Moiss Villena

1

Elipsoide: ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2 1x h y k z la b c + + =

Esfera: ( ) ( ) ( )2 2 2 2x h y k z l r + + =

Hiperboloide de una hoja

SUPERFICIES CUADRICAS 2 2 2 0Ax By Cz Dx Ey Fz G+ + + + + + =

x

z

y

2 2 2

2 2 2 0x y za b c

+ =

Doble cono

Paraboloide

2

2

2

2

by

axz +=

Paraboloide hiperblico 2 2

2 2

y xzb a

=

Hiperboloide de dos hojas

Superficies Cilndricas( ), 0f x y = Curva Generatriz perteneciente al plano xy ,

Rectas Generatrices paralelas al eje z.

( , ) 0f x z = Curva Generatriz perteneciente al plano xz , Rectas Generatrices paralelas al eje y. ( ), 0f y z = Curva Generatriz perteneciente al plano yz , Rectas Generatrices paralelas al eje x.

Superficies de Revolucin ( ) 22 2x z f y+ = CURVA GENERATRIZ )(zfx = O )(zfy = ,

ALREDEDOR DEL EJE z . ( ) 22 2x y f z+ = CURVA GENERATRIZ )(yfx = O )(yfz = ,

ALREDEDOR DEL EJE y .

[ ]22 2 ( )y z f x+ = CURVA GENERATRIZ ( )y f x= O ( )z f x= , ALREDEDOR DEL EJE x .

Distancia de un punto a una recta: ( )0 , V SSd P l=

Distancia entre Rectas Alabeadas: ( ) ( )1 21 21 2

,V S SS S

d l l =

Ecuaciones Paramtricas:0

0

0

x x aty y btz z ct

= + = + = +

0 0 0x x y y z za b c = =

Recta vertical, paralela al eje z: 0

0

0

:x x

l y yz z ct

= = = +

Paralela al plano xy: 0

0

0

:x x at

l y y btz z

= + = + =

Un punto ( )0000 ,, zyxP y un vector paralelo ( ), ,S a b c=

Dos puntos

12

1

12

1

12

1

zzzz

yyyy

xxxx

=

=

RECTAS UN PUNTO ( )0000 ,, zyxP Y UN VECTOR PERPENDICULAR ( ), ,n a b c=

ECUACIN GENERAL.

PLANOS

( ) ( ) ( )0 0 0 0a x x b y y c z z + + = 0ax by cz d+ + + =

Pasan por el origen: 0ax by cz+ + =

Paralelo al eje z: 0ax by d+ + =

PARALELO AL PLANO xy : z C= DISTANCIA DEL PUNTO AL PLANO:

( ) 0 0 00 2 2 2, ax by cz dd P a b c+ + += + +

Moiss Villena

2

2 2 2

2 2 2

arctan

cos

x y zyx

zarcx y z

= + +=

= + +

sen cossen sencos

xyz

= = =

x

z

y

a =2 2 2 2x y z a+ + =

x

z

y

4 =

2 2z x y= +

x

z

y

2ar =0,0, 2

a

cosa =a

cosx ry rsenz z

= = = ( )

2 2

arctan yx

r x y

z z

= + = =

x

z

y

22 yxz +=

2z r=

x

z

y

rz =

222 yxz +=

x

z

y

922 =+ yx

3=r

COORDENADAS CILNDRICA

COORDENADAS ESFRICAS.