TEORÍA ELECTROMAGNÉ

TICA

FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO

FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO Campo Magnético creado por una

carga puntual en movimiento Corrientes eléctricas, Ley de Biot y

Savart Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampere

FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO

CARGA PUNTUAL EN MOVIMIENTO

• Cuando una carga puntual q se mueve con velocidad v se produce un campo magnético B en el espacio

CARGAS EN MOVIMIENTO

• El campo magnético B en cualquier punto está dado por

B = qv x r

r

m0

4p 2

m0 = 4p x 10 T m/A = 4p x 10 N/A

-7 2-7

• Con m0 la constante de permeabilidad en el vacío

CARGAS EN MOVIMIENTO

• Ejercicio

Una carga puntual q = 4.5 nC se mueve con velocidad v = 3.6 x 10 m/s i paralelamente al eje X a lo largo de la recta y = 3m. Determinar el campo magnético producido en el origen por esta carga cuando se encuentra en el punto x = -4m, y = 3m.

3

RespuestaB = -3.24 x 10 T k

LEY DE BIOT Y SAVART

http://video.google.com/videoplay?docid=-3614547206167077169#

LEY DE BIOT Y SAVART

• Cuando se tiene un conjunto de cargas (corriente) a través de un elemento conductor, se genera también un campo magnético B

LEY DE BIOT Y SAVART

• En este caso B depende del elemento de corriente I dl

dB = Idl x r

r

m0

4p 2

B = Idl x r

r

m0

4p 2

LEY DE BIOT Y SAVART

• En función de la densidad de campo magnético, H, se escribe

dH = Idl x r

4pr2

• De donde

B = m0H

LEY DE BIOT Y SAVART

• B debido a la corriente en una espira de radio R.

r

X

Y

R

dB = Idl x r

r

m0

4p 2

|dl x r |= dl |r| sen q

|dl x r | = dl

Con r = 1 y

q = 90° y sen 90°= 1

LEY DE BIOT Y SAVART

• Así:dB =

Idl

R

m0

4p 2

B = dB = dl I

R

m0

4p 2

dl = R dq = 2pR 2p

0

Evaluando la integral en coordenadas polares resulta:

LEY DE BIOT Y SAVART

• De donde:

B = =I2pR

R

m0

4p 2

m0I

2R

LEY DE BIOT Y SAVART

• Ejercicio

Hallar la corriente en una espira circular de 8 cm de radio que pueda crear un campo magnético de 2G en el centro de la espira.

• RespuestaI = 25.5 A.

LEY DE BIOT Y SAVART

• Para un punto P fuera de la espira

|dB| = = I|dl x r|

r

m0

4p 2

Idl m0

4p 2x + R2

Las componentes en el eje Y se cancelaran para cada par de puntos opuestos en el circulo, así:

By = 0

LEY DE BIOT Y SAVART

• Colocando el punto en el eje X (la espira en YZ)

|dB| = = I|dl x r|

r

m0

4p 2

Idl m0

4p 2x + R2

Con , dl y r perpendiculares y 2r = x +

R

22

dBx = dB sen q = m0

4p

sen q = =R 2[x + R ]2

Rr 1/2

R 2[x + R ]2 1/2

Idl 2x + R2

LEY DE BIOT Y SAVART

• Así, el campo resultante será:

Bx = dBx = = dl

m0

4p

RIdl 2[x + R ]2 3/2

m0

4p

RI2[x + R ]2 3/2

dl = R dq = 2pR 2p

0

Con:

• Se tiene:

Bx = 2pR =

m0

4p

RI 2[x + R ]2 3/2

m0

2

R I2[x + R ]2 3/2

2

LEY DE BIOT Y SAVART

• En función del momento magnético m de la espira

• A una distancia muy grande de la espira x>>R la expresión se reduce a:

Bx = m0

4p

2m 2[x + R ]2 3/2

2m = IpR

Bx =

m0

4p

2m

| x |3

LEY DE BIOT Y SAVART

• Ejercicio

Una bobina circular de radio 5.0 cm tiene 12 vueltas y se encuentra en el plano YZ. Por ella circula una corriente de 4 A en un sentido tal que el momento magnético de la espira está dirigido a lo largo del eje X. Determinar el campo magnético sobre el eje X en (a) x = 0, (b) x = 15 cm y (c) x = 3 m.

• RespuestaI = 25.5 A.

LEY DE BIOT Y SAVART

• Respuesta:

a) Bx = = 6.03 x 10 T

m0NI

2R-4

b) Bx = = 1.91 x 10 T

m0

2

R NI2[x + R ]2 3/2

2-5

c) Bx = = 2.8 x 10 T

-9m0

4p

2Nm

| x |3

LEY DE BIOT Y SAVART

• Ejercicio

Una pequeña barra magnética de momento magnético m = 0.03 A m se sitúa en el centro de la bobina del ejercicio anterior modo que su momento magnético se encuentra en el plano XY y forma un ángulo de 30° con el eje X. Despreciando cualquier variación de B en la región ocupada por el imán calcular la torca ejercida sobre el imán.

• Respuesta t = - 9.04 x 10 Nm k.

2

-6

LEY DE BIOT Y SAVART

• B debido a la corriente en un solenoide

LEY DE BIOT Y SAVART

Considérese un solenoide de longitud L formado por N vueltas de cable conductor que transporta una corriente de intensidad I. Colocando el eje del solenoide en X

X

Y

dxx

x1x0

LEY DE BIOT Y SAVART

Tomando el número de vueltas por unidad de longitud como el elemento diferencial de corriente será:

X

Y

dxx

x1x0

L

n = N/L

x

di = nIdx

LEY DE BIOT Y SAVART

El campo magnético en un punto sobre el eje X por una espira colocada en el origen será:

dBx = m0

4p2pR nIdx

2[x + R ]2 3/2

2

Para el solenoide completo

Bx = 2pR nI m0

4p2 dx

2[x + R ]2 3/2x0

x1

LEY DE BIOT Y SAVART

Así

Bx = 2pR nI m0

4p2 x

1/2

x0

x1

2R [x + R ]22

Bx = m0nI [ + ]12

x1 1/22[x1 + R ]2

x0 1/22[x0 + R ]2

Bx = m0nISi L>>R

Para un solenoide largo con n vueltas

LEY DE BIOT Y SAVART

• Ejercicio

Determinar el campo magnético en el centro de un solenoide de longitud 20 cm, radio 1.4 cm y 600 vueltas, por el que circula una corriente de intensidad 4 A.

• RespuestaB = 1.5 x 10 T

-2

LEY DE BIOT Y SAVART

• B debido a la corriente en un conductor rectilíneo

LEY DE BIOT Y SAVART

• B debido a la corriente en un conductor rectilíneo

dB = sen f

Idxr

m0

4p 2

dB = cos q

Idxr

m0

4p 2

LEY DE BIOT Y SAVART

De la figura x = y tanq y secq = r/y

dx = y sec q d q = y dq y2

r 22

dx = dqyr 2

LEY DE BIOT Y SAVART

Así, para un segmento del conductor, con y = R :

dB = cos = q cos q dq

Ir

m0

4p 2 R

r dq2 Im0

4p

B = cos qdq

Im0

4p q0

q1

B = (sen q1 - sen q0)

Im0

4p

R

R

R

LEY DE BIOT Y SAVART

Así, para el conductor completo, con q0 = -90° y

q1 = + 90° :

B = 2Im0

4p R

LEY DE BIOT Y SAVART

• Ejercicio

Determinar el campo magnético en el centro de una espira de corriente cuadrada de lado L = 50cm por la cual circula una corriente de intensidad 1.5 A

• Solución

Para cada lado de la espira

BL = (sen q1 - sen q0)2Im0

4p R

BL = (sen 45°- sen (-45°))

Im0

4pL/2

LEY DE BIOT Y SAVART

Y, para la espira completa:

B = 4BL = 4BL = 3.39 x 10 T

-6

LEY DE BIOT Y SAVART

• F entre dos conductores paralelos

LEY DE BIOT Y SAVART

• F entre dos conductores paralelos

LEY DE BIOT Y SAVART

• El módulo de la fuerza magnética sobre el segmento I2dl2 es

dF2 = |Idl2 x B1|

dF2 = I2dl2 B1

• Si la distancia de separación entre los conductores a, es mucho menor que la longitud l, el campo es igual que el generado por un conductor infinitamente largo

dF2 = I2dl2m0I1

2 p R

LEY DE BIOT Y SAVART

• La fuerza por unidad de longitud es

= I2 = 2

m0I1

2 p adF2

dl2

I1 I2

am0

4p

F2 =

LI1 I2

am0

2p

LEY DE BIOT Y SAVART

• Ejercicio

Dos barras rectilíneas de 50 cm y separadas 1.5 mm en una balanza de corriente transportan corrientes de 1.5 A de intensidad en direcciones opuestas. ¿Qué masa debe situarse en la barra superior para equilibrar la fuerza magnética de repulsión?

• Respuesta

m = 1.53 x 10 g-3

LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO

• Flujo de campo magnético a través de una superficie gaussiana

LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO

• El flujo magnético a través de una superficie cerrada es

Fm = BndA = 0

S

LEY DE AMPERE

• El campo magnético B en un contorno cerrado C es proporcional a la corriente que atraviesa la superficie S limitada por C

C

B

S

LEY DE AMPERE

C

B

S

B dl = m0IC

C

LEY DE AMPERE

• Para un alambre largo y recto

S

C

LEY DE AMPERE

S

C

B dl = B dl = B 2pR

C

C

LEY DE AMPERE

• Para un alambre largo y recto

B 2pR = m0IC

De donde

B =m0I1

2 p R

LEY DE AMPERE

• Para un solenoide

B dl = B dl = B dl = B dl = B dl

C C1 C2 C3 C4

B L = m0nLI

B = m0nI

LEY DE AMPERE

• http://www.youtube.com/watch?v=jdsUQs9w0uw

• Para un Toroide

• B debido a la corriente en un toroide

LEY DE AMPERE

Un toroide puede considerarse como un solenoide que se dobla formando una dona.

Las líneas del campo magnético forman círculos concéntricos dentro del toroide

LEY DE AMPERE

B dl = B2pr = m0IC

C

Si a y b son los radios interior y exterior del toroide, la corriente total a través de la superficie limitada por un círculo de radio r entre a y b será NI

LEY DE AMPERE

B2pr = m0NI

B =

m0NI2 p r