Post on 26-Oct-2015
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5. Límites de funciones definidas a trozos Editar 0 1 …
Una función definida a trozos es aquella en la que para cada valor de x que se le pueda asignar, la función puede variar,como en el siguiente ejemplo:
, en el que si x es menor o igual que 1, la función que usaremos es la primera, mientras que si x es mayor que 1, usaremos las segunda.
A continuación, veremos cómo se calculan los límites para este tipo de funciones. En este caso, suponemos que nos piden el siguiente enunciado:- Calcula el límite de la función definida a trozos cuando x tiende a 0, 1 y 3.
Empezaremos por el límite de 0, que no presenta ningún problema aparente, ya que aparece la indeterminación 0/0, que se puede resolver factorizando y sustituyendo:
El siguiente paso es hacer el límite de 1:
En este caso en concreto, es obligatorio hacer los límites laterales, ya que en esta función definida a trozos, el número en el cual cambia la expresión que se tiene que utilizar coincide con el límite que tenemos que calcular, y así lo hacemos:
Como era de esperar, observamos que los límites laterales son diferentes, ya que las funciones son diferentes.
Por último, calculamos el límite cuando x tiende a 3, que no presenta problema alguno:
Con esto, podemos calcular la continuidad de una función en un punto.
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7. Estudio de la continuidad de una función en un punto Editar 0 2 … Ahora explicaremos como se estudia la continuidad de una función en un punto. Hay un tipo de continuidad y 3 de discontinuidad (de salto, asintótica y evitable).Si y=f(x), x=aPara que una función sea continua en un punto, se deben cumplir estas tres condiciones:
: existe un valor y para la variable x.
: los límites laterales son iguales al límite.
: la imagen de la función es igual al límite.
Si no se cumplen las trs condiciones, hablamos de una discontinuidad:
: no existe un número finito como imagen.
Encontramos dos casos:
: si los límites dan infinito, se trata de una discontinuidad asintótica.
: si existe un número finito como límite, estamos hablando de una discontinuidad evitable.
Luego, hay dos casos más de discontinuidades:
: si no existe el límite para ese número, y los límites laterales no son iguales, se trata de una discontinuidad de salto.
: si la imagen de la función no es igual al límite, es una discontinuidad evitable.
Ahora veremos un ejemplo de cómo estudiar la discontinuidad de una función:
Consideramos la siguiente función
Primero estudiaremos el dominio:
Tenemos que calcular los límites para aquellos números que no pertenecen a la función, y para los números para los cuáles se cambia de rama:
Empezaremos por el del cambio de rama:
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Como se tienen que calcular los laterales, los hacemos:
Nos encontramos esto:
Por lo tanto, f tiene discontinuidad de salto en x = -1
En este caso, f tiene discontinuidad asintótica en x = -2
Por último, f tiene discontinuidad evitable en x = 1.
7.3 Ejercicios de continuidad
Ejercicios resueltos de continuidad, pasos para estudiar la continuidad de una función. Estudiar los distintos tipos de discontinuidad que puede presentar una función.
Ejercicios resueltos de continuidad
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Ejercicios con soluciones
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Soluciones
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