo 29 se exhibe una matriz 12 x 12
realizadaconlaserieusadaenMovimientosparaPianoyOrquesta.
Ejemplo29
0 1 7 5 6 e 9 8 t 3 4 2 e 0 6 4 5 t 8 7 9 2 3 1 5 6 0 t e 4 2 1 3 8 9 7 7 8 2 0 1 6 4 3 5 t e 9 6 7 1 e 0 5 3 2 4 9 t 8 1 2 8 6 7 0 t 9 e 4 5 3 3 4 t 8 9 2 0 e 1 6 7 5 4 5 e 9 t 3 1 0 2 7 8 6 2 3 9 7 8 1 e t 0 5 6 4 9 t 4 2 3 8 6 5 7 0 1 e 8 9 3 1 2 7 5 4 6 e 0 t t e 5 3 4 9 7 6 8 1 2 0
Una matriz 12 x 12 presenta las 48 formas de la serie y se construye de la
siguientemanera: únicamente la primera fila se entiende como la serie ordenada a
partirdecero.40Dentrodelamatrizseasignaelceroacadaunodeloselementosdela
serieconelfinderevelarlaestructuradelosmotivosinternosdelamisma.Losceros
40Babbitt,Milton.2003.E.“ThreeEssaysonSchoenberg”en:ThecollectedessaysofMiltonBabbitt.NewJersey.PrincetonUniversityPress.P.223-224
33
que resultan de la aplicación sucesiva a los elementos de la serie construyen la
diagonalprincipalquerepresentalatransposiciónordenadadelostonosdelaseriea
cero.EstasTndeSproducenencualquiercolumnadelamatrizlasecuenciadetonos
clasecorrespondientesaunaysolounadelas12inversionesdelaserie;porlotanto
lasfilassucesivasdelamatrizcontienenlas12transposicionesdelaserieenelorden
delainversióncerodelaserie.
Las filas de la matriz leídas de izquierda a derecha proporcionan las 12
transposiciones de la serie, leídas de derecha a izquierda proporcionan los
retrógradosdecadatransposición.Lascolumnasleídasdearribahaciaabajoenuncian
las12inversionesdelaserieyleídasdeabajohaciaarribalosretrógradosinvertidos
de la serie.Algunasde las cualidadesde los intervalosde la serie y sus formasque
revelanlasmatrices12x12semuestranenlosejemplossiguientes.Enelejemplo30
semuestralalecturadelintervalodirigidoenlamatriz12x12.
Ejemplo30
IntervalosDirigidosdeS
0 1 7 5 6 e 9 8 t 3 4 2 e 0 6 4 5 t 8 7 9 2 3 1 5 6 0 t e 4 2 1 3 8 9 7 7 8 2 0 1 6 4 3 5 t e 9 6 7 1 e 0 5 3 2 4 9 t 8 1 2 8 6 7 0 t 9 e 4 5 3 3 4 t 8 9 2 0 e 1 6 7 5 4 5 e 9 t 3 1 0 2 7 8 6 2 3 9 7 8 1 e t 0 5 6 4 9 t 4 2 3 8 6 5 7 0 1 e 8 9 3 1 2 7 5 4 6 e 0 t t e 5 3 4 9 7 6 8 1 2 0
Enelejemplo30seharesaltadoladiagonalsuperioraladiagonalprincipal.Esta
diagonal proporciona una lectura de los intervalos dirigidos entre los tonos-clase
adyacentesdelaserie.Elintervaloentreelprimer(0)ysegundo(1)tonodelaserie
es1,elprimerelementodeladiagonal;elintervaloentreelsegundotonodelaserie
(1)yeltercero(7)es6;elintervaloentreeltercer(7)ycuarto(5)tonodelaseriees
34
t;yasísucesivamenteporloqueelintervaloentreelpenúltimotonodelaserie(4)y
elúltimo(2)estádescritoporelúltimoelementodeladiagonalqueest.
Enelejemplo31semuestranlosintervalosdirigidosdelaInversióndelaserie.
Ejemplo31 Intervalos Dirigidos de I
0 1 7 5 6 e 9 8 t 3 4 2 e 0 6 4 5 t 8 7 9 2 3 1 5 6 0 t e 4 2 1 3 8 9 7 7 8 2 0 1 6 4 3 5 t e 9 6 7 1 e 0 5 3 2 4 9 t 8 1 2 8 6 7 0 t 9 e 4 5 3 3 4 t 8 9 2 0 e 1 6 7 5 4 5 e 9 t 3 1 0 2 7 8 6 2 3 9 7 8 1 e t 0 5 6 4 9 t 4 2 3 8 6 5 7 0 1 e 8 9 3 1 2 7 5 4 6 e 0 t t e 5 3 4 9 7 6 8 1 2 0
Ladiagonalinferioraladiagonalprincipalmuestralosintervalosdirigidosentre
lostonos-claseadyacentesdelaformaIdelaserie.Entreelprimertono-clasedeI(0)
yelsegundo(e)elintervaloese;entreelsegundotono(e)yeltercero(5)elintervalo
es 6; entre el tercer tono (5) y el cuarto (7) el intervalo es 2; el intervalo entre el
cuarto(7)tonodelaserieyelquinto(6)ese,yasísucesivamente.
Lalecturadetodoslosintervalosdelaserieestácontenidadentrodelamatriz.El
ejemplo32muestraotralecturadelosintervalosdirigidosdelaserie.
Ejemplo32
0 1 7 5 6 e 9 8 t 3 4 2 e 0 6 4 5 t 8 7 9 2 3 1 5 6 0 t e 4 2 1 3 8 9 7 7 8 2 0 1 6 4 3 5 t e 9 6 7 1 e 0 5 3 2 4 9 t 8 1 2 8 6 7 0 t 9 e 4 5 3 3 4 t 8 9 2 0 e 1 6 7 5 4 5 e 9 t 3 1 0 2 7 8 6 2 3 9 7 8 1 e t 0 5 6 4 9 t 4 2 3 8 6 5 7 0 1 e 8 9 3 1 2 7 5 4 6 e 0 t t e 5 3 4 9 7 6 8 1 2 0
35
La diagonal superior a la diagonal de los intervalos dirigidos de la serie
proporcionalalecturadelosintervalosdirigidosdecadadosmiembrosdelaserie.Es
decirdelprimertonodelaserie(0)altercertonodelaserie(7)elintervalodirigido
es7;delsegundotono(1)alcuartotono(5)elintervalodirigidoes4;deltercertono
(7)alquinto (6)el intervalodirigidoese;delquinto tono(5)al séptimo tonode la
serie(e)elintervalodirigidoes6,yasísucesivamente.
Conlamatriz12x12sepuederealizartambiénelanálisisdelaestructuradeun
determinadosegmentodelaserie.Enelejemplo33semuestraelprimertetracorde
delaserieenloqueseconvierteenunamatriz4x4.
Ejemplo33 Estructura de un segmento de la serie
0 1 7 5 e 0 6 4 5 6 0 t 7 8 2 0
Delejemplo33sepuededeterminarlosiguiente:eltetracordees<0,1,7,5>;su
inversióneníndiceceroes<0,e,5,7>;suformaRes<5,7,1,0>ysuformaRIes<7,
5,e,0>.Losintervalosdirigidosde<0,1,7,5>son<1,6,t>;losintervalosdirigidos
de la forma I del tetracorde son <e, 6, 2>; los intervalos dirigidos de cada dos
miembrosdel tetracorde son7y4 los cuales se encuentranen la segundadiagonal
arribade0.La segundadiagonaldebajode0 indica los intervalosdirigidosdecada
doselementosdelaformaIdeltetracorde.Tambiénsepuededeterminarelvectorde
intervalosdeltetracordequeestáconformadoportodoslosintervalosquesepueden
encontrareneltetracorde<0,1,7,5>yqueseencuentrandispuestoseneltriángulo
superioraladiagonalprincipal.
El ejemplo34contiene ladescripcióndelvectorde intervalosdel tetracordeen
discusión.
36
Ejemplo34
Vector de intervalos de <0, 1, 7, 5>
Clase intervalo <1 2 3 4 5 6> Número de intervalos 1 1 0 1 2 1
La lectura del vector de intervalos resalta que existen cero intervalos clase 3 en el
tetracorde,unsolointervalodeclase1,unodeclase2,unodeclase6ydosintervalos
delaclase5.
Rotación
Larotacióneslapermutaciónenelnúmerodeordendeloselementosdeunaserie.
MatricesdeRotaciónTranspuesta
MovimientosparaPianoyOrquesta,composiciónqueelmismoStravinskyllamaba
lapiedraangulardetodossustrabajostardíos,inauguraunanuevaetapaensuobra
serial.Enestaobrausaporprimeravez,aunquesolodemanerahorizontal,elsistema
derotacionestranspuestasde loshexacordesde laserie,elcualsevuelvebasepara
todassuscomposicionesposteriores.41
Straussugiereque lasrotaciones transpuestasde laserie fueronproductode la
influenciadeKreneksobreStravinsky.42Comoseyasehamencionadodistintasobras
ytextosdeKrenekfueronestudiadoscuidadosamenteporStravinsky.EnTheExtents
andLimitsofSerialTechnique,Krenekdefine la rotación comounprocedimiento en
donde loselementosdeunaseriedadacambian,sistemáticayprogresivamente,sus
posiciones relativas de acuerdo a un plan que, en sí mismo, ha sido concebido
serialmente en el que los cambios ocurren en fases regulares. En el ejemplo 35 se
encuentralatabladerotacióndeKrenek.
41Straus,JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic.Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress.p.2942Ibidem.p.26
37
Ejemplo35
LatabladerotacióndeKreneksedivideendospartesenlasquedistingueloque
llama “modos diatónicos” y “modos cromáticos” respectivamente. Los modos
diatónicos reciben este nombre porque a través de las rotaciones se conservan los
mismos tonos del hexacorde,mientras que en losmodos cromáticos los tonos que
resultandelasrotacionessondiferentesalosdelhexacordeoriginal.
EnlaprimeralíneadelmododiatónicoKrenekescribelosdoshexacordesdeuna
seriededocetonos;acadaunolopermutaindividualmenteenlaslíneasrestantesde
latablademaneraquelasegundalíneacomienceconelsegundotonodelhexacorde
originalyasísucesivamentehastallegaralaúltimanotadelhexacorde.
Enlalíneasuperiordel“modocromático”denuevoescribelosdoshexacordesde
laserie.Unavezmásloshacerotarcomoantes,peroahoratransponecadarotación
demodoquetodoscomiencenenlaprimeranotadelhexacordecorrespondiente.
Stravinsky utiliza el mismométodo para generar la rotación, nombrando a los
hexacordesdelmododiatónicoAlfayBeta, ya loshexacordesdelmodocromático
GammayDelta.Acontinuaciónenelejemplo36semuestralatabladeStravinsky.
38
Ejemplo36 43
Stravinsky somete individualmente cada hexacorde a rotación para generar los
modosdiatónicoycromáticoenlaterminologíadeKrenek.Acadaunadelasseisfilas
que se generan en la rotación las nombra de diferente manera: el nombre de la
primera corresponde al nombre de la forma de la serie que se esté sometiendo a
rotación(P,R,I,RI),mientrasquelascincorestantessedenominanconlosnúmeros
romanosI,II,III,IVyV.
Aunqueestaherramienta esusadapor ambos compositores, existendiferencias
en su forma de usarla. Krenek emplea el modo diatónico para escribirmúsica que
evoca, según Straus44, la Polifonía Renacentista. En sus composiciones emplea las
matricesdemaneraexclusivamentelineal.Porsuparte,Stravinskyhaceusodelmodo
diatónicoyelcromático,asícomodelasverticalidadesdelasmatrices.
EnelpresentetrabajoseusaránlosnombresqueStravinskyasignaalasfilasya
los hexacordes; sin embargo se habla de rotación simple para hacer referencia al
43Straus,JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic.Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress.p.31.44Ibidem.p.32.
39
mododiatónico y rotación transpuesta para dar cuenta delmodo cromático. En los
ejemplosqueseapertinente la lecturade lasmatricessedade lasiguientemanera:
PrimerosemencionalaformadelaseriequeestásiendorotadaesdecirP,I,RoRI.
Posteriormente senombra lamatriz a la cualperteneceelhexacorde,Alfa (α),Beta
(β), Gamma (γ) oDelta (δ). Finalmente se refiere la fila en la que se encuentra; las
primerasfilasnotendránesteelementoyaqueeslaformalaquelasdenomina.
Lasmatrices de Stravinsky se generanmediante una operación compuesta que
implicaprimerolatransposiciónydespuéslarotación;estaúltimaoperacióndepende
delapermutacióncíclicadelnúmerodeordenygeneralatexturacanónica,mientras
que la transposición depende de la relación de inversión y proporciona una
combinaciónúnicayexclusivadeagregados.
Algunasde lascualidadesde lasmatricesderotación-transpuestadeStravinsky
son:
1. Implicanunarelacióncanónica.
2. Multiplicidaddelostonos-clasedentrodeellas.
3. Susverticalesseencuentranrelacionadasbajolaoperacióndeinversión.
4. LainclusióndetodaslasdistintasáreasdelhexacordeDdentrodelamatriz.
5. Lamaneraespecíficaenlaquesecompletanlosagregados.
Acontinuaciónsedesarrollancadaunadeestascualidades tomando la seriede
MovimientosparaPianoyOrquestacomobaseparalosejemplos.
1.RelaciónCanónica
Stravinsky realiza rotaciones transpuestas de los hexacordes por lo que las
matricesresultantessonde6x6.LaseriedeMovimientoseslasiguiente<0,1,7,5,6,e,
9,8,t,3,4,2>donde0representaaMib.Elprimerhexacordees:<0,1,7,5,6,e>.El
segundoes:<9,8,t,3,4,2>.Enelejemplo37sedisponelaserieporhexacordes.
Ejemplo37
40
Enelejemplo37,losnúmerosdearribadelpentagramarepresentanlostonose
intervalosdelaserieapartirdeunpuntoceroylosnúmerosdebajodelpentagrama
representanelnúmerodeordenparaelcualseutilizanlosnúmerosenterosdel1al6
asignadosacadahexacorde.
Parapodergenerarlarotación,enprimerlugar,seasignanalhexacordeunolos
númerosdeorden1,2,3,4,5,6,loscualesdesignanenquéposiciónseencuentrael
elemento dentro del hexacorde. Cada elemento del hexacorde se relaciona con un
elemento del número de orden, mediante una correspondencia uno a uno. En el
ejemplo 38 se toma el primer hexacorde de la serie y se le asigna a cada tono un
númerodeorden.
Ejemplo38
S 0 1 7 5 6 e H 1 2 3 4 5 6
Setomaexclusivamenteelconjuntodenúmerosdeordendeunhexacordepara
ejemplificarlapermutaciónquegeneralarotación.Elejemplo39presentaunamatriz
6x6quemuestralarotacióndelnúmerodeorden.
Ejemplo39
H 1 2 3 4 5 6 I 2 3 4 5 6 1 II 3 4 5 6 1 2 III 4 5 6 1 2 3 IV 5 6 1 2 3 4 V 6 1 2 3 4 5
Elnúmerodeordensepermutademaneraqueelsegundoelementodelaseriese
convierte en el primero, el tercer elemento de la serie en el segundo y así
41
sucesivamente; a cada una de las filas se le aplica la misma operación de manera
cíclica.Estaspermutacionesgeneranunatexturadecanondentrodelamatrizquese
puedeejemplificardelasiguientemanera:
Ejemplo40
P 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 I 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 II 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 III 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 IV 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 V 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Enelejemplo40lamatriz6x6estámarcadaennegritas.LafilaVseconvierteen
laprimeravozdelcanonenaparecer,lafilaIVlasegundavoz,lafilaIIIlaterceravoz,
y así sucesivamente hasta llegar a la forma P; las entradas de las voces ocurren
siempreadistanciadeunmismointervalodenúmerodeorden.
El ejemplo anterior muestra el canon del número de orden. Cuando a cada
númerodeordenselereasignaunelementodelprimerhexacorde<0,1,7,5,6,e>,el
canonseconstruyedelamanerapresentadaenelejemplo41:
Ejemplo41
0 0 1 7 5 6 e 0 1 7 5 6 e I 0 1 7 5 6 e 0 1 7 5 6 e II 0 1 7 5 6 e 0 1 7 5 6 e III 0 1 7 5 6 e 0 1 7 5 6 e IV 0 1 7 5 6 e 0 1 7 5 6 e V 0 1 7 5 6 e 0 1 7 5 6 e
Laaplicaciónsistemáticadeesteprocedimientogenera loqueseha llamadoen
estetrabajouna“rotaciónsimple”,quecorrespondeal tipoderotaciónqueproduce
losmodosdiatónicos,enlosejemplos35y36.
42
Para generar una matriz de rotación transpuesta se necesita una matriz 6 x 6
construida bajo el mismo principio de una matriz 12 x 12. En el ejemplo 42 se
encuentralamatriz6x6delprimerhexacordedelaserie.
Ejemplo42
0 1 7 5 6 e e 0 6 4 5 t 5 6 0 t e 4 7 8 2 0 1 6 6 7 1 e 0 5 1 2 8 6 7 0
Lafilasdelamatriz6x6desplieganseistransposicionesdiferentesdelaserie.Al
rotar el númerodeordende cadaunade las transposicionesde la serie se creaun
canontranspuestoquesepuedeejemplificardelasiguientemanera:
Ejemplo43
P 0 1 7 5 6 e 0 1 7 5 6 e I e 0 6 4 5 t e 0 6 4 5 t II 5 6 0 t e 4 5 6 0 t e 4 III 7 8 2 0 1 6 7 8 2 0 1 6 IV 6 7 1 e 0 5 6 7 1 e 0 5 V 1 2 8 6 7 0 1 2 8 6 7 0
Así como en los ejemplos de rotación simple y número de orden, la fila V se
convierteenlaprimeravozdelcanonenaparecer,lafilaIVlasegundavoz,lafilaIIIla
terceravoz,yasísucesivamentehastallegaraP.Lasentradasdelastransposiciones
vuelvenaocurrirsiempreadistanciadeunmismointervalodenúmerodeorden.El
resultadovisualqueseobtieneeseldehaberalineado ladiagonaldel0a lamisma
columna;sinembargoelefectoauditivoquesegeneraeseldeuncanontranspuesto.
Esto es lo señalado por Babbitt: la aplicación de la operación de transposición al
43
número de orden en lugar de al tono-clase crea la rotación transpuesta de
Stravinsky.45
2.Multiplicidaddelostonos-clasedentrodelasmatrices
Debido a la ausencia de tonos-clase 3 o 9 en la matriz del primer hexacorde,
Stravinsky comienza el segundo de su serie con un tono clase 9. De esta manera
aseguraunbalancede lamultiplicidadde tonos-clase:cadaunoocurreexactamente
seisvecesenlasdosmatricesgeneradasporlosdoshexacordes.Además,Stravinsky
seleccionaeltono-clasefinaldecadahexacorde(ey2respectivamente)paraquelas
derivaciones“rotacionales”deRyRIdesplieguenelmismobalanceenlamultiplicidad
delostonos-clase.46
3.Lasinversiones
Las verticalidades que resultan de la rotación transpuesta se encuentran
relacionadasporelíndicedeinversión0.Laprimeracolumnaquedaexentadeestas
relaciones porque todos sus elementos corresponden a la misma clase. Las cinco
columnas restantes se relacionan de la siguiente manera: (2, 6), (3, 5) y la cuarta
columna presenta tres elementos que se invierten en sí mismos. El ejemplo 44
muestralascolumnasrelacionadas.
Ejemplo44
45Babbitt, Milton. 1986. “Order, Simmetry and Centricity”,en Pasler, Jann (Ede.) Confrontring
Stravinsky:Man,MusicianandModernist.LosÁngeles,California.UniversityofCaliforniaPress.p.250.46Ibidem.p.253.
44
En el ejemplo 44 se señalan a través de flechas las relaciones descritas entre
columnas. Los elementos de la columna 2 (1, 6, t, 1, 5, 1) se relacionan con los
elementosdelacolumna6(e,e,6,2,e,7)delasiguientemanera:siloselementosde
la columna 2 se invierten al índice cero se obtienen (e, 6, 2, e, 7, e) los mismos
elementos de la columna 6, aunque dispuestos en un orden distinto. Cuando se
inviertenaI0loselementosdelacolumna3(7,4,e,6,6,2),seobtienenloselementos
de la columna 5 (5, 8, 1, 6, 6, t) en otro orden. Los elementos de la columna 4 se
relacionandelasiguientemanera:loselementosdelasfilas0,I,II(5,5,4)sereflejan
enloselementosdelasfilasII,IV,V(7,7,8)pormediodeI0.
4.Lainclusióndetodaslasdistintasáreasdelhexacordedentrodelamatriz
Enlarotacióntranspuestaexistendiversosíndicesdetransposición.Cadafilade
cadahexacorde tieneun índicede transposiciónpropio.Estavariedadde índicesde
transposición generauna de las característicaspeculiaresde estamatriz, que es la
inclusióndetodaslasdistintasáreasdelhexacordeDdentrodeella.
El hexacorde tipo D tiene un total de tres áreas estructurares, las cuales se
denominan:A0,A1yA2.EláreaceroincluyelastransposicionesT0,T3,T6,T9;elárea
uno se forma por las transposiciones T1, T4, T7, Tt y al área dos corresponden las
transposicionesT2,T5,T8,Te.Enelejemplo43semuestra lamatrizGammacon los
índicesdetransposicióndecadafiladesplegadosenlasegundacolumnaylosíndices
detransposicióndecadafiladelamatrizDeltaenlaúltima.
45
Ejemplo45
P I II III IV V
T Hexacorde Gamma Hexacorde Delta T T0 Te T5 T7 T6 T1
0 1 7 5 6 e 9 8 t 3 4 2 T0 T1 Te T6 T5 T7
0 6 4 5 t e 9 e 4 5 3 t 0 t e 4 5 6 9 2 3 1 8 7 0 1 6 7 8 2 9 T 8 3 2 4 0 5 6 7 1 e 9 7 2 1 3 8 0 1 2 8 6 7 9 4 3 5 t e
EnelhexacordeGammalaprimerafila(P)pertenecealA0,lasfilaIyIIpertenecen
alA2,lafilaIIIalA1,lafilaIValA0yporúltimolafilaValA1.EnelhexacordeDeltala
primerafilacorrespondealA0,lafilaIalA1,lafilaIIalA2,lafilaIIIpertenecealA0,la
filaIValA2yporúltimolafilaValA1.DemaneralinealcoincidenelA0enlaprimera
fila(P),elA2enlafilaIIyenlafilaVelA1.Ysoloenestasfilassecompletaelagregado
demaneralinealenlamatrizderotacióntranspuesta.
En el ejemplo 46 se muestran los agregados lineales que se dan dentro de la
matrizderotacióntranspuesta.Elprimerpentagramacontieneloshexacordesγyδ
de la fila P; entre ellos se generaun agregado. El segundopentagrama contiene los
hexacordesγyδdelafilaII,yeltercerpentagramacontieneloshexacordesdelafila
V;ambascombinacionesformanagregados.
Ejemplo46
46
5.Lamaneraespecíficaenlaquesecompletanlosagregados
Ya que la transposición de la serie a niveles diferentes proporciona una
combinación única y exclusiva de agregados, permite que en lamatriz de rotación-
transpuestadeMovimientosseencuentrenpresenteslastresáreasdelhexacordetipo
D.Enlasrotacionessimples--omatricesAlfayBeta--elhexacordepermanecedentro
del área 0. El ejemplo 47 contiene las matrices Alfa y Beta. Los índices de
transposicióndecadafilaseubicanenlasegundayúltimacolumnasdelatabla.
Ejemplo47
P I II III IV V
T Hexacorde Alfa Hexacorde Beta T T0 T0 T0 T0 T0 T0
0 1 7 5 6 e 9 8 t 3 4 2 T0 T0 T0 T0 T0 T0
1 7 5 6 e 0 8 t 3 4 2 9 7 5 6 e 0 1 t 3 4 2 9 8 5 6 e 0 1 7 3 4 2 9 8 t 6 e 0 1 7 5 4 2 9 8 t 3 e 0 1 7 5 6 2 9 8 t 3 4
Mientrasquelarotaciónsimpleprovocaqueelhexacordepermanezcasiempreen
unamismaárea, lasmatricesderotacióntranspuestapermitenlainclusióndetodas
lasdistintasáreasdelhexacordedentrodelamatriz.
Pormedio de los diferentes niveles de transposición provocan que el agregado
solosepuedacompletardemaneralinealenlasfilasP,IIyVtalycomoseapreciaen
el ejemplo 44. El agregado en las demás filas se completa de nueve maneras
diferentes.Elagregadoen lasmatricesderotación transpuestasecompletadedoce
maneras diferentes. El ejemplo 48 muestra tres formas de generar los agregados
mediantelacombinacióndefilasdelasmatricesGammayDelta.
Ejemplo48
47
Enelejemplo48semuestrantrescombinacionesdefilasentreloshexacordesde
lasmatrices de rotación transpuesta que completan agregados. El primer agregado
estáformadoporelhexacordedelafilaIdeGammamáslafilaIIdeDelta;elsegundo
hexacordeesresultadodecombinar la fila IVdeGammacon la fila IIIdeDelta;yel
terceragregadoestáformadoporlasfilasIIIdeGammayIdeDelta.Enelejemplo49
se encuentra una tabla que comprende las diferentes combinaciones de filas de las
matricesGammayDeltaquegeneranagregados.
Ejemplo49
Área No. de Rotación
del Hexacorde Nivel de Transposición
del Hexacorde G D G D
A0 P P T0 T0
IV III T6 T6
P III T0 T6
IV P T6 T0
A1 V I T1 T1
III V T7 T7
V V T1 T7
III I T7 T1
A2 II IV T5 T5
I II Te Te
II II T5 Te
I IV Te T5
48
En total, existen 12 combinaciones diferentes para generar agregados y se
muestran en la tabla del ejemplo 39. En dicha tabla se incluyen tanto agregados
linealescomoagregadoscombinados.
TricordesdelaMatrizdeRotaciónTranspuesta
Enunaseriededocetonossepuedenformardieztricordesapartirdesegmentos
distintos de tres tono-clases adyacentes. Debido a que las matrices de rotación
transpuesta se dan a nivel de hexacorde solamente se tomarán para su análisis los
cuatro tricordes que corresponden a cada uno de los hexacordes de la serie. El
ejemplo50muestralaseriedeMovimientosdivididaensusdoshexacordes.
Ejemplo50
Losnúmerosquesepresentanarribadelpentagramadesignanlostricordes.Los
númerosqueestánabajodelpentagramamuestran loscinco intervalosdirigidosde
cadahexacorde.Lostricordes1al4seencuentranenelprimerhexacordedelaserie.
Elprimer tricorde (1) correspondea lasnotasMib-Mi-Sib conunordenamiento I.D.
<1-6>. Las siguientes tres notas de la serie (Mi-Sib-Lab) corresponden al segundo
tricorde y tienenun ordenamiento I.D. <6-t>. Las notas Sib-Lab-La forman el tercer
tricorde con un ordenamiento I.D. <t-1>. El cuarto tricorde, y último del primer
49
hexacorde de la serie, es Lab-La-Re con un ordenamiento I.D. <1-5>. En el segundo
hexacordedelaserieseencuentranlostricordes5al8,yseleendelamismamanera.
EltricordecincoestáformadoporlasnotasDo-Si-Do#conunordenamientoI.D.<e-
2>.EltricordeseisSi-Do#-Fa#conunordenamientoI.D.<2-5>.Eltricordesietecon
lasnotasDo#-Fa#-SolconunordenamientoI.D.<5-1>y,porúltimo,eltricordeocho
Fa#-Sol-FaconunordenamientoI.D.<1-t>.
Si se observan los intervalos dirigidos de cada uno de estos ocho tricordes, los
tricordesdelaserienúmerostres,cincoyochosepuedenvincularpormediodelas
transformacionescanónicasR,I,RI.Elejemplo51expresadichasrelaciones.
Ejemplo51
EltricordecincoI.D.<e-2>serelacionaconeltricordetresI.D.<t-1>pormediode
la operación de retrógrado. El tricorde ocho I.D. <1,t> se relaciona con el tricorde
cinco por medio de la operación de inversión. Por lo tanto el tricorde ocho y tres
quedanrelacionadosconlaoperaciónRI.
Gracias a la propiedad de transposición que contienen las matrices Gamma y
Delta generan nuevos tricordes, además de los ocho del ejemplo 50. El ejemplo 52
contienelostricordesporI.D.delasmatricesGammayDelta.
50
Ejemplo52 Hexacorde Gamma Hexacorde Delta
A0 <1-6> <6-t> <t-1> <1-5> <e-2> <2-5> <5-1> <1-t> A0
A2 <6-t> <t-1> <1-5> <5-1> <2-5> <5-1> <1-t> <t-7> A2
A2 <t-1> <1-5> <5-1> <1-1> <5-1> <1-t> <t-7> <7-e> A1
A1 <1-5> <5-1> <1-1> <1-6> <1-t> <t-7> <7-e> <e-2> A0
A0 <5-1> <1-1> <1-6> <6-t> <t-7> <7-e> <e-2> <2-5> A2
A1 <1-1> <1-6> <6-t> <t-1> <7-e> <e-2> <2-5> <5-1> A1
Elprocesoderotaciónañadetres tricordesmása losochotricordesde laserie,
dandountotalde11tricordes.
Elefectodecanonsegenerapor larotaciónenelnúmerodeorden.Alrotar los
númerosdeordenenelprimerhexacordesurge,enlafilaVenlostonosdel1al3,un
nuevotricordeclase[0,1,2]conordenamientoI.D.<1-1>.Estetricorde,quesegenera
por la rotación del primer hexacorde, se designa con el número 9. En el segundo
hexacordeelcanongeneradostricordesmás,lostricordes10:I.D.<7-e>y11:I.D.<t-
7>. El tricorde 10 aparece por primera vez en la fila V, en los tres primeros tonos-
clase,mientras que el tricorde 11 aparece por primera vez en la fila II, en los tres
últimostonos-clase.
Anteriormente se vincularon los tricordes 3, 5 y 8 por medio de operaciones
canónicas; los tricordes10y11 también sepuedenvinculardeestamismamanera
con los tricordes de la serie 4 y 7 respectivamente. El ejemplo 53 muestra estas
nuevasrelaciones.
Ejemplo53
51
EltricordediezI.D.<7-e>serelacionaconeltricordecuatroI.D.<1-5>pormedio
delaoperaciónderetrógrado;eltricordesieteI.D.<5-1>serelacionaconeltricorde
diezpormediodelaoperacióndeinversión;porlotanto,lostricordessieteycuatro
quedanrelacionadosconlaoperaciónRI.
El tricorde once I.D. <t-7> se relaciona pormedio de la operación canónica de
inversiónconeltricordeseisI.D.<2-5>.Elejemplo54ilustralarelación.
Ejemplo54
Lostricordespuedenvincularseporclasedelasiguientemanera:
clase[016]:1,4,7y10
clase[026]:2
clase[012]:3,5,8y9
clase[027]:6y11.
Si además se toman en cuenta las relaciones por operaciones canónicas que se
dan dentro de este grupo de once tricordes, se puede observar que solamente se
presentan cinco tricordes con ordenamiento diferente en la serie (a saber, los
números1,2,3,4y6),yunúnicotricordeconordenamientodiferente,quenacedel
52
proceso de canondentro de lamatriz (el número 9). Los tricordes 10 y 11 quedan
relacionadosconloscincotricordesdelaserie.
A continuación se presentan tres ejemplos del cuartomovimiento en donde se
puede apreciar como Stravinsky viaja a través de las líneas de las matrices para
formar agregados. De estamanera se realizó el análisis de la obra para localizar el
movimientoatravésdelaslíneasdelasmatricesylasáreas.
Elejemplo55muestralostonosdelpianodeloscompases100alprimertonodel
compás 103 divididos por una línea punteada en dos hexacordes, estos forman un
agregado cromático en área0. Para generarlo Stravinskyocupa el ordenamientode
lasfilas(Pδ)y(PγI)delamatrizderotacióntranspuesta.
Ejemplo55
Acontinuaciónseexplicacómoseasignaronlasfilas(Pδ)y(PγI)alostonosdel
piano.Loprimeroquesehizofueunreconocimientodelosintervalosdirigidosdelos
segmentos,enestecasolosintervalosdirigidosdeloscompases100y101son<2-e-
7-t-1>ylosintervalosdirigidosdelsegmentocontenidoenloscompases101al103
son <6-2-e-7-e>; los primeros intervalos dirigidos pertenecen a la fila (P δ) de la
matriz delta, los segundos intervalos dirigidos pertenecen a lamatriz gamma y se
ubican en la fila (P γ I). En el ejemplo 56 semuestran las dos primeras filas de las
matrices de rotación transpuesta en donde los tonos de las filas (P δ) y (P γ I) se
encuentransustituidostomandoencuentaque0,debidoalordenamientodelaserie,
estárepresentandoaEb.
53
Ejemplo56
A HexacordeGamma(γ) HexacordeDelta(δ) AP 0 1 7 5 6 e C B C# F# G F A0I A2 Eb A G Ab C# D 9 e 4 5 3 t
Como se observa en el ejemplo el hexacorde (P δ) se encuentra en área 0 y el
hexacorde(PγI)seencuentraenárea2.TambiénesnecesarionotarquelostonosC#
y G aparecen en ambos hexacordes lo que provoca que al unirse los hexacordes
generenunacolecciónde10tonosynounagregadocromático.
Esdecir(Pδ)∪(PγI)={Eb,A,G,Ab,C#,D}∪{C,B,C#,F#,G,F}={Eb,A,G,Ab,
C#,D,C,B,F#,F}endonde{Eb,A,G,Ab,C#,D,C,B,F#,F}∉AgregadoCromático.
ParapodergenerarelAgregadoCromáticoconelordenamientodeloshexacordes
(Pδ)y(PγI)StravinskyaplicalaoperacióndeRetrogradoalprimeroyalsegundolo
invierteeníndice5.EsdecirR(Pδ)∪T5I(PγI)={D,Ab,Bb,A,E,Eb}∪{F,G,F#,
C#,B,C}∈AgregadoCromático.
Enelejemplo57semuestran lasdosprimeras filasde lasmatricesderotación
transpuestaconelhexacordeδenretrogradoyelhexacordeγinvertido.
Ejemplo57
A HexacordeGamma HexacordeDelta A P 0 1 7 5 6 E F G F# C# B C A0 (R)
I(T5I) A0 D Ab Bb A E Eb 9 e 4 5 3 t
Sepuedeobservarcomolosdoshexacordesdespuésdehabersidotransformados
porlasoperacionesderetrogradoheinversiónpertenecenambosalárea0.
El siguiente ejemplo muestra los tonos del piano en los compases 113 al 116
divididos en dos hexacordes por una línea punteada. El ordenamiento que ocupan
estosdoshexacordeseseldelasfilasde(Pγ)y(Pδ).
Ejemplo58
54
Loshexacordesdelasfilasde(Pγ)y(Pδ)generanunagregadoenárea1ydentro
delapartituraapareceelagregadoenárea1.Enelejemplo59sepuedeobservarel
contenidodeloshexacordesde(Pγ)y(Pδ),queeseldelaserieoriginaldelaobra.
Ejemplo59
A HexacordeGamma HexacordeDelta AP A0 Eb E Bb Ab A D C B C# F# G F A0
Al transformar laseriepor laoperaciónRIt,cambiaeláreade0a1 talcomose
muestra en el ejemplo siguiente que contiene la los tonos que ahora conforman la
presentacióndelaserieenRItcontenidosenelejemplo60.
Ejemplo60
A HexacordeGamma HexacordeDelta ARIt A1 F Eb E A B Bb Ab C# D C F# G A1
EnestecasoStravinskytrabajaconlaseriecompletaynoporhexacorde,yesuno
de los casos en los que atraviesa de manera lineal por las matrices para formar
agregados.
Elejemplo61muestraloscompases105al109quesoninstrumentadosporlos
violonchelos y el piano. Los hexacordes que forman estos compases pertenecen a
ordenamientosdelasfilasdelhexacordedelta.
55
Ejemplo61
Enelejemplo62semuestralamatrizderotacióntranspuestadelhexacordedelta
completa, en ella se han sustituido los tonos de las filas (P δ) y (P δ II). Se puede
observarquelafila(Pδ)seencuentraenárea0ylafila(PδII)enárea2.
Ejemplo62
HexacordeDelta AP C B C# F# G F A0I 9 e 4 5 3 t A1II C F F# E B Bb A2III 9 t 8 3 2 4 A0IV 9 7 2 1 3 8 A2V 9 4 3 5 t e A1
TambiéncabenotarquelostonosC,F#yFaparecenenamboshexacordesloque
provoca que al unirse los hexacordes generen una colección de 9 tonos y no un
agregadocromático.Esdecir(Pδ)∪(PδII)={C,B,C#,F#,G,F}∪{C,F,F#,E,B,Bb}
= {C, B, C#, F#, G, F, E, B, Bb} en donde {C, B, C#, F#, G, F, E, B, Bb}∉ Agregado
cromático.
Para generar el agregado cromático y el contenido en área 1 del mismo, es
necesariotransformaralafila(Pδ)porRItylafila(PδII)transpornerlaaT8.Esdecir
RIt(Pδ)∪T8(PδII)={F,Eb,E,A,B,Bb}∪{G#,C#,D,C,G,F#}={F,Eb,E,A,B,Bb,G#,
C#,D,C,G,F#}donde{F,Eb,E,A,B,Bb,G#,C#,D,C,G,F#}=Agregadocromático.
56
Ejemplo63
HexacordeDelta A P(γ) F Eb E A B Bb A1 (RIt)I 9 e 4 5 3 t A1 II G# C# D C G F# A1 (T8)III 9 t 8 3 2 4 A0 IV 9 7 2 1 3 8 A2 V 9 4 3 5 t e A1
En el ejemplo 63 semuestran las filas (P δ) y (P δ II) transformadas dondeun
hexacorde gamma con ordenamiento de un hexacorde delta permite que se de un
agregadocromático.
57
Capítulo3:AnálisisdelosMovimientos
En este capítulo se presenta el análisis de la obra Movimientos para piano y
orquesta. Para su estudio, la composición se ha dividido en dos grupos, el primero
conformadoporlosMovimientosindividualesyelsegundoporlosinterludios.
AnálisisMovimientoI
Laformaysurelaciónconlaserie.
Laobrainiciaconlapresentacióndelaserieenformaexplícita,presentadaensu
totalidadporelpianoenlosprimerosdoscompasesdelaobra.Elprimermovimiento
puedeentendersecomounaformabinariaquesearticulaatravésdelárea0;laparte
Acomprende loscompases1al30y laparteA´ loscompases31al42.Unesquema
generaldelaformasemuestraenelejemplo64.
Ejemplo64
Movimiento I
Parte A A´ Compases 1-30 31-42
Dentro de la parte A puede distinguirse una estructura ternaria (a-b-a´). La
distinción entre las secciones está reforzada por la instrumentación. La primera
seccióncorreacargodelpianoycuentaconunabreveintervencióndelascuerdas;la
segunda sección corresponde a los alientos, cuya entrada está marcada por las
trompetas y la desaparición del piano; en la tercera sección vuelve a intervenir el
piano acompañado de acordes en las cuerdas en pizzicato. En el ejemplo 65 se
desarrollalaestructurainternadelaparteA.
Ejemplo65
58
Movimiento I Parte A Estructura Interna a b a´
i 7-10
ii 13-17
iii 18-22
Compases 1-7 7-22 Casilla 1:23-26 Casilla 2: 27-30
Laseccióna,correspondealoscompases1al7,lasecciónbaloscompases7al
22y laseccióna´a loscompases23-30.Lasseccionesaya´estánrelacionadaspor
hallarse en lamismaárea. Los compasesque conforman la secciónb se encuentran
relacionadosentresiportransposiciónyasuvezpuedenorganizarseen3bloques.47
Elprimerbloque(i)comprendeloscompases7al12,elsegundo(ii)estáconformado
porloscompases13al17,yeltercero(iii)porloscompases18-22.Cadaunodeestos
bloquesiniciarespectivamenteenFa,SolyMib.
Elbloque iicorrespondeaunodelosbosquejosprimariosdelaobra,acercadel
cualelmismoStravinskydijo:“ningúnteóricopodrádescifrarlaortografíadelorden
de los tono-clases solamente conociendo el orden de la serie”48. Y efectivamente
ningún teórico logró descifrarlo hasta que se dieron a conocer los bosquejos de la
obra.
Strausdescribe loque se aprecia en losbosquejosposteriores a la creacióndel
bosquejoquedioformaalaparteii,conrespectoalprocesodelacomposicióndelos
compases7al32delprimermovimiento:
En lapartiturapublicada, lamelodíade la flauta contenida en los compases13-17
comienzaenSol,peroStravinskyoriginalmenteescribiólamelodíacomenzandouna
terceraabajo,enMib.Después transpuso lamelodíauna terceramayorarribaasu
nivelactualposiblementeparaajustarloal rangode la flauta.Más tardeescribió la
músicadelpianoenloscompases7-12enelmismoniveldetransposición,también
empezandoenSol,antesdetransponerlahaciaabajountonoasunivelactualenFa.
47EstaúltimasubdivisiónfueestablecidaporStrauscuandohablodelprocesocompositivodela
parteb.p.12548Straus, Joseph N. 2001. Stravinsky’s Late Music. Cambridge,UK: Cambridge University Press.
p.65.
59
Finalmenteescribiólamúsicaenloscompases18-32ensuniveltonaloriginal,Mib,
indicando en su bosquejo, “seguir el solo de flauta anterior (misma serie)”. Así
podemos observar a Stravinsky trabajando consciente y deliberadamente con
bloquesdematerial,disponiéndolosenunpatrónparticulardetransposiciones.49
ParacomenzarconelanálisisdelaparteA,sepresentaacontinuaciónelbosquejo
delacomposicióndeloscompases13al17delaobra,quecorrespondenalaflautaen
ii,alcualseharáreferenciacomo`mosaico50dederivación´.Elejemplo66muestrael
bosquejo original de Stravinsky que comienza en Mib y para este análisis los
fragmentoshansidonumeradosdel1al10.
Ejemplo66 51Mosaico de derivación
49Straus, JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic. Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress.p.
125.50DonaldMartino presenta en “TheSourceSetand itsAggregateFormations” (1961, Journal of
MusicTheory5/2pp.224-273)eltérminomosaicoquesepuededefinircomolaunióndedostricordesquenointersectanentresimedianteoperacionesdetransposicióny/oinversión.Apartirdelconceptodemosaico sepuedeobservarquehayuna suertedederivaciónque también sebasaenmosaicos apartirdesegmentosordenadosdelasmatricesderotaciónentrelossegmentos1y2;3y4;4y5;7y8.
Por otra parte se propone el término “Mosaico de derivación” para identificar los pasajesformadosporunconjuntodesegmentosprocedentesdelasmatricesdeRotación-transpuesta.
51Straus, JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic.Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress.p.67.Ej.2.10a.Enelpresente trabajo se indicaentreparéntesiselbemolparael Sol (segundanotadelsegmento10),paraquecorrespondaalasucesiónP-δ-II.EstamodificaciónaltextooriginaldeStrausfuepropuestaporArturoCuevasGuillaumin.
60
Enelejemplo66sepresentalamelodíaqueestáconformadaporsietetricordes,
dostetracordesyunpentacordequesonelresultadodelaselecciónyreacomodode
fragmentosdelasmatricesderotacióntranspuesta(GammayDelta).AunqueStraus
mencionalaposibilidaddequeestefragmentohayasidotranspuestodebidoalrango
delaflauta,esposiblequeStravinskyrealizaraelbosquejodelejemplo49-queenla
obra terminada corresponderá a la flauta- pensando en generar por medio de las
matricesGammayDeltaunmaterialderivadoparaserusadoentodaunasecciónde
laobra(b),transformadoatravésdelatransposiciónysuconsecuentepermutación
demotivos.Enelejemplo63seexhiben,numeradosentrecorchetes, losfragmentos
delasmatricesderotación-transpuestaquefuerontomadosparagenerarlamelodía
delejemplo67.
Ejemplo67
Mosaico de derivación.
61
Los segmentos señalados en el ejemplo 58 corresponden a los tricordes,
tetracordes y el pentacorde del ejemplo 67. Se puede apreciar que Stravinsky, en
lugardetransitarporlasfilascompletasdelasmatrices,decideentretejersegmentos
de las mismas para formar un nuevo material derivado. Con esta selección de
segmentosdelaserieStravinskycreanuevasrelacionesdeordenentresuselementos.
Acontinuaciónsemuestraenloscompases18y19señaladosentrecorcheteslos
tresprimerosqueestáncontenidosenelmosaicobasedederivación.
Ejemplo68
Pararepresentargráficamenteelanálisisdelasseccionesiyiienlosejemplos69
y70quecorrespondenalosmosaicosdederivaciónenT2yT4sehantranspuestolas
matricesGammayDeltaaT2yT4.Debajodelasmatricessepresentanlosprimeros
compases correspondientes a cada mosaico de derivación en la partitura. Los
segmentosestánseñaladosconcorchetes.
62
Ejemplo69 Mosaico de derivación en T2
Compases 7 al 13
Ejemplo70
63
Mosaico de derivación en T4
Compases 13 y 14
Loscompases11y12,quepreparanlaentradadelmosaicodederivaciónenT4noson
partedelmosaicodederivaciónenT2.Porloqueacontinuaciónenelejemplo71se
presentaunanálisisdedichosegmento.
64
Ejemplo71 Compases 11 al 13.
En el ejemplo 71, que comienza a lamitad del compás 11 a partir del Sib que
precedealdosillo,sepresentaelprimertetracordedelhexacordeinicialenelorden
<2,0,1,3>,esdecir<Sib,Mib,Mi,Lab>,estableciendolarelación<Mib,Mi,Lab>que
más adelante será relevante para el análisis del interludio. También se presenta el
primerhexacorde<0,1,4,5,2,3>enT4.
EltetracordeenT0seenlaza,pormediodeltonocomúnLab,conlaprimeraparte
delhexacordeenT4enlamanoderechadelpiano.EstaejecutaLabySolmientrasque
el tonoclaseMipermanece sonandodesdeelúltimo tiempodeldosillodelcompás
11;Lab,SolyMisemantienenligadosmientrasquelastrompetasejecutanlaúltima
díadadelhexacordeenT4.Dichohexacordesecompletaenelcompás13,enlosdos
primerostonosdelpiano.
Enloscompases13al17sepresentaenlaflautaelmosaicodederivaciónenT4.
El acompañamiento de esta sección se da pormedio de una sucesión lineal de los
tonosdelasfilasIyIIdelasmatricesGammayDelta,quevandelpianoalclarinetey
posteriormente al clarinete bajo, en los compases 13 al 16. En el ejemplo 72 se
muestraelacompañamientodeloscompases13-16delmosaicodederivaciónenT4.
Ejemplo72 Compases 13 al 17.
65
El acompañamiento comienza con la presentación de los tonos de P-D-I en el
compás13,seguidodeP-α-IIyconcluyeconlostonosdeP-δ-II.ElhexacordeenP-α-II
secompletaconelMibqueseencuentraenlaflauta,yestetonocompletaunagregado
enárea2.Enelcompás17continúaelacompañamientoconelclarineteyelclarinete
bajo,con lapresentaciónde los tonosdeR-δ-VyR-γ-V,encadenados.Elejemplo73
presentalostonosdelacompañamientodelaflautaenelcompás17.
Ejemplo73 Compás 17.
Enelejemplo73semuestracomoeltono-claseRe,queterminalapresentación
delafilaR-δ-Vseconvierteeneltono-clasedeiniciodelafilaR-γ-V.Estoprovocaque
enestedesplieguede las filasde lasmatricesnosegenereelagregadoenárea2,al
faltar el tono-claseSib. Sinembargo, en lapartede laFlauta sepresentael Sib,que
resaltaenregistroporsereltonomásaltodelprimermovimiento.
En los compases 7 al 10 que corresponden a i, se presentan los primeros 7
fragmentosdelmosaicodederivaciónenT2.Loscompases13al17(ii)contienenen
lapartedelaflautaelmosaicodederivacióncompletoenT4.Porúltimo,loscompases
18al22presentanelmosaicodederivaciónoriginal (T0).El ejemplo74muestra la
relaciónportransposicióndelastresseccionesdeb.
66
Ejemplo74
Latransposiciónmodificalasrelacionesdenúmerodeorden.Cuandoelmosaico
de derivación se transporta a T2, los tres primeros tonos de la fila I de la matriz
Gammasetransformande(Mib,La,Sol) a (Fa,Si,La)y,alcombinarlosconlostres
últimosdelamismafiladelamatrizDeltaenT2(Sib,Lab,Mib),sederivalasiguiente
sucesióndeordenconrespectoalordenoriginaldelaserie:<e,7,4,2,3,0>.Cuando
elmosaicodederivaciónse transportaaT4 lasucesiónde losnúmerosdeordende
susprimerosseistonoseslasiguiente:<t,8,7,6,2,e>.
Paramostrar las nuevas relaciones, el ejemplo 75 contiene las seis filas de las
matrices Gamma y Delta con la nomenclatura representada por números enteros
módulo12paralostonos,acompañadasporlosnúmerosdeordencorrespondientesa
cadaunorespectodelordendelaserie.
Ejemplo75
Gamma Delta S
H0 3 0
4 1
t 2
8 3
9 4
2 5
0 6
e 7
1 8
6 9
7 t
5 e
I H0
3 0
9 4
7 t
8 3
1 8
2 5
0 6
2 5
7 t
8 3
6 9
1 8
II H0
3 0
1 8
2 5
7 t
8 3
9 4
0 6
5 e
6 9
4 1
e 7
t 2
III H0
3 0
4 1
9 4
t 2
e 7
5 e
0 6
1 8
e 7
6 9
5 e
7 t
IV H0
3 0
8 3
9 4
t 2
4 1
2 5
0 6
t 2
5 e
4 1
6 9
e 7
V H0
3 0
4 1
5 e
e 7
9 4
t 2
0 6
7 t
6 9
8 3
1 8
2 5
67
AltomarStravinskylostresprimerostonosdelafilaIdelamatrizGamma(Mib,
La, Sol)y combinarlos con los tresúltimosde lamisma filade lamatrizDelta (Lab,
Fa#,Do#),derivalasiguientesucesióndeorden:<0,4,t,3,9,8>,asícomotambién
unnuevohexacordeclase[0,1,2,3,6,8],queseharesaltadoenelejemplo71.Los
otroshexacordesquesegeneranpor lasucesiónde lossegmentosenelmosaicode
derivaciónsedanentrelossegmentos3y4,queformanunhexacordeclase[0,1,2,3,
4, 7], 4 y 5 que forman un hexacorde clase [0, 1, 2, 3, 4, 8] y, finalmente, entre los
segmentos7y8queformanunhexacordeclase[0,1,2,3,4,6].
Hasta aquí el análisis de los mosaicos de derivación se realizó pensando en el
mosaicocomobloquetranspuesto.Acontinuaciónsepresentaunanálisisaplicandoel
conceptodeáreaa losmosaicosdederivación.Paraesteanálisiscada fragmentode
cadamosaicodederivaciónhasidoubicadoenunadelastresáreasdelHexacordeD.
Aligualqueenelanálisisprevio,separtedelmosaicodederivación.Enelejemplo
76semuestranlosfragmentosnumeradosdelmismoconeláreaalacualpertenece
cadauno.
Ejemplo76
El primer segmento del ejemplo 76 (Mib, La, Sol) es un tricorde propio del
hexacordeD (comenzandoenRe)enT5;por lo tantodichosegmentoseubicaenel
área2.Lossegmentos2,3y4sonpropiosdelárea1;elsegmento5pertenecealárea
0, y los segmentos del 6 al 9 regresan al área 2, tal como el primer segmento del
mosaico.Lossegmentos8y9pertenecentantoalárea1comoala2:elfragmento8
68
existetantoenT1comoenT2yelsegmento9sepuedeubicartantoenT4comoenT5;
porocurrirdespuésdedossegmentosenárea2,seleshaasignadolamismaárea.El
pentacordequeconformaelsegmento10nose localizaensutotalidadenelárea1;
sinembargo,eltetracorde(Mib,Mi,Fa,Sib)selocalizanaturalmenteenT1ycontiene
unodelosconjuntosquedefineneláreaenloshexacordestipoD:eltricorde[0,1,2]a
partirdeMib,porloqueelconjuntosehacatalogadoenelárea1.
ElmosaicodederivaciónenT2sepresentaenelejemplo77,anotadodelamisma
maneraqueelmosaicobasedederivación.
Ejemplo77
El primer fragmento del mosaico de derivación en T2 pertenece al área 1. Los
fragmentos2,3y4sondelárea0;losfragmentosdel6al9sonnuevamentedelárea1
yelpentacordefinalseubicaenelárea0.
Porúltimo,semuestraenelejemplo78elmosaicodederivaciónenT4,marcado
delamismamaneraquelosmosaicosanteriores.
Ejemplo78
69
La lectura del ejemplo 78 es como en los ejemplos anteriores. El fragmento 1
pertenecealárea0;losfragmentos2,3y4sondelárea2;elfragmento5delárea1;
los fragmentos del 6 al 9 pertenecen al área 0 y por último el fragmento 10 se ha
ubicadoenelárea2.
Elejemplo79muestraenunatablaelresultadodelanálisisporáreadelostres
mosaicosdederivación.
Ejemplo79
Segmento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mosaico de derivación en T2 A1
T1 T0 T0 T3 T5 T1 T1 T4 T1 T0 1 0 0 0 2 1 1 1 1 0
Mosaico de derivación en T4 A0
T3 T2 T1 T5 T1 T3 T3 T0 T3 T5 0 2 1 2 1 0 0 0 0 2
Mosaico base de derivación T0 A2
T5 T4 T4 T1 T3 T5 T5 T5 T2 T1 2 1 1 1 0 2 2 2 2 1
La primera fila representa los 10 segmentos numerados. La filas subsecuentes
expresan la transposición en la que se encuentra cada segmento y el área a que
pertenece.Losmosaicosdederivaciónquesehanorganizadodearribahaciaabajode
acuerdoasuordendeapariciónenlapartitura.ElmosaicodederivaciónenT2esta
expresadoenárea1(A1).MientrasqueelmosaicodederivaciónenT4seexpresaen
área0(A0), yelmosaicobasedederivaciónocurreenárea2(A2).Lafrecuenciade
aparicióndelasáreasencadaunodelossegmentosdelosmosaicosdeterminaelárea
70
principalalquehansidoasignados.Lossegmentos8al10delmosaicodederivación
enT2seencuentransombreadosporquenoaparecenenlapartitura.
Elpatróndeapariciónde lasáreasen losmosaicosdederivaciónes siempreel
mismo,ytieneelsiguienteorden:
ElA0semuevealA2
ElA2semuevealA1
ElA1semuevealA0
Elejemplo80representaestepatróngráficamente.
Ejemplo80
Este patrón también surge entre los distintos fragmentos de los mosaicos de
derivación.
El ejemplo 81 muestra una gráfica general de la segunda parte (parte A´) del
MovimientoI,endondesepuedeapreciarlainteraccióndelasáreasenlaestructura.
Ejemplo81 Forma A´ Coda Estructura Interna a b a´ a b a´ Compases 31-33 33-36 36-41 42 42a 42a-c Área A0 A1 A0 A0 A1 A0
Fl:40-41 A1
LaparteA´sepuedeentenderendossecciones:lasecciónquevadeloscompases
31al41,ylacodaqueseencuentraapartirdelcompás42,queestádivididaencuatro
71
partes: 42, 42a, 42b, 42c. Cadaunade estas seccionespresentadentrode ellasuna
forma ternaria a-b-a´ que recuerda la forma de la parte A. En estas dos secciones
ocurreunamismasucesióndeáreas:A0-A1-A0.Laprimerademaneramásextensaque
lasegunda.
Enlosprimerostrescompasesdeestasecciónsepresentalaserieconelsiguiente
orden:
Ejemplo82
Elejemplo82muestralastresseccionesquepermaneceninvariablesdentrodel
nuevoordenamientodelaserie,enloscompases31al33(i).Aunqueelordenenla
segundapresentacióncambia,sepreservanenelprimerhexacordelasposicionesde
lostono-clases<5,6>.Eltono-clase7sigueestandoalladodelapareja<5,6>perosu
presentación es posterior. En el segundo hexacorde, los tono-clases <t, 3, 4, 2> se
muevenal iniciodelapresentacióndelhexacordeylostonos<9,8>sepresentanal
final; es decir, existe un intercambio de orden en la presentación de la díada y el
tetracorde del segundo hexacorde. Estas invariables hacen que los compases 1 y 2
quedenrelacionadosconloscompases31al33.
Loscompasesposterioresrepresentadosporiitransitanatravésdelostonosde
lasfilasVde lasmatricesDeltayGamma:P-δ-VyP-γ-V.LafilaVesunade lastres
filas donde el agregado se completa de manera lineal en las matrices de rotación
transpuestayseubicanloshexacordesdentrodelárea1.
A partir del último tono-clase del compás 36 (La) y hasta el compás 41, se
presentan varias líneas en relación de canon. Este despliegue esta formado por 5
presentaciones completas de la serie y dos presentaciones incompletas de la serie
(ambas exhiben el primer hexacorde de la serie). Dos de las cinco presentaciones
completasdelaseriesemuevenatravésdelpiano,mientrasqueeldesplieguedela
serieenlasotrastrespresentacionesserepartesiempreentredosinstrumentosque
son:arpayfagot,clarinetebajoyviola,clarinetebajoyfagot.
72
Las líneas del canon preservan los tono-clases de la serie en diferentes
ordenamientos. Esta selección de ordenamientos diferentes da origen a la relación
queexisteentrelostonosdelasentradasdelassietelíneasdelcanon.Enelejemplo
83semuestranlostono-clasesdelasentradasdelcanonnumeradosdel1al7,ensu
registrooriginal.Elnúmeroocho,queseencuentraentreparéntesis,correspondeala
últimaentradadelaseriequehacelaflautayseráanalizadaposteriormente.
Ejemplo83
En el ejemplo83 se señalanagrupadas las voces1, 2 y3, así como también las
voces4,5y6.Sepuedeobservarquelarelaciónentrelasdosprimerasentradasesde
un intervalo dirigido 7,mientras que entre la segunda y tercera entradas es de un
intervaloe.Entre lasentradas4,5y6 sepreservan losmismos intervalosdirigidos
queenentrelasentradas1,2y3.Laterceray lacuartaentradacomparteneltono-
clase inicial Mib, que reaparece en la séptima entrada en el mismo registro; al
reaparecerestetono-clasesevuelvesignificativoporsereltonoinicialdelaobra.
Observacionessobrelapresentación.
Elejemplo84muestralosprimeroscompasesdelaobra.
Ejemplo84
73
Elprimercompáscontieneelhexacorde<0,1,7,5,6,e>,formadoporlaunión
de dos tricordes [0, 1, 6]. Los tonos-clase 0 y 1 quedan acentuados por la
instrumentación, mientras que el tono-clase 6 se asocia a la primera díada por la
disposiciónrítmicadelosmotivos.Elsegundohexacordedelaserie<9,8,t,3,4,2>
sepresentaenelsegundocompás,formadopordostricordes[0,1,2];elacentoquese
presentaeneltono-clase3loenlazaconeltono-clasequeloprecede.Enestaprimera
presentación de la serie Stravinsky sienta las bases que abren el camino al
movimientoporáreas.LadíadainicialMib-MiesarticuladaconelapoyodelaflautaI,
trompetaIylosviolines.
Observacionessobrelainstrumentación.
ParaanalizareldialogoentreelpianoylaorquestaenMovimientos,sehadividido
lainstrumentaciónentresfamilias.Losalientos(x),lascuerdas(y),yelpiano(z)en
dondesehanincluidoelarpaylacelestaporaparecerensumayoríadelasveces
apoyandolapartedelpiano.Elejemplo85expresaenformadetablaelordende
aparicióndelainstrumentaciónenloscompasesdelprimermovimiento.Estoshan
sidodivididosdeacuerdoalasentradasdelosinstrumentos.
74
Ejemplo85
cc.1-2 cc.3-11 cc.12-26 cc.27-30 cc.31-36 cc.36-41 c.42
x-y-z x-y-z x-z-y z x-z-y z-y-x z
Loscompases1y2contienenlacombinaciónprimariadelainstrumentaciónque
esx-y-z.Lospatronesdeaparicióndelasfamiliasdeinstrumentosserelacionanpor
mediodelapermutacióndeloselementosdelacombinaciónprimaria.Elejemplo77
muestraunamatrizdeinstrumentación.
Ejemplo86 Matriz de instrumentación
1 x y z R1
2 y z x R2
3 z x y R3
Enlafilaunodelamatrizseencuentralacombinaciónprimaria,queprovienede
losdosprimeroscompasesdelaobra.Lasegundaylatercerafilassonresultadodela
rotacióndeloselementosdelacombinaciónprimaria.Lamatrizseleedeizquierdaa
derecha y de derecha a izquierda. El segundo modo de lectura proporciona los
retrógradosdecadafila.
Usandolamatrizdelejemplo86esposibledescribirlascombinacionespresentes
enel ejemplo68.Lasprimerasdos columnas contienen la combinaciónprimaria, la
tercerayquintacolumnas(x-z-y)correspondenaR2,ylasextacolumna(z-y-x)aR1.
75
MovimientoII
Laformaysurelaciónconlaserie.
El Movimiento II se puede entender como una forma binaria cuyas partes se
dividenasuvezendossecciones.Enlatabladelejemplo87sepresentaelsegundo
movimiento dividido por compases. A cada grupo de compases le corresponde un
área,yselehanasignadoetiquetasdeformaparafacilitarfuturasreferencias:
Ejemplo87
Forma A A’ Áreas A0-(A1) A0-(A2) A0 A0-(A1-2)
Compases cc.46-51 cc.51-55 cc.55-69 cc.60-67
Tal como se puede observar, la parte A comprende los compases 46 al 55 y la
parteA´,loscompases55al67.Cadaunadeestaspartessedivideendossecciones:
LaprimeraseccióndelaparteAabarcaloscompases46al51ycontieneagregadosen
lasáreas0y1.LasegundaseccióndelaparteAseconstituyeconloscompases51al
55ycontieneagregadosenlaáreas0y2.LaprimeraseccióndelaparteA´vadelos
compases55al59ypresentaagregadosenárea0porúltimolasegundasecciónde
estamismaparteabarcaloscompases60al67ycontieneagregadosenlasáreas0y1
ydentrode lascuerdasapartirdelcompás62figuracionesenlasuperficiedelárea
dos. Tres de las cuatro secciones se caracterizan por incluir simultáneamente
agregadoscompletosendosáreasdiferentes, endondeunáreapredominasiempre
sobrelaotra,queacompañaysemuestraentreparéntesisenelejemplo87.
Laseccióndeloscompases46al51dainicioconeltricorde<Fa#-Fa-Sol>,que
refieredirectamentealárea0.Ésteinicioestáligadoalprimercalderóndelcompás42
pormediodelaorquestación.Enambosseescuchaelpiano,seguidoporelarpacon
losmismostrestonos.Enelmomentoenqueentraelarpa,elpianocontinuaconel
desplieguedelárea1paralograrquetodalasecciónseaentendidacomocentradaen
elárea1,sinperderelcontextodelárea0.
76
Enelejemplo88semuestraeliniciodelsegundomovimiento.
Ejemplo88
Talcomosepuedeobservarenelejemplo88,el tricorde [0,1,2]querefiereal
área0hasidomarcadopormediodeuncorchete.Sinembargo,Fa#yFapertenecena
dos líneasdiferentes:Fa# eselprimer tonodelagregadoenárea1;Faeselprimer
tonodelagregadoenárea0.Losagregadossepresentanatravésdelaslíneasdelos
seis instrumentos presentes en esta sección, que son: piano, viola, violoncello,
contrabajo,trompetaIyarpa.
En el ejemplo89 semuestran los tonosde cadaagregado con los instrumentos
que los interpretan. El ejemplo está dividido por hexacordes. Los del área 1 se
muestranenelprimerpentagramaylosdelárea0,enelsegundo.
Ejemplo89
77
Enelejemplo89lasaparicionesdeSibde lasáreas1y0hasidounidoporuna
línea debido a que es el único tono que se desfasa del orden de lasmatrices en el
agregadoenárea0.Estetonoesinterpretadoenelcompás48porelpianoyelarpa,
comosegundomiembrodelsegundohexacordeenárea1;elarpalomantienehastael
compás50conunafiguradetrémolo.Demodoque,conrespectoalordenamientodel
hexacordealfaenárea0,sepresentaanticipado. Sinembargo,paraesteejemplo se
acomodóenellugarquelecorrespondesegúnelordendelretrógradodelárea0.La
lecturadelasmatricescorrespondientesalagregadodelárea0es:R-β;R-α.Yparael
agregadoenárea1esR-β-IV.Elhexacordeαsecompletamedianteotroproceso,que
seexplicamásadelante.
Al inicio del segundo movimiento la obra retoma la sonoridad de trémolo
sugeridaporlastrompetasenelcompás12delmovimientoanterior.Lostrémolosdel
segundo movimiento unen las secciones de la parte A como periodos paralelos al
disponerdeformasimilarlostonosqueabrencadasección.
Elmovimientoentre los trémolosgenerados tricordes [0,2,7].Elprimeroestá
formadocon los tonos<Fa,Sol,Do>yelsegundocon los tonos<Sib,Lab,Mib>.La
instrumentacióndeambossepresentadelamismamanera:elprimertrémolosurge
enelarpa,elsegundoenelpianoyelterceroenlatrompetaI.Así,elprimertricorde
[0,2,7]seconstituyeconuntrémoloenFapresentadoporelarpa,quevaaSolenel
pianoyterminaconunDoenlatrompetaI.ElsegundotricordecomienzaconunSib
enelarpa,quesemuevealLabenelpianoyllegaalMibdelatrompetaI,enelcompás
51,queeselpuntoendondeinicialasegundaseccióndelaparteA.Elejemplo90es
unagráficaquepresentalarelaciónqueseestableceentrelostonosdelostrémolos:
78
Ejemplo90
Enelejemplo90seobservacomolostrémolossehanagrupadoendíadasclase
cinco que están relacionadas por flechas. Las relaciones entre éstas se exhiben por
mediodeintervalosclase7queasciendenodescienden.Elprimertricordepertenece
al inicio de la parte A y el segundomarca el inicio de la segunda sección de dicha
parte.LostonosFaySibquedanunidosporelordenyeltimbre,yaqueambossedan
enlapartedelarpa.
EltrémoloenMib,queabrelasegundaseccióndelaparteA,esresultadodeun
procesomedianteelcualseordenaelhexacordeαdelárea1.Estemismoproceso,que
ordenaaMibcomoelúltimotonodelhexacordeαenserpresentado,permiteelpaso
alárea2enestasección.
El hexacorde α presenta dos características: la primera es que su distribución
linealhacequesepuedapartirenuntetracorde[0,1,6,7]yunadíada[0,6];lostonos
<Si, Sib, Fa,Mi> forman el tetracorde, y <La,Mib> constituyen la díada. La segunda
característicadelhexacordeαesqueeltetracordeseencuentradivididoeneltiempo
porelhexacordeR-αdelárea0.Estasegundacaracterísticapermitequeeltetracorde
delárea2seencuentredivididoporladíadaquecompletaelhexacorde.
Enelejemplo91semuestraunainterpretacióndelprocedimientodecambiode
área por medio de la división de los hexacordes en un tetracorde y una diada
respectivamente.Eltetracordecomún[0,1,6,7],hasidomarcadoconX,mientrasque
79
lasdíadas[0,6]hansidomarcadasconYeY’.Elpasodelárea1alárea2esposible
debidoaqueeltetracordeesinvariableenamboshexacordesyalenlazarseconYse
ubicaenárea1mientrasquealenlazarseconY’generaunhexacordeenárea2.
Ejemplo91
En el ejemplo 91 se muestra cómo el tetracorde común se enlaza con los dos
hexacordesmediante el tonoMide la violaquepermanece ligadodel compás50al
compás51.EltonoquesiguealMiesunFaqueapareceduplicadoenelpiano,yesla
líneadelpianolaquecompletalapresentaciónelhexacordeαenárea2.
LaprimeraseccióndelaparteA´comienzaconunhexacordeenárea1enelpiano
yunhexacordeenárea0enlascuerdas,enloscompases56y57.Loscompases58al
60 completan el agregado en área 0, y la sección finaliza con el hexacorde que
completaelagregadoenárea1,quepromuevetambiénelcambiodesección.
Elpasode laparteAa laparteA´sepreparadesdeelSidelcompás52–quese
presentacomolaúltimanotadelamanoizquierdadelpiano-hastaeltrémolodeLab
del compás 53 en el arpa. Estas dos notas generan una relación ambigua con el
tetracorde [0, 1, 6, 7] que las sigue. El Lab y el tetracorde forman un conjunto que
pertenece al área 1, mientras que el Si con el tetracorde generan un conjunto que
pertenece al área0. El paso a la parteA´ se da con elmismo tetracorde [0, 1, 6, 7]
transpuestoa1:lostonosDoyFa#queformabanpartedeltetracordedelasegunda
sección de la parte A y se unen por timbre al tetracorde en T1 y completan un
hexacordeenárea1.Enelejemplo92semuestraunesquemadelcambiodesección.
Ejemplo92
80
En el ejemplo 92 los tonos que pertenecen al piano se encuentran en el
pentagrama superior. La numeración que se encuentra debajo de los pentagramas
correspondealoscompasesdelapartitura.Lostetracordesestánrepresentadospor
corcheas y designados como T0 y T1. Los Fa# se representan con una ligadura
punteadaparadaraentenderqueelsegundodeellospuedeinterpretarsecomouna
repetición. El hexacorde en área 1 está entre paréntesis e incluye únicamente los
tonoscontenidosenelpiano.
EnlaprimeraseccióndelaparteA´elagregadoenárea0secompletapormedio
deladistribucióndelostonosentetracordesydíadas.Elhexacordeβsepresentaen
sutotalidadenelpianoconladuplicacióndeDoenelvioloncello;lapresentacióndel
hexacordeαsedistribuyeentreelpianoylascuerdas.Enelejemplo93serepresenta
laformacióndelagregadoenárea0:
Ejemplo93
81
En el ejemplo 93 se respeta el orden en el que se encuentran los tonos en la
partitura; el pentagrama superior contiene los tonos que pertenecen al piano. Los
tetracordes están indicados con las variables X y X’ mientras que las díadas están
indicadasconY,Y’.Losnúmerosdebajodelospentagramasindicanloscompasesen
losqueseubican los tonos.Enelejemplo94sepresentaunagráficaqueresume la
formaenlaquesecompletaelagregadoenelejemplo93.
Ejemplo94
ElcambiodelaprimerasecciónalasegundadentrodelaparteA´sedaatravés
del último hexacorde de la primera sección, que se ubica en área 1. El ejemplo 95
muestraelcambiodesecciónentrelassecciones.
Ejemplo95
Elhexacordesedespliegadetalmaneraqueladíada(Fa,Si)abrazaaltetracorde
<La,Sib,Mi,Mib>.Estetetracorde,queescomúnentrelasáreas1y0,sedespliegaen
elpianoaliniciodelasegundaseccióndeA´delcompás62al63.Elhexacordeenárea
0secompletacon ladíada(Lab,Re)enelcompás63;elLab sepresentaen laviola
82
seguidodeunSibquerefuerzaelárea0,alcrearjuntoconLabunodelosintervalos
queladefinen.
Enelejemplo96semuestraunesquemaquecontieneúnicamente lasvariables
delejemplo95.Enesteesquemasepuedeapreciarcómosegeneranloshexacordes
delárea1ydelárea0apartirdeuntetracordecomún.
Ejemplo96
Observacionessobrelainstrumentación.
En este movimiento el dialogo entre el piano y la orquesta se basa en el
retrógradode laprimerafilade lamatrizde instrumentación[z-x-y],yen latercera
rotacióndelacombinaciónprimaria[z-y-x].
Ejemplo97
Forma A A´
Compases cc.46-51 cc.51-55 cc.55-59 cc.60-67 Instrumentación z-x-y z y-x
Enelejemplo97sepresentaunagráficaqueuneelanálisisdelainstrumentación
conlaformapropuestaparaelsegundomovimiento.
83
LaparteAtienelainstrumentación[z-x-y]ylaparteA’lainstrumentación[z-y-x].
En la parte A las áreas no se muestran sobre una variable específica ya que las
entradas de las tres familias de instrumentos se dan en el compás 46, el primer
compásdelmovimiento,yunavezqueentransemantienentocandoconstantemente
alolargodelaparteA.EnlaparteA’,apartirdelcompás56,enlostonosdelpianose
establece el área0 y posteriormente en el compás60 con la entradadel violín y la
violasepresentaelárea1.Finalmenteenelcompás62mientraslastrompetasapoyan
lapresentacióndelárea1lascuerdasconsusfiguracionesestablecenlapresenciadel
área2.
84
MovimientoIII
Laformaysurelaciónconlaserie.
Eltercermovimientosepuedeinterpretarcomounaformabinaria,ycadaunade
suspartessedesarrollasobrelastresdiferentesáreasdelhexacordeD.Enelprimer
compásdelaparteAsedespliegaunagregadoenárea1,delcompás75al78hayun
movimientoalárea0ydelcompás79al80hayuncambioalárea2.EnlaA´,enlos
compases81-83,hayunregresoalárea1;dentrodeestasecciónlapresentaciónde
los agregados se da de manera encadenada. Los compases 84 al 85 presentan un
agregadocompletoenárea0posteriormenteenelcompás86hayuncambioalárea2
y el cierre del movimiento inicia en el compás 89 cuando se regresa al área 0.El
ejemplo98muestraunatablaquedescribelaformadelmovimiento.
Ejemplo98
Movimiento III
Forma A A´
Área A1 A0 A2 A1 A0 A2-0
Compases 74 75-78 79-70 81-83 84-85 86-91
Elpatróndelasáreaspresentadoenelejemplo98sepuedegraficartalcomose
muestra en el ejemplo 99. Nótese que el patrón sigue el mismo orden que la
progresióndelasáreasenlosmosaicosdederivacióndelMovimientoI
Ejemplo99
85
En los compases 79 al 85 se completan dos agregados en área 1 por el
encadenamiento de tres hexacordes diferentes. En el ejemplo 100 se muestra el
procedimientodeconstruccióndeambosagregadosencadenados.
Ejemplo100
Enelejemplo100semuestralostreshexacordesdivididosendostetracordesy
dosdíadas.LostetracordessehandenominadoXyX’,ylasdíadasYeY’.LaXcontiene
untetracordeclase[0,1,6,7];laX’transponeestemismotetracordeaT3oloinvierte
enT9I.LasdíadasYsonclase[0,6].LarelacióndeladíadaYconY’sedaporelmismo
nivelde transposiciónyelmismo índicede inversiónutilizadoen la relaciónde los
tetracordesXyX’.Lasdosdíadasydostetracordessepuedencombinarde4formas
diferentesparagenerarhexacordes;sisecombinanX+Y,obienX’+Y’secompletan
hexacordesenAn.SisecombinanX+Y’,obienX’+YseobtienenhexacordesenAn+
1.
Para completar el primer agregado, de los compases 79 al 81, ambos pares de
elementossecombinanentresformasdiferentesquegeneranlostreshexacordesdel
ejemplo101.ElprimerhexacordeseformaconlacombinaciónY+X,yseencuentra
86
enAn;elsegundoconlacombinaciónX+Y’,yseencuentraenAn+1,yeltercerocon
lacombinaciónX’+Y’yseencuentraenAn.
Ejemplo101
El ejemplo 102 dispone los tonos que forman el primer agregado encadenado,
ordenadosenunmismoregistro.
Ejemplo102
Compases79al81
Cada hexacorde ha sido etiquetado con el área a la cual corresponde. El Si del
primerhexacordeserepresentadentrodeunparéntesisporquenoseencuentraenla
partitura.Lasvariablesdelejemplo102semuestranseñaladasconplicasascendentes
odescendentes,ylasáreasalasquepertenececadahexacordeseindicanaliniciode
losmismos.
Elsegundoagregadoencadenadosemuestraenelejemplo103.
Ejemplo103
87
Aquí sepuedeobservarcómoelmismoprocedimientodeconstrucción también
secumpleenelsegundoagregado.
Lasvariablesdelejemplo101sepuedenocupartambiénparaexplicarelpasaje
de área 2 de los compases 85 al 88. En el ejemplo 104 se muestra la gráfica que
describeelpasaje.
Ejemplo104 Compases 85 al 88
Elejemplo104muestracómoladiadaY’,queprovienedelostonosDoyFa#que
permanecen ligados en el clarinetebajo y el arpa respectivamente, se enlaza conX.
LostonosdeXseencuentranenlaslíneasdelclarineteycornoinglés,éstosformanun
88
tetracorde[0,1,6,7]conlostonos(Mi,Fa,Sib,Si).Enelcompás86ladíadaYaparece
completa y se vincula con el tetracorde X’, definiendo el área 2 con un primer
agregado.Elcompás87contienetanto ladíadaYcomoa los tetracordesXyX´;por
último,enelcompás88enlaflautaIapareceladíadaY´quecompletalapresentación
delsegundoagregadoenelárea2.
Enelejemplo105sedestacanlasrelacionesentrelosmismostonosdelcompás
86,queesdondesedefineelárea2.LasvariablesX’yYocurrenenelpiano.Sepuede
observarcomoeltetracordeX’quedaabrazadopor ladíadaY,mientrasqueeloboe
anticipaunmiembrodeltetracordeXmedianteunaapoyatura(Reb).
Ejemplo105 Compás 86.
Enelejemplo106sepresentalarelacióndelasvariablesdentrodelapartedela
flautaI(compás88),dondeocurreladíadaY´,completandoasíelagregadoelsegundo
agregadoyconcluyendoconlasecciónenárea2delaparteA´delmovimiento.
Ejemplo106
Compás88.
89
Observacionessobrelapresentacióndelaidea
Lapresentacióndelaserieenestemovimientosedaconunagregadoenárea1,
cuyoprimerhexacordecontienealgunosrasgosdeldespliegueinicialdelaobraenel
Movimiento I,destacadospormediodecorcheasenelejemplo107.Elordende los
tonosgeneradostricordes[0,2,7],conlostonos<Sib,Fa,Mib>y<La,Mi,Re>;estos
tricordesseasocianalprocesodelostrémolosdelsegundomovimiento.
Ejemplo107
Compás74
Enelprimerhexacordedelcompás74segeneran4tricordesclase[0,1,6]yun
tricordeclase[0,1,2]:Porregistroquedanunidoslostonos(Sib,Mib,La)queforman
untricorde[0,1,6],presentedeformanaturalenárea0.Porordenaparecenunidos
lostonos<Mib,Mi,La>,señaladosporelcorchete,quetambiénformanuntricorde
[0,1,6],yquepuededarseenárea0óenárea1.Eltricordeformadopor(Sib,Mib,
90
Mi),queseseñalamediantelalíneapunteada,puedeperteneceralárea0óalárea1.
Lostricordesqueseformanenelpentagramasuperiorson(Fa,Mi,Si),quetambiénes
clase[0,1,6]yseencuentradentrodelárea1oelárea2;yeltricorde(Fa,Mib,Mi),
clase [0, 1, 2], que define el área 1. La saturación de tricordes [0, 1, 6] en dicho
hexacordehacereferenciaaltricordeinicialdelaobra.
El agregado del segundo hexacorde presenta un ordenamiento que mantiene
invariableslostonos<Re,Do,Si>conrespectoalapresentacióninicialdelaserie.El
hexacorde se completapormediodeun tetracorde clase [0, 1, 6, 7] ydeunadíada
clase[0,6]que,enelejemplo104,correspondenaX’yY’.Deestamanera,desdeel
iniciodelmovimientosepresentaesta formadecompletar losagregadospormedio
de la partición del hexacorde en un tetracorde y una díada. En el ejemplo 108 se
muestranlostonosdelsegundohexacorde,ylosdostonosquelesiguenqueseubican
enelfinaldelcompás74yeliniciodelcompás75.
Ejemplo108
Enelejemplo108semarcandostetracordesclase[0,1,6,7]:elprimeroesparte
delhexacordequecompletalapresentacióndelárea1(X’);elsegundoseformaconla
díadaY’y los tonosque lesiguenen lapartitura.ElFa#es tocadoporeloboey los
demástonoscorrespondenalpiano.
Enlasecciónenárea2(compases85al88)seintroducenenelclarinetedosde
lostrestonosquecierranelmovimiento<Sib,Fa>.Estostonos,juntoconelMibque
apareceenlatrompetaIaliniciodelinterludio,completaneltricorde[0,2,7]inicial
91
del movimiento. En el ejemplo 109 se señalan los tres tonos, así como los
instrumentosquelosinterpretanyloscompasesenlosqueseencuentran.
Ejemplo109
Observacionessobrelainstrumentación
Lainstrumentaciónquetieneestemovimientocorrespondealosalientos,arpay
piano,siendoelúnicoquenoincluyealascuerdasensuorquestación.Enelejemplo
110semuestralaunióndelosanálisisporinstrumentaciónyporforma.
Ejemplo110
Movimiento III
Forma A A´
Compases 74 75-78 79-70 81-83 84-85 86-91
Instrumentación z x x x-z x (z)-x-z
Puedeobservarsequelainstrumentaciónocupalosprimerosdoselementosdela
terceralíneadelamatrizdeinstrumentaciónlacualdescribeelmovimientodelpiano
hacialascuerdasqueserepresenta:[z-x].Paraelpasajeenloscompases86al89,el
piano queda representado entre paréntesis porque se ha considerado que sus
intervencionesno sedistinguenclaramente con respectoa losdemás instrumentos:
en el compás 86 prevalece el trémolo del clarinete < Sib-Fa >, mientras que en el
compás89compartelafigurarítmicaconlasflautas,queporregistrosobresalen.
92
MovimientoIV
Laformaysurelaciónconlaserie.
El cuarto movimiento puede interpretarse como una forma ternaria que se
desarrollatomandoelárea1comocentro.LaparteAvadeloscompases96al109,la
parteBdeloscompases110al122y,porúltimo,laparteA´quevadeloscompases
123 al 135. Cada una de estas partes a su vez se divide en tres secciones. Estas
generan una forma ternaria interna dentro de cada parte del movimiento. En el
ejemplo111semuestraunatablaconlaformadelmovimiento.
Ejemplo111 Forma A
B A´
Área A1 A0 A1
a
b
a´
a
b
a´
a
b
a´ A1 A0 A1 A0 A1 A0 A1 A0 A1-(A0)
Compases 96-109 110-122 123-135
Enelejemplo111sepresenta-enlatercerasección(a’)delaparteA’-elárea0se
exhibe entre corchetes debido no afecta el desarrollo en el área 1, dentro del
movimiento.
La superficie de la forma ternaria esta reforzada por dos acordes, que
permanecensostenidosyseejecutanconlaseccióndelascuerdas.Elprimerodeellos
es(La,Mi,Do#,Sol#)yseubicaen laparteA.Elsegundoes(Re,La,Fa#,Do#)yse
encuentraenlaparteB.Porúltimo,elregresoalprimeracordeenlaparteA´.
Stravinsky dispone cada uno de estos acordes como dos díadas [0, 7]. En el
ejemplo112semuestranestosdosacordesdestacadosconplicas,cadaunodispuesto
enunodelospentagramaspresentados.
93
Ejemplo112
Enelejemplo112sepuedever lasdíadas [0,7]La-MiyDo#-Sol#enelprimer
pentagramaquedisponeunagregadoenárea1.LadíadaLa-Mipertenecealprimer
hexacorde, y la díada Do#-Sol# al segundo. Las díadas del segundo acorde están
dispuestas en el segundo pentagrama que dispone un agregado en área 0, y se
presentan tambiéndivididas cadaunadentrodeunhexacorde.El primerode estos
acordesseubicademaneranaturalenelárea1yelsegundoenelárea0.
Comosemostróenelejemplo111,cadapartedelmovimientorepresentaasuvez
una formaternaria.Dentrode laspartesAyA’ laprimerasecciónestáenárea1, la
segundaenárea0ylaterceraregresaaárea1.DentrolaparteBlaprimerasección
estáenárea0,lasegundaenárea1ylaterceraenárea0.Mientrasestoscambiosde
área ocurren en cada parte del cuarto movimiento, una de las díadas del acorde
sostenidoporlascuerdaspermaneceinvariableentreellos.
En el ejemplo 113 se muestran las diadas que permanecen invariables en los
cambiosdeárea,señaladasconuncorchete.
Ejemplo113
94
El primer compás del ejemplo 113 corresponde a las partes A y A´ del
movimiento;elsegundocompásrepresentalaparteB.DentrodelaspartesAyA´,la
díadaque sepuedeubicar tanto en área0 comoen área1 es La-Mi y, dentrode la
parteB,ladíadaambivalenteesFa#-Do#.
Sino se tomaencuenta ladivisiónpordíadasde los tetracordes tenidosen las
secciones, son tres los tonos naturales al ordenamiento del hexacorde y forman un
tricordeclase[0,1,5];este tricordeafirmaelárea.Enelcasodelprimertetracorde
sonlostonos(Fa#,Do#,Re)yenelsegundotetracordesonlostonos(Mi,Lab-La).El
ejemplo114muestralostricordes.
Ejemplo114
Enelejemplo114sepuedeobservarenelprimerpentagramaeltricorde[0,1,5]
destacado con plicas descendentes, y en el segundo pentagrama el tricorde está
señaladoconplicasascendentes.
En las tres partes del movimiento se da un cambio de instrumentación en los
compases posteriores a las presentaciones de la serie: dejan de tocar los alientos y
entraelpianomientraselacordeenlascuerdaspermanece.Lasentradasdelpianoen
cadaunadelaspartesserelacionanentresi.Sedistinguentrescoleccionesdistintas
quecorrespondenalasentradasdelpiano.LaprimerasedenominacolecciónK1yse
localizaenloscompases100y101;lasegundacolecciónsedenominaK2yselocaliza
enloscompases113y114;yporúltimolaterceracolecciónquesehadenominadoK3
yselocalizaenloscompases127y128.
95
La primera relaciónque se da entre las tres colecciones es entreK1 yK2. En el
ejemplo115semuestranloscompasesquecontienenlascoleccionesylarelaciónque
seestableceentreellas.
Ejemplo115
En el ejemplo 115 la colección K1 se dispone en los primeros dos compases,
mientras que la colección K2 se presenta en el tercer y cuarto compases. La
transformacióndeK1haciaK2 sedapormediodel índicede inversión t.Seescogió
considerar la transformación de K1 hacia K2 como una inversión debido a que
provienendesegmentossimilaresdelaserie,ysuordenamientorevelaunarelación
unoaunodeinversiónentrecadaunodesustonos.
Enel ejemplo116 semuestra la colecciónK3 contenidaen los compases127y
128.
Ejemplo116
96
La colección K3 está formada por la parte α del hexacorde, y contiene un
ordenamientodiferentealossegmentosK1yK2.Porestarazónnohayunaoperación
enlaquesetransformeelordendeK1oK2enMperoelconjuntodelosprimerosseis
tonos de las colecciones K1 y K2 se proyectan cada uno en K3 por medio de las
transposicionesa9yerespectivamente.Enelejemplo117semuestraenunagráfica
lastrescoleccionescomoconjuntosqueserelacionanportransposición,ytambiénse
presentalarelaciónentrelossegmentosK1yK2.
Ejemplo117
El ejemplo 117 muestra por medio de flechas las relaciones entre las tres
colecciones. La colección K1 se proyecta en K2 por medio de la operación de
transposición a 9 y la colecciónK2 se proyecta enK3 pormediode la operaciónde
transposición a e. La flecha en la parte inferior representa la transformación del
segmentoK1enelK2pormediodelíndicetdeinversión.
Enelmovimientoexisteotrarelaciónimportanteentretrescolecciones,distintas
a las ya consideradas. Éstas también están resaltadas por un cambio en la
instrumentación que, en cada una de las partes delmovimiento, ocurre demanera
similar.Traselfinaldelosacordessostenidossepresentacadaunadelascolecciones.
La primera colección se denomina L1 y va de los compases 105 al 106; la segunda
colecciónsedenominaL2yvade loscompases119al120;y la terceracolecciónse
97
denomina L3 y va de los compases 132 al 133. Las colecciones están relacionadas
medianteoperacionesdetransposición.Elejemplo118presentalastrescolecciones.
Ejemplo118
La relación entre las colecciones L2 y L3 es de retrógrado. Los intervalos de
transformaciónentrelacolecciónL1ylascoleccionesL2yL3sonT5ounainversiónen
índice1.Elejemplo119muestraenunagráficalasrelacionesentrelascoleccionesL.
Ejemplo119
Observacionessobrelapresentacióndelaidea.
Eliniciodelcuartomovimientoestáestrechamenteligadoaliniciodelaobrapor
lapermanenciadedíadas invariables;dichasdíadasenfatizan lapresentación inicial
de los tonosmientrasqueel desplieguede la serie sedesarrolla en el área1.En el
ejemplo120semuestraeliniciodelMovimientoIV.
Ejemplo120
98
LasflautasabrenconunainversióndelritmoinicialdelMovimientoI.Lalíneade
la flauta II (Mib, Mi) en el primer compás se une a la de la flauta I en el segundo
compás (Sib, Lab) para crear el tetracorde inicial de la obra. Este tetracorde está
marcadoenelejemplo103conunalíneapunteada.Elagregadoenárea1sepresenta
en los primeros seis tonos del movimiento y está marcado por un corchete. Los
corchetesmáspequeñosseñalanlasdíadasquepermaneceninvariablesconrespecto
alapresentacióndelaserieenelprimermovimiento:lasflautasunenlostonosMi-La
quesemantienenenlasviolas;elRe-Do,enelvioloncellosolo,sedabaanteriormente
enelpasodeunhexacordeaotro,yenestapresentaciónformapartedelostonosdel
segundohexacorde.
Los compases 98 y 99 presentan el complemento del agregado en A1 en la
disposicióndedostricordes[0,2,7].Lostonosqueformanestostricordesson<Do#,
Sol#, Fa#> y <Re, Do, Sol>. Estos tricordes provienen de la segunda rotación de la
matriz, que se mantiene presente en el tercer movimiento y que dio inicio a su
exposición en el segundo, con los trémolos. En el ejemplo 121 se muestran los
compases98y99,quecontienenelhexacordeβ.
Ejemplo121
.
99
LaparteBdelmovimientosecentraenelárea0.Éstainiciaconlapresentación
delretrógradodelaserie.EnlaparteA´lapresentacióndelaseriequeda,aligualque
en la parte A, ligada al inicio de la obra. El ejemplo 122muestra los dos primeros
compasesdelaparteA´.
Ejemplo122
Enelejemplo122seseñalaconuncorcheteeltricorde[0,1,2]queseencuentra
enlapartedelpiccolo.Estetricordeconlostonos<Fa,Mib,Mi>defineelárea1.ElMi
yelLaquedanasociadosnuevamenteenestapresentación,yaqueambossetocanen
la última semicorchea del primer compás. El tetracorde inicial se articula por el
registroenelqueestáescritoelSibdelaflauta,elcualquedaenlazadoconlostonos
(Mib,Mi,Lab)delpiccolo;poresta razón sepresentaun Sib entreparéntesis enel
ejemplo.Enloscompases125y126sevuelveadarlaasociacióndetricordes[0,2,7]
enel segundohexacordede la serie; elReyelDo,quepermanecen invariables con
respectoalinicio,estavezsoninterpretadosporelclarinetebajoyreforzadosporel
trombónbajo.
Observacionessobrelainstrumentación
Enestemovimientolainstrumentaciónsebasaenlacombinaciónprimaria[x-y-z]
yenlarepeticióndesusdosúltimoselementos[y-z].Estosúltimospertenecenalas
dosprimerascolumnasdelasegundarotacióndelacombinaciónprimaria
100
Ejemplo123
A
B A´
x-y-z-(y-z) x-y-z-(y-z) x-y-z-(y-z)
Enelejemplo123semuestraunatablaendondeseasocialaformaala
instrumentación.Entreambosconjuntossegeneraunacombinación[x-y-z-y-z],que
apoyalaformaternariaocurriendotresveces.
MovimientoV
Laformaysurelaciónconlaserie.
ElquintoeselmásextensodeloscincoMovimientos.Enélsedesarrollanlastres
áreas del hexacorde que toman preeminencia unas sobre las otras a lo largo del
Movimiento. En el ejemplo124 se muestran las áreas que van tomando relevancia
dentro del movimiento y se señalan también los compases en donde inicia su
influencia.
Ejemplo124
A A´
Áreas A0
A2
A0
A1 A0 A1 A0
Compases 141-154 155-157 158-168 169-171 172-175 176-181 181-193
El ejemplo 124 tambiénmuestra la formaque se ha propuesto para entender
estemovimiento, una formabinaria. LaparteAvade los compases141al 171y la
parteA´deloscompases172al193.
Lasuperficiedelosprimeroscuatrocompasesdelquintomovimientorefierena
lastresáreasdelhexacorde.Porunapartesepresentaunagregadocompletoconel
retrógrado de la serie en área 0, que presenta la trompeta I en los dos primeros
compases y, posteriormente, pasa al clarinete, los violines y el arpa. Por otraparte,
101
mientrassuenaelretrógradodelaserie,elpianoenelprimercompásdelmovimiento
exponeelárea1,enelsegundoelárea2,eneltercerovuelvealárea1y,porúltimo,
enelcuartoseunealapresentacióndelárea0.Enelejemplo125semuestralaparte
delpianoenlosprimeroscuatrocompasesdelMovimientoV.
Ejemplo125
Enelejemplo125semuestra losnúmerosde loscompasesdebajodel segundo
pentagrama.Enel compás141 sepresentaunagregadocasi completoenárea1; el
tono que no se presenta es el Sib. Los tonos que aparecen sin plica se consideran
repeticionesdelostonosyapresentados.Eláreadosdelcompás142comienzaconla
presentación de un tricorde [0, 1, 2] que define el área <Mi, Fa, Fa#> en la mano
derecha,mientrasquelamanoizquierdatocaeltricorde[0,1,6]conlostonos<Sol#,
Do#,Re>.Estetricordetieneuncarácterambivalenteypuedeestablecersetantoenel
área1comoenla2.Lasfigurasquesiguenpertenecenexclusivamentealárea2.Enel
compás143sedaenlamanoderechaunade lasdíadas[0,2]quedefinenelárea1
conlostonos<Si,La>,mientrasquelamanoizquierdapresentaunadíadaquepuede
perteneceralárea1oalárea0.Lamismaambivalenciaocurreconlaprimerafigura
delamanoizquierdadelcompás144.Lasdemásfigurasestablecenelárea0.
El área 0 se afirma en el compás 145. En el ejemplo 126 se muestran las
relaciones que sostiene éste compás con el inicio de la obra. En este compás se
presenta el hexacorde α en el mismo orden inicial. Los primeros tres tonos son
interpretadosporlosviolines.ElMiinicialseasociabaconelLa,al iniciodelaobra,
102
porunmovimientodescendente,mientrasqueenestecompásloquelosasociaesque
elMipermanecesonandocuandosearticulaelLa.
Ejemplo126
El área 0 se establece en el compás 145 y permanece hasta el compás 154; sin
embargo, algunas figuraciones dejan entre ver otras áreas. Tal es el caso de los
compases146al148,endondeelacomododelostonospermitelapresenciadelárea
1.Enelejemplo127semuestranlostonosdeloscompases146al148.
Ejemplo127
En el ejemplo 127 los tonos que corresponden al piano se encuentran en el
pentagramasuperior.Elúltimotonodelprimertetracorde<Sib,Mib,Mi,La>presenta
unarelaciónverticalcon los tonosSiyRe;enelejemplosehaseñaladoeláreaque
formaríansiseunierancadaunoaltetracordeX.Tambiénlostetracordes[0,1,6,7]
señaladosconXyX’sepuedenasociara ladíadaY’,provocandodoshexacordesen
dosáreasdiferentes.Enelejemplo128semuestraunesquemaqueocupasolamente
lasvariablesdelejemplo127pararepresentarlasposiblesáreasdeestesegmento.
103
Ejemplo128
Enloscompases151al153hayunpasajequerecuerdaelmovimientodelarpa,
en los calderones del compás 42, y el cambio del primero al segundomovimiento.
Aparece en primer lugar un hexacorde α con un ordenamiento de un hexacorde β.
DichoordenamientocorrespondealalecturadeR-β–III;posteriormentepasalalínea
aunhexacordeP-β–IIIparaconcluirconelretrógradodelmismoqueseubicaenR-
β–III. En el ejemplo 129 se presentan los tonos, con su referencia a las filas de las
matricesalasquecorresponden.
Ejemplo129
El efecto del encadenamiento se muestra en el ejemplo 129 a través de una
ligadura que resalta la cualidad del Do# como un tono compartido entre los dos
últimoshexacordes.
Elárea2sepresentadenuevojuntoconelárea0enloscompases155al157.En
esta sección se extiende de manera lineal el agregado en área 0. Sin embargo, la
instrumentaciónrefuerzaelárea2con los tonosdelclarineteyclarinetebajo.Enel
ejemplo130semuestranlasdosáreas:elordenlinealde lostonosda la lecturadel
agregadoenárea1mientrasquelasplicasascendentesodescendentesdanlalectura
delárea2.
104
Ejemplo130
Tambiénsehanidentificadoenelejemplo130lostonosdelclarineteylostonos
delclarinetebajo.Lostonosdelclarinetebajocontienenunodelostricordes[0,2,6]
quedefinenelárea2conlostonos<La,Do#,Mib>.Lostonosdelclarinetecontienenla
díada[0,2],conlostonos<Fa#,Mi>,quetambiéndefineárea.Elprimerhexacordedel
agregadolinealcorrespondealalecturadela filaVdelhexacordeαdelamatrizen
retrógrado,mientrasqueelsegundohexacordesecompletaporeltetracorde[0,1,6,
7]yladíada[0,6].
En el ejemplo 131 se ejemplifica con las variables la manera en la que se
completanlosagregadosenelejemplo113.
Ejemplo131
Enelcompás131,elpianopresentajuntoaltrombónIunagregadocompletoen
área 0 para regresar, en los compases 159 hasta el 162, al área 2 y al área 0. A
continuaciónsepresentaelcompás162enelejemplo115.
105
Ejemplo132
En el ejemplo 132 los tonos que corresponden al piano se ubican en el
pentagramasuperior.Elhexacordeβseexhibedivididoenuntetracorde[0,1,6,7]y
dos posibles díadas [0, 6]. Las díadas estánmarcadas con Y e Y’. Los primeros seis
tonosdelpianosepuedenentendercomounhexacordeβenárea0;sinembargo,en
lostonosdelaflautaaparecealineadaladíada[0,6]conlostonos<Sib,Mi>,justoal
final de la presentación del tetracorde en el piano. Esta misma díada <Sib,Mi> se
presenta justoal términode lapresentacióndelprimerhexacordeenelpiano.Los
tonosquecontinúanelcompásdentrodelpianoson<Mi,Fa,Fa#>,tricordequedefine
elárea2y,enelclarinete,ladíada<Lab,La>quepuedeencontrarsetantoenárea0
comoenárea2.
Enelejemplo133sepresentaunesquemaqueinterpretaelcompás162apartir
delasvariablesyacomentadas.
Ejemplo133
106
Elcambiodelasáreas0y2alasáreas0y1sedaenelcompás163.Elpasoseda
atravésdeladivisióndelhexacordeenuntetracorde[0,1,6,7]ydosdíadas[0,6],
ademásdeladíada[0,7]queabreelcompás;éstadíadasecompartesolamenteentre
área1yárea2.Elejemplo134ilustralasrelacionesdelcompás163.
Ejemplo134
Enelejemplo134semuestraladíada[0,7]marcadaencorchetes,eltetracorde
estámarcadoconlavariableX,ylasdíadas[0,6]conlasvariablesYeY’.
Asícomoenlosejemplosanteriores,seincluyeenelejemplo135lagráficaconel
esquemaquerepresentalaambivalenciadeltetracordepresentadoenelejemplo134.
Ejemplo135
En los compases que van del 175 al 180 se completa un agregado en área 1, a
travésdelordenamientodeloshexacordesαdelasmatricesIRyPenlasfilasIV(P-α-
IV;IR-α-IV).Elordenamientodeloshexacordesportetracordesydíadasesevidente
gracias a la distinción de dos timbres. El primero de ellos es la reiteración en las
flautas de los tonos <Do#, Re> que ocupa los compases 177 al 179, y que hace
107
deseablelallegadadelDo;elsegundoeseltricorde[0,1,6]quepermanecesostenido
entresvioloncellos.Elejemplo136muestraunesquemadedichoscompases.
Ejemplo136
En el ejemplo 136 los tonos de las flautas se encuentran en el pentagrama
superior. Los tonos del acorde que permanece sostenido a lo largo del pasaje se
encuentranenelpentagramainferior,asícomoelDofinalquesearticulaenelpiano
enel compás180.Lasvariables señalan ladivisiónde loshexacordesypermiten la
generacióndelesquemaquesemuestraacontinuaciónenelejemplo137.
Ejemplo137
ElfinaldelMovimientosedaconlapresentacióndelaserieensuordenoriginal,
en un pasaje cadencial en el que las figuraciones rítmicas permiten percibir la
presentacióndecadatonodelaserieporúltimaocasión.
Observacionessobrelainstrumentación.
108
El diálogo entre las familias de instrumentos en movimiento V es muy activo
dondelasentradasdelosinstrumentoscorrespondeensumayoríaalacombinación
primaria de instrumentación. En el ejemplo 138 se presentan las entradas de las
familiasdeinstrumentosdivididosencompases.
Ejemplo138
x-z xyz xyz xz xyz zyx xy z yz
141-142 143-148 149-150 151-168 169-171 172-175 175-179 180-181 182-193
Los compases 141 y 142, los dos primeros compases del movimiento V,
correspondenalatrompetayelpiano,aunqueenelcompás143siguentocandoestos
instrumentos se destaca en los compases 143 y 144 la sonoridad de los clarinetes
tocandotrémolosyesaquídondedainiciolaprimerapresentacióndelacombinación
primaria de instrumentación que se da en este movimiento, posteriormente en el
compás 145 entran las cuerdas solas por dos compases y por último el piano en el
compás 147 y 148. Entre el compás 149 y 150 se da la misma combinación de
instrumentación[x-y-z]demaneramásinmediata.Despuésenloscompasesdel151
al 168 el piano entabla un dialogo junto con los alientos, para después de los
compases 169 al 171 presentar de nuevo la combinación primaria de
instrumentación.
Apartirdelcompás172sepresentaelretrogradodelacombinaciónprimariade
instrumentación es decir [z-y-x] al llegar al compás 175 el piano deja de tocar y la
sonoridaddelasflautastomaunrolprincipalhastaelcompás179,enelcompás180
losviolinesentranconuntremoloymuydecercaenelmismocompásentraelpiano
completando laúltimapresentacióncompletade lacombinación[x-y-z].Delcompás
182 al compás 193 se establece un dialogo entre los dos últimos elementos de la
combinaciónprimaria[y-z]esdecirentrelascuerdasyelpianoarpaocelesta.
109
110
Capítulo4:AnálisisdelosInterludios
DentrodeMovimientosse encuentran cuatro interludiosqueaparecenentre los
cinco movimientos. Estos interludios constituyen unidades musicales que, en una
etapatardíadelprocesodecomposición,fueroninsertadosentrelosmovimientos.En
palabrasdelmismoStravinsky:“Losinterludiosmásquecodassonintroducciones,el
director debe hacer una pausa antes de ellos. Lo que yo quiero es que las vetas y
suturasdemimúsicaseanevidentes”52.
Losinterludiossonfragmentosdemúsicadeentre3y6compasesdeextensión.
Cadavezqueapareceuninterludioserecuerdaeliniciodelaobradondeelárea0se
presenta de una manera muy vivida y contrastada a través del área 1. En la
instrumentacióndelosprimerostresinterludiosparticipanúnicamentelascuerdaso
losalientos.ElinterludioIVeselúnicoinstrumentadoparacuerdasyalientos.
Enelejemplo139sepresentaunatablaenlaquesenumeranlosinterludiosdelI
al IV. En esta también se describe el movimiento de las áreas en cada uno de los
interludios,loscompasesdelacomposiciónenlosqueseubicanysuinstrumentación.
Ejemplo139
Interludios
Interludio I II III IV Área A0 A0 A0 A0
Compases 43-45 68-73 92-95 136-140 Instrumentación x y x x-y
Todos los interludios inicianpresentandounhexacordedeárea1.Losprimeros
tresinterludioscomienzandesplegandoelmismohexacorde,elprimerodelaserieen
T1,mientrasqueelinterludioIViniciaconelsegundohexacordedelaserieenT4.El
ejemplo 140 contiene los tonos iniciales de cada interludio y muestra algunas
relacionesdeordenentrelosprimerostresinterludios.52Straus, JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic.Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress.p.
71.
111
Ejemplo140
Enelejemplo140cadacompáspresentaeliniciodecadaunodelosinterludios.
LostonosqueconcluyenlapresentacióndelhexacordedelinterludioIson(Fa,Sib);
estosmismosabrenlapresentacióndelinterludioII.EnelinterludioIIsonseguidos
porlosprimerostrestonosdelinterludioI(Mib,Mi,La).EnelinterludioIIlostonos
(Fa, Sib) y (Mib, Mi, La) quedaron asociados por orden. El interludio III abre su
presentacióndelhexacordeconesoscincotonos.
A continuación se presenta el análisis de cada interludio, los interludios como
mencionaStravinskysonintroduccionesdecadamovimientoyesteanálisispropone
quesonregresosaliniciodelaobraporloqueelsiguienteanálisismuestralarelación
de cada interludio con el inicio de la obra y la relación de cada interludio con el
movimientoqueprecede.
InterludioI
ElinterludioIestáformadopordoshexacordesα,elprimerodentrodelárea1y
elsegundodentrodelárea0.Lostonosquecompletanlosagregadosenambasáreas
del interludio I lleganen el iniciodel Movimiento II, por loque loshexacordesdel
interludio presentan en realidad el inicio del movimiento. En el ejemplo 141 se
muestralarelaciónentreelinterludioIyeliniciodelMovimientoII.
Ejemplo141
112
En el ejemplo 141 se muestra en el primer compás los dos hexacordes que
pertenecenalinterludioIy,enelsegundocompás,loshexacordesquepertenecenal
iniciodelMovimiento II. Loshexacordesque completan los agregados estánunidos
porlíneaspunteadasqueseñalaneláreaalaquepertenecen.Tambiénseindicaenel
ejemplo la fila de la matriz a la que pertenecen los hexacordes, y los intervalos
dirigidosdecadaunodeellos.Ambosdatossonrelevantesporquenosololostonosse
venenlazadospara formarunagregado, sinoque también sepuedeapreciar como
Stravinskyescogemantenerlamismarelacióndeintervalosentreellos,refiriéndolos
alamismafiladelamatriz.
Eltricorde<Mib,Mi,La>conelqueiniciaelprimerinterludioesdelaclase[0,1,
6], lamismaclasedel tricorde inicialde laobraademás los tonosestánremarcados
por el gesto rítmico de los primeros cinco tonos de la serie. En el ejemplo 142 se
muestranlostonosdelcompás1.
Ejemplo142
113
Los tonos<Mib,Mi, Sib> estánunidos en la presentaciónde la serie por orden,
mientras que los tonos (Mib,Mi, La) están unidos mediante un gesto rítmico. La
operación que relaciona estos dos tricordes es la inversión en índice 7 (T7I). El
tricordeinicialdelinterludioI<Mib,Mi,La>sepresentaenaumentaciónrítmicacon
respectoalprimertricordedelaobra.
Losmovimientosdeáreapormediodetricordes[0,1,6],obiendeltetracorde[0,
1,6,7]queseformaporelencadenamientodedostricordes[0,1,6],prevalecenalo
largodelaobra.Yestánsembradosenlapresentacióndelaserieestosmovimientos
sonusadosalolargodelosinterludiospararecordarelárea0.
InterludioII
ElinterludioIIestáformadopordosagregados,elprimerodeellosestáenárea1
y ésta presentación de la serie es lamisma que abre elMovimiento III, el segundo
agregadoestáenárea0yelhexacordebetaquecompletaelagregadoseconformapor
dostricordes[0,1,6],recordandonuevamentealtricordeinicialdelaobra.
Lapresentacióndelagregadodelprimeragregadodelinterludiodosenárea1se
encuentraenelejemplo143.
Ejemplo143
Los tonos que se encuentran en los compases 68 al 71 están dispuestos en el
primercompasdelMovimientoIII,elúltimotonoF#eselprimertonodelcompás75.
Lostonosqueestánentrecorchetesdelcompás70setomaroncomorepeticionesde
lostonosdelcompás69.Eltricorde<Bb,F,Eb>queiniciael interludioprovienedel
114
tricorde[0,2,7]delcompás12yquesedesarrollóenlostrémolosdelMovimientoII.
Enelejemplo144semuestraelhexacordequecompletaelagregadoenárea1.
Ejemplo144
En el ejemplo 144 el hexacorde se dispone de tal manera que se genera un
tetracordeclase[0,1,6,7]quesecompletaconladíada[0,6].Estaclasedetetracorde
está presente en el Movimiento III dentro de los agregados encadenados, y en la
seccióndeárea2delaparteA’delmismomovimiento.
LapresentacióndelsegundoagregadodelinterludioIIesenárea0,ysedaenlos
compases71al73.Enelejemplo145semuestraladistribucióndelhexacordealfa.
Ejemplo145
ElhexacordeAlfaseescuchaenelViolinIysedisponeapartirdelaterceranegra
delquintillodelcompás71.Aunqueconcluyerápidamentesupresentaciónsealarga
115
supresenciahastalaúltimanotadelcompás73dondesevuelveatocarLayaparece
almismotiempoqueC#formandounintervaloverticalclase4.Losintervalosclase4
no sedandentrode los intervalosde lamatrizdemanera linealpor loque cuando
aparecedentrodelapartituraunintervaloclase4podemosentenderquesetratade
dos hexacordes diferentes o dos líneas diferentes. En este caso el la pertenece al
hexacordealfayelC#alapresentacióndelhexacordebeta.
El hexacorde Beta se presenta dos veces la primera comienza en el compás 71
pocoantesdelapresentacióndelhexacordealfayconcluyeconelsobreagudodelC#
queapareceduplicadoenlosviolonchelosdelcompás73.
Ejemplo146
En el ejemplo 146 semuestra la disposición de los dos tricordes [0, 1, 6] que
forman el hexacorde beta que completa el agregado. Estos tonos se presentan dos
veceslaprimeravezenlaviolaylasegundavezconlostonosdelviolonchelo.
ElinterludioIII
ElinterludioIIIestáformadoporunagregadoenárea1ydainicioconunacorde
formadoporlostonos(F,Eb,E,A),unainterpretacióndelacordeinicialsemuestraen
elejemplo147.
116
Ejemplo147
El ejemplo inicia en el compás 91 el último del Movimiento III, este compas
contienelostonos(Bb,F)queprovienendelcompás85yestánligadosaldesarrollo
del Tricorde [0, 2, 7] que se da en elMovimiento II y nace en el compás 12; en el
ejemploelFdelcompás91sepresentaligadoaldelcompás92paraejemplificarque
el tonoque completa elTricorde [0,2, 7] es elEbque se escucha junto conelF en
corcheasaliniciodelcompás.AlentenderelFcomopartedeltricorde[0,2,7]conlos
trestonosrestantesdelacorde(Eb,E,A)seformaeltricorde[0,1,6]querecuerdael
iniciodelaobra.
Otro detalle que nos lleva al inicio de la obra está presente en el Fagot en los
compases93y94.Elejemplo148muestralostonoscontenidosenloscompases.
Ejemplo148
ElD seguido de C enfatiza el orden de los tonos 5 y 6 de la presentación de la
serie, se presenta tres veces mientras los demás instrumentos comienzan con la
exposicióndelsegundohexacorde.
117
Porúltimoelfinaldeesteinterludioguardaunarelaciónconloscompases11,12
y13.Enelejemplo149semuestra larelaciónpara locual los tonosdelcompás95
quesepresentanenlapartituraenformadeacordesehandibujadoeneltiempopara
remarcarlassimilitudes.
Ejemplo149
Losúltimostrestonosdelcompás11muestranuntricorde[0,1,6]conlostonos
<Bb,Eb,E>yenelúltimoacordedelcompás94existetambiénuntricorde[0,1,6];la
partesuperiordelcompás95queestainstrumentadoporlastrompetascontienelos
mismos tonos que las trompetas tocan en el compás 12, el G# se muestra entre
corchetes por que es un sonido ausente en la partitura pero que debido a las
relacionesquesecreanpararecordaralinicioselograpercibir,losúltimostrestonos
que están instrumentados en el compás 95 por el trombón y el trombón bajo se
presentanenelejemplodesfasadoseneltiempoparapoderhacernotarlareferencia
alcompás13,estostonosdentrodelcompástreceaparecenenlapartedelpiano.
InterludioIV
Se presentan las tres áreas. Este interludio esta instrumentado para cuerdas y
alientos. Este es el único lugar en toda la obra en el que aparecen casi todos los
instrumentostocandoalavez;losúnicosinstrumentosquenoestánpresentessonel
piano,elarpaylacelesta(z).
EsteinterludiocomienzaconunhexacordeBetadentrodelainstrumentaciónde
lascuerdasenárea1hastaestemomentolosdemásinterludioscomenzaronconun
118
hexacordealfaenárea1.Dentrodelapartedelascuerdasaparecenlosmotivosdel
inicioysemuestranenelejemplo150.
Ejemplo150
En el ejemplo el pentagrama de arriba muestra los tonos del Violín I y el
pentagramadeabajomuestralasnotasqueseencuentranenlaviola,violoncheloyel
contrabajo.Elcorchetequevadelcompás136al137muestraelhexacordebetayel
área a la quepertenece, área1. Los tonosRe yDo están señalados conunaHpara
hacernotarqueesostonosenlaserieoriginalpertenecenalosnúmerosdeorden5y
6respectivamente,lostonos5y6sonelúltimotonodelprimerhexacordeyelprimer
tono del segundohexacorde dentro de un ordenamiento, a partir de estos tonos se
presentaenelviolínunretrogradodelsegundohexacordedelaserieelcualtermina
en el compás 139 presentando nuevamente los tonos Re y Do señalados con el
número de orden. En los compases 138 al 140 señalado con una línea puntada se
muestra el pentacorde que pertenece al primer hexacorde de la serie. el cual está
separado en el ejemplo por dos tricordes [0, 1, 6] donde el primero de ellos se
encuentra incompleto. Es el tono E el que acompleta el agregado en área 0, sin
embargo al final del interludio en el compás 140, en lugar de presentar el tono E
acompañado de Ab y Bb se presenta el tono E acompañado de F y B formando un
tricorde[0,1,6]existentedentrodelárea1oelárea2,aunqueparaefectosdeeste
análisissehaelegidoseñalarlocomoárea1porestarestáenunporcentajemayorde
motivos. En la sección de alientos, de manera lineal, cada instrumento presenta el
primerooelsegundohexacordedelaseriedentrodelárea1oelárea2.
119
Unadelasrelacionesquesecreanentrelosinstrumentossedapormediodelos
intervalos dirigidos de los hexacordes, En el ejemplo151 semuestra en la primera
columna el grupo al que pertenece el instrumento, en la segunda columna están
descritos los instrumentos o el instrumento de la línea analizada, en la tercera
columnaseseñalasielhexacordeesalfaobeta,enlacuartacolumnasepresentanlos
tonosenelordenenelqueaparecenenlapartituraydebajodeelloslalecturadelos
intervalosdirigidosquegeneraelorden,enlaquintacolumnaseenunciaeláreaala
que pertenece el hexacorde y en la cuarta columna se marca la operación que
representalarelaciónentrelosmiembrosdecadagrupo.
Ejemplo151
Grupo Instrumento Hexacorde Tonos Área
1
FlautaIyII Beta G G# D C C# F# A1
RI1 6 t 1 5
Oboe
Corno
Beta F# C# C D G# G A1
5 1 t 6 1
2
Clarinete,Clarinetebajo
Fagot
Beta A G G# C# D# D A2
RIt 1 5 2 e
TrompetaI Alfa E Eb F Bb B A A1
e 2 5 1 t
3
TrompetaII Beta G F# C D C# G# A1
RI1 6 t 1 5
TrombónII Alfa C F F# E Bb B A2
5 1 t 6 1
4
TrombónI Alfa A B Bb F Eb E A1
RI2 e 7 t 1
Trombónbajo Alfa Bb B A E Eb F A1
1 t 7 e 2
120
El grupo 1 contiene los tonos de las flautas I y II cuyos intervalos dirigidos se
relacionanconlosintervalosdirigidoscontenidoseneloboeycornopormediodela
operacióndeRetrogradoinvertido(RI),enelcasodelgrupo1amboshexacordesson
betayseencuentranenelárea1.Elgrupo2contieneenprimerlugarlostonosdeun
hexacorde Beta en área 2 dentro de el Clarinete, Clarinete bajo y Fagot, los cuales
estánrelacionadosporRIconlostonosdeunhexacordeAlfaenárea1enlatrompeta
I. El grupo tres presenta un hexacorde beta en área 1 dentro de la trompeta II
relacionadoporRIconunhexacordeAlfaenárea2quesuenaenel trombónII.Por
últimoenelgrupo4estánrelacionadosdoshexacordesalfaenárea1tambiénporRI
lostonoscontenidoseneltrombónIyeltrombónbajo.
121
Consideracionesfinales
Despuésdehaberpresentadoelanálisisdelosmovimientoseinterludiosenéste
capítulo se presenta las consideraciones finales resultado del análisis realizado, en
primerlugarsepresentalaunióndelosanálisisdeforma,áreaeinstrumentaciónde
cada movimiento añadiendo a este los interludios que se entienden como
introduccionesdecadamovimientoyposteriormentesehaceunacomparaciónentre
losmovimientos,paraproponerfinalmenteunavisióndeconjuntodelaobra.
MovimientoI
Acontinuaciónsearticulanelanálisisdeformageneral,elanálisisporárea,yel
análisis del diálogo entre el piano y la orquesta. En el ejemplo152 se reproduce el
orden de las entradas de las familias de instrumentos pero ahora la división no se
hacedeacuerdoaloscompasessinoalasáreasdelaobra.
Ejemplo152
Lasprimerasseisentradascorrespondenalacombinaciónprimariadenominada
combinación1(x-y-z);cincodeestasentradasocurrendentrodelárea0yenlaúltima
entradaexisteunpasoalárea1.Estepasodeáreaquedacompactadoeneliniciodela
parteA´.Lacombinación1delaparteAylaúltimacombinacióndelaparteA´quedan
relacionadaspor laoperaciónde retrógrado.Elpasodex enA´ a z en la codaes el
retrógradodelpasodelacasillaunoaliniciodelaobra(z-x).Esteanálisiscombinado
122
puedeofrecerunaexplicaciónparalarepeticiónvariadaquepresentaunaabreviatura
enelmovimientoarmónicodelárea0alárea1.
Enelejemplo74semostrólaentradadelaflautacomolaúltima(8)dentrodeun
procesodecanon.Laflauta,enloscompases40y41,contienelaseriecompletacuyo
primerhexacordeestatranspuestoenT1yelsegundohexacordeenT4,estableciendo
lapresentacióndelaserieenelárea1mientrasenlosdemásinstrumentospresentan
elárea0.Enéstemomentolaflautarecuerdalasimultaneidaddeáreasenelmosaico
dederivaciónpresentadoporellamismaenloscompases13al17.
En el ejemplo 153 se muestra el análisis por área de la parte A del primer
movimiento.Seseleccionóelárea0para loscompases13al17porserestaelárea
predominanteentalsección.
Ejemplo153
UnamaneradeinterpretarlaformadelaparteAdelMovimientoIesatravésde
uncanondeáreas.Parailustrarestainterpretaciónsetomaranloscincocambiosde
áreaquemuestraelejemplo80queseencuentranremarcadosporelmismocolor.En
el ejemplo 154 se muestra el canon por áreas que da forma a la parte A del
MovimientoI.
Ejemplo154
a’casilla 2 A2
cc.18-28
A0
cc.29-30
a´casilla1 A0
cc.13-17
A2
cc.18-22
A0
cc.23-26
b A1
cc.7-12
A0
cc.13-17
A2
cc.18-22
a A0 A1 A0
123
cc.1-6 cc.7-12 cc.13-17
Dispuestade estamanera, laqueanteriormente solo sehabíapresentado como
A0 se convierte en el área principal de la primera voz del canon que contiene la
siguiente secuenciadeáreas:A0-A1-A0. Estebloquees relevantepara interpretar la
parteA´delprimermovimiento.Laparteb(quesemuestraenelejemplo69comola
segunda voz) corresponde a la parte b presentada con anterioridad; por último, la
tercera vozdel canonpor áreas es la partea´, que se relaciona con laa por ser las
seccionesqueabrazanconáreacerolapresenciadeunáreadistinta.
El análisis final de la estructura del Movimiento I queda como se muestra a
continuación,enelejemplo155.
.
Ejemplo155
Forma A A´
a b a´ a b a´ Áreas A0 A1 A0 A2 A0 A0 A1 A0
A1 A2 Compases 1-6 7-12 13-17 18-22 23-30 31-33 33-36 37-41 42
Instrumentación x-y-z x-y
z x z-y z x-z z-y z-y-x z
MovimientoII
Al considerar el Interludio I como inicio del Movimiento II la forma continua
siendo binaria sin embargo al añadir el análisis de área del interludio es posible
diferenciar tresseccionesporáreasdentrodecadaunade laspartes.Enelejemplo
156 se presenta el conjunto de los análisis de forma, área e instrumentación del
movimientodos.
Ejemplo156
Forma A A’
124
Interludio I Movimiento II Forma A A´ Áreas A0 A0-(A1) A0-(A2) A0 A0-(A1) A0-(A2)
Compases cc.44-45 cc.46-51 cc.51-55 cc.55-59 cc.60-62 62-67 Instrumentación x z-x-y z y x
ParapoderdiferenciarlastresseccionesdentrodelaparteA´delejemplo156se
especificóelmomentodelcambiodeárea1alárea2dentrodeloscompasesdel60al
67.Dentrodelanálisisdelainstrumentaciónenestainterpretaciónquedanenlaparte
A´ relacionadas con los cambios de área las entradas de las tres familias de
instrumentos,esdecirelárea0seunealaentradadelpianoenelcambioalárea1la
instrumentacióncambiaalascuerdasyelcambioalárea2seenlazaconlapresencia
delatrompeta.
MovimientoIII
AligualqueenelMovimientoIIalincluirelinterludioenelanálisisdeformadel
movimientotressevuelvepertinentedefinirloscambiosdeáreadeloscompases86
al 91. En donde el área 2 se marca de los compases 86 al 88 y el área 0 de los
compases89al91.Enelejemplo157semuestraelconjuntodelosanálisisrealizados.
Ejemplo157
Interludio II Movimiento III
Forma A A´
Área A0 A1 A0 A2 A1 A0 A2 A0
Compases 68-73 74 75-78 79-70 81-83 84-85 86-88 89-91
Instrumentación y z x x-z x (z)-x z
Enelejemplosepuedeobservarqueelárea0contenidaenelinterludioyenlos
compases89al91abrazadossucesionesidénticasdeárea[A1-0-2].Tambiénsepuede
notar en el ejemplo las correspondencias de la instrumentación con los cambiosde
áreadentrodelassucesiones[A1-0-2].Elárea1enelcompás74espresentadaporel
pianoydentrodelaparteA´elárea1igualmentecuentaconlapresenciadelpiano,
las áreas0 y2quedan en ambaspartes representadaspor los alientos, recordando
125
que la instrumentación del piano en los compases 86 al 88 queda entre paréntesis
debidoaquesuintervenciónesbreveyapoyaaladelosalientos.
MovimientoIV
A continuación se presenta la conjunción de los tres análisis presentados en el
análisis del Movimiento IV: el de forma, área, el de las nueve colecciones y el de
instrumentación.Unidos,conformanunainterpretaciónposibleparaesteMovimiento.
Lascoleccionesylainstrumentaciónsecoordinanpormediodeloscambiosde
área.EstomuestralaimportanciadelmanejodelasáreasenMovimientosparapianoy
orquestaapesardequeesunadesusprimerasobrasdodecafónicasy,comohedicho,
era la primera vez que el compositor experimentaba con las matrices de rotación
transpuesta.Enelejemplo158semuestraunatablaqueunelostresanálisis.
Ejemplo158
Interludio
III
IV
Forma A B A´
Área 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
Formainterna a b a´ a b a´ a b a
Instrumentación x y z y z x y z y z x y z y z
ColeccionesJ J1 J1 J2 J3
ColeccionesK K1 K2 K3
ColeccionesL L1 L2 L3
Enelejemploseobservacómolasentradasdelascoleccionessonconstantesen
cadapartedelMovimientoIVconrespectoalainstrumentación.Losalientosseguidos
de las cuerdas presentan los tonos de las colecciones J, posteriormente el piano
presenta lascoleccionesKyal finalizaréste laentradadelascuerdassedasiempre
conlascoleccionesL.
126
LaformageneralA,B,A´contienedentrodesuestructurainternatresconjuntos
de las tres colecciones que la refuerzan. A saber: las colecciones J1, K1 y L1 están
contenidasenlaparteA;lascoleccionesJ2,K2yL2,enlaparteB;ylascoleccionesJ3,
K3,L3enlaparteA´.Comosepuedeobservarelordendepresentaciónessiempreel
mismo,loquerefuerzalanocióndeestructuraenelMovimiento.
Los cambios de área generalmente corresponden a un cambio de la
instrumentación.LaparteAtienecuatroáreaslaparteBtienetresáreasylaparteA´
tienecuatroáreastambién.ConsideradoquelaparteAincluyeelinterludioIIIyque
la parte A carece de un elemento añadido que iguale la estructura de la parte A,
Stravinskyseveobligadoaalargarlapresenciadelárea0enlosprocesosdecambio
deinstrumentacióndelaparteBendondelasegundaentradadelárea0corresponde
alprimermomentodeejecucióndelpianoyabarcadoscambiosdeinstrumentación
más. Este alargamiento en el intervalo de presentación de las áreas permite en la
parteA´laconclusiónconárea0enconjuntoconlasegundaentradadelosalientos.
MovimientoV
Launiónde los análisis delMovimientoV se puede apreciar en el ejemplo159
dondeelinterludioIVseconvierteeneliniciodelaparteA.
Ejemplo159
Interludio
IV
MovimientoV
Forma A A´
Áreas A0 A2 A0 A1 A0 A1 A0
Instrumentación x-y (x)-z xyz xyz xz xyz zyx xy z yz
Compases 136-140 141-
142
143-
148
149-
150
151-
154
155-
157
158-
168
169-
171
172-
175
175-
179
180-
181
182-
193
La instrumentación del Movimiento V corresponde en su mayoría a la
combinación primaria de instrumentación y al añadir el interludio a la forma se
127
agrega tambiénunanuevacombinación[x-y-z]alanálisisde la instrumentación; los
primeroselementos[x-y]sepresentanduranteelinterludioIVyjustoeneliniciodel
MovimientoVseescuchalaentradadelpiano,sehapuestoentreparéntesislaxdelos
compases141y142porquelaentradadelosalientossedaenelinterludioyenestos
compasessolopermanecen.
RelacióndelMovimientoIIconlosMovimientosIyIII.
EnesteapartadoseexplicarándoselementosquerelacionanalosMovimientosI,
IIyIII.EnprimerlugarsehablaradelTricorde[0,2,7]yensegundolugardelpatrón
quegeneralasucesióndelasáreasquesedesarrollaencadaunodelosmovimientos
quelosarticulaenunaformaternaria.
EnelMovimientoIIcomienzaunprocesodetricordes[0,2,7],comentadoyaenel
análisisdedichomovimiento.Esta sucesiónde tricordesgenera tambiénel tricorde
inicial y final delMovimiento III. El tricorde [0, 2, 7] es el número 6 del listado de
tricordes del ejemplo 50, y es relevante por ser uno de los ocho tricordes que se
encuentran en la disposición original de la serie. En la presentación inicial, este
tricordeseestableceenelsegundohexacordedelaserieconlostonos<Si,Do#,Fa#>;
sin embargo, Stravinsky lo genera en la presentación del primer hexacorde en el
compás1,alunirporregistrolosprimerostonosdelpiano,dandocomoresultadoque
losprimerostonosdelamanoderechaenelpianosean(Mib,Sib,Lab).
Deltricorde[0,2,7]queseubicaenelordenoriginaldelaserie<Si,Do#,Fa#>,
Stravinskyseleccionalosdosúltimoselementosylosdesarrollajuntoconeltricorde
(Mib,Sib,Lab)en losprimeroscompasesdelMovimiento I.Ambosconjuntos tienen
reiteradaspresentacionesenlosprimerosdocecompasesdelaobra.
Eltricorde(Mib,Sib,Lab)sepresentadentrodeloscompases5,7y11,mientras
que la diada (Do#, Fa#) se presenta en los compases 2, 4, 5 y 6. En el compás 12,
finalmente,estosconjuntossedisponenunotrasdeotrouniendosupresentación.
Ejemplo160
128
Enelejemplo160sepresentanlostonosdelfinaldelcompás11yelcompás12;
losconjuntosencuestiónseseñalanconplicas.
Eltricorde(Mib,Sib,Lab)queapareceenelcompás1,setransformaen<Sib,Fa,
Mib>delcompás74(iniciodelMovimientoIII)enelMovimientoII.Anteriormente,en
el ejemplo86, sepresentaron losprimerosdos tricordes [0,2, 7] contenidosen los
trémolosdeliniciodelMovimientoII,quemarcanlasentradasdelasdosseccionesde
laparteAdelmismo.DentrodelasegundapartedeA,apartirdeltrémolodeMiben
la trompeta I (compás51) se presentan seguidos de éste el Fa, como trémolo en el
arpa, y Sib como trémolo interpretado nuevamente en la trompeta I. Es entonces,
entreloscompases51y52,quelostonosdel iniciodelMovimientoIIIseconjuntan
porprimera vez enuna sucesiónordenada. En ejemplo161 semuestrauna gráfica
queilustralatransformacióndeltricorde[0,2,7].
Ejemplo161
129
Elejemplo148muestralagráficadelejemplo86conelnuevotricorde<Mib-Fa-
Sib>,queserelacionadelamismamaneraquelosdosanteriorespordosdiadasclase
5,queseexhibenmostrandolosintervalos7.Tambiénseincluyeelprimertricorde[0,
2,7]queapareceenlaobra,elcualseproyectapormediodelainversióneníndice3
eneltricordedeloscompases46al47.Eltricordedeloscompases51y52resurge
nuevamentealiniciodelinterludioIIconlosmismostonos,enelcompás68.Deesta
maneraseenlazaelinterludioIIconeliniciodelMovimientoIII.EnelmovimientoIII
eltricorde(Sib-Fa-Mib)aparecealinicioyalfinaldelMovimiento.
ElpatrónquedescribelasucesióndeáreasenelMovimientoIquedarelacionada
conlasáreasdelMovimientoIII.
130
Ejemplo162
Forma del Movimiento I A A´
Movimiento I A0 A1 A0 A2 A0 A0 A1 A0 Movimiento III A0 A1 A0 A2 A1 A0 A2 A0
Enelejemplo162seobservanlasáreasprincipalesdelMovimientoIy laforma
dedichoMovimientocomparadoconlasáreasdelMovimientoIII.Dentrodelaparte
Aexisteunacorrelaciónde lasáreasen losprimeroscuatrocambios [A0-1-0-2], enel
Movimiento I laparteA cierra conel área0 creando loque sepodríanombraruna
formabinariacerrada,mientrasqueenelMovimientoIIIelcierresedaconelárea1
locualpodríadescribirsecomounaformabinariaabierta.LaparteA´coincideenel
hechodequeeláreaceroenambosMovimientosestáabrazandounáreadiferente.
ElMovimiento II se relaciona con lapartebde laparteAdelMovimiento I, es
decirconloscompases13al17endondeeláreaceroquesuenaenformademelodía
es acompañada del área 1 y posteriormente el área 2. Este segmento en donde se
percibelapresenciadedosáreasseextiendeenelsegundomovimientodondeelárea
0sepresentasiempreacompañadayaseadeárea1odelárea2.
Para articular la primera parte del análisis de forma general de la obra de
MovimientosparapianoyorquestaseproponequelosMovimientosI,IIyIIIarticulan
unaformaternariainternaquesedenominará(a-b-a´).
Ejemplo163
FormaInterna a b a´
Movimiento I II III
Enelejemplo163semuestralaprimerapartedelanálisisdeformageneraldelaobra.
131
RelacióndelMovimientoIVconelI.
EnelanálisisdelmovimientoIVsemostrólarelacióndesuinicioconeliniciode
la obra, y también la manera en que la combinación primaria de instrumentación
domina el mismo movimiento. Existen además otros elementos que relacionan el
movimientoIValI.LascoleccionesJ,KyLquedanrelacionadasconelmovimientoI.
LascoleccionesJrefierenalapresentacióninicialdelaseriequesedadentrodelos
primerosdoscompasesdelMovimientoI.
Ejemplo164
En el ejemplo 164 se añade la colección J que representa los primeros dos
compasesdelMovimientoI,loscualessetransformanenJ1pormediodeRI.
LarelaciónquetienenlascoleccionesKsepuedeentendersiguiendolatramade
lapresentacióndelaserieenelMovimientoIV.Traslapresentacióninicialdelaserie,
en la que se preservan distintas invariables con respecto a la serie original, la
colecciónKpresentalosúltimos7tonosdelaserieensuformaderetrógrado,enlos
compases100y101.Enelejemplo150sepresentalagráficadelejemplo165,alaque
seañadelanuevarelaciónqueenlazalascoleccionesKconelMovimientoI.
Ejemplo165
132
Enelejemplo165,lacolecciónJrepresentalosúltimossietetonosdelaserie<Re,
Do,Si,Do#,Fa#,Sol,Fa>queseunena lacolecciónJ1pormediode laoperaciónde
retrógrado,señaladapormediodeunaflecha.
Las colecciones L también pueden referirse a un punto de origen en el
Movimiento I. Entre los compases 35 y 36 que se localizan en la parte A’ del
Movimiento,despuésdelapresentacióndelaseriesedaunmovimientodelpianoa
lascuerdasconlostonos<Mib,Mi,Fa,Si,La>:éstacolecciónsedenominaL.Elprimer
tono(Mib)lopresentanlosvioloncellosjuntoconelpiano;estoesrelevanteyaquelas
colecciones L se desarrollan en los violoncellos en elMovimiento IV. Los compases
previos a las colecciones delMovimiento IV son interpretados por el piano, lo que
hace relevante la instrumentación de la colección L que se da con un movimiento
similar.Enelejemplo166sepresentalarelaciónentrelascoleccionesL.
Ejemplo166
LacolecciónLesigualalacolecciónL1;estaigualdadseexpresaconT0.Otrode
losparalelismosquesedanenelMovimientoIVconrespectoalIesquesepresentala
133
serieensuordenoriginal,enloscompases127al130.Esteesunodelosúnicostres
lugares de la obra, aparte del inicio, en donde ocurre esto; los otros dos lugares se
ubicanenelcompás42,yenloscompases187al193quemarcanelfinaldelaobra.
RelacióndelMovimientoIVyVconelMovimientoI.
LarelaciónentreestosMovimientossedatambiénporlasecuenciadelasáreas.
Enelejemplo167semuestralacomparacióndelasáreasdelosMovimientosIVyV
conrespectoaelMovimientoI.
Ejemplo167
Forma del Movimiento I A A´
a b a´ a b a´ Movimiento I A0 A1 A0 A2 A0 A0 A1 A0 Movimiento IV A0 A1 A0 Movimiento V A0 A2 A0 A1 A0 A1 A0
SisecomparalaformaylasucesióndeáreasdelMovimientoIconlasucesiónde
áreasdelosMovimientosIVyVsepuedeobservarqueelMovimientoIVrepresenta
los primeros tres cambiosde área cinco veces encadenadosque semuestran en el
ejemplo168.
Ejemplo168
134
Esta manera de ver la sucesión de áreas del Movimiento IV y todas las
correspondencias con el Movimiento I permiten interpretar dentro de la forma
generaldelaobraalMovimientoIVcomounaparteinternaquesedenominará:a.
ElMovimientoViniciaenárea0posteriormentepresentaelretrogradodela
sucesióndeáreasdelaparteinternabdelaparteAdelMovimientoI.
Ejemplo169
Forma Interna Movimiento I b
Movimiento I A1 A0 A2 Movimiento V A2 A0 A1
Enelejemplo169sepuedeobservarcomolasucesióndeáreasdelaparteinterna
besA1-0-2yenelMovimientoVsedaelretrogradodeestasucesiónresultandoenA2-0-
1.Estahaceposibleinterpretarloscompasesdel141al171comounaparteinternab
dentrodelaformageneral.
Por último los compases 172 al 193 que contienen la sucesión de áreas A0-1-0,
quedan emparejados con la parte A´ del Movimiento I. Todo lo anterior permite
interpretar al losMovimientos IV yV comouna forma interna ternaria de la forma
generalrepresentadaenelejemplo170.
Ejemplo170
FormaInterna a b a´
Movimientos IV V
cc.141-
171
172-193
FormaGeneral
Parapoderproponerunaformageneraldelaobraesnecesariomencionarquelos
interludios pasan a ser parte delMovimiento que anteceden es decir el interludio I
135
pasa a ser parte del Movimiento II, el Interludio II se entiende como el inicio del
MovimientoIII,elInterludioIIIespartedelMovimientoIVyfinalmenteelInterludio
IVespartedelMovimientoVtalcomosemuestraenelejemplo171.
Ejemplo171
Entendiendo de esta manera los interludios se hablará ya de los Movimientos
considerandoquelosinterludiossonpartedeellos.
LaformageneralpropuestaparalaobradeMovimientosparapianoyorquestade
Igor Stravinsky esuna formabinaria endonde cadaunade laspartes contieneuna
formaternaria.
Ejemplo172
Forma
General
A A´
FormaInterna a b a´ a b a´
Movimiento I II
III IV Vcc.136-171 172-193
Enelejemplo172sepuedeapreciar que laparteAde la formabinariageneral
está integrada por los Movimientos I, II y III mientras que la parte A´ por los
Movimientos IV yV.Esta estructurade la formageneral es el resultadodel análisis
transformacional y de área que se realizó a toda la obra, considerando los
paralelismosentreMovimientosysegmentosdelaserieasícomoelordendelaserie
y las propiedades de las matrices de rotación transpuesta. El análisis de la
136
instrumentación abre la posibilidad de encontrar relaciones a nivel tímbrico, otro
posible caminode investigación es el aspecto rítmicode la obra que el análisis por
áreasugirióestarligadoalaestructurafundamental
137
Bibliografía
Haimo, Ethan. 1990. Schoenberg´s Serial Odyssey: The evolution of his twelve-tone
method.OxfordUniversityPress.
Straus,JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic.Cambridge,UK:CambridgeUniversity
Press
Stravinsky,Igor.2006.PoéticaMusical.Barcelona:Acantilado
Traducción,FondodeCultura(México)
Pasler,Jann.1986.ConfrontingStravinsky.California:UniversityofCaliforniaPress
VandenToorn,PieterC.1983.TheMusicofIgorStravinsky.NewHavenandLondon:
YaleUniversityPress
Lester, Joel.1989.AnalyticApproachestoTwentieth-CenturyMusic.NewYork:W.W
Norton&Company,Inc.
Morgan, Robert P. 1991. Twentieth-Century Music. New York and London: W.W
Norton&Company,Inc.
Morgan, Robert P. 1992. Anthology of Twentieth-Century Music. New York and
London:W.WNorton&Company,Inc.
Straus, JosephN.1990.Remarking thepast.Cambridge,Massachusetts,andLondon,
England:HarvardUniversityPress
Schoenberg,Arnold.2007.Elestiloylaidea.Madrid.MundimúsicaEdiciones,S.L.
Babbitt, Milton. 2003. A. “Some Aspects of Twelve -Tone Composition” en: The
collectedessaysofMiltonBabbitt.NewJersey.PrincetonUniversityPress.
Babbitt,Milton.2003.B.“TwelveToneInvariantsasCompositionalDeterminants”en:
ThecollectedessaysofMiltonBabbitt.NewJersey.PrincetonUniversityPress.
Babbitt, Milton. 2003. C. “Set Structure as a Compositional Determinant” en: The
collectedessaysofMiltonBabbitt.NewJersey.PrincetonUniversityPress.
Babbitt,Milton.2003.D.“RemarcksontheRecentStravinsky”en:Thecollectedessays
ofMiltonBabbitt.NewJersey.PrincetonUniversityPress.
Babbitt, Milton. 2003. E. “Three Essays on Schoenberg” en: The collected essays of
MiltonBabbitt.NewJersey.PrincetonUniversityPress.
138
Babbitt,Milton.2003.F.“Stravisnky’sVerticalsandSchoenberg’sDiagonals:Atwistof
fate” en: The collected essays of Milton Babbitt. New Jersey.Princeton University
Press.
Babbitt, Milton. 1986. “Order, Simmetry and Centricity”, en: Pasler,Jann (Ede.)
Confrontring Stravinsky: Man,Musician and Modernist. Los Ángeles,
California.UniversityofCaliforniaPress.
Straus,JosephN.1999.Stravinsky´s“ConstructionofTwelveVerticals”:AnAspectof
HarmonyintheSerialMusic.MusicTheorySpectrum.Vol.21.No.1.pp.43-73.
Rust, Douglas. 1994. “Stravinsky´s Twelve-Tone Loom: Composition and
Precompositionin“Movements””.MusicTheorySpectrum.Vol.16,N.1,pp.62-76
Krenek.1960. “ExtentsandLimitisofSerialTechniques”.TheMusicalQuarterly.Vol.
XLVI,No.2.pp.210-232.
Rahn,John.1980.BasicatonalTheory.Simon&SchusleMacmillan.NewYork