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15) Hallar el C.G. de la siguiente distribución
i i
i
x m 12m2 2m 2 m 0 0 0 0 2 m 2 2m
m 12m
= =
∑ 12m1
i i
i
y m 0 0 0 0 6 m 6 2m 6 m 6 2m 36m3
m 12m 12m
= = =
∑
i i
i
zm 4 2m 4 m 4 m 24m2
m 12m 12m
= = =
∑
∴
c c cC.G. x y z 132=
16) Hallar el C.G. del siguiente cilindr!"
]
H2 2
H22! !
c 2 H H2
! !
z Hr zdzzdm z d# z r dz H2 2$
dm d# H 2r dz r dz z
ρπρ ρπ
ρ ρπ ρπ
= = = = = = =
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∴
c c c
HC.G. x y z 00
2
= =
÷
1%) Hallar C.G. del c!n! de altura H y base circular &
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2
c 2
zdm z d# z r dz$
dm d# r dz
πρρ ρπ
ρ ρπ= = = =
∫ ∫
∫ ∫
∫
2r
z H z dzH
πρ
2
2
r
H
r
H z dzH
÷
=
2H
!
2
z H z dz
r
H
÷
∫
2H
! H z dz
[ ]
[ ]
H H2 2 2 2 3
! !H 2 2
! 2
z H 2Hz z dz zH 2Hz z dz
H 2Hz z 2H z
= =
∫ ∫
∫
2Hz
2
H2 3 42
!H 3
3 3 3
!
z z zH 2H
2 3 4
Hz H H33
=
4 44 4
33
H 2 H 6 ' 3 1H H
32 3 4 12 12 H H1 1
12H H3 33
= = = =
c
H$
4
∴
c c c
HC.G. x y z 00
4
= =
÷
1') Hallar el C.G. de la semies(era
2 2 2
c 2 2
zdm z d# ren r dz &en r dz &en &$
dm d# r dz r dz
ρ θρπ θρπ θ
ρ ρπ ρπ
= = = = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
2C!s &θ
2
C!s d
&
θ θ
2C!s &θ C!s dθ θ*2 3
!*2 3
!
& C!s en d
C!s d
π
π
θ θ θ
θ θ=
∫
∫
*2 *24 4
*2 3
! ! !*2 2 2 2
!
u C!s& && u du 4 4
C!s C!s d 1 )en C!s d C!s d )en C!s d
π π
π
π
θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
= = =
∫
∫
∫ ∫
4 4
*23 33
!
& &C!s C!s 0
4 2 4en enen en 023 en en0+
2 3 3
π
π
πθθ π
= =
÷
u C!s
du )en d
du )en d
θ
θ θ
θ θ
=
=
=
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c
& &3&4 4$
21 '1
33
= = =
∴
c c c
3&C.G. x y z 00
'
= =
÷
1,) -e la gura" una semies(era sólida de radi! a 24cm/ c!n! rect! sólid! de una radi!a 24cm altura ,6cm #arilla en (!rma de cilindr! de radi! 2cm y l!ngitud 40 cm u distancia del #rtice del c!n! se encuentra ubicad! el C.G. del sistema
a 24cm
,6cm
=
=
HC.G.
4
2& H
3
π=
r 2cm
l 40cm
=
=
HC.G.
22 & Hπ
a 24cm3&
C.G.'
32 &
3π
2 32
i iC.G.
2 2 3i
26 24 ,6 ,6 20 a 40 ,6 40 , 24
x 3 372 24 ,6 2 40 24
3 3
ππ π
ππ π
÷ ÷
= =
∑
∑
34%/435.01 5'/30%.,6 41/,'/1%3.,5 48603/,16.06552.6,,%cm
5%/,05.'35%, 502.654' 2'/,52.,1%, '%/361.40'4,
= = =
20) Hallar el C.G. de un sect!r de circun(erencia de un alambre.
c
xdm xd9x
7 dm xd9=
∫
∫ ∫
2
!!
! !
r C!s drC!s rd
rd r d
θθ
θ θ
λ θ θθλ θ
θ λ θ= =
∫
∫
∫ ∫
]
]
!
!
ren renθ
θ
θ θ
θθ= =
c
ren rydm ren d9 :
dm xd9
θθλ= = =
∫
∫ ∫
!d
r
θθ
[ ]
]
[ ]
!
!!
r C!s r C!s 1 r 1 C!s
d
θ
θ θ
θ θ θ
θ θθ θ
= = =
∫
∴
c c c
r 1 C!sC.G. x y z 0 0
'
θ
= =
÷
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21) Hallar la distancia del !rigen ;<= se encuentra su C.G.
>1)" 1 1
2a 2ax y
π π
=
÷
>2)" 2 2
2 2x y 1 a 1 a
π π
=
÷ ÷
÷
1 2
19 9 a
2π=
1 1 2 2C.G.
1 2
a 2a a 2a1 a9 x 9 x 2 2
7a a9 92 2
π ππ π
π π
÷
÷ ÷
= =
C.G.
a7
2
C.G.
a 2u a 21 a
a2 2 :
a a 2
2 2
π π
π ππ π
÷
÷ ÷ ÷
= =
C.G.
a 2u a 21 a
42 2 : a
a a 22 2
π π
ππ ππ π π
÷
÷ ÷ ÷
= =
∴
222 2
C.G. C.G. 2
a 4 a 1 4d 7 : a
2 2 2
π π
π π
= = =
÷
÷
d 0.52a
22) 9a ?laca !m!gnea muy delgada de lad! a '%/%4cm/ ?resenta un agu@er!semicircular. a u distancia del #rtice ;-= se encuentra su centr! de gra#edad
1 1
2ax /y 0/
2
=
÷
21 a
2 2
2a 2ax /y 0/
3 2π
=
÷
2
2 a'
π=
22
1 1 2 2C.G. 2
21 2
aa 0 0
x x '7 0 a
a'
π
π
÷
= = =
2 2
1 1 2 2C.G. 2
21 2
2 2 2a a a a a
y y 3 2 ' 42 ' 3 2 : '%/%4 50cm
6 'aa'
π
ππ
ππ
÷ ÷
= = = ≈
23) u distancia del lad! ;2a= se encuentra el centr! de gra#edad de la ?laca
!m!gnea muy delgada cuy!s b!rdes s!n arc!s de circun(erencia a 13/43cm
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1 1
ax /y a/
2
=
÷
21 2a
2 2
4 4x /y 1 a/ 1 a
3 3π π
=
÷ ÷
÷
22 a
4
π=
3 3
4 4x /y 1 a / 1 a
3 3π π
=
÷ ÷
÷
22 a
4
π=
22
1 1 2 2 3 3C.G. 2 2
21 2 3
a 4 42a 0 1 1 a
x x x 4 3 37 0
a a2a
4 4
π
π π
π π
÷
÷ ÷
= = =
22
1 1 2 2 3 3C.G. 2 2
21 2 3
a a 4 42a 1 1 a
y y y 10 32 4 3 3 : 13/43 3cm
3 4a a2a
4 4
π
ππ π
ππ π
÷÷
÷ ÷
= = = ≅
24) Hallar la !rdenada :cm del centr! de masa de ?laca !m!gnea ue ?resenta unagu@er! ?ara el cas! a 4& 'cm=
a 4& 'cm=
a&4
Ag60+
a
2
=
3 a
2
" 1x 0
1 a a 3 3a 3ay a2 3 2 6 6
= = =
21
1 3 3 a a a
2 2 4
= =
÷
" 2x 0
2y 0
22 2
2 a a a 1616 16π π
=
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22
1 1 2 2
21 2 2
3 a0 a 0 16
4 16x x 7cm 0
3 aa 16
4 16
π
π
÷
÷
= = =
232
1 1 2 22
1 2 2 2
3 3 33 3 3 aaa a 0 16
y y 6 46 4 16 :cm 3 a 4 3 16
a 16 a4 16 16
π
ππ
÷
= = =
163 3 3 '
2 3 1 '6 4 2/2cm4 3 16 4 3 16π π
= = ≅
25) Hallar la altura del c!n! c!m?act! ?ara ue el centr! de gra#edad >C.G.) del sólid!
se encuentre en el centr! de la base del c!n! a ' 6cm
1 1 2 2
1 2
1 ' 6 4 6
y y 3 4
01 ' 63
÷
= = =
236 6 0
12 =
2 6 2 ' 2 2 2 3 3 2 2 3 4'× × × = =
∴ 4'cm
26) Hallar el ?r!duct! de las c!!rdenadas del centr! de masa >7cm . :cm) del alambre
m!strad!. i 2& 2π
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2 2
2 23
2 2
2 2
B+ 9 x y 9x 9y
& & & & &1
2 2 2 2
& 3& & & &2
2 2 2 2
2&3 & & & 2&
1 3 A!tal 2 & 1 & 2&
4 4
π ππ
π ππ
π π
π
π π
÷ ÷
÷ ÷
÷
22
2
9x 2 &7cm & 2 &
9 2 &C.G.
9y 2& & :cm
9 2 &
ππ
π
π π
= = = =
=
= = =
∑
∑
∑
∑
2 2& &C.G. 7cm:cm &
π
π π= = = = π 2
2%) ara u #al!r del Dngul! ; θ =/ el centr! de gra#edad del alambre !m!gne! muydelgad! se ubica en el !rigen.
1 2
2&x /y 0/
π
=
÷
19 &π
2 2
aen aC!sx y & /
2 2
θ θ
=
÷
29 a
C.G. C.G.C.G. 7 /: 0/0=
1 1 2 2C.G.
1 2
a)en0 & & ax 9 x 9 27 0
9 9 & a
θπ
π
÷
= = =
aen&2
θ⇒ = E>1)
1 1 2 2C.G.
1 2
2& aC!s& a
y 9 y 9 2 : 09 9 & a
θπ
π
π
= = =
22 a
2& C!s 02
θ =
2 24& a C!sθ E>1)
>1) en >2)2
2a4 en a C!s
2
θ θ
=
÷
2 2 2a en a C!sθ θ
21 C!s C!sθ θ=
2C!s C!s 1 0θ θ =
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12
1 1 4 1 5C!s
2 2θ
± ±
= =
1 1
2 2
1 5C!s 5/'2+
2
1 5C!s 1/62+
2
θ θ
θ θ
= → ≅
⇒
= → ≅
DINÁMICA DEL CENTRO DE GRAVEDAD
i d!s masas ! cuer?!s se encuentran en m!#imient! relati#!/ ent!nces el centr! degra#edad se enc!ntrarD en m!#imient! cuyas ecuaci!nes s!n las siguientes"
F ect!r ?!sición del C.G.
1 1 2 2 n nc
m r m r ... m rr
=
ur
F 9a aceleración del C.G.c 1 1 2 2 n n
c
dr m m ... m
dt
= =
uur
F 9a aceleración del C.G.
c 1 1 2 2 n nc
d m a m a ... m aa
dt
= =
uur
F egunda 9ey de Bet!n
c
Ia
uur⇒
cI a
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
IMPULSO (I): e dene c!m! el e(ect! de una (uerza s!bre un determinad! cuer?! enun tiem?! determinad!. atemDticamente el im?uls! se dene de la siguiente manera"
I m a×d#
I mdt
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! !
t
t Idt md#
∫
123 >F)
J Idt∫
ó J Idt∫
CANTIDAD DE MOVIMIENTO (P): -en!minad! tambin m!ment! lineal/ se denec!m! el ?r!duct! de la masa ?!r la #el!cidad/ ademDs se determina ?!r el segund!miembr! de la ecuación >F)/ ! sea"
!
md
∫
→
]
!
! m m =
m
Kl m!ment! lineal de un sistema de cuer?!s se !btiene ?!r" i ∑
∴ J
Choque de Part!u"a#
Ks el im?act! de 2 ó mDs cuer?!s y ?ueden ser c!ues elDstic!s e inelDstic!s.
I$ Choque E"%#t&!oKs cuand! en el c!ue se c!nser#a la cantidad de m!#imient! y la energLacintica/ siend! las ecuaci!nes"
i) ntes -es?usKc Kc∑
2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1m m m m
2 2 2 2µ µ=
2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2m m m mµ µ=
>1)
ii) ntes -es?us ∑
1 1 2 2 1 1 2 2m m m mµ µ= >2)
II$Choque I'e"%#t&!oKs cuand! en la c!lisión/ sól! existe la c!nser#ación de la cantidad de m!#imient! yademDs des?us del im?act! l!s cuer?!s se mue#en @unt!s.
ntes -es?us ∑
1 1 2 2 1 2m m m m µ=
K@em?l!s"01) Mna (uerza 3 2tI 4t 2e B=
se a?lica s!bre un cuer?!/ cual es el im?uls! ue
?r!duce la (uerza en el ?rimer segund!.
1 3 2t
!J Idt 4t 2e dt= =
∫
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142t
!
4t 2e
4 2
=
[ ]
14 2t
!t e
=
[ ] [ ]
4 2 41 e 0 1=
22 e B eg=
02) 9a (uerza23 2 t
I 4t t i 5te @ B=
ur r r/ se a?lica s!bre un cuer?!. Calcular el im?uls!
ue !rigina esta (uerza en el inter#al! del tiem?! de 2 a 3 seg.
23 3 3 2 t
2 2J Idt 4 t i 5te @ dt
= =
∫
r ur r r
2
34 3
t
2
t t 54 i e @
4 3 2
=
r r
2 23 3
4 3 4 23 5 2 53 i e @ 2 i e @3 2 3 2
= ÷ ÷÷ ÷
r r r r
J %1/4i 0/046@
03) 3 mó#iles de 2/ 4/ y 5 Ng se encuentran en m!#imient!/ c!n #el!cidadesres?ecti#as"
1 4i 3@ m*Ng 2 '@ m*Ng 3 6i 12@ m*Ng
Hallar la magnitud y dirección de la cantidad de m!#imient!.
1 2 3
1 1 2 2 3 3 m m m
2 4i 3@ 4 '@ 5 6i 12@
'i 6@ 32@ 60i 60@ 3'i 22@ =
2 2 3' 22 44 ≅
ur
1 22 Aan 30+
3'θ
= ≅
÷
04) Mna (uerza2 1
I 3t t 5 B4
/ actOa en su cuer?! de 2Ng. Calcular"
a) Kl im?uls! en l!s 2 ?rimer!s segund!sb) 9a #ariación de la cantidad de m!#imient!c) 9a #ariación de la #el!cidad
a)2 2
0
1J Idt 3t t 5 dt
4
= =
÷
∫
33t
3
2 223
0
2t5t 2
4 2
=
4
15 2 ' 10 1'/5 B seg
22 = =
b) 2 2 J 1'/5 Ng m *seg=
c) ]
!!
!
J m d# m# m m= = =
1'/5 2
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∴
1'/5 P,/25 m*seg
2
05) 2 cuer?!s de 2 y 3 Ng se mue#en en lLnea recta en la misma dirección c!n#el!cidades res?ecti#as de 6 y 4 m*seg. -eterminar las #el!cidades des?us de lac!lisión elDstica.
i) ntes -es?usKc Kc∑
2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2m m m mµ µ=
2 2 2 21 22 6 3 4 2 3µ µ=
2 21 2120 2 3µ µ
E>1)
ii) ntes -es?us ∑
1 1 2 2 1 1 2 2m m m mµ µ=
1 22 6 3 4 2 3µ µ= E>2)
&es!l#iend!" 2 21 22 3 120µ µ =
E>1)
21 22 3 24µ µ =
E>2)
-e >2) 1 22 24 3µ µ
21
24 3
2
µµ
=
&eem?lazand! en >1)"2
222
24 32 3 120
2
µµ
=
2222
'1' 3 120
2
µµ
=
÷
2 22 2
3' 40
2 µ µ =
2 2 22 23 64 16 2 '0µ µ µ =
2 22 2 21,2 4' 3 2 '0µ µ µ =
22 2
2 2
2 2
2
5 4' 112 0
4 20
5 24 2'
2'
µ µ
µ µ
µ µ
µ
=
→
→
2 24 5 2' 0µ µ =
2 4 0µ = 2 4µ =
25 2' 0µ = 2
2'
5µ =
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F i" 2 4µ = →
1
24 3 46 m*s
2µ
= =
F 2
2'
5µ = →
1
2'24 3
120 '4 3653/6 m*s
2 10 10µ
÷
= = = =
06) Calcular la #el!cidad des?us del im?act! y el #al!r del Dngul! en el grDc!
siguiente"
-
-
x x
y y
=
=
∑ ∑
∑ ∑
F -x x∑
F -y y∑
1 1 1 2 xm m m µ 2 2 1 2 ym m m µ
x2 ' 2 3 µ y3 5 2 3 µ
x
16
5µ = y
153
5µ = =
⇒
x y
16i @ i 3@
5µ µ µ =
r r r r r
2 216 3 4/3, m*seg5
µ
= =
÷
1 3 Aan 43/2+
16
5
θ
= ≅
÷
÷
0%) Mn cuer?! ex?l!si#! se mue#e a 1' Nm*/ ciert! ?unt! de la trayect!ria/ estecuer?! ex?l!si!na en 3 (ragment!s iguales. Mna ?rimera sigue la misma dirección de50 Nm*/ el segund! c!n una dirección de 60+ ?!r encima del ?rimer! y el tercer(ragment! se mue#e ?!r deba@! del ?rimer! a 60+. Hallar las #el!cidades de l!s
(ragment!s des?us de la ex?l!sión.
-
-
x xy y
=
=
∑ ∑
∑ ∑
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F
2x 1 3x
m m m mm 1'
3 3 3 3µ µ µ = 2
mC!s60+
3µ
m50
33 C!s60+µ
2 3
1 154 50
2 2µ µ
=
÷
÷
2 3 'µ µ = E>1)
F 2 3
m m0 en60+ en60+
3 3µ µ 2 3 0µ µ = E>2)
&es!l#iend! >1) y >2) 2 3 'µ µ = E>1)
2 3 0µ µ = E>2)
2 3µ µ
Kn >1)" 2 3 'µ µ =
32 'µ =
3 4 Nm*µ =
∴ 2 4 Nm*µ =
0') Mn mó#il de masa 6 Ng y #el!cidad de 4 m*seg se mue#e acia la dereca y c!cac!ntra un cuer?! de 3 Ng y #el!cidad de 6 m*seg y se mue#e acia la izuierda.-es?us del c!ue amb!s cuer?!s se mue#en @unt!s. Hallar la ?rdida de energLacintica.
- ∑
1 1 2 2 1 2m m m m µ=
6 4 3 6 6 3 µ=
24 1'0/6% m*seg
,µ
= =
2 22 2 1 2
1 1 1 1Kc m 6 4 3 6 102@
2 2 2 2
= =
22- 1 2
1 1Kc m m 6 3 0/6% 2/02@
2 2µ = =
- Kc Kc Kc 2/02 102 ,,/,'@= = =
0,) Mna es(era de masa ;m= y #el!cidad ;= c!can elDsticamente c!ntra una es(era demasa ;= ue se encuentra en re?!s!. Hallar la relación de la energLa transmitida a!tra es(era c!n res?ect! a la energLa inicial.
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- ∑
"
1m 0 1 2m µ µ 1 1 2m m µ µ= E>1)
-Kc Kc∑
"
221m 0
2 21 2m µ µ
2 2 21 1 2m m µ µ=
E>2)
-e >1)" 1 21
m
m
µµ
=
Kn >2)"2
2 21 21 2
m m m
m
µµ
=
÷
22 2 21 1 2 2m m mµ µ
2 21m 2 2
1m 2 2 21 2 2 22m mµ µ µ
22µ
1 22m µ=
m
12
2m m
µ =
F
2 2 22 1 1
A 2 2
2m 4m 1 1 1Kc
2 2 m 2 mµ
= = =
÷
F2
1
1Kc m
2
∴
A
1
2KcKc =
2 214m
2
m1
2
21m
24m m
=
10) 2 ?artLculas de masa ;m= y ;3m= se a?r!ximan una a la !tra del e@e ;x= c!n las
mismas #el!cidades iniciales ; ! =. 9a masa ;m= se des?laza acia la izuierda y la
masa ;3m= acia la dereca/ de m!d! ue ;m= se mue#e acia aba@! des?us delc!ue en un Dngul! rect! res?ect! a su dirección inicial.
a) Kncuentre las #el!cidades nales de las 2 masas
b)CuDl es el Dngul! ;θ = al cual se des#La ;3m=
F x xJnicial Iinal
2! ! ( 3m i m i 3m C!s iθ=
2! ( 2 3 C!s
θ E>1)
F Jnicial Iinal
2 1Q 0 3m en @ m @θ
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2 1Q 0 3 en @ @θ E>2)
1
!(
2 3en
3C!sθ
θ
=
÷
i" i ( N NK K
2 1
2 2 2 2! ! Q
1 1 1 13m m 3m m
2 2 2 2
=
2 1
2 2 2! Q
3 12
2 2
2 2 2! Q 4 3
E>3)
Kn" >3)2!4 3 !2
3
22
!2 AanC!s
θθ
÷
124 4
2!
,
22! 22
en4
C!sC!s
θ
θθ
4 2 4C!s θ = 4
3
2en θ
2 2 1C!s en
3θ θ =
2 2 11 )en )en
3θ θ =
2 11 2en
3θ =
2 12en 1
3θ=
2 22en
3θ =
1 3en
3 3θ = =
6C!s
Rθ =
F3 1
Aan3 2
θ = =
⇒
1( ! !
1 2 1/41
2=
F2(
2
3=
!
6
3
2
3⇒
2
!( !
2 0/'16
6
3
= =
∴
3arcen
3θ
=
÷
DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ANGULAR
Kn el m!#imient! circular >!#. r!taci!nal) las ecuaci!nes de !#. 9ineal tambin secum?len/ c!nsiderand! l!s ?arDmetr!s angulares en lugar de l!s ?arDmetr!s lineales.
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Moe'to A'u"ar (L)
Ks una magnitud as!ciada al m!#imient! angular/ y se dene c!m! el ?r!duct! del#ect!r ?!sición y la cantidad de m!#imient!.
-!nde" r xi y@ zN
F ara una s!la ?artLcula"
i @ N
9 m x y x
x y z
=
ur
F ara un sistema de ?artLculas"
1 1 2 n 1 1 2 2 n n9 9 9 9 ... 9 r r ... r = = × × ×
9 ri i×
Re"a!&*' e'tre L(Moe'to A'u"ar) + M (Moe'to de ,uer-a)
r I×
9 r ?×
9 r m×
d9 d drr m m
dt dt dt× ×
r ur ur
S
d9
r ma m r Idt = × × = ×
r r ur ur r ur
d9
dt =
uur
Moe'to A'u"ar (L) e' Moe'to C&r!u"ar
9 r ?×
9 r m×
rm en,0+ → rH
rm r 2
r m
29 mr 9 JH
Moe'to de I'er!&a (I)
A!d! cuer?! c!n m!#imient! r!taci!nal ?!see un m!ment! de inercia dada ?!r"
2J mr
F i se tiene un sistema de cuer?!s ?untuales/ el m!ment! de inercia serD"
9 r ? r m mr × = × = ×
!ment! lineal ! cantidad de m!#imient!
ect!r ?!sición
!ment! de inercia
&adi! de la r!tación
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2 2 2 2i i 1 1 2 2 n nJ mr m r m r ... m r=
F i el cuer?! en r!tación es c!ntinu! ?!r c!nsiguiente el m!ment! de inercia sedetermina ?!r"
2J r dm
∫
2 2r x y
2 2 2r x y
⇒
2 2J x y dm
2x
c!n res?ect! a 7
J y dm∫
2y
c!n res?ect! a :
J x dm∫
2 2J x dm y dm
∫
∴ y x zJ J J J =
F ara cuer?!s lineales"
2
J r d9λ∫F ara cuer?!s su?erciales" 2J r dτ∫
F ara cuer?!s #!lumtric!s" 2J r dρ∫